[수리논술화 문제] 2006학년도 6월 수능모의평가 수리영역 공통 14번

[수리논술화 문제] 2006학년도 6월 수능모의평가 수리영역 공통 14번

 

 

문제:

이 문제를 다음과 같이 수리논술형 문제로 바꾸겠다.

 

문제

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<제시문>
(가) 어떤 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 수열이라고 하며, 수열을 이루고 있는 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 이때 각 항을 앞에서부터 차례로 첫째항, 둘째항, 셋째항, ... 또는 제1항, 제2항, 제3항, ...이라고 한다.
일반적으로 수열은 각 항에 번호를 붙여 $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots$$ 과 같이 나타낸다.
 이때 제$n$항 $a_{n}$을 그 수열의 일반항이라고 하며, 일반항이 $a_{n}$인 수열을 간단히 기호로 ${a_{n}}$으로 나타낸다.

 

(나) 수열 $\{a_{n}\}$의 $1$부터 $n$까지의 합을 $S_{n}$이라 하면 다음이 성립한다. $$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}\,(n\geq2)$$

(다) 실수 $a$의 절댓값은 다음과 같이 정의된다. $$|a|=\begin{cases}a&\,(a\geq0)\\-a&\,(a<0)\end{cases}$$  

(라) 한 변의 길이가 1인 정사각형 모양의 검은 타일과 흰 타일이 있다.

(1) [그림 1]과 같이 검은 타일 3개와 흰 타일 1개를 붙여 한 변의 길이가 2인 정사각형이 되도록 한다.

(2) [그림 2]와 같이 [그림 1]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 4인 정사각형이 되도록 한다. 이때 [그림 1]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다.

(3) [그림 3]과 같이 [그림 2]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 6인 정사각형이 되도록 한다. 이때 [그림 2]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다.

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[문제] 제시문 (라)에 적힌 대로 [그림 $n$]($n=1,\,2,\,\cdots$)의 흰 타일, 검은 타일들을 채운다고 할 때 [그림 $n$]에서의 흰 타일의 개수를 ${w_{n}}$, 검은 타일의 개수를 ${b_{n}}$이라 하자.

1-1 $w_{n}+b_{n}$을 구하시오.

1-2 $n$이 변화함에 따라 흰 타일의 개수와 검은 타일의 개수 차이의 변화는 어떠한가를 설명하고, 제시문 (다)의 절댓값 표기와 $w_{n}$, $b_{n}$을 사용하여 나타내시오.

1-3 문제 1-2의 타일 개수의 차이의 변화의 규칙을 이용하여 $w_{n}-b_{n}$을 구하시오.

1-4 문제 1-1과 1-3의 결과를 이용하여 $w_{n}$과 $b_{n}$을 각각 구하시오.   

 

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해설

1-1 [그림 1]의 타일 수는 총 4개, [그림 2]의 타일 수는 총 16개, [그림 3]의 타일 수는 총 36개, [그림 4]의 타일 수는 총 64개이다. 그러므로 $w_{n}+b_{n}=(2n)^{2}=4n^{2}$

 

1-2 [그림 1]에서 $w_{1}=1, b_{1}=3$, [그림 2]에서 $w_{2}=10, b_{2}=6$, [그림 3]에서 $w_{3}=15, b_{3}=21$, [그림 4]에서 $w_{4}=36, b_{4}=28$이다. 

$$\begin{align*}b_{1}-w_{1}&=2\\w_{2}-b_{2}&=4\\b_{3}-w_{3}&=6\\w_{4}-b_{4}&=8\end{align*}$$ 이고 흰 타일과 검은 타일의 개수 차이는 2의 배수대로 변한다. 그러므로 $$|w_{n}-b_{n}|=2n$$  

 

1-3 문제 1-2의 풀이과정에서 $n$이 홀수일 때는 검은 타일이 흰 타일보다 많고, 짝수일 때는 흰 타일이 검은 타일보다 많다. 또한 $|w_{n}-b_{n}|=2n$이므로 따라서 $w_{n}-b_{n}=2n(-1)^{n}$

 

1-4 문제 1-1에서 $w_{n}+b_{n}=4n^{2}$, 문제 1-3에서 $w_{n}-b_{n}=2n(-1)^{n}$이므로 이 두 식들을 연립해서 풀면 $$w_{n}=2n^{2}+n(-1)^{n}, b_{n}=2n^{2}-n(-1)^{n}$$ 이다.