르베그-라돈-니코딤 정리의 다양한 증명

르베그-라돈-니코딤 정리의 다양한 증명

 

 

측도론에서 먼저 가측공간 $(X,\,\mathcal{M})$위에서의 양측도를 배우고, 다음으로 유한측도집합의 가산합집합을 나타내는 $\sigma-$유한의 개념을 배우고, 그 다음으로 부호측도를 배운다. 측도 값이 양수가 되게 하는 집합을 양집합, 0이 되게 하는 집합을 영집합, 음수가 되게 하는 집합을 음집합이라고 한다. 한-분해정리로부터 전체집합을 서로소인 양집합과 음집합의 합집합으로 나타낼 수 있고, 한-분해정리를 기반으로 조르단 분해정리를 증명하여 측도를 양의 변동, 음의 변동이라고 불리는 두 측도의 차이로 나타낼 수 있다. 

두 부호측도가 전체집합의 두 분할에 대해 각각 0을 취하면, 그 두 부호측도를 상호특이라 하고, 부호측도와 양측도가 주어졌을 때, 모든 가측집합에 대해 양측도가 0일 때, 부호측도가 0이 되면, 그 부호측도를 양측도에 대해 절대연속이라고 한다. 

르베그-라돈-니코딤 정리는 $\sigma-$유한 부호측도와 양측도가 주어졌을 때, 부호측도를 두 측도로 분해할 수 있고, 이때 한 측도는 양측도에 대해 절대연속(적분으로도 나타낼 수 있다)이고, 다른 한 측도는 양측도에 대해 상호특이인 측도로 나타낼 수 있다는 정리이다. 이 정리의 증명은 보통 측도론적으로 증명하지만 폰 노이만에 의해 함수해석학적 방법으로도 증명할 수 있음이 밝혀졌다.

 

다음은 르베그-라돈-니코딤 정리의 증명에 필요한 정리들이다. 

 

정리 1. $\nu,\,\mu$를 가측공간 $(X,\,\mathcal{M})$에서의 유한측도라 하자. 그러면 $\nu\perp\mu$이거나 $\epsilon>0$과 $E\in\mathcal{M}$가 존재해서 $\mu(E)>0$이고 $\nu(E)\geq\epsilon\mu(E)$이다.

 

정리2. $\{\nu_{i}\}$를 양측도열, $\mu$를 양측도라 하자.

(1) 모든 $i\in\mathbb{N}$에 대하여 $\nu_{i}\perp\mu$이면, $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\nu_{i}}\perp\mu$이다.

(2) 모든 $i\in\mathbb{N}$에 대하여 $\nu_{i}\ll\mu$이면, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\infty}{\nu_{i}}\ll\mu$이다. 

 

정리 3. $\nu\perp\mu$이고 $\nu\ll\mu$이면, $\nu=0$이다. 

 

정리 4. $\mu$를 $(X,\,\mathcal{M})$에서의 $\sigma-$유한 부호측도, $f$를 $\mu$에 대해 적분가능한 함수라 하자. 그러면 다음의 측도는 $(X,\,\mathcal{M})$위에서의 부호측도이다. $$\nu(E)=\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 정리 5. $H$를 힐베르트공간이라 하자. $f\in H^{*}$이면, 유일한 $y\in H$가 존재해서 모든 $x\in H$에 대해 $f(x)=\langle x,\,y\rangle$이다. 

 

르베그-라돈-니코딤 정리

가측공간 $(X,\,\mathcal{M})$위에서 $\nu$를 $\sigma-$유한 부호측도, $\mu$를 양측도라 하자. 그러면 $(X,\,\mathcal{M})$위의 $\sigma-$유한 부호측도 $\lambda,\,\rho$가 존재해서 다음이 성립한다. $$\lambda\perp\mu,\,\rho\ll\mu,\,\nu=\lambda+\rho$$ 게다가 적분가능한 함수 $f:X\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\,(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\,\infty\})$가 존재해서 다음이 성립하고 $$\rho(E)=\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\overline{\mathbb{R}}$$ 이때 이러한 함수들은 $\mu-a.e.$같다. 

증명:

(i) $\nu,\,\mu$를 양의 유한측도라 하자. 먼저 다음을 만족하는 $X$위에서의 음이 아닌 가측함수 $f$가 존재하는 것과 $$\int_{X}{fd\mu}>0,\,\int_{E}{fd\mu}\leq\nu(E)\,\forall E\in\mathcal{M}\,(1)$$ $\mu$와 상호특이인 $X$위의 유한 부호측도 $\lambda$가 존재함을 보일 것이다. 

정리 1에 의해 $\alpha>0$와 $P_{\alpha}\in\mathcal{M}$을 선택해서 다음의 부등식이 성립하게 할 수 있다. $$0<\alpha\mu(P_{\alpha})\leq\nu(P_{\alpha})$$ $f=\alpha\chi_{P_{\alpha}}$라 하자. 이때 $$\int_{X}{fd\mu}=\alpha\mu(P_{\alpha})>0$$ 이고 $\nu(P_{\alpha})-\alpha\mu(P_{\alpha})\geq0$이므로 다음이 성립한다. $$\int_{E}{fd\mu}=\alpha\mu(P_{\alpha}\cap E)\leq\nu(P_{\alpha}\cap E)\leq\nu(E)\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 그러므로 (1)은 성립하고 이것은 (1)이 임의의 음이 아닌 단순함수에 대해 성립함을 뜻한다. $$\mathcal{F}=\left\{f:X\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\,\mid\,f는\,가측함수이고\,\int_{E}{fd\mu}\leq\nu(E)\,\forall E\in\mathcal{M}\right\}$$ 라 하자. $0\in\mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}$는 공집합이 아니다. $g,\,h\in\mathcal{F}$dlaus, $k=\max\{g,\,h\}\in\mathcal{F}$이고 $A=\{x\in E\,|\,g(x)>h(x)\}$이면, 모든 $E\in\mathcal{M}$에 대해 $E-A=\{x\in E\,|\,g(x)\leq h(x)\}$이고 다음이 성립한다. $$\int_{E}{kd\mu}=\int_{E\cap A}{gd\mu}+\int_{E-A}{hd\mu}\leq\nu(E\cap A)+\nu(E-A)=\nu(E)$$ $M$을 다음과 같이 정의하자. $$M=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{X}{fd\mu}}$$ $M\leq\nu(X)<\infty$이고, 수열 $\{f_{n}\}\subset\mathcal{F}$를 선택해 다음이 성립한다고 하자. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{f_{n}d\mu}}=M$$ $g_{n}$과 $f$를 다음과 같이 정의하자. $$g_{n}=\max\{f_{1},\,...,\,f_{n}\},\,f(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}{f_{n}(x)}\,\forall x\in X$$ 그러면 $g_{n}\in\mathcal{F}$이고, $g_{n}$은 $X$에서 $f$로 증가하며 점별수렴하며 다음이 성립한다. $$\int_{X}{g_{n}d\mu}\geq\int_{X}{f_{n}d\mu}$$ 그러면 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{X}{g_{n}d\mu}}=M$$ 이고 따라서 단조수렴정리에 의해 $f\in\mathcal{F}$이고 다음이 성립한다. $$\int_{X}{fd\mu}=M$$ 다음의 측도 $$\lambda(E)=\nu(E)-\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 가 $\mu$에 대해 상호특이임을 보이자. 가정에 의해 $\nu(X)<\infty$이므로 $$\int_{X}{fd\mu}\leq\nu(X)<\infty$$ 이고, 따라서 $f\in\mathcal{F}$이므로 정리 4에 의해 $\lambda$는 (양)측도이다.

$\lambda$가 $\mu$에 대해 상호특이가 아니라고 하자. 그러면 정리 1에 의해 $E\in\mathcal{M}$과 $\epsilon>0$이 존재해서 $0<\epsilon\mu(E)\leq\lambda(E)$이고 다음이 성립한다. $$\int_{E}{\epsilon\chi_{E}d\mu}=\epsilon\mu(E)\leq\lambda(E)=\nu(E)-\int_{E}{fd\mu}$$ 그러면 $$\int_{E}{(f+\epsilon\chi_{E})d\mu}\leq\nu(E)$$ 이고 $f+\epsilon\chi_{E}\in\mathcal{F}$이므로 따라서 $$\int_{X}{(f+\chi_{E})d\mu}=M+\epsilon\mu(E)>M$$ 이 되는데 이것은 $M$의 정의에 모순이고 따라서 $\lambda$는 $\mu$에 대해 상호특이이다. $$\rho(E)=\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 라 하자. 그러면 정리 4에 의해 $\rho$는 측도이고 따라서 $\lambda,\,f,\,\rho$의 존재성이 증명되었다. 

이들의 유일성을 증명하자. $$\nu(E)=\lambda_{1}(E)+\rho_{1}(E)=\lambda_{1}(E)+\int_{E}{f_{1}d\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 이면 $$\lambda(E)-\lambda_{1}(E)=\int_{E}{(f_{1}-f)d\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 이고 $$\lambda-\lambda_{1}\perp\mu,\,\rho_{1}-\rho\ll\mu$$ 이므로 정리 2, 3에 의해 $$\lambda(E)-\lambda_{1}(E)=\int_{E}{(f_{1}-f)d\mu}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 이고 따라서 $\lambda=\lambda_{1}$이고 $f=f_{1}\,\mu-a.e.$이다. 이렇게 해서 $\mu,\,\nu$가 유한측도인 경우에 대한 증명을 완료했다.

 

(ii) $\mu,\,\nu$를 $\sigma-$유한 측도라 하자. 그러면 $$X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{B_{i}}=\bigcup_{i=1}^{n}{C_{i}}$$ 여기서 $B_{i}$는 $\mu-$유한집합, $C_{i}$는 $\nu-$유한집합이다. $A_{i}=B_{i}\cap C_{i}$라 하자. 그러면 $\{A_{i}\}\subset\mathcal{M}$이고 모든 $i\in\mathbb{N}$에 대해 $\mu(A_{i})$, $\nu(A_{i})$는 유한, $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}$이다. $$\mu_{i}(E)=\mu(E\cap A_{i}),\,\nu_{i}(E)=\nu(E\cap A_{i})$$ 라 하자. (i)와 같은 이유로 모든 $i\in\mathbb{N}$에 대해 $$\nu_{i}(E)=\lambda_{i}(E)+\int_{E}{f_{i}d\mu_{i}}\,\forall E\in\mathcal{M}$$ 여기서 $\lambda_{i}\perp\mu_{i}$이다. $\mu_{i}(A_{i}^{c})=\nu_{i}(A_{i}^{c})=0$이므로 $$\lambda_{i}(A_{i}^{c})=\nu_{i}(A_{i}^{c})-\int_{A_{i}^{c}}{f_{i}d\mu_{i}}=0$$ 이고 $A_{i}^{c}$위에서 $f_{i}=0$이라 할 수 있다. $$\lambda=\sum_{i=1}^{\infty}{\lambda_{i}},\,f=\sum_{i=1}^{\infty}{f_{i}}$$ 라 하자. 그러면 $$\nu(E)=\lambda(E)+\rho(E)=\lambda(E)+\int_{E}{fd\mu}\,\forall E\in\mathcal{E}$$ 이고 정리 2에 의해 $\lambda\perp\mu$, $\lambda,\,\rho$는 $\sigma-$유한이므로 $\sigma-$유한인 경우에 대한 존재성을 증명했다. 유일성은 (i)의 경우처럼 증명할 수 있고, 따라서 $\mu,\,\nu$가 $\sigma-$유한인 경우에 대한 증명을 완료했다.

 

(iii) $\nu$가 부호측도인 경우, 조르단 분해에 해당하는 $\nu^{+}$와 $\nu^{-}$에 (ii)의 결과를 적용시키면 된다. 

 

폰 노이만(함수해석학적) 방법을 이용한 증명

*이때 $f\in L^{2}$이다. 

증명: 

(i) $\mu,\,\nu$를 유한 양측도, $\lambda=\mu+\nu$, $L^{2}(\lambda)$를 힐베르트 공간, 모든 $f\in L^{2}(\lambda)$에 대하여 연산자 $T$를 다음과 같이 정의하자. $$T(f)=\int_{X}{fd\nu}$$ 그러면 슈바르츠 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립하고 $$|T(f)|\leq\int_{X}{|f|d\nu}\leq\int_{X}{|f|d\lambda}\leq\sqrt{\int_{X}{|f|^{2}d\lambda}}\sqrt{\lambda(X)}$$ $\mu$와 $\nu$가 유한이므로 $\lambda$도 유한이고 따라서 $T$는 유계, 연속이다. $T$는 선형변환이므로 $L^{2}(\lambda)$에서 유계선형변환이고 정리 5에 의해 $g\in L^{2}(\lambda)$가 존재해서 모든 $f\in L^{2}(\lambda)$에 대해 다음의 등식을 얻는다. $$T(f)=\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fgd\lambda}$$ $\lambda(E)>0$인 $E\in\mathcal{M}$에 대하여 $f=\chi_{E}$라 하자. 그러면 $$\nu(E)=\int_{X}{\chi_{E}d\nu}=\int_{E}{\chi_{E}gd\lambda}=\int_{E}{gd\lambda}$$ 이고 $\nu,\,\mu$는 양측도이므로 $\nu(E)\leq\lambda(E)$이다. $$0\leq\frac{1}{\lambda(E)}\int_{E}{gd\lambda}\leq1$$ 이므로 임의의 $E\in\mathcal{M}$에 대해 $$\int_{E}{gd\lambda}\geq0,\,\int_{E}{(1-g)d\lambda}\geq0$$ 이고 $0\leq g\leq1\,\lambda-a.e.$이다. $$\lambda=\mu+\nu,\,\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{fgd\lambda}$$ 이므로 $$\int_{X}{f(1-g)d\nu}=\int_{X}{fgd\mu}$$ 이다. $$A=\{x\,|\,0\leq g(x)<1\},\,B=\{x\,|\,g(x)=1\},\,\nu_{a}=\nu(A\cap E),\,\nu_{s}(E)=\nu(B\cap E)$$ 라 하자. 다음의 등식에서 $f=\chi_{B}$라 하면 $$\int_{X}{f(1-g)d\nu}=\int_{X}{fgd\mu}$$ 다음이 성립하고 $$0=\int_{B}{(1-g)d\nu}=\int_{B}{gd\mu}=\mu(B)$$ 따라서 $\nu_{s}\perp\mu$이다. $$f=\sum_{i=0}^{n}{g^{i}\chi_{E}}$$ 라 하면 $$\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}=\int_{E}{g\left(\sum_{i=0}^{n}{g^{i}}\right)d\mu}$$ 이고 $x\in A$이면 $$(1-g^{n+1})\,\rightarrow\,1,\,g\sum_{i=1}^{n}{g^{i}}\,\rightarrow\,\frac{g}{1-g}$$ 이고 $x\in B$이면 $g=1$이므로 이때 $(1-g^{n+1})=0$이다. 위의 등식과 지배수렴정리에 의해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\nu_{E}=\nu(E\cap A)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{E}{g\left(\sum_{i=0}^{\infty}{g^{i}}\right)d\mu}}=\int_{E}{\frac{g}{1-g}d\mu}$$ 이고 $\displaystyle f=\frac{g}{1-g}$라 하면 $$\nu_{a}(E)=\int_{E}{fd\mu}$$ 이고 $\nu_{a}(X)\leq\nu(X)<\infty$이므로 $f\in L^{2}(\mu)$이다. 

 

(ii) $\mu,\,\nu$를 $\sigma-$유한 양측도라 하자. 그러면 $\{E_{i}\}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$E_{i}\in\mathcal{M},\,\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}=X,\,\mu(E_{i})<\infty,\,\nu(E_{i})<\infty$$ $\mu_{i},\,\nu_{i}$를 다음과 같이 정의하자. $$\mu_{i}(E)=\mu(E\cap E_{i}),\,\nu_{i}(E)=\nu(E\cap E_{i})$$ 그러면 $\mu_{i},\,\nu_{i}$는 유한 양측도이고 (i)의 결과에 의해 $$\nu_{i}=\nu_{i,\,a}+\nu_{i,\,s},\,\nu_{i,\,s}\perp\mu_{i},\,\nu_{i,\,a}\ll\mu_{i}$$ 이며 적당한 $f_{i}\in L^{2}(\mu)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\nu_{i,\,a}(E)=\int_{E}{f_{i}d\mu_{i}}$$ 일반적으로 $\nu$가 $\sigma-$유한 부호측도이면 조르단 분해정리에 의해 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$이므로 $\nu^{+}$와 $\nu^{-}$에 II의 결과를 적용한다.

유일성: $\nu=\nu_{a}+\nu_{s}=\nu_{a}'+\nu_{s}'$라고 하면 $\nu_{a}-\nu_{a}'=\nu_{s}'-\nu_{s}$이다. $$\nu_{a}\ll\mu,\,\nu_{a}'\ll\mu,\,\nu_{s}\perp\mu,\,\nu_{s}'\perp\mu$$ 이므로 $$\nu_{a}-\nu_{a}'\ll\mu,\,\nu_{s}'-\nu_{s}\perp\mu$$ 이고 따라서 $\nu_{a}-\nu_{a}'=\nu_{s}'-\nu_{s}=0$이다. 

 

이 르베그-라돈-니코딤 정리로부터 다음의 따름정리를 얻을 수 있다.

 

따름정리: $\mu,\,\nu,\,\lambda$가 가측공간 $(X,\,\mathcal{M})$위에서 $\sigma-$유한 측도라 하자. 

(1) $\nu\ll\mu$이고 $f$가 $X$위에서 적분가능하면 다음이 성립한다. $$\int_{X}{fd\nu}=\int_{X}{f\frac{d\nu}{d\mu}d\mu}$$ (2) $\nu\ll\mu$이고 $\lambda\ll\mu$이면 다음이 성립한다. $$\frac{d(\nu+\lambda)}{d\mu}=\frac{d\nu}{d\mu}+\frac{d\lambda}{d\mu}\,\mu-a.e.$$ (3) $\nu\ll\lambda\ll\mu$이면, 다음이 성립한다. $$\frac{d\nu}{d\mu}=\frac{d\nu}{d\lambda}\frac{d\lambda}{d\mu}\,\mu-a.e.$$ (4) $\nu\ll\mu$이고 $\mu\ll\nu$이면 다음이 성립한다. $$\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\nu}=1\,\mu-a.e.$$ (5) $i=1,\,2$에 대하여 $\mu_{i},\,\nu_{i}$를 $(X_{i},\,\mathcal{M}_{i})$위에서 $\sigma-$유한 측도라 하고 $\nu_{i}\ll\mu_{i}$라 하자. 그러면 $\nu_{i}\times\nu_{2}\ll\mu_{i}\times\mu_{2}$이고 다음이 성립한다. $$\frac{d(\nu_{1}\times\nu_{2})}{d(\mu_{1}\times\mu_{2})}=\frac{d\nu_{1}}{d\mu_{1}}\frac{d\nu_{2}}{d\mu_{2}}$$ 참고자료:

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사