적분으로서의 자연로그

적분으로서의 자연로그

 

 

자연로그함수는 밑이 자연대수 \(e\)인 로그함수이다. 아마 미적분학 시간에 자연로그함수의 도함수가 다음과 같다고 배웠을 것이다.$$\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}$$그러면 다음이 성립한다.$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$이것은 \(\displaystyle\frac{1}{x}\)의 부정적분이 자연로그함수임을 뜻하는데 \(n\neq-1\)일 때 다음의 식이 성립하고,$$\int{x^{n}dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$극한 \(n\,\rightarrow\,-1\)을 취하면 로피탈의 법칙에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,-1}{\frac{x^{n+1}}{n+1}}=\lim_{n\,\rightarrow\,-1}{x^{n+1}\ln |x|}=\ln|x|$$이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$따라서 \(x>0\)에 대해 자연로그함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\ln x=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$로그함수는 항상 \(1\)에 대한 함숫값은 \(0\)이다. 즉 \(\ln1=0\). 그렇기 때문에 위의 적분의 아래끝이 \(1\)이다.

 

정리 1. 다음의 두 식이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}=1\)

증명: 

(1)$$\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{x}\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$이므로 위 등식에 극한 \(x\,\rightarrow\,0\)을 취하면 로피탈 정리에 의해 그 값이 \(1\)이 됨을 알 수 있다.

(2)$$x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=x\int_{1}^{1+\frac{1}{x}}{\frac{1}{t}dt}$$이므로 위 등식에 극한 \(x\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면 로피탈 정리에 의해 그 값이 \(1\)이 됨을 알 수 있다.

또는 \(\displaystyle z=\frac{1}{x}\)라 하면 \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(z\,\rightarrow\,0+\)이므로 1에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{z\,\rightarrow\,0+}{\frac{\ln(1+z)}{z}}=1$$자연로그함수가 적분으로 정의되었을 때 \(e\)는 \(x\)축, 직선 \(x=1\), \(x=e\), \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이 되게 하는 수라고 정의할 수 있다. 즉$$\ln e=\int_{1}^{e}{\frac{1}{t}dt}=1$$정리 1의 결과는 다음의 등식이 성립함을 보여준다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=e$$정리 2. \(x,\,y>0\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(\ln xy=\ln x+\ln y\)

(2) \(\displaystyle\ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y\)

(3) \(\ln x^{r}=r\ln x\,(r\in\mathbb{Q})\) 

증명:

(1)$$\ln xy=\int_{1}^{xy}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}+\int_{x}^{xy}{\frac{1}{t}dt},\,\ln x=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$이고 \(\displaystyle s=\frac{t}{x}\)라 하면 \(\displaystyle ds=\frac{1}{x}dt\)이므로$$\int_{x}^{xy}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{y}{\frac{1}{xs}xds}=\int_{1}^{y}{\frac{1}{s}ds}=\ln y$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\ln xy=\ln x+\ln y$$또는 \(a>0\)를 상수라 할 때 \(\ln ax\)를 미분하면$$\frac{d}{dx}\ln ax=\frac{a}{ax}=\frac{1}{x}$$이므로 \(\ln ax\)는 \(\ln x\)의 부정적분이고 다음이 성립한다.$$\ln ax=\ln x+C$$위 식에 \(x=1\)을 대입하면 \(\ln1=0\)이므로 \(C=\ln a\)이고, 이때 \(a\)를 \(y\)로 바꾸면 다음의 결과를 얻는다.$$\ln xy=\ln x+\ln y$$(2)$$\ln\frac{1}{y}=\int_{1}^{\frac{1}{y}}{\frac{1}{t}dt}$$이고 \(\displaystyle s=\frac{1}{t}\)라 하면 \(\displaystyle dt=-\frac{1}{s^{2}}ds\)이므로$$\ln\frac{1}{y}=\int_{1}^{\frac{1}{y}}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{y}{s\left(-\frac{1}{s^{2}}\right)ds}=-\int_{1}^{y}{\frac{1}{s}ds}=-\ln y$$이고,

(또는 (1)에서 \(\displaystyle x=\frac{1}{y}\)라 하면$$0=\ln1=\ln y\cdot\frac{1}{y}=\ln y+\ln\frac{1}{y}$$이므로 \(\displaystyle \ln\frac{1}{y}=-\ln y\))

앞의 (1)에서 \(y\)에 \(\displaystyle\frac{1}{y}\)을 대입하면 다음의 결과를 얻는다.$$\ln\frac{x}{y}=\ln x+\ln\frac{1}{y}=\ln x-\ln y$$(3) (1)에 의해$$\ln x^{2}=\ln x+\ln x=2\ln x$$이고, 수학적 귀납법으로부터 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(\ln x^{n}=n\ln x\)이다. 

\(\displaystyle r=\frac{m}{n}\)(\(m,\,n\)은 서로소인 정수), \(y=x^{r}\)이라 하자. 그러면 \(y^{n}=x^{m}\)이고$$n\ln x^{r}=n\ln y=\ln y^{n}=\ln x^{m}=m\ln x$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\ln x^{r}=\frac{m}{n}\ln x=r\ln x$$또는$$\ln x^{r}=\int_{1}^{x^{r}}{\frac{1}{t}dt}$$이고 \(t=s^{r}\)이라 하면 \(dt=rs^{r-1}ds\)이므로$$\int_{1}^{x^{r}}{\frac{1}{t}dt}=\int_{1}^{x}{\frac{1}{s^{r}}\cdot\frac{r}{s}s^{r}ds}=r\int_{1}^{x}{\frac{1}{s}ds}=r\ln x$$이고 따라서 \(\ln x^{r}=r\ln x\) 

실제로 (3)은 \(r\)이 실수일 때도 성립한다.