수학사 6-이오니아와 피타고라스 학파(2)

수학사 6-이오니아와 피타고라스 학파(2)

 

 

5. 수 신비주의

 

 원론 첫, 두 권의 대부분은 피타고라스 학파의 업적으로 보는 것이 지금까지의 통례이다. 이것은 그 부분인 고도의 학문적 수준을 전제한 바탕에서 탈레스, 피타고라스 이후 매우 빠른 학문의 진보를 이룬 것을 의미한다.

 수에 대한 신비주의는 피타고라스 학파만의 것이 아니었다. 7은 일주일의 유래가 된 7개의 별, 홀수는 남성적, 짝수는 여성적, (영국의 유명한) 셰익스피어는 "홀수에 신성이 있다"라는 주장을 했다.

 피타고라스 학파는 1을 수의 근원이면서 이성의 수, 2는 맨 처음의 짝수 또는 여성수이면서 의견의 수, 3은 맨 처음의 진짜 남성수이고 단일성과 다양성으로 구성되어 있는 수, 4는 정의 또는 응보의 수이고 2의 제곱, 5는 맨 처음의 남성수(3)와 여성수(2)가 결합한(2+3=5) 결혼의 수, 6은 창조의 수.

 이렇게 각 수는 나름대로의 속성이 있었다. 그 중 가장 신성한 수는 10, 곧 네 수 1, 2, 3, 4의 합이었다. 그 이유는 10은 생각할 수 있는 모든 기하학적 차원을 더한 값으로서 우주의 수로 생각했기 때문이다. 한 점은 차원의 생성원, 두 점은 1차원 직선을 결정, 한 직선 위에 있지 않은 네 점은 넓이를 갖는 3차원의 사면체를 결정한다. 각 차원을 나타내는 점을 모두 더하면(1+2+3+4) 신성한 10이 된다.

 

6. 산술과 우주론

 

 이집트의 수는 자연수와 단위분수, 바빌로니아의 수는 유리수 전체, 그리스에서 '수'는 정수에만 쓰였다. 분수를 단일요소로 보는 일은 없었고 두 정수 사이의 비 또는 관계라고 보았다.

 산술은 기술 뿐 아니라 지적인 학문으로 생각되었는데 피타고라스 학파의 영향으로 보인다. 이 설을 믿을 수 있다면 피타고라스 학파는 단지 산술을 철학의 한 분야로 세우는 것이 아니라 주위의 모든 세계를 통일하는 기반으로 생각한 것으로 보인다. 점(넓이 없는) 단위로 이루어진 도형을 통해 그들은 수를 기하학적 확장과 관련지었는데 점차 이것은 그들(피타고라스 학파)을 천체의 산술로 유도하였다.

 피타고라스 학파의 한 사람인 필로라우스는 \(1+2+3+4=10\)을 숭배했고, 이것을 "위대하고 전능하고 모든 것의 근원이다"라고 주장한다. 이어 우주의 중심에는 중심불이 있고, 그 둘레를 지구와 7개의 행성(태양, 달 포함)이 일정하게 회전한다고 가정했다. 이것에 따르면 천체의 수가 9개 밖에 되지 않기 때문에(항성 제외) 필로라우스의 천문학 체계에서는 10번째의 천체, 곧 지구와 중심불이 이루는 같은 직선 위에 '대지구(counterearth)'를 가정한다. 이 대지구가 날마다 움직이면서 중심불의 둘레를 공전하는 주기는 지구와 같았다. 태양은 중심불의 둘레를 1년에 한 번 회전하고 항성은 정지하고 있다. 이 가설은 2000년간 천문사상을 지배했고, 그 후 코페르니쿠스의 지동설이 새롭거나 혁명적이지 않음을 보이기 위해 이용되었다. 

 

7. 도형수

 

 피타고라스 학파가 수를 엮어 그들의 시상을 구현한 것은 도형수에 관한 관심으로 잘 설명된다. 

 어떤 삼각형도 3개보다 적은 점으로는 만들 수 없으나 그보다 많은 6, 10, 15개의 점으로는 가능하다.  

 3, 6, 10, 16와 같이 \(N=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)로 일반적으로 주어진 수를 삼각수라고 했다. 수 10, 신성한 '네 수(1, 2, 3, 4)의 합'을 나타내는 삼각형은 피타고라스 학파의 수론에서 숭배표시로 오각형과 겨루었다.

 제곱수는 홀수합 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^{2}\)으로 만들었는데 각 홀수는 순서대로 그노몬(바빌로니아 해시계)과 같은 점도형으로 간주되고, 앞서 만든 사각점도형의 두 변 주위에 놓여있다.

 그러므로 그노몬('안다'와 관계가 있다)이라는 말은 홀수 그 자체의 특성으로 생각되었다.

 짝수 수열합 \(2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)\)은 직사각형수로, 삼각수의 두 배이다. 

 5각형 모양으로 놓인 점들의 수는 수열합 \(N=1+4+7+\cdots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}\)로 주어지고 6각수는 수열합 \(1+5+9+\cdots+(4n-3)=2n^{2}-n\) 으로 유도되었다.

 마찬가지로 모든 다각수에 이름이 붙여졌고, 이 과정을 3차원 공간으로 확장할 수 있다. 

 이러한 예측에 힘을 얻은 필로라우스는 "알 수 있는 것은 모두 수를 갖는다. 왜냐하면 수가 없다면 어떤 것도 상상하거나 인식할 수 없기 때문이다"라는 주장을 했다. 

 이 필로라우스의 의견은 피타고라스 학파의 교리 중 하나인데 여기서 피타고라스가 간단한 음악법칙을 발견했다는 이야기도 있다. 피타고라스는 진동하는 현의 길이가 지연수의 비, 예를들어 2:3(5번째 음) 또는 3:4(4번째 음)와 같이 표시될 때 이 음들은 조화롭게 어울린다는 것을 깨달았다고 한다.

 두 음사이에 있는 음은 그 중간의 비에 대응하는 길이의 현이 만들어낸다. 결국 16:9는 D, 8:5는 E, 3:2는 F, 4:3은 G, 6:5는 A, 16:15는 B(1:1은 C)라는 식으로 점점 소리가 높아진다. 

 이러한 대담한 상상을 하던 초기의 피타고라스 학파는 이 법칙을 천체에도 적용해 천체도 '천체의 조화음'을 낸다고 결론내었다. 그러나 이 결론이 피타고라스가 남쪽을 여행할 때 발견된 새로운 별자리의 관측에 의한 것인지 상상에 의한 것인지는 알려지지 않았다. 우주가 '코스모스' 곧 조화롭게 질서가 잡힌 완전한 것이라는 생각은 피타고라스 학파의 사고와 같다. 이런 생각은 당시 관측으로 증명되는 일은 거의 없었으나 천문학의 발달에서 훌륭한 성과를 가져왔다. 

 수에 관련되는 고대의 상상을 생각하면서, 동시에 우리는 그들의 상상이 수학, 과학 양쪽의 발달에 끼친 영향도 알고 있어야 한다. 피타고라스 학파는 자연의 운행은 수학을 통해 이해할 수 있다고 믿은 최초의 사람들이었다. 

 

8. 비례

 

 프로클레스는 에우데무스에서 수학의 다음 두 가지 발견(1. 정다면체 작도, 2. 비례론)을 피타고라스의 업적으로 돌린다. 비례론은 초기 그리스 수학을 살피는데 꼭 적합한 것으로 그리스인의 영감의 원천을 발견할 수 있다. 피타고라스는 메소포타미아에서 산술평균, 기하평균, 조화평균과 황금비를 배웠다고 한다.

 황금비는 위의 세 평균 중 둘과 관계가 있다. 어떤 두 수 가운데 처음의 수에 대한 두 수의 산술평균의 비는 두 수의 조화평균에 대한 두 번째 수의 비와 같다는 관계이다. 이 관계는 바빌로니아에서 제곱근을 구하는 방법이다. 따라서 피타고라스가 바빌로니아에서 배웠다는 이야기가 좀 더 그럴듯 하다. 그러나 어느 시기에 피타고라스 학파는 평균을 일반화하고 7가지의 평균을 더해 다음과 같이 10가지의 평균을 만들어냈다.(\(a<b<c\))$$\begin{align*}&(1)\,\frac{b-a}{c-b}=\frac{a}{a},\,(2)\,\frac{b-a}{c-b}=\frac{a}{b},\,(3)\,\frac{b-a}{c-b}=\frac{a}{c},\,(4)\,\frac{b-a}{c-b}=\frac{c}{a},\,(5)\,\frac{b-a}{c-b}=\frac{b}{a}\\&(6)\,\frac{b-a}{c-b}=\frac{c}{b},\,(7)\,\frac{c-a}{b-a}=\frac{c}{a},\,(8)\frac{c-a}{c-b}=\frac{c}{a},\,(9)\,\frac{c-a}{b-a}=\frac{b}{a},\,(10)\,\frac{c-a}{c-b}=\frac{b}{a}\end{align*}$$ 위에서 (1)은 산술평균 \(b=\frac{a+c}{2}\), (2)는 기하평균 \(b^{2}=ac\), (3)은 조화평균 \(b=\frac{2ac}{a+c}\)이다.

 

참고자료: 
수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김