수학사 1-기원

수학사 1-기원

 

 

1. 수의 개념 

 오늘날 우리가 알고 있는 수학의 대부분은 원래 수, 크기, 꼴이라는 개념을 중심으로 하는 사고에서 발전, 성장해 온 것이다. '수와 크기의 과학'이라는 옛 정의는 부적당하나 수학의 각 분야의 기원을 암시하고 있다.

 수학은 사람들의 일상 생활의 일부로서 발생되었는데, 생물학의 '적자생존'이 옳다면 인류의 존속은 인간에게 수학 개념이 발달했던 것과 무관하지 않을 것이다.

 수, 크기, 꼴이라는 원시개념은 맨 처음에 서로 다른 점에 관련되어 있다. 그리고 수와 형태의 닮음을 인식하는 것에서 과학과 수학이 생겨났다. 또 한편에서는 다르다는 그 자체가 닮음을 뜻하는 것처럼 생각되었다. 결국 한 마리의 이리와 여러 마리의 이리, 양 한 마리와 양떼-곧 하나씩 밖에 없다고 하는 성질-이 있음을 알 수 있다.

 두 손은 두 다리, 두 눈 등등 몇 가지의 모임에 공통으로 적용되는 추상개념(수)을 이와 같이 인식하는 것은 현대수학으로 이어지는 긴 발자취를 상상하고 있다.

 수 개념의 발달은 길고 지루한 과정을 거쳤다.

 

2. 초기의 진법

 

 마침내 수에 관한 성질을 몇 가지 방법으로 나타낼 필요가 생길 정도로 수에 관한 인식이 선명하게 되었다. 처음에는 손짓을 사용했고, 두 손으로 10을, 두 발로 20을 나타냈다. 사람의 손, 발로 불충분하다면 돌무더기와 다른 것들을 대응시켰다. 

 오늘날 10진법이 널리 쓰이는 것은 사람 손가락이 10개이고 발가락도 10개라는 해부학적인 우연한 결과에 지나지 않는다. 대부분 손가락으로 세거나 5, 10을 기본수로 하여 세는 습관을 가졌고, 5진법, 10진법을 주로 사용하게 되었다. 

 선사시대 사람은 돌무더기 보다 막대기와 뼈에 칼자국을 내어 수를 기록했다. 이것은 수 개념이 어떤 문명과 문서보다 앞서고 있음을 알 수 있다. 또 인간의 초기의 수 개념을 보여주는 증거를 오늘날 언어에서 볼 수 있다(예: eleven-one over, twelve-two over).

 

3. 수를 표현하는 말과 셈의 기원

 

 인간은 언어를 가지고 있고, 언어의 발달은 추상적인 수학적 사고의 발생에 필수적이나 수 개념을 표현하는 말은 꽤 늦게 나타났다. 몇 번이나 되풀이되는 구체적인 상황에서 추상 개념을 끌어내는데 인류는 몇 천년의 세월이 필요했고, 이 사실로부터 인류가 수학의 가장 초보적인 기초를 잡는데 어려움을 겪어야 했는가를 알 수 있다. 

 보통 우리는 수학이 실생활에 필요해서 발생되었다고 생각하나 원시 종교의식과 관련이 있고, 순서 개념이 양의 개념보다 앞서 있다고 한다. 

 정수를 홀수, 짝수로 나누고 홀수를 남성, 짝수를 여성으로 간주하는 의식상의 구별이 공통적으로 일치한다. 이 방법은 지구상의 모든 지역에 알려져 있었고, 남성수, 여성수에 관련된 신화가 존재한다.

 정수 개념은 수학에서 가장 오랜 개념의 하나이고 그 기원은 불명이다. 그러나 원시 인간들에게는 1보다 작은 분수, 소수 개념의 발달은 늦고, 일반적으로 인간이 만든 정수체계와 관련되지 않았다. 원시인간들은 소수를 쓰지 않고 해결할 수 있는 충분히 작은 단위를 선택한다. 그래서 2진, 5진, 10진 소수로 질서있게 발전하지 않았고, 10진 소수는 현대수학의 산물이었다. 

 

4. 기하학의 기원

 

 수학의 기원은 문서로 기술된 것(예: 수학사)보다 오래 되었다. 몇백만년에 이르는 오랜 역사 속에서 인간이 기록과 사고를 문자로 나타내기 시작했던 것은 겨우 6,000년 전의 일에 지나지 않는다.

 헤로도투스와 아리스토텔레스는 기원을 이집트 문명 이전으로 잡으려고 안했으나 기하학의 기원을 더욱 오래 전으로 생각했다.

 헤로도투스는 기하학이 이집트에서 시작되었다고 생각했고, 그 근거로 홍수가 지나고 강의 유역을 다시 측량해야 한다는 실제적 필요에서 생겼다고 한다(실제적 필요).

 반면 아리스토텔레스는 이집트의 성직자들이 기하학을 탐구했다고 주장한다(성직 계급의 여가와 의식)

 신석기 시대에는 여가와 측량의 필요성도 없었을 것이나 이들(신석기 시대 사람)이 그렸던 그림과 도형은 기하학으로 다가가는 길이 된 공간 속의 여러 관계에 그들이 관심을 갖고 있던 것을 시사한다. 

 위 그림의 도형의 예는 기하학과 산술 명체이면서 동시에 군(group)의 한 예이다. 이 도형으로부터 각각의 삼각형 넓이의 비는 한 변의 제곱의 비라는 것을 알 수 있고, 삼각형을 위에서부터 아래로 단 마다 세어보면 1부터 시작하는 홀수의 합이 완전제곱수가 됨을 알 수 있다. 

 역사시대 이전의 문서가 없기 때문에 특정 그림에서 잘 알려져 있는 정리까지 발달한 과정을 추적할 수 없다.

 선사시대 사람이 공간도형과 공간 관계에 대해 가진 관심은 미적 감각과 형태미를 즐기는 여유에서 생겼고, 오늘날 수학자의 행동에도 자주 이러한 동기가 바탕에 깔려있다.

 초기의 기하학자들 중 대다수는 기하학을 측량에 사용하나 적어도 몇 사람은 수학의 즐거움에 사용했다. 다른 이유를 찾자면 기하학이 수를 세는 것처럼 원시의식의 관습에 기원이 있다는 것이다.

 기하학의 발달은 건축과 측량기사의 실제 요구, 도형과 질서에 대한 미적 감각에 의해 자극되어 왔을 것이다.

 

참고자료: 

수학의 역사-상, (칼 B 보이어, 유타 C 메르츠바흐 지음), 양영오, 조윤동 옮김