[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번

[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번

 

 

문제:

수리논술화 문제

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<제시문>

(가) 반지름이 \(r\)이고, 중심각이 \(\theta\)인 부채꼴의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.$$S=\frac{1}{2}r^{2}\theta$$

(나) 직각삼각형에서 빗변의 길이가 \(l\)이고, 빗변과 밑변 사이의 각이 \(\theta\)이면 이 직각삼각형의 밑변과 높이는 각각 \(l\cos\theta\), \(l\sin\theta\)이고 따라서 이 직각삼각형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.$$S=\frac{1}{2}(l\cos\theta)(l\sin\theta)=\frac{1}{4}l^{2}\sin2\theta$$

(다) 함수 \(y=f(u)\)가 \(u\)에 대해 미분가능하고, \(u=g(x)\)가 \(x\)에 대해 미분가능하면 합성함수 \(y=f(g(x))\)의 도함수는 다음과 같다.$$y'=g'(x)f'(g(x))$$또는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

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[문제] 다음 그림과 같이 좌표평면에서 원 \(x^{2}+y^{2}=1\) 위의 점 \(\text{P}\)가 점 \((1,\,0)\)에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 \(\displaystyle\frac{1}{40}\)(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다.

 점 \(\text{P}\)에서 \(x\)축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 \(S\)라 하자. 

1-1 직선 \(\text{OP}\)와 \(x\)축이 이루는 양의 각을 \(\theta\)라 하자. 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(S\)를 \(\theta\)에 대해 나타내시오.

1-2 초 단위의 시간을 \(t\)라고 할 때 \(\theta\)와 \(\displaystyle\frac{d\theta}{dt}\)를 구하시오.

1-3 제시문 (다)를 이용하여 \(\displaystyle\frac{dS}{dt}\)를 구하되 \(\theta\)에 대하여 나타내시오.

1-4 점 \(\text{P}\)가 \(\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{1}{2}\right)\)에 있을 때의 \(\displaystyle\frac{dS}{dt}\)를 구하시오. 또한 이때 시간은 어떻게 되는지 설명하시오.

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해설

1-1 \(x\)축 밑부분은 반지름이 \(1\)인 반원이므로 그 넓이는 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)이다. 

\(x\)축 윗부분은 직각삼각형 두 개와 부채꼴 두 개가 합쳐진 것으로 볼 수 있고, 직각삼각형 한 개의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}\sin2\theta\), 부채꼴 한 개의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1^{2}\cdot\theta=\frac{1}{2}\theta\)이므로 윗 부분의 넓이는$$2\left(\frac{\theta}{2}+\frac{1}{4}\sin2\theta\right)=\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta$$이다. 따라서 \(S\)는 다음과 같다.$$S=\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta$$

1-2 문제에서 점 \(\text{P}\)는 초당 \(\displaystyle\frac{1}{40}\)라디안의 일정한 속력으로 원 위를 반시계방향으로 움직인다. 그러므로 \(\displaystyle\theta=\frac{1}{40}t\)이고 \(\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{40}\)이다.

1-3 문제 1-2에서 \(\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{40}\)이므로 제시문 (다)에 의해$$\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{40}+\frac{1}{40}\cos2\theta$$이다.

1-4 \(\displaystyle\text{P}\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{1}{2}\right)\)일 때 \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{6}\)이므로 이 때의 \(\displaystyle\frac{dS}{dt}\)는 다음과 같다.$$\frac{dS}{dt}=\frac{1}{40}+\frac{1}{80}=\frac{3}{80}$$