코시 적분공식과 파생되는 결과들

코시 적분공식과 파생되는 결과들

 

 

코시 적분공식은 복소함수의 함숫값 또는 도함수를 복소 선적분으로 나타내는 공식이다.

 

다음은 코시 적분공식의 증명에 필요한 정의와 정리이다. 

 

정의 1. 곡선이 양의 방향이라는 것은 반시계 방향의 곡선을 뜻하고, 단순닫힌경로는 곡선을 나타내는 매개변수함수 \(z(t)\)의 값이 시점과 종점에서만 일치하는 곡선이다. 

 

정리 2(ML 부등식). \(C\)를 길이가 \(L\)인 경로, \(f\)를 \(C\)위에서 구분적 연속인 함수, 모든 \(z\in C\)에 대하여 다음이 성립한다고 하자.$$|f(z)|\leq M$$그러면 다음의 부등식을 얻는다.$$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|\leq ML$$정리 3(경로변형의 원리). \(C_{1},\,C_{2}\)를 양의 방향의 단순 닫힌경로라 하고 \(C_{1}\)이 \(C_{2}\)의 내부에 포함된다고 하자. \(f\)가 \(C_{1},\,C_{2}\)와 이들 사이의 영역에서 해석적이면 다음이 성립한다.$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$코시 적분공식

 

함수 \(f\)가 양의 방향의 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부에서 해석적이라 하자. 그러면 \(C\) 내부의 점 \(z_{0}\)에 대해 다음이 성립하고$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{f(z)dz}$$일반적으로 다음이 성립한다.$$f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}$$증명: 먼저 식 \(\displaystyle f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}\)이 성립함을 보이자. 

원 \(C_{\rho}:|z-z_{0}|=\rho\)가 다음과 같이 \(C\) 내부에 포함된다고 하자.

 함수 \(\displaystyle\frac{f(z)}{z-z_{0}}\)는 \(C\)와 \(C_{\rho}\)와 그 사이의 영역에서 해석적이므로 경로 변형의 원리에 의해 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}=\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$그러면$$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-f(z_{0})\int_{C_{\rho}}{\frac{dz}{z-z_{0}}}=\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz},\,\int_{C_{\rho}}{\frac{1}{z-z_{0}}dz}=2\pi i$$이므로 다음이 성립한다.$$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-2\pi if(z_{0})=\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz}$$\(f\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이므로 연속이고 따라서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|z-z_{0}|<\delta\)이면 \(|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon\)이다. 

\(\rho<\delta\)라 하자. \(z\in C_{\rho}\)일 때 \(|z-z_{0}|=\rho<\delta\)이므로 \(|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon\)이고 ML부등식에 의해$$\left|\int_{C_{\rho}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}dz}\right|<\frac{\epsilon}{\rho}\cdot2\pi\rho=2\pi\epsilon$$이고 다음이 성립하는데$$\left|\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-2\pi f(z_{0})\right|<2\pi]\epsilon$$이때 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 다음이 성립하고$$\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}-2\pi if(z_{0})=0$$따라서 다음의 적분공식을 얻는다.$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$식 \(\displaystyle f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}\)가 성립함을 보이자.

\(d\)를 \(C\) 내부의 점 \(z\)에서 \(C\) 위의 점 \(s\)까지의 최단거리라 하자. \(0<|\Delta z|<d\)일 때(아래 그림 참고)

$$\begin{align*}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\left(\frac{1}{s-z-\Delta z}-\frac{1}{s-z}\right)\frac{f(s)}{\Delta z}ds}\\&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z-\Delta z)(s-z)}ds}\end{align*}$$이고 따라서 다음이 성립한다.$$\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}-\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{\Delta zf(s)}{(s-z-\Delta z)(s-z)^{2}}ds}$$\(C\)에서 \(|f(s)|\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(|s-z|\geq d\), \(|\Delta z|<d\)이므로 다음의 부등식을 얻고$$|s-z-\Delta|=|(s-z)-\Delta z|\geq||s-z|-|\Delta z||\geq d-|\Delta z|>0$$그러므로 다음의 부등식을 얻는데$$\left|\int_{C}{\frac{\Delta z f(s)}{(s-z-\Delta z)(s-z)^{2}}ds}\right|\leq\frac{|\Delta z|M}{(d-|\Delta z|)d^{2}}L$$이때$$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{|\Delta z|M}{(d-|\Delta z|)d^{2}}}L=0$$이므로$$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\left\{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}-\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}\right\}}=0$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}$$식 \(\displaystyle f''(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}\)가 성립함을 보이자. 

\(d\)를 \(C\)위의 점 \(s\)까지의 최단거리, \(D\)를 \(C\)위의 점 \(s\)까지의 최장거리라 하자. \(0<|\Delta z|<d\)일 때(아래 그림 참고)

$$\begin{align*}\frac{f'(z+\Delta z)-f'(z)}{\Delta z}&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\left\{\frac{1}{(s-z-\Delta z)^{2}}-\frac{1}{(s-z)^{2}}\right\}\frac{f(s)}{\Delta z}ds}\\&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{2(s-z)-\Delta z}{(s-z-\Delta z)^{2}(s-z)^{2}}f(s)ds}\end{align*}$$이고 따라서 다음이 성립한다.$$\frac{f'(z+\Delta z)-f'(z)}{\Delta z}-\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{3(s-z)\Delta z-2(\Delta z)^{2}}{(s-z-\Delta z)^{2}(s-z)^{3}}f(s)ds}$$\(C\)에서 \(|f(s)|\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자.$$d\leq|s-z|\leq D,\,0<|\Delta z|<d,\,|s-z-\Delta z|\geq d-|\Delta z|>0$$이므로$$\left|\int_{C}{\frac{3(s-z)\Delta z-2(\Delta z)^{2}}{(s-z-\Delta z)(s-z)^{3}}f(s)ds}\right|\leq\frac{(3D|\Delta z|+2|\Delta z|^{2})M}{(d-|\Delta z|)^{2}d^{3}}L$$이고$$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{(3D|\Delta z|+2|\Delta z|^{2})M}{(d-|\Delta z|)^{2}d^{3}}L}$$이므로$$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\left\{\frac{f'(z+\Delta z)-f'(z)}{\Delta z}-\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}\right\}}$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$f''(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}$$실제로$$\frac{d}{dz}\left\{\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}\right\}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{2}}ds}$$이고 이 과정을 반복하여 다음의 일반적인 코시 적분공식을 얻는다.$$f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}$$코시 적분공식을 이용해 한 점에서 해석적인 함수는 그 점에서 모든 계의 도함수를 가짐을 증명할 수 있고, 또한 코시 부등식을 증명해서 리우빌의 정리를 얻고, 그 결과로 대수학의 기본정리를 증명할 수 있다. 

 

함수 \(f\)가 주어진 점에서 해석적이면 그 점에서 모든 계의 도함수가 존재한다. 

증명: \(f\)가 \(z_{0}\)에서 해석적이라 하자. 그러면 \(z_{0}\)의 근방 \(|z-z_{0}|<\epsilon\)이 존재해서 \(f\)는 여기서 해석적이다. 그 결과로 양의 방향의 원 \(\displaystyle C_{0}:|z-z_{0}|=\frac{\epsilon}{2}\)가 존재해서 \(f\)는 \(C_{0}\)와 그 내부에서 해석적이다.

\(C_{0}\) 내부의 점 \(z\)에 대해$$f''(z)=\frac{1}{\pi i}\int_{C_{0}}{\frac{f(s)}{(s-z)^{3}}ds}$$이고 \(f''(z)\)가 근방 \(\displaystyle|z-z_{0}|<\frac{\epsilon}{2}\)전체에서 존재하기 때문에 \(f'\)은 \(z_{0}\)에서 해석적이다. 

이 방법을 반복해서 \(f'\)에 적용해 \(f''\)이 해석적임을 보일 수 있고, 따라서 \(z_{0}\)에서 모든 계의 도함수가 존재한다. 

 

코시 부등식

 

\(f\)는 양의 방향의 원 \(C_{R}:|z-z_{0}|=R\)과 그 내부에서 해석적, \(C_{R}\)위에서 \(|f(z)|\)의 최댓값을 \(M_{R}\)이라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립한다.$$|f^{(n)}(z_{0})|\leq\frac{n!M_{R}}{R^{n}}\,(n\in\mathbb{N})$$증명: 일반적인 코시 적분공식으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.$$|f^{(n)}(z_{0})|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{C_{R}}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}\right|\leq\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M_{R}}{R^{n+1}}\cdot2\pi R=\frac{n!M_{R}}{R^{n}}$$리우빌 정리

 

\(f\)를 유계인 전해석 함수라 하자. 그러면 \(f\)는 상수함수이다. 

증명: 임의의 \(z_{0}\in\mathbb{C}\)에 대하여 원 \(C_{R}:|z-z_{0}|=R\)을 정의하자. 그러면 \(M>0\)이 존재해서 다음이 성립하고$$|f(z)|\leq M$$코시 부등식에 의해$$|f'(z_{0})|\leq\frac{M_{R}}{R}$$이다. 이때 \(M_{R}\leq M\)이므로$$|f'(z_{0})|\leq\frac{M}{R}$$이고 \(M\)은 \(R\)과 독립적이므로$$\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{M}{R}}=0$$이다. 그러면 \(f'(z_{0})=0\)이고 \(z_{0}\)은 복소평면 위의 임의의 점이므로 따라서 \(f\)는 상수함수이다. 

 

대수학의 기본정리 

 

복소다항식 \(p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n}\,(a_{n}\neq0)\)은 적어도 하나의 근을 갖는다.

증명: \(p(z)\)가 근을 갖지 않는다고 하면 \(p(z)\neq0\)이고 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{p(z)}\)라 하자. \(f(z)\)는 전해석이고$$|p(z)|=\left|z^{n}\left(\frac{a_{0}}{z^{n}}+\frac{a_{1}}{z^{n-1}}+\cdots+a_{n}\right)\right|\geq|z|^{n}\left(|a_{n}|-\left|\frac{a_{0}}{z^{n}}+\frac{a_{1}}{z^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{z}\right|\right)$$이므로$$\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{p(z)}=\infty$$이고$$\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=0$$이다. \(f\)는 연속함수이므로 복소평면 전체에서 유계이고, 리우빌의 정리에 의해 상수함수이다. 그러면 \(p(z)\)도 상수함수이고 이는 모순이다. 

 

대수학의 기본정리에 의해 \(n\)차 다항식 \(p(z)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$p(z)=a_{n}(z-z_{1})\cdots(z-z_{n})\,(a_{n}\neq0)$$왜냐하면 \(p(z)\)가 적어도 하나의 근 \(z_{1}\)을 가지므로 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$p(z)=(z-z_{1})Q(z)$$\(Q(z)\)는 \(n-1\)차 다항식이므로 대수학의 기본정리에 의해 적어도 하나의 근 \(z_{2}\)를 갖고 \(p(z)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$p(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})Q_{2}(z)$$이 과정을 반복해서 앞의 결과를 얻는다.  

 

코시 적분공식으로부터 다음의 가우스 평균값 정리를 얻을 수 있다.

 

가우스 평균값 정리

 

원 \(C:|z-z_{0}|=R\)와 그 내부에서 해석적인 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+re^{i\theta})d\theta}$$증명: 코시 적분공식$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$에서 원 \(C\)를 다음과 같이 매개변수함수로 나타내고$$z(\theta)=z_{0}+re^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$$이를 대입하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+re^{i\theta})rie^{i\theta}d\theta}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+re^{i\theta})d\theta}$$가우스 평균값 정리는 유계 영역에서 최댓값을 갖는 함수는 상수함수가 된다는 이른바 리우빌 정리의 축소판인 '최대 절댓값 원리'를 증명하는데 이용된다. 여기서 최대 절댓값 원리를 증명하지는 않겠다. 

 

로랑 정리는 중심이 \(z_{0}\)인 디스크(원환)영역 \(R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\)위에서 해석적인 함수 \(f\)와 디스크 영역 안에 있는 양의 방향의 임의의 단순닫힌곡선 \(C\)에 대하여 다음과 같이 로랑 급수로 나타낼 수 있다는 정리이다.$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}\,\left(c_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz},\,n\in\mathbb{Z}\right)$$여기서 \(n=-1\)일 때$$c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{f(z)dz}$$이고 이것은 선적분 \(\displaystyle\int_{C}{f(z)dz}\)를 \(2\pi i\)로 나눈 값이다. 

이것을 이용하여 로랑급수에서 \(n=-1\)일 때의 계수 \(c_{-1}\)을 \(z=z_{0}\)에서의 유수라 하고 \(\displaystyle \text{Res}_{z=z_{0}}f(z)\)로 나타낸다. 즉$$\text{Res}_{z=z_{0}}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{f(z)dz}$$유수(또는 로랑 급수)를 이용하여 선적분의 값을 구할 수 있고, 나아가서 부정적분을 구할 수 없는 실함수의 무한대로의 이상적분을 구하는 데도 이용된다. 

 

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill

기초 복소해석, 계승혁, 김영원, 서울대학교출판문화원