[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 공통 16번

[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 공통 16번

 

 

문제:

 

수리논술화 문제

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

<제시문>

(가) 어떤 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 수열이라고 하며, 수열을 이루고 있는 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 이때 각 항을 앞에서부터 차례로 첫째항, 둘째항, 셋째항, ... 또는 제1항, 제2항, 제3항, ...이라고 한다.

일반적으로 수열은 각 항에 번호를 붙여

$$a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots,\,a_{n},\,\cdots$$

과 같이 나타낸다.

 이때 제 $n$항 $a_{n}$을 그 수열의 일반항이라고 하며, 일반항이 $a_{n}$인 수열을 간단히 기호로 $a_{n}$으로 나타낸다. 

 

(나) 좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 $A_{n}$은 4개의 점 $$(n^{2},\,n^{2}),\,(4n^{2},\,n^{2}),\,(4n^{2},\,4n^{2}),\,(n^{2},\,4n^{2})$$ 을 꼭지점으로 하는 정사각형이다.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[문제] 함수 $y=k\sqrt{x}$가 제시문 (나)의 그림에 있는 정사각형 $A_{n}$과 만나게 하는 자연수 $k$의 개수를 $a_{n}$이라고 하자. 

1-1 문제의 함수 $y=k\sqrt{x}$가 문제의 정사각형 $A_{n}$과 만나기 위한 조건을 설명하고, 그러기 위한 $k$의 범위를 구하시오.

1-2 문제 1-1의 결과를 이용하여 수열 $a_{n}$을 구하시오(힌트: $n$이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 구하시오).

1-3 문제 1-2의 결과를 이용하여 $a_{n+2}-a_{n}$을 구하시오.

1-4 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{a_{k}}$의 값을 구하시오.

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

해설

1-1 함수 $y=k\sqrt{x}$는 무리함수이므로 정사각형 $A_{n}$과 만나려면 점 $(4n^{2},\,n)$과 점 $(n^{2},\,4n^{2})$사이의 직선과 만나야 한다. 

$x=n^{2}$일 때와 $x=4n^{2}$일 때의 함숫값은 각각 $kn$, $2kn$이므로 $n^{2}\leq 2kn$이고 $kn\leq 4n^{2}$이어야 한다. 

이 두 부등식을 정리하면 $k$의 범위는 $\displaystyle\frac{n}{2}\leq k\leq 4n$이다.

 

1-2 

$n$이 짝수이면 $\displaystyle a_{n}=4n-\frac{n}{2}+1=\frac{7}{2}n+1$,

$n$이 홀수이면 $\displaystyle a_{n}=4n-\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}n+\frac{1}{2}$

따라서 수열 $a_{n}$을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$a_{n}=\begin{cases}\frac{7}{2}n+1\,(n\,은\,짝수)\\ \frac{7}{2}n+\frac{1}{2}\,(n\,은\,홀수)\end{cases}$$ *위와 같이 나타내지 않고 $n$이 짝수이면 $\displaystyle a_{n}=\frac{7}{2}+1$, $n$이 홀수이면 $\displaystyle a_{n}=\frac{7}{2}n+\frac{1}{2}$로 나타냈어도 정답으로 인정.

 

1-3 $n$이 짝수일 때 $$a_{n+2}-a_{n}=\left(\frac{7}{2}(n+2)+1\right)-\left(\frac{7}{2}n+1\right)=7$$ $n$이 홀수일 때 $$a_{n+2}-a_{n}=\left(\frac{7}{2}(n+2)+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{7}{2}n+\frac{1}{2}\right)=7$$ 이므로 $n$이 홀수, 짝수인 경우에 관계없이 항상 $a_{n+2}-a_{n}=7$이다.

 

1-4 $n$이 짝수이면 $a_{n}$은 $\displaystyle\frac{7}{2}n$과 $1$을 더한 것이고, $n$이 홀수이면 $a_{n}$은 $\displaystyle\frac{7}{2}n$과 $\displaystyle\frac{1}{2}$를 더한 것이다. 그러므로 $$\sum_{k=1}^{10}{a_{k}}=\frac{7}{2}\cdot\frac{10\cdot11}{2}+5+\frac{1}{2}\cdot5=200$$ 이다.