[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 공통 16번

[수리논술화 문제] 2007학년도 수능 공통 16번

 

 

문제:

 

수리논술화 문제

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<제시문>

(가) 어떤 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 수열이라고 하며, 수열을 이루고 있는 각 수를 그 수열의 항이라고 한다. 이때 각 항을 앞에서부터 차례로 첫째항, 둘째항, 셋째항, ... 또는 제1항, 제2항, 제3항, ...이라고 한다.

일반적으로 수열은 각 항에 번호를 붙여

$$a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots,\,a_{n},\,\cdots$$

과 같이 나타낸다.

 이때 제 \(n\)항 \(a_{n}\)을 그 수열의 일반항이라고 하며, 일반항이 \(a_{n}\)인 수열을 간단히 기호로 \(a_{n}\)으로 나타낸다. 

 

(나) 좌표평면에서 자연수 \(n\)에 대하여 \(A_{n}\)은 4개의 점$$(n^{2},\,n^{2}),\,(4n^{2},\,n^{2}),\,(4n^{2},\,4n^{2}),\,(n^{2},\,4n^{2})$$을 꼭지점으로 하는 정사각형이다.

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[문제] 함수 \(y=k\sqrt{x}\)가 제시문 (나)의 그림에 있는 정사각형 \(A_{n}\)과 만나게 하는 자연수 \(k\)의 개수를 \(a_{n}\)이라고 하자. 

1-1 문제의 함수 \(y=k\sqrt{x}\)가 문제의 정사각형 \(A_{n}\)과 만나기 위한 조건을 설명하고, 그러기 위한 \(k\)의 범위를 구하시오.

1-2 문제 1-1의 결과를 이용하여 수열 \(a_{n}\)을 구하시오(힌트: \(n\)이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 구하시오).

1-3 문제 1-2의 결과를 이용하여 \(a_{n+2}-a_{n}\)을 구하시오.

1-4 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{a_{k}}\)의 값을 구하시오.

 

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해설

1-1 함수 \(y=k\sqrt{x}\)는 무리함수이므로 정사각형 \(A_{n}\)과 만나려면 점 \((4n^{2},\,n)\)과 점 \((n^{2},\,4n^{2})\)사이의 직선과 만나야 한다. 

\(x=n^{2}\)일 때와 \(x=4n^{2}\)일 때의 함숫값은 각각 \(kn\), \(2kn\)이므로 \(n^{2}\leq 2kn\)이고 \(kn\leq 4n^{2}\)이어야 한다. 

이 두 부등식을 정리하면 \(k\)의 범위는 \(\displaystyle\frac{n}{2}\leq k\leq 4n\)이다.

 

1-2 

\(n\)이 짝수이면 \(\displaystyle a_{n}=4n-\frac{n}{2}+1=\frac{7}{2}n+1\),

\(n\)이 홀수이면 \(\displaystyle a_{n}=4n-\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}n+\frac{1}{2}\)

따라서 수열 \(a_{n}\)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$a_{n}=\begin{cases}\frac{7}{2}n+1\,(n\,은\,짝수)\\ \frac{7}{2}n+\frac{1}{2}\,(n\,은\,홀수)\end{cases}$$*위와 같이 나타내지 않고 \(n\)이 짝수이면 \(\displaystyle a_{n}=\frac{7}{2}+1\), \(n\)이 홀수이면 \(\displaystyle a_{n}=\frac{7}{2}n+\frac{1}{2}\)로 나타냈어도 정답으로 인정.

 

1-3 \(n\)이 짝수일 때$$a_{n+2}-a_{n}=\left(\frac{7}{2}(n+2)+1\right)-\left(\frac{7}{2}n+1\right)=7$$\(n\)이 홀수일 때$$a_{n+2}-a_{n}=\left(\frac{7}{2}(n+2)+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{7}{2}n+\frac{1}{2}\right)=7$$이므로 \(n\)이 홀수, 짝수인 경우에 관계없이 항상 \(a_{n+2}-a_{n}=7\)이다.

 

1-4 \(n\)이 짝수이면 \(a_{n}\)은 \(\displaystyle\frac{7}{2}n\)과 \(1\)을 더한 것이고, \(n\)이 홀수이면 \(a_{n}\)은 \(\displaystyle\frac{7}{2}n\)과 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)를 더한 것이다. 그러므로$$\sum_{k=1}^{10}{a_{k}}=\frac{7}{2}\cdot\frac{10\cdot11}{2}+5+\frac{1}{2}\cdot5=200$$이다.