적분으로서의 자연로그

적분으로서의 자연로그

 

 

자연로그함수는 밑이 자연대수 $e$인 로그함수이다. 아마 미적분학 시간에 자연로그함수의 도함수가 다음과 같다고 배웠을 것이다. $$\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}$$ 그러면 다음이 성립한다. $$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$ 이것은 $\displaystyle\frac{1}{x}$의 부정적분이 자연로그함수임을 뜻하는데 $n\neq-1$일 때 다음의 식이 성립하고, $$\int{x^{n}dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$ 극한 $n\,\rightarrow\,-1$을 취하면 로피탈의 법칙에 의해 $$\lim_{n\,\rightarrow\,-1}{\frac{x^{n+1}}{n+1}}=\lim_{n\,\rightarrow\,-1}{x^{n+1}\ln |x|}=\ln|x|$$ 이므로 다음이 성립함을 알 수 있다. $$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$ 따라서 $x>0$에 대해 자연로그함수를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\ln x=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$ 로그함수는 항상 $1$에 대한 함숫값은 $0$이다. 즉 $\ln1=0$. 그렇기 때문에 위의 적분의 아래끝이 $1$이다.

 

정리 1. 다음의 두 식이 성립한다.

(1) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$

(2) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}=1$

증명: 

(1) $$\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{x}\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$ 이므로 위 등식에 극한 $x\,\rightarrow\,0$을 취하면 로피탈 정리에 의해 그 값이 $1$이 됨을 알 수 있다.

(2) $$x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=x\int_{1}^{1+\frac{1}{x}}{\frac{1}{t}dt}$$ 이므로 위 등식에 극한 $x\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 로피탈 정리에 의해 그 값이 $1$이 됨을 알 수 있다.

또는 $\displaystyle z=\frac{1}{x}$라 하면 $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 $z\,\rightarrow\,0+$이므로 1에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{z\,\rightarrow\,0+}{\frac{\ln(1+z)}{z}}=1$$ 자연로그함수가 적분으로 정의되었을 때 $e$는 $x$축, 직선 $x=1$, $x=e$, $\displaystyle y=\frac{1}{x}$로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이 되게 하는 수라고 정의할 수 있다. 즉 $$\ln e=\int_{1}^{e}{\frac{1}{t}dt}=1$$ 정리 1의 결과는 다음의 등식이 성립함을 보여준다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=e$$ 정리 2. $x,\,y>0$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $\ln xy=\ln x+\ln y$

(2) $\displaystyle\ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y$

(3) $\ln x^{r}=r\ln x\,(r\in\mathbb{Q})$ 

증명:

(1) $$\ln xy=\int_{1}^{xy}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}+\int_{x}^{xy}{\frac{1}{t}dt},\,\ln x=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$ 이고 $\displaystyle s=\frac{t}{x}$라 하면 $\displaystyle ds=\frac{1}{x}dt$이므로 $$\int_{x}^{xy}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{y}{\frac{1}{xs}xds}=\int_{1}^{y}{\frac{1}{s}ds}=\ln y$$ 이고 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\ln xy=\ln x+\ln y$$ 또는 $a>0$를 상수라 할 때 $\ln ax$를 미분하면 $$\frac{d}{dx}\ln ax=\frac{a}{ax}=\frac{1}{x}$$ 이므로 $\ln ax$는 $\ln x$의 부정적분이고 다음이 성립한다. $$\ln ax=\ln x+C$$ 위 식에 $x=1$을 대입하면 $\ln1=0$이므로 $C=\ln a$이고, 이때 $a$를 $y$로 바꾸면 다음의 결과를 얻는다. $$\ln xy=\ln x+\ln y$$ (2) $$\ln\frac{1}{y}=\int_{1}^{\frac{1}{y}}{\frac{1}{t}dt}$$ 이고 $\displaystyle s=\frac{1}{t}$라 하면 $\displaystyle dt=-\frac{1}{s^{2}}ds$이므로 $$\ln\frac{1}{y}=\int_{1}^{\frac{1}{y}}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{y}{s\left(-\frac{1}{s^{2}}\right)ds}=-\int_{1}^{y}{\frac{1}{s}ds}=-\ln y$$ 이고,

(또는 (1)에서 $\displaystyle x=\frac{1}{y}$라 하면 $$0=\ln1=\ln y\cdot\frac{1}{y}=\ln y+\ln\frac{1}{y}$$ 이므로 $\displaystyle \ln\frac{1}{y}=-\ln y$)

앞의 (1)에서 $y$에 $\displaystyle\frac{1}{y}$을 대입하면 다음의 결과를 얻는다. $$\ln\frac{x}{y}=\ln x+\ln\frac{1}{y}=\ln x-\ln y$$ (3) (1)에 의해 $$\ln x^{2}=\ln x+\ln x=2\ln x$$ 이고, 수학적 귀납법으로부터 모든 자연수 $n$에 대해 $\ln x^{n}=n\ln x$이다. 

$\displaystyle r=\frac{m}{n}$($m,\,n$은 서로소인 정수), $y=x^{r}$이라 하자. 그러면 $y^{n}=x^{m}$이고 $$n\ln x^{r}=n\ln y=\ln y^{n}=\ln x^{m}=m\ln x$$ 이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\ln x^{r}=\frac{m}{n}\ln x=r\ln x$$ 또는 $$\ln x^{r}=\int_{1}^{x^{r}}{\frac{1}{t}dt}$$ 이고 $t=s^{r}$이라 하면 $dt=rs^{r-1}ds$이므로 $$\int_{1}^{x^{r}}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{x}{\frac{1}{s^{r}}\cdot\frac{r}{s}s^{r}ds}=r\int_{1}^{x}{\frac{1}{s}ds}=r\ln x$$ 이고 따라서 $\ln x^{r}=r\ln x$ 

실제로 (3)은 $r$이 실수일 때도 성립한다.