[수리논술화 문제] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번

[수리논술화 문제] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번

 

 

문제:

수리논술화 문제

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<제시문>

(가) 양의 방향으로의 각도가 \(\theta\)인 직선의 기울기는 \(\tan\theta\)이다.

 

(나) 두 정점 \(\text{F}'(-c,\,0)\), \(\text{F}(c,\,0)\)으로부터 거리의 차가 \(2a\)로 일정한(\(|\overline{\text{PF}}-\overline{\text{PF'}}|=2a\)) 점 \(\text{P}(x,\,y)\)들의 집합을 쌍곡선이라고 하고, 다음과 같이 방정식으로 나타낼 수 있다.$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,(b=\sqrt{c^{2}-a^{2}})$$이때 직선의 방정식 \(\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x\)를 쌍곡선의 점근선의 방정식이라고 한다. 

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[문제] 쌍곡선 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1\)의 두 초점 \((2\sqrt{3},\,0)\), \((-2\sqrt{3},\,0)\)을 각각 \(\text{F}\), \(\text{F}'\)이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 \(\text{P}(x,\,y)\,(x>0)\)에 대하여 선분 \(\text{F}'\text{P}\)위의 점 \(\text{Q}\)가 \(\overline{\text{FP}}=\overline{\text{PQ}}\)를 만족시킨다고 한다. 

1-1 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하시오.

1-2 제시문 (가)를 참고하여 점근선의 기울기가 의미하는 것이 무엇인지 설명하시오.

1-3 제시문 (나)를 참고하여 \(\overline{\text{F'Q}}=6\)이 성립함을 보이시오.

1-4 문제 1-2와 1-3의 결과를 참고하여 점 \(\text{Q}\)가 나타내는 도형이 무엇인지 설명하고 그 길이를 구하시오.

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해설

1-1 문제의 쌍곡선에서 \(a^{2}=9\), \(b^{2}=3\)이므로 \(a=3\), \(b=\pm\sqrt{3}\)이고 따라서 점근선의 방정식은 \(\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)이다.

1-2 문제 1-1에서 구한 점근선의 기울기는 \(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)이고 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}\)이므로 이것은 \(x\)축을 기준으로 각각 양, 음의 방향으로 \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\)만큼 기울어졌음을 뜻한다.

1-3 점 \(\text{P}\)는 1, 4사분면에서만 존재하는 점이고 제시문 (나)에 의해$$6=\overline{\text{F'P}}-\overline{\text{FP}}=\overline{\text{F'P}}-\overline{\text{PQ}}=\overline{\text{F'Q}}\,(\because\,\overline{\text{FP}}=\overline{\text{PQ}})$$

1-4 문제 1-2에 의해 점근선이 \(x\)축과 이루는 각이 양의방향, 음의방향 각각 \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\)이다. 

\(\overline{\text{F'Q}}\)는 \(6\)으로 일정하므로 점 \(\text{Q}\)가 나타내는 도형은 점 \(\text{F'}\)을 중심으로 하고 반지름이 \(6\), 중심각이 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)인 호의 일부(∵ 호의 양 끝점은 점근선 위의 점)이다(또는 '양끝점을 제외한 호'라고 해도 됨)

문제 1-3에 의해 \(\overline{\text{F'Q}}=6\)이므로 따라서 그 길이는 \(2\pi\)이다.