수학사 3-메소포타미아(1)

수학사 3-메소포타미아(1)

 

 

1. 쐐기문자 기록

 

 메소포타미아강 유역에서도 당시 고도의 문명이 존재했다. 티그리스, 유프라테스강에서는 대홍수가 일어났고, 예측할 수 없었다.

 쐐기문자는 기원전 4000년대에 수메르인들에 의해 개발되었고, 이집트 신성문자보다 더 오래되었고, 세계에서 가장 오래된 문자일 것이다. 

 티그리스-유프라테스강 유역(이하 두 하천의 땅)의 비옥한 초승달 지대는 자주 바뀌었고, 그 중에서 아카드족을 이끄는 사르곤 1세는 쐐기문자와 토착 수메르 문화를 차례로 흡수했다. 그 이후로 거듭된 침략 또는 반란으로 인해 아모리인, 카시트인, 엘람인, 히타이트인, 아시리아인, 메디아인, 페르시아인 등이 이 지역을 지배했다.

 쐐기문자의 사용은 문화의 전통을 보존하는 결합력이 되었다. 많은 기록들을 부드러운 점토판에 뾰족한 도구로 표시한 다음 태양열 또는 가마에 구웠고, 파손이 적어서 오늘날 메소포타미아 수학에 대한 자료는 이집트(나일강 유역) 수학보다 자료가 많다.

 수메르 문명 초기에는 첨필(뾰족한 연필)의 작은 쪽의 끝을 점토판에 직각으로 눌러 10을 비스듬히 눌러 1을 나타냈다. 마찬가지로 큰 쪽의 첨필을 비스듬히 눌러 60을, 직각으로 눌러 3600을 나타냈다.

 고대와 현대를 포함한 대부분의 문명은 10진법을 사용했으나 메소포타미아는 60진법을 사용했다. 

 60진법을 사용하는 이유로는 천문학적 이유, 10진법과 6진법의 결합 등의 설이 있으나 도량형 때문에 사용한다고 보는 것이 타당하다. 그 이유는 60은 \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{5}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{20}\), \(\frac{1}{30}\)과 같이 10가지 정도의 등분이 생기기 때문이다. 

 

2. 위치 기수법

 

 이집트 신성문자와 마찬가지로 바빌로니아(메소포타미아) 쐐기문자 기수법은 1과 10을 되풀이하여 나타냈다. 예를들어 59를 이집트와 메소포타미아에서는 각각 다음과 같이 나타낸다.

여기서 <는 10을, V는 1을 나타낸다.

 그러나 59를 넘으면 바빌로니아 기수법은 달라지게 된다. 바빌로니아인들은 어떠한 큰 정수라도 1, 10을 나타내는 두 기호를 지나치게 되풀이하지 않고 충분히 나타낼 수 있음을 깨달았다. 고대 바빌로니아인들은 수를 표기할 때 상대적 위치에 대응한 값을 정하여 2, 3, 4배, 더욱이 몇 배라도 적을 수 있다는 것을 알고 있었다.

 222는 10진법으로 \(2\times100+2\times10+2\)이나 바빌로니아에서는 다음과 같이 60진법의 수를 나타낸다.

 초기 바빌로니아인들은 빈 자리(공백)를 나타내는 방법을 몰랐다. 쐐기문자 YY YY는 \(2\times60+2\)로도, \(2\times60^{2}+2\)로도 읽힐 수 있다. 그러나 알렉산더 대왕이 정복할 무렵 비스듬한 쐐기문자를 이용하여 다음과 같이 구분할 수 있었으나 모든 모호함을 해결하지 못했다.

 그 이유는 비스듬한 쐐기문자는 가운데 빈 자리에만 사용되었고, 수의 끝 자리에 사용된 경우가 없기 때문이다. 이것은 고대 바빌로니아인이 절대적인 자리매김법을 완성했다고 할 수 없음을 뜻한다. 자리는 상대적인 것에 지나지 않았다.

 따라서 쐐기문자 YY YY는 \(2\times60+2\) 또는 \(2\times60^{2}+2\times60\), \(2\times60^{3}+2\times60^{2}\)등 연속된 두 자릿수가 있는 수 많은 다른 수 중 하나를 나타낸다.

 

3. 60진법 소수

 

 메소포타미아 수학이 나일강(이집트) 수학처럼 정수와 단위 분수의 덧셈 위에 성립했다면 위치 기수법의 발명은 그다지 중요한 것은 아니었을 것이다. 자리의 원리를 정수만이 아니라 소수까지 확장했다.

 결국 쐐기문자 YY YY는 \(2\times60+2\)로만 쓰이는 것이 아니라 \(2+2\times60^{-1}\), \(2\times60^{-1}+2\times60^{-2}\)로도 쓰인다. 또한 여기에 연속하는 두 자리에 숫자 2가 있는 더욱 작은 소수로도 쓰였다.

 이것은 오늘날 10진 소수기수법이 우리에게 주는 계산능력을 바빌로니아인들은 이미 갖고 있음을 뜻한다. \(\sqrt{2}\)를 소수점 세 자리까지 나타낸 바빌로니아 서판이 있다. 이 서판에 따르면 \(\sqrt{2}\)를 쐐기문자와 60진법으로 다음과 같이 나타냈다. 

 여기서 ;는 정수부분과 소수부분을 가르는 데 사용되고, 쉼표(,)는 60진법 소수에서 각 소수점 아래 자리의 분리 기호로서 쓰인다. 위의 60진법 소수를 10진법으로 나타내면 \(1.414222\)와 같고, 참값과의 오차는 \(0.000008\)이다. 이렇게 소수 기수법을 사용함으로써 근사값의 정확도를 상대적으로 쉽게 얻어내었고, 이런 점에서 르네상스의 다른 문명보다 우수했다고 할 수 있다. 

 

4. 기본적인 연산

 

 메소포타미아 수학은 계산법의 개발에 뛰어났다.

 \(x=\sqrt{a}\)를 구하는 근으로 \(a_{1}\)을 이 근의 첫째 근삿값으로 한다. 또 둘째 근삿값 \(b_{1}\)을 등식 \(b_{1}=\frac{a}{a_{1}}\)에서 얻는다. 이때 \(a_{1}\)이 충분히 작으면 \(b_{1}\)이 충분히 크게 되고 그 반대도 참이다. 따라서 산술평균 \(a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\)이 다음 근삿값으로 적절하다. 그러나 \(a_{2}\)가 충분히 작다면 다음 근삿값 \(b_{2}=\frac{a}{a_{2}}\)는 역으로 충분히 작다. 따라서 좋은 근삿값을 얻기 위해서는 산술평균 \(a_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\)를 구하게 되고, 이 과정은 한없이 되풀이된다. 

 이 계산법은 이항급수의 하다인 이항근사를 구하는 것과 같다. \(\sqrt{a_{2}+b}\)를 구하는 경우, 제 1근사 \(a_{1}=a\)에서 \(b_{1}=\frac{a^{2}+b}{a}\)와 \(a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}=a+\frac{b}{2a}\)가 유도된다. 이것은 \((a^{2}+b)^{\frac{1}{2}}\)를 전개한 처음의 두 항과 같은데, 바빌로니아 문헌의 근삿값이 된다. 이 방법은 효율적이었으나 메소포타미아 서기는 수표(數表)에 의존했다.

 실제로 출토된 쐐기문자 서판의 상당 부분은 수표로 되어있고, 여기에는 곱셈표, 역수표, 제곱수와 세제곱수표, 제곱근과 세제곱근의 표 등을 포함한다. 물론 표기는 60진법이다. 

바빌로니아 역수표

 역수표에 따르면 8의 역수는 \(\frac{7}{60}+\frac{30}{60^{2}}\)이고, 7과 11의 역수는 표에 없다. 그 이유는 불규칙한 수의 역수가 끝없는 60진 소수로 되기 때문이었다. 이것은 10진법에서 3, 6, 7, 9의 역수가 무한소수로 표현되는 것과 같다.

 이때 바빌로니아인은 무한의 문제에 직면하게 되었는데 체계적으로 생각하지 않았다. 단지 어느 서기가 7의 역수에 대해 상계 \(0;8,34,16,59\)와 하계 \(0;8,34,18\)을 제시했고, 7의 역수의 주기성은 발견하지 못했다. 

 바빌로니아인들은 기본 연산을 오늘날 우리 방법과 다르지 않게 상당한 솜씨로 사용했다. 나눗셈도 이집트인처럼 두 배를 되풀이하는 서툰 방법이 아닌 수표에 있는 수의 역수를 찾아 나누어지는 수에 곱하는 간단한 곱셈으로 했다. 이것은 마치 오늘날 34를 5로 나눈 몫은 34에 2를 곱하고 소수점은 옮기면 쉽게 구하는 것과 완전히 같은데 이 계산에서는 먼저 34와 12의 곱을 구한 다음 60진법의 소수점을 옮겨 놓음으로서 몫 \(6\frac{48}{60}\)을 얻는다. 역수표에는 2,3,5의 곱으로서 표시되는 수(규칙 정수)의 역수만 실려 있으나 어떤 수표에는 다음의 두 근사값이 실려있다.$$\frac{1}{59}=(0);1,1,1 \frac{1}{61}=(0);0,59,0,59$$이 값들은 10진법의 \(\frac{1}{9}=0.11\overline{1}\)과 \(\frac{1}{11}=0.9\overline{09}\)에 대응하는 분모가 기본수 60보다 하나 크거나 작은 단위분수이다. 그러나 바빌로니아인은 여기서도 무한순환이 있음을 깨닫지 못하거나 불필요하다고 보는 것 같다.

 고대 바빌로니아 서판에는 주어진 수를 연속으로 거듭제곱한 수표가 있는데 이것은 현대의 로그표, 더욱 정확히 말하면 진수표와 비슷한 것이다. 또 밑 9와 16과 1,40 및 3,45(모두 완전제곱수)에 대하여 1제곱에서 10제곱까지 실려있는 지수표(대수표)도 발견되었다. 지금의 수표와는 다르고 수표에 실린 수들의 차가 크다. 이 수표는 일반 계산이 아닌 특정한 문제를 푸는 데 사용되었다. 

 지수표의 각 항목 사이에는 큰 간격이 있었으나 이 문제는 비례부분에 의한 보간법으로 근사시켰다. 

 "해마다 20%씩 늘어나는 돈이 2배로 되는 데 몇 년이 걸리는가?"라는 문제의 답은 \(3;47,13,20\)으로 되어있고, 복리식 \(a=p(1+r)^{n}\)에서 \(r=20%\) 즉 \(r=\frac{12}{60}\)인 경우 \(n\)의 어림값을 \(1;12\)의 거듭제곱표에서 \((1;12)^{3}\)과 \((1;12)^{4}\)을 읽어 그 값 사이에 선형보간법을 이용했다. 

 

5. 대수문제

 

 바빌로니아인들의 수표에는 정수 \(n\)에 대한 \(n^{3}+n^{2}\)의 값을 기록한 표가 있다. 이 표는 바빌로니아 대수에 필수였다. 또한 바빌로니아인들은 항이 3개인 완전 이차방정식도 풀 수 있었는데, 방정식의 양변에 같은 것을 더하여 항을 이항할 수 있었고, 양변에 같은 값을 곱해서 분수 또는 인수를 없앴다. 

 \((a-b)^{2}\)에 \(4ab\)를 더해 \((a+b)^{2}\)를 얻을 수 있었는데 이것은 바빌로니아 사람들이 인수분해 공식을 많이 알고 있었기 때문이다. 다만 미지수를 나타내는데 문자가 사용되지 않았고(당시에 알파벳이 발명되지 않았기 때문), '길이', '나비', '넓이', '부피'와 같은 낱말로 그 역할을 대신했다. 이 낱말들이 추상적인 의미로 쓰였던 것은 바빌로니아인들이 길이에 넓이를 더하거나 넓이를 부피에 더하는 데 아무런 거리낌이 없었다는 사실에서 알 수 있다. 이 상황은 바빌로니아인들이 측량할 때 실용적인 기준이 없다는 것을 뜻한다.

 이집트 대수는 일차방정식과 많은 관련이 있지만 바빌로니아인들은 초보적이여서 주목할 가치가 없다고 간주했다. 

 

참고자료:  

수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김