[수리논술화 문제] 2008학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리 나형 29번

[수리논술화 문제] 2008학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수리 나형 29번

 

 

문제: 

수리논술화 문제

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<제시문>

(가) 한 변의 길이가 \(a\)인 정삼각형의 넓이는 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\)이다.

 

(나) 등비수열 \(a_{n}=ar^{n-1}\,(r\neq1)\)을 1부터 \(n\)까지 합한 수열을 \(S_{n}\)이라고 하면 다음이 성립한다.$$S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$$

(다) 등비수열 \(a_{n}=ar^{n-1}\,(r\neq1)\)에 대하여 \(|r|>1\)일 때는 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하고, \(|r|<1\)일 때는 0으로 수렴한다. 

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[문제] 넓이가 \(1,\,3,\,9,\,27,\,\cdots\)인 등비수열을 이루는 정사각형들을 다음 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다.

정삼각형의 넓이를 왼쪽부터 차례로 \(T_{1},\,T_{2},\,T_{3},\,\cdots\), 정삼각형과 정사각형 사이의 넓이를 왼쪽부터 차례로 \(a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots\)라 하자.

1-1 정삼각형과 정사각형의 한 변의 길이가 같다고 하자. 이때 정삼각형의 넓이는 정사각형 넓이의 몇 배인가를 설명하시오.

1-2 문제 1-1의 결과를 이용하여 수열 \(\{T_{n}\}\)의 일반항을 구하시오.

1-3 문제 1-2의 결과를 이용하여 수열 \(\{a_{n}\}\)의 일반항을 구하시오. 그리고 그 결과를 이용하여 일반합 \(S_{n}\)을 구하시오.

1-4 문제 1-3의 결과를 이용하여 극한값 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{8S_{n}}{3^{n}}}\)의 값을 구하시오.

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해설

1-1 제시문 (가)에 의해 한 변의 길이가 \(a\)인 정삼각형의 넓이는 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\)이고, 정사각형의 넓이는 \(a^{2}\)이므로 따라서 정삼각형의 넓이는 정사각형 넓이의 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\)이다. 

1-2 문제 1-1에서 같은 길이의 정삼각형의 넓이는 정사각형 넓이의 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\)이다. 문제에서 장사각형의 넓이는 \(1,\,3,\,9,\,27,\,\cdots\,(=3^{n})\)이므로$$T_{1}=\frac{\sqrt{3}}{4},\,T_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot3,\,T_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot9,\,...$$이고 따라서 \(\displaystyle T_{n}=\frac{\sqrt{3}}{4}3^{n-1}\)이다.

1-3 문제 1-2에서 \(\displaystyle T_{n}=\frac{\sqrt{3}}{4}3^{n-1}\)이므로 \(a_{n}=3^{n}-T_{n}=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)3^{n-1}\)이다. 

\(a_{n}\)은 공비가 \(3\)인 등비수열이므로 제시문 (나)에 의해 \(\displaystyle S_{n}=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\frac{3^{n}-1}{2}\)이다.

1-4 문제 1-3에서 \(\displaystyle S_{n}=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\frac{3^{n}-1}{2}\)이므로 제시문 (다)에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{8S_{n}}{3^{n}}}=(4-\sqrt{3})\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}}=4-\sqrt{3}$$이다.