르베그-라돈-니코딤 정리의 다양한 증명

르베그-라돈-니코딤 정리의 다양한 증명

 

 

측도론에서 먼저 가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)위에서의 양측도를 배우고, 다음으로 유한측도집합의 가산합집합을 나타내는 \(\sigma-\)유한의 개념을 배우고, 그 다음으로 부호측도를 배운다. 측도 값이 양수가 되게 하는 집합을 양집합, 0이 되게 하는 집합을 영집합, 음수가 되게 하는 집합을 음집합이라고 한다. 한-분해정리로부터 전체집합을 서로소인 양집합과 음집합의 합집합으로 나타낼 수 있고, 한-분해정리를 기반으로 조르단 분해정리를 증명하여 측도를 양의 변동, 음의 변동이라고 불리는 두 측도의 차이로 나타낼 수 있다. 

두 부호측도가 전체집합의 두 분할에 대해 각각 0을 취하면, 그 두 부호측도를 상호특이라 하고, 부호측도와 양측도가 주어졌을 때, 모든 가측집합에 대해 양측도가 0일 때, 부호측도가 0이 되면, 그 부호측도를 양측도에 대해 절대연속이라고 한다. 

르베그-라돈-니코딤 정리는 \(\sigma-\)유한 부호측도와 양측도가 주어졌을 때, 부호측도를 두 측도로 분해할 수 있고, 이때 한 측도는 양측도에 대해 절대연속(적분으로도 나타낼 수 있다)이고, 다른 한 측도는 양측도에 대해 상호특이인 측도로 나타낼 수 있다는 정리이다. 이 정리의 증명은 보통 측도론적으로 증명하지만 폰 노이만에 의해 함수해석학적 방법으로도 증명할 수 있음이 밝혀졌다.

 

다음은 르베그-라돈-니코딤 정리의 증명에 필요한 정리들이다. 

 

정리 1. \(\nu,\,\mu\)를 가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)에서의 유한측도라 하자. 그러면 \(\nu\perp\mu\)이거나 \(\epsilon>0\)과 \(E\in\mathcal{M}\)가 존재해서 \(\mu(E)>0\)이고 \(\nu(E)\geq\epsilon\mu(E)\)이다.

 

정리2. \(\{\nu_{i}\}\)를 양측도열, \(\mu\)를 양측도라 하자.

(1) 모든 \(i\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\nu_{i}\perp\mu\)이면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}}\perp\mu\)이다.

(2) 모든 \(i\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\nu_{i}\ll\mu\)이면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\infty}{\nu_{i}}\ll\mu\)이다. 

 

정리 3. \(\nu\perp\mu\)이고 \(\nu\ll\mu\)이면, \(\nu=0\)이다. 

 

정리 4. \(\mu\)를 \((X,\,\mathcal{M})\)에서의 \(\sigma-\)유한 부호측도, \(f\)를 \(\mu\)에 대해 적분가능한 함수라 하자. 그러면 다음의 측도는 \((X,\,\mathcal{M})\)위에서의 부호측도이다.$$\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$정리 5. \(H\)를 힐베르트공간이라 하자. \(f\in H^{*}\)이면, 유일한 \(y\in H\)가 존재해서 모든 \(x\in H\)에 대해 \(f(x)=\langle x,\,y\rangle\)이다. 

 

르베그-라돈-니코딤 정리

가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)위에서 \(\nu\)를 \(\sigma-\)유한 부호측도, \(\mu\)를 양측도라 하자. 그러면 \((X,\,\mathcal{M})\)위의 \(\sigma-\)유한 부호측도 \(\lambda,\,\rho\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\lambda\perp\mu,\,\rho\ll\mu,\,\nu=\lambda+\rho$$게다가 적분가능한 함수 \(f:X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\,(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\,\infty\})\)가 존재해서 다음이 성립하고$$\rho(E)=\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\overline{\mathbb{R}}$$이때 이러한 함수들은 \(\mu-a.e.\)같다. 

증명:

(i) \(\nu,\,\mu\)를 양의 유한측도라 하자. 먼저 다음을 만족하는 \(X\)위에서의 음이 아닌 가측함수 \(f\)가 존재하는 것과$$\int_{X}{fd\mu}>0,\,\int_{E}{fd\mu}\leq\nu(E)\,\forall E\in\mathcal{M}\,(1)$$\(\mu\)와 상호특이인 \(X\)위의 유한 부호측도 \(\lambda\)가 존재함을 보일 것이다. 

정리 1에 의해 \(\alpha>0\)와 \(P_{\alpha}\in\mathcal{M}\)을 선택해서 다음의 부등식이 성립하게 할 수 있다.$$0<\alpha\mu(P_{\alpha})\leq\nu(P_{\alpha})$$\(f=\alpha\chi_{P_{\alpha}}\)라 하자. 이때$$\int_{X}{fd\mu}=\alpha\mu(P_{\alpha})>0$$이고 \(\nu(P_{\alpha})-\alpha\mu(P_{\alpha})\geq0\)이므로 다음이 성립한다.$$\int_{E}{fd\mu}=\alpha\mu(P_{\alpha}\cap E)\leq\nu(P_{\alpha}\cap E)\leq\nu(E)\,\forall E\in\mathcal{M}$$그러므로 (1)은 성립하고 이것은 (1)이 임의의 음이 아닌 단순함수에 대해 성립함을 뜻한다.$$\mathcal{F}=\left\{f:X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\,\mid\,f는\,가측함수이고\,\int_{E}{fd\mu}\leq\nu(E)\,\forall E\in\mathcal{M}\right\}$$라 하자. \(0\in\mathcal{F}\)이므로 \(\mathcal{F}\)는 공집합이 아니다. \(g,\,h\in\mathcal{F}\)dlaus, \(k=\max\{g,\,h\}\in\mathcal{F}\)이고 \(A=\{x\in E\,|\,g(x)>h(x)\}\)이면, 모든 \(E\in\mathcal{M}\)에 대해 \(E-A=\{x\in E\,|\,g(x)\leq h(x)\}\)이고 다음이 성립한다.$$\int_{E}{kd\mu}=\int_{E\cap A}{gd\mu}+\int_{E-A}{hd\mu}\leq\nu(E\cap A)+\nu(E-A)=\nu(E)$$\(M\)을 다음과 같이 정의하자.$$M=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{X}{fd\mu}}$$\(M\leq\nu(X)<\infty\)이고, 수열 \(\{f_{n}\}\subset\mathcal{F}\)를 선택해 다음이 성립한다고 하자.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}=M$$\(g_{n}\)과 \(f\)를 다음과 같이 정의하자.$$g_{n}=\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\},\,f(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}(x)}\,\forall x\in X$$그러면 \(g_{n}\in\mathcal{F}\)이고, \(g_{n}\)은 \(X\)에서 \(f\)로 증가하며 점별수렴하며 다음이 성립한다.$$\int_{X}{g_{n}d\mu}\geq\int_{X}{f_{n}d\mu}$$그러면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}d\mu}}=M$$이고 따라서 단조수렴정리에 의해 \(f\in\mathcal{F}\)이고 다음이 성립한다.$$\int_{X}{fd\mu}=M$$다음의 측도$$\lambda(E)=\nu(E)-\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$가 \(\mu\)에 대해 상호특이임을 보이자. 가정에 의해 \(\nu(X)<\infty\)이므로$$\int_{X}{fd\mu}\leq\nu(X)<\infty$$이고, 따라서 \(f\in\mathcal{F}\)이므로 정리 4에 의해 \(\lambda\)는 (양)측도이다.

\(\lambda\)가 \(\mu\)에 대해 상호특이가 아니라고 하자. 그러면 정리 1에 의해 \(E\in\mathcal{M}\)과 \(\epsilon>0\)이 존재해서 \(0<\epsilon\mu(E)\leq\lambda(E)\)이고 다음이 성립한다.$$\int_{E}{\epsilon\chi_{E}d\mu}=\epsilon\mu(E)\leq\lambda(E)=\nu(E)-\int_{E}{fd\mu}$$그러면$$\int_{E}{(f+\epsilon\chi_{E})d\mu}\leq\nu(E)$$이고 \(f+\epsilon\chi_{E}\in\mathcal{F}\)이므로 따라서$$\int_{X}{(f+\chi_{E})d\mu}=M+\epsilon\mu(E)>M$$이 되는데 이것은 \(M\)의 정의에 모순이고 따라서 \(\lambda\)는 \(\mu\)에 대해 상호특이이다.$$\rho(E)=\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$라 하자. 그러면 정리 4에 의해 \(\rho\)는 측도이고 따라서 \(\lambda,\,f,\,\rho\)의 존재성이 증명되었다. 

이들의 유일성을 증명하자.$$\nu(E)=\lambda_{1}(E)+\rho_{1}(E)=\lambda_{1}(E)+\int_{E}{f_{1}d\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$이면$$\lambda(E)-\lambda_{1}(E)=\int_{E}{(f_{1}-f)d\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$이고$$\lambda-\lambda_{1}\perp\mu,\,\rho_{1}-\rho\ll\mu$$이므로 정리 2, 3에 의해$$\lambda(E)-\lambda_{1}(E)=\int_{E}{(f_{1}-f)d\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$이고 따라서 \(\lambda=\lambda_{1}\)이고 \(f=f_{1}\,\mu-a.e.\)이다. 이렇게 해서 \(\mu,\,\nu\)가 유한측도인 경우에 대한 증명을 완료했다.

 

(ii) \(\mu,\,\nu\)를 \(\sigma-\)유한 측도라 하자. 그러면$$X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{B_{i}}=\bigcup_{i=1}^{n}{C_{i}}$$여기서 \(B_{i}\)는 \(\mu-\)유한집합, \(C_{i}\)는 \(\nu-\)유한집합이다. \(A_{i}=B_{i}\cap C_{i}\)라 하자. 그러면 \(\{A_{i}\}\subset\mathcal{M}\)이고 모든 \(i\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\mu(A_{i})\), \(\nu(A_{i})\)는 유한, \(\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\)이다.$$\mu_{i}(E)=\mu(E\cap A_{i}),\,\nu_{i}(E)=\nu(E\cap A_{i})$$라 하자. (i)와 같은 이유로 모든 \(i\in\mathbb{N}\)에 대해$$\nu_{i}(E)=\lambda_{i}(E)+\int_{E}{f_{i}d\mu_{i}}\,\forall E\in\mathcal{M}$$여기서 \(\lambda_{i}\perp\mu_{i}\)이다. \(\mu_{i}(A_{i}^{c})=\nu_{i}(A_{i}^{c})=0\)이므로$$\lambda_{i}(A_{i}^{c})=\nu_{i}(A_{i}^{c})-\int_{A_{i}^{c}}{f_{i}d\mu_{i}}=0$$이고 \(A_{i}^{c}\)위에서 \(f_{i}=0\)이라 할 수 있다.$$\lambda=\sum_{i=1}^{\infty}{\lambda_{i}},\,f=\sum_{i=1}^{\infty}{f_{i}}$$라 하자. 그러면$$\nu(E)=\lambda(E)+\rho(E)=\lambda(E)+\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{E}$$이고 정리 2에 의해 \(\lambda\perp\mu\), \(\lambda,\,\rho\)는 \(\sigma-\)유한이므로 \(\sigma-\)유한인 경우에 대한 존재성을 증명했다. 유일성은 (i)의 경우처럼 증명할 수 있고, 따라서 \(\mu,\,\nu\)가 \(\sigma-\)유한인 경우에 대한 증명을 완료했다.

 

(iii) \(\nu\)가 부호측도인 경우, 조르단 분해에 해당하는 \(\nu^{+}\)와 \(\nu^{-}\)에 (ii)의 결과를 적용시키면 된다. 

 

폰 노이만(함수해석학적) 방법을 이용한 증명

*이때 \(f\in L^{2}\)이다. 

증명: 

(i) \(\mu,\,\nu\)를 유한 양측도, \(\lambda=\mu+\nu\), \(L^{2}(\lambda)\)를 힐베르트 공간, 모든 \(f\in L^{2}(\lambda)\)에 대하여 연산자 \(T\)를 다음과 같이 정의하자.$$T(f)=\int_{X}{fd\nu}$$그러면 슈바르츠 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립하고$$|T(f)|\leq\int_{X}{|f|d\nu}\leq\int_{X}{|f|d\lambda}\leq\sqrt{\int_{X}{|f|^{2}d\lambda}}\sqrt{\lambda(X)}$$\(\mu\)와 \(\nu\)가 유한이므로 \(\lambda\)도 유한이고 따라서 \(T\)는 유계, 연속이다. \(T\)는 선형변환이므로 \(L^{2}(\lambda)\)에서 유계선형변환이고 정리 5에 의해 \(g\in L^{2}(\lambda)\)가 존재해서 모든 \(f\in L^{2}(\lambda)\)에 대해 다음의 등식을 얻는다.$$T(f)=\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fgd\lambda}$$\(\lambda(E)>0\)인 \(E\in\mathcal{M}\)에 대하여 \(f=\chi_{E}\)라 하자. 그러면$$\nu(E)=\int_{X}{\chi_{E}d\nu}=\int_{E}{\chi_{E}gd\lambda}=\int_{E}{gd\lambda}$$이고 \(\nu,\,\mu\)는 양측도이므로 \(\nu(E)\leq\lambda(E)\)이다.$$0\leq\frac{1}{\lambda(E)}\int_{E}{gd\lambda}\leq1$$이므로 임의의 \(E\in\mathcal{M}\)에 대해$$\int_{E}{gd\lambda}\geq0,\,\int_{E}{(1-g)d\lambda}\geq0$$이고 \(0\leq g\leq1\,\lambda-a.e.\)이다.$$\lambda=\mu+\nu,\,\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fgd\lambda}$$이므로$$\int_{X}{f(1-g)d\nu}=\int_{X}{fgd\mu}$$이다.$$A=\{x\,|\,0\leq g(x)<1\},\,B=\{x\,|\,g(x)=1\},\,\nu_{a}=\nu(A\cap E),\,\nu_{s}(E)=\nu(B\cap E)$$라 하자. 다음의 등식에서 \(f=\chi_{B}\)라 하면$$\int_{X}{f(1-g)d\nu}=\int_{X}{fgd\mu}$$다음이 성립하고$$0=\int_{B}{(1-g)d\nu}=\int_{B}{gd\mu}=\mu(B)$$따라서 \(\nu_{s}\perp\mu\)이다.$$f=\sum_{i=0}^{n}{g^{i}\chi_{E}}$$라 하면$$\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}=\int_{E}{g\left(\sum_{i=0}^{n}{g^{i}}\right)d\mu}$$이고 \(x\in A\)이면$$(1-g^{n+1})\,\rightarrow\,1,\,g\sum_{i=1}^{n}{g^{i}}\,\rightarrow\,\frac{g}{1-g}$$이고 \(x\in B\)이면 \(g=1\)이므로 이때 \((1-g^{n+1})=0\)이다. 위의 등식과 지배수렴정리에 의해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\nu_{E}=\nu(E\cap A)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g\left(\sum_{i=0}^{\infty}{g^{i}}\right)d\mu}}=\int_{E}{\frac{g}{1-g}d\mu}$$이고 \(\displaystyle f=\frac{g}{1-g}\)라 하면$$\nu_{a}(E)=\int_{E}{fd\mu}$$이고 \(\nu_{a}(X)\leq\nu(X)<\infty\)이므로 \(f\in L^{2}(\mu)\)이다. 

 

(ii) \(\mu,\,\nu\)를 \(\sigma-\)유한 양측도라 하자. 그러면 \(\{E_{i}\}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$E_{i}\in\mathcal{M},\,\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}=X,\,\mu(E_{i})<\infty,\,\nu(E_{i})<\infty$$\(\mu_{i},\,\nu_{i}\)를 다음과 같이 정의하자.$$\mu_{i}(E)=\mu(E\cap E_{i}),\,\nu_{i}(E)=\nu(E\cap E_{i})$$그러면 \(\mu_{i},\,\nu_{i}\)는 유한 양측도이고 (i)의 결과에 의해$$\nu_{i}=\nu_{i,\,a}+\nu_{i,\,s},\,\nu_{i,\,s}\perp\mu_{i},\,\nu_{i,\,a}\ll\mu_{i}$$이며 적당한 \(f_{i}\in L^{2}(\mu)\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\nu_{i,\,a}(E)=\int_{E}{f_{i}d\mu_{i}}$$일반적으로 \(\nu\)가 \(\sigma-\)유한 부호측도이면 조르단 분해정리에 의해 \(\nu=\nu^{+}-\nu^{-}\)이므로 \(\nu^{+}\)와 \(\nu^{-}\)에 II의 결과를 적용한다.

유일성: \(\nu=\nu_{a}+\nu_{s}=\nu_{a}'+\nu_{s}'\)라고 하면 \(\nu_{a}-\nu_{a}'=\nu_{s}'-\nu_{s}\)이다.$$\nu_{a}\ll\mu,\,\nu_{a}'\ll\mu,\,\nu_{s}\perp\mu,\,\nu_{s}'\perp\mu$$이므로$$\nu_{a}-\nu_{a}'\ll\mu,\,\nu_{s}'-\nu_{s}\perp\mu$$이고 따라서 \(\nu_{a}-\nu_{a}'=\nu_{s}'-\nu_{s}=0\)이다. 

 

이 르베그-라돈-니코딤 정리로부터 다음의 따름정리를 얻을 수 있다.

 

따름정리: \(\mu,\,\nu,\,\lambda\)가 가측공간 \((X,\,\mathcal{M})\)위에서 \(\sigma-\)유한 측도라 하자. 

(1) \(\nu\ll\mu\)이고 \(f\)가 \(X\)위에서 적분가능하면 다음이 성립한다.$$\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{f\frac{d\nu}{d\mu}d\mu}$$(2) \(\nu\ll\mu\)이고 \(\lambda\ll\mu\)이면 다음이 성립한다.$$\frac{d(\nu+\lambda)}{d\mu}=\frac{d\nu}{d\mu}+\frac{d\lambda}{d\mu}\,\mu-a.e.$$(3) \(\nu\ll\lambda\ll\mu\)이면, 다음이 성립한다.$$\frac{d\nu}{d\mu}=\frac{d\nu}{d\lambda}\frac{d\lambda}{d\mu}\,\mu-a.e.$$(4) \(\nu\ll\mu\)이고 \(\mu\ll\nu\)이면 다음이 성립한다.$$\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\nu}=1\,\mu-a.e.$$(5) \(i=1,\,2\)에 대하여 \(\mu_{i},\,\nu_{i}\)를 \((X_{i},\,\mathcal{M}_{i})\)위에서 \(\sigma-\)유한 측도라 하고 \(\nu_{i}\ll\mu_{i}\)라 하자. 그러면 \(\nu_{i}\times\nu_{2}\ll\mu_{i}\times\mu_{2}\)이고 다음이 성립한다.$$\frac{d(\nu_{1}\times\nu_{2})}{d(\mu_{1}\times\mu_{2})}=\frac{d\nu_{1}}{d\mu_{1}}\frac{d\nu_{2}}{d\mu_{2}}$$참고자료:

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사