[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 수리 나형 27번, 2009학년도 수능 공통 23번

[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 수리 나형 27번, 2009학년도 수능 공통 23번

 

 

문제: 

2007 수능 수리 나형 27번

2009 수능 수리 공통 23번

수리논술화 문제

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<제시문>

나눗셈 알고리즘은 정수 $a,\,b(>0)$에 대하여 다음을 만족하는 정수 $q,\,r$이 유일하게 존재한다는 것이다. $$a=qb+r\,(0\leq r<b)$$

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[문제 1] $0<a<1$인 $a$에 대하여 $10^{a}$를 3으로 나눌 때, 몫이 정수이고 나머지가 $2$가 되게 하는 $a$들을 구하려고 한다.

1-1 제시문을 참고하여 $10^{a}$를 정수 $q$를 이용하여 나타내시오.

1-2 $10^{a}$의 범위를 구하시오. 

1-3 문제 1-2의 결과를 이용하여 $q$가 가질 수 있는 값들을 구하시오. 그리고 이를 이용하여 가능한 $a$값들을 모두 구하시오

 

[문제 2] 2 이상의 자연수 $n$에 대하여 $n$으로 나눌 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 합 $a_{n}$을 구하려고 한다.

(예: 4로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 $5,\,10,\,15$이므로 $a_{4}=5+10+15=30$이다)

2-1 문제의 예를 참고하여 5로 나눌 때 몫과 나머지가 같은 자연수들을 모두 찾고 이들의 합인 $a_{5}$를 구하시오.

2-2 제시문을 참고하여 $n$으로 나눌 때 몫과 나머지가 같은 자연수를 나타내는 수열 $b_{k}$을 구하시오.

2-3 문제 2-2의 결과를 이용하여 $a_{n}$을 구하시오.

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해설

1-1 문제에서 몫이 정수이고 나머지가 2이므로 제시문의 나눗셈 알고리즘을 이용하여 $10^{a}=3q+2$로 나타낼 수 있다.

1-2 $0<a<1$이므로 $1=10^{0}<10^{a}<10^{1}=10$이고 따라서 $10^{a}$의 범위는 $1<10^{a}<10$이다.

1-3 $q$가 정수이므로 $10^{a}$는 1과 10 사이의 정수(자연수)이어야 한다. 그러면 가능한 $q$값은 $0,\,1,\,2$이고 이 때의 $10^{a}$값은 $2,\,5,\,8$이므로 따라서 가능한 $a$값들은 $\log2,\,\log5,\,3\log2(=\log8)$이다.

 

2-1 5로 나누었을 때 몫과 나머지가 같은 수는 $$6=5\cdot1+1,\,12=5\cdot2+2,\,18=5\cdot3+3,\,24=5\cdot4+4$$ 로 $6,\,12,\,18,\,24$이다. 따라서 $a_{5}=6+12+18+24=60$이다.

2-2 제시문의 나눗셈 알고리즘을 이용하면 $b_{k}=nk+k$로 나타낼 수 있고, 이때 $k<n$이어야 하므로 $k$의 범위는 $1\leq k\leq n-1$이다.

2-3 문제 2-2에서 $b_{k}=nk+k\,(1\leq k\leq n-1)$이므로 $$\begin{align*}a_{n}&=\sum_{k=1}^{n-1}{b_{k}}\\&=\sum_{k=1}^{n-1}{(nk+k)}\\&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}{k}\\&=\frac{(n-1)n(n+1)}{2}\end{align*}$$ 따라서 $\displaystyle a_{n}=\frac{(n-1)n(n+1)}{2}$이다.