작도가능한 수

작도가능한 수

 

 

작도는 '유클리드 도구'라고 불리는 눈금 없는 자와 컴파스만을 이용해 도형을 그리는 행동이다. 눈금 없는 자는 두 점을 연결하는 선분을 그리거나 선분을 연장하는 데 사용하고, 컴파스는 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를 옮기는 데 사용된다. 

 

작도는 보통 중학교 1학년 2학기 수학시간에 배우게 된다.

 

작도의 기원은 고대 그리스에서 시작되었고, 유클리드 도구(눈금 없는 자와 컴파스)를 이용하여 여러 도형을 그렸다. 고대 그리스인들은 계산을 천시한데다가 수의 개념이 자리잡기 전이여서 그 당시에 어떤 수가 작도가능한지는 알 수 없었다. 소피스트들은 다음과 같은 3대 작도 문제에 대한 연구를 시도했다.

 

1. 임의의 각을 3등분 작도(각의 3등분 문제).

2. 주어진 정육면체의 부피의 2배인 정육면체의 작도(배적문제, 델로스 문제).

3. 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 작도(원적문제).

 

이 3대 작도 문제는 해결되는 데 2000년 넘게 걸렸고, 19세기에 방첼(Wantzel)과 린데만(Lindemann)에 의해 모두 작도불가능함이 밝혀졌다.  

 

1637년에 데카르트는 직교좌표계를 도입했다. 직교좌표계는 평면에 동서방향으로 \(x\)축이라 부르는 직선을 긋고, 남북방향으로 \(y\)축이라 불리는 서로 수직인 두 직선을 긋는다. 이때 두 수직선이 교차하는 점을 원점 \(\text{O}\)라고 한다. 이렇게 해서 평면 위의 임의의 점 \(\text{P}\)는 각 축에 내린 수선의 발의 좌표에 해당하는 두 수 \(a,\,b\)의 순서쌍 \((a,\,b)\)와 일대일로 대응한다.

점 P를 xy평면 위에 그린 그림

이렇게 해서 기하학의 많은 문제들이 대수학의 문제로 바뀌었다. 다시 말하자면 보조선을 긋지 않고 대수방정식을 풀어 기하학의 문제를 해결할 수 있게 된 것이다. 

 

본격적으로 작도가능한 수에 대해 알아보도록 하자. 앞에서 말했듯이 고대 그리스 인들은 계산을 천시했고, 수의 개념이 확립되기 전이여서 그리스 시대에는 어떤 수가 작도가능한 지 알 수 없었다.

그렇기 때문에 먼저 단위 길이 \(1\)이 작도가능하다는 전제조건 에서 시작해 작도가능한 수를 찾아야 한다. 

 

실수 \(\alpha\)가 작도가능한 수라는 것은 주어진 단위길이(\(1\))로부터 유클리드 도구(눈금 없는 자와 컴파스)를 유한번 사용하여 길이가 \(|\alpha|\)인 선분을 작도할 수 있는 것이다. 

 

다음의 그림은 반지름이 \(1\)인 원들을 중심이 자연수가 되도록 오른쪽으로 그려나간 것이다.

 그리는 과정은 먼저 원점을 중심으로 하고 반지름이 \(1\)인 원을 그린다. 이 원과 \(x\)축의 교점은 점 \((1,\,0)\)이고, 이 점을 중심으로 하고 반지름이 \(1\)인 원 \(C_{1}\)을 그린다. 그러면 \(C_{1}\)과 \(x\)축의 교점은 점 \((2,\,0)\)이다. 그러면 \(2\)는 작도가능한 수이다.

점 \((2,\,0)\)을 중심으로 하고 반지름이 \(1\)인 원 \(C_{2}\)를 그린다. 그러면 \(C_{2}\)와 \(x\)축의 교점은 점 \((3,\,0)\)이다. 그러면 \(3\)은 작도가능한 수이다.

이 과정을 계속 하다보면, 수학적 귀납법에 의해 임의의 자연수 \(n\)이 작도가능한 수가 되고 따라서 모든 자연수(양의 정수)는 작도가능하다. 

다음의 그림과 같이 위와 같은 과정을 이용하여 원점의 왼쪽 방향으로 원을 그림으로써 \(-1,\,-2,\,-3\) 등의 음의 정수가 작도가능함을 확인할 수 있고,

수학적 귀납법에 의해 임의의 음의 정수 \(-n\)(\(n\)은 임의의 자연수)이 작도가능한 수가 되고 따라서 모든 음의 정수는 작도가능하다. 

0은 점을 찍으면 되므로 작도가능한 수이고, 이상으로 모든 정수는 작도가능하다. 

 

임의의 정수 \(\alpha,\,\beta(\neq0)\)에 대하여 다음의 그림에 의해 \(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\)가 작도가능함을 알 수 있다.

먼저 원점 \(\text{O}\)에서 시작하는 두 반직선을 그린다. 다음으로 두 반직선 위에서 \(\overline{\text{OC}}=|\beta|\), \(\overline{\text{OD}}=|\alpha|\)가 되도록 점 \(\text{C}\), \(\text{D}\)를 잡는다. 반직선 \(\overrightarrow{\text{OC}}\) 위에서 \(\overline{\text{OA}}=1\)이 되도록 점 \(\text{A}\)를 잡고, 점 \(\text{C}\)와 \(\text{D}\)를 잇는 직선을 그린다. 다음으로 점 \(\text{A}\)를 지나고 직선 \(\text{CD}\)와 평행한 직선을 긋는다. 이 직선과 반직선 \(\overrightarrow{\text{OD}}\)와의 교점을 \(\text{B}\)라고 한다.

그러면 삼각형 \(\text{OAB}\)와 \(\text{OCD}\)는 SAS(Side-Angle-Side)닮음이므로 삼각형의 닮음에 의해 \(1:\overline{\text{OB}}=|\beta|:|\alpha|\)이므로 \(|\beta|\cdot\overline{\text{OB}}=|\alpha|\)이고 따라서$$\overline{\text{OB}}=\frac{|\alpha|}{|\beta|}$$이다. \(\alpha\)와 \(\beta(\neq0)\)는 임의의 정수이므로 \(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\,(\beta\neq0)\)는 유리수이고, 따라서 모든 정수가 아닌 유리수는 작도가능하다. 

 

이렇게 해서 모든 유리수 \(\mathbb{Q}\)는 작도가능함을 알 수 있다. 

 

실수는 유리수와 무리수의 합집합이고, 유리수와 무리수의 교집합은 공집합이다. 더 나아가서 복소수는 실수와 허수의 합집합이고, 실수와 허수의 교집합은 공집합이다. 유리수가 작도가능함을 밝혔으므로 이제 무리수가 작도가능한가를 밝혀야 한다.

 

무리수의 작도가능성을 알기 위해서는 다음의 대수학적 개념들이 필요하다.

 

정의 1. 유리계수 다항방정식의 근이 되는 복소수는 대수적 수, 그렇지 않은 복소수는 초월수라고 한다. 

정의 2. 대수적 복소수 \(\alpha\in\mathbb{C}-\mathbb{Q}\)에 대하여 다항식 \(\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})\)는 \(\alpha\)를 근으로 갖고, 유리수 범위에서 인수분해되지 않으며, 최고차항의 계수가 1인 유리계수 다항식이다. 또한 이 다항식의 차수는 \(\alpha\)를 거듭제곱해서 유리수가 되게 하는 수이다. 

예: 무리수 \(\sqrt{2},\,\sqrt{2}+\sqrt{3},\,\sqrt[3]{2}\)는 각각 다항방정식$$x^{2}-2=0, x^{4}-10x^{2}+1=0,\,x^{3}-2=0$$의 근이므로 대수적 수 이고, 또한 복소수 \(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)는 2차방정식 \(x^{2}+x+1=0\)의 근이므로 대수적 수 이다. 반면 \(e\)(자연로그의 밑)와 \(\pi\)(원주율)는 어떠한 유리계수 다항방정식에 대입해도 근이 될 수 없으므로 초월수이다. 또한 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})&=x^{2}-2\\ \text{irr}(\sqrt{2}+\sqrt{3},\,\mathbb{Q})&=x^{4}-10x^{2}+1\\ \text{irr}(\sqrt[3]{2},\,\mathbb{Q})&=x^{3}-2\\ \text{irr}(\omega,\,\mathbb{Q})&=x^{2}+x+1\,\left(\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\end{align*}$$다음은 기하평균을 나타내는 반원 그림이다. 여기서 \(\alpha\)는 양의 유리수이고, \(x,\,y\)는 각을 나타낸다.

  위의 그림에서 \(\overline{\text{OA}}=1\), \(\overline{\text{OB}}=\alpha\)가 되도록 한 직선 위에 점 \(\text{A, O, B}\)를 잡는다. 다음으로 점 \(\text{A, B}\)를 양 끝점으로 하고, 지름이 \(\overline{\text{AB}}=1+\alpha\)인 반원을 그린다. 마지막으로 점 \(\text{O}\)에서 직선 \(\text{AB}\)와 수직선을 긋고, 이 수직선이 반원과 만나는 점을 점 \(\text{P}\)라고 한다. 

그러면 삼각형 \(\text{OAP}\)와 \(\text{OPB}\)는 AA(Angle-Angle)닮음이므로 삼각형의 닮음에 의해 \(1:\overline{\text{OP}}=\overline{\text{OP}}:\alpha\)이고 \(\overline{\text{OP}}^{2}=\alpha\)이므로 따라서$$\overline{\text{OP}}=\sqrt{\alpha}$$이다.  

 

이 그림이 시사하는 것은 양의 유리수 \(\alpha\)에 여러번 제곱근을 취한 수는 작도가능함을 뜻하고, 대수적인 무리수 중에서 \(2^{n}\)번의 거듭제곱을 해서 유리수가 되는 대수적 무리수가 작도가능함을 뜻한다. 

이 말은 대수적 무리수 \(\alpha\)가 작도가능할 필요충분조건이 \(\alpha^{n}\in\mathbb{Q}\)가 되게 하는 \(n\)이 \(n=2^{r}\)(2의 거듭제곱 꼴)인 것임을 뜻하고, 또한 \(\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})\)가 \(2^{r}\)차 다항식이 되는 것과 동치라고도 할 수 있다. 

참고로 유리계수 1차방정식의 해는 항상 유리수이고 \(2^{0}=1\)이다. 

 

이렇게 해서 유리수 전체와 \(2^{n}\)번의 거듭제곱으로 유리수가 되는 대수적 무리수 전체가 작도가능한 수라는 사실을 알아냈다. 이들 수 전체의 집합을 \(F\)라고 하자. 

 

*본 글은 작도가능한 수의 구축에 초점을 맞추어서, \(F\)의 원소들끼리 더하고, 빼고, 곱하고 나누어도 \(F\)의 원소가 된다는 사실은 나중에 언급했다.

 

\(F\)는 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(\(0\)으로 나누는 경우는 제외)에 대해 닫혀있다. 즉, 작도가능한 수 끼리 더하고, 빼고, 곱하고, 나눈 수는 작도가능한 수가 된다. 다음의 그림이 이를 증명한다.

덧셈과 뺄셈에 대한 설명은 그림 자체로 충분하다. 곱셈에 대한 설명은 삼각형의 닮음에 의해$$\overline{OP}:\overline{OA}=\overline{OB}:\overline{OQ}$$이고 \(\overline{OP}=1\), \(\overline{OA}=|\alpha|\), \(\overline{OB}=|\beta|\)이므로 \(\overline{OQ}=|\alpha\beta|\)이다.

나눗셈에 대한 설명은 삼각형의 닮음에 의해 \(\displaystyle\overline{OQ}=\frac{|\alpha|}{|\beta|}\)이다. 

 

허수는 실수평면에 나타낼 수 없는 수이다. 그러나 복소평면에서는 \(i=(0,\,1)\)으로 나타낼 수 있는 수이다. 그러므로 복소수 \(z=\alpha+\beta i\)가 작도가능할 필요충분조건은 \(\alpha,\,\beta\in F\)라고 할 수 있다.

 

*참고: 작도가능한 수 전체의 집합은 가산집합이다. 그 이유는 유리계수 다항방정식의 근이 되기 때문이다.

 

3대 작도문제에 대해 살펴보도록 하자. 자와 컴파스만 사용하는 것으로는 3대 작도문제를 해결하기가 어렵다. 그러나 작도가능한 수에 대한 개념을 이용하면 해결이 가능하다. 

 

먼저 각의 3등분 문제를 살펴보자. 먼저 다음의 그림에 의해 각 \(\theta\)가 작도가능할 필요충분조건은 \(|\cos\theta|\)가 작도가능한 수라는 것을 알 수 있다.

프랑스의 수학자 방첼은 1837년에 먼저 \(2^{r}\)번의 거듭제곱을 해서 유리수가 되는 대수적 수가 작도가능함을 밝힌 다음, 코사인에 대한 3배각 공식$$\cos3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$$을 이용하여 \(60^{\circ}\)가 3등분이 불가능함을 밝혔다. 즉$$\frac{1}{2}=\cos60^{\circ}=4\cos^{3}20^{\circ}-3\cos20^{\circ}$$이고 여기서 \(\alpha=\cos20^{\circ}\)라 하자. 그러면$$4\alpha^{3}-3\alpha=\frac{1}{2}$$이고 \(8\alpha^{3}-6\alpha-1=0\)이므로 \(\alpha\)는 방정식$$8x^{3}-6x-1=0$$의 근이다. 그런데 다항식 \(8x^{3}-6x-1\)은 유리수 범위에서 인수분해가 되지 않는다. 즉$$\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})=x^{3}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}$$이 다항식의 차수는 \(3\)이고, \(2\)의 거듭제곱꼴이 아니므로 따라서 \(\alpha=\cos20^{\circ}\)는 작도가능하지 않고, \(60^{\circ}\)는 3등분 가능하지 않다. 

방첼이 증명한 것은 3등분되지 않는 각이 존재한다는 것이지 모든 각이 3등분되지 않는다는 것이 아니다. 실제로 직각(\(90^{\circ}\))은 3등분이 가능한데 그 이유는 \(\sqrt{3}\)은 방정식 \(x^{2}-3=0\)의 근이므로 작도가능한 수이고, 따라서 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos30^{\circ}\)도 작도가능하다. 즉 \(30^{\circ}\)가 작도가능하기 때문에 직각을 3등분할 수 있다.

 

배적문제를 살펴보자. 배적문제는 \(2\)배의 부피를 갖는 정육면체를 작도하는 문제인데 이 문제도 방첼이 해결했다.

편의상 원래의 정육면체 한 변의 길이를 \(1\)이라 하자. 그러면 \(2\)배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변의 길이는 \(\sqrt[3]{2}\)이고, 3차방정식$$x^{3}-2=0$$의 근이다. 그런데$$\text{irr}(\sqrt[3]{2},\,\mathbb{Q})=x^{3}-2$$이고, 이 다항식의 차수는 \(3\)이고, \(2\)의 거듭제곱꼴이 아니므로 따라서 \(\sqrt[3]{2}\)는 작도가능하지 않고, 두 배의 부피를 갖는 정육면체는 작도할 수 없다. 

 

마지막으로 원적문제를 살펴보자. 원적문제는 원의 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도하는 문제인데 이 문제는 방첼이 아닌 독일의 수학자 린데만이 1882년에 \(\pi\)가 초월수임을 증명하고, 그 결과로서 작도가 불가능함을 밝혔다.

편의상 원의 반지름을 \(1\)이라 하자. 그러면 원의 넓이는 \(\pi\)이고, 정사각형의 넓이가 \(\pi\)이면, 한 변의 길이가 \(\sqrt{\pi}\)가 되어야 한다. 

\(\sqrt{\pi}\)가 초월수임을 증명하자. \(\sqrt{\pi}\)가 대수적 수라고 하면$$(\sqrt{\pi})^{2}=\pi$$이므로 \(\pi\)도 대수적 수가 되어야 하나 \(\pi\)는 초월수이므로 모순이다. 따라서 \(\sqrt{\pi}\)는 초월수이다.

\(\sqrt{\pi}\)는 초월수이므로 원의 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형은 작도할 수 없다. 

추가로 말하자면 \(\pi\)는 원주율로서 어떤 원의 반지름이 \(r\)일 때, 그 원의 둘레의 길이는 \(2\pi r\)이 되고, \(\displaystyle r=\frac{1}{2}\)일 때는 둘레의 길이가 \(\pi\)가 된다. 앞에서도 \(\pi\)가 초월수이므로 작도가 불가능하고 따라서 길이가 \(\pi\)인 선분의 작도는 불가능하다. 이때 "실을 이용해서 원에다가 두르고, 둘레의 길이만큼 자른 다음 그 길이를 이용하면 된다"고 할 수 있겠는데 이것은 작도가 아니므로 이 방식으로는 작도했다고 말할 수 없다.

작도는 오로지 유클리드 도구(눈금없는 자와 컴파스)만으로 도형을 그리는 것이다. 그러니 눈금없는 자와 컴파스만 이용해서 그린 것만이 작도한 것이 된다. 

 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%91%EB%8F%84_%EA%B0%80%EB%8A%A5%ED%95%9C_%EC%88%98

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