기본 도형의 미적분을 이용한 해석

기본 도형의 미적분을 이용한 해석

 

 

여기서 말하고 있는 기본 도형은 초등학교(또는 중학교) 때 배운 삼각형, 사각형, 원, 각기둥(삼각, 사각기둥), 원기둥, 각뿔(삼각뿔, 사각뿔), 원뿔이고 이 기본도형의 넓이와 부피를 미적분을 이용하여 구할 것이다.

 

다음은 도형을 분석하는데 사용될 미적분의 정의와 정리들이다.

 

정리 1. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1\)

 

정의 2. 평면도형의 넓이 또는 부피를 구하기 위해 주어진 도형을 작은 기본도형으로 분할하고 그 기본도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다.

 

정리 3. 함수 \(y=f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속일 때 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.$$S=\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}$$정리 4. 구간 \([a,\,b]\)의 임의의 점 \(x\)에서 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 \(S(x)\)인 입체의 부피 \(V\)는 다음과 같다.$$V=\int_{a}^{b}{S(x)dx}$$먼저 평면도형인 삼각형, 사각형, 원에 대한 넓이를 미적분으로 구할 것이다.

 

*유클리드의 원론에 따르면 점은 쪼갤 수 없는 것이고, 선은 폭이 없이 길이만 있는 것으로 양 끝은 모두 점들이다. 직선은 점들이 쭉 곧게 있는 것이고, 면은 길이와 폭 만이 있는 것이다. 삼각형은 세 개의 직선으로 둘러싸인 도형이고, 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싸인 도형, 원은 어떤 선으로 둘러싸인 도형이 있어서 한 점에서 직선들을 그었을 때 그 도형이 놓이는 부분이 모두 서로 같은 도형이다.

 

삼각형, 사각형, 원의 넓이는 각각 다음과 같다.

도형이름	삼각형	사각형	원
모양(형태)
넓이	\(\displaystyle\frac{1}{2}ab\)	\(ab\)	\(\pi r^{2}\) (초등학교의 경우는 \(3.14\times r\times r\))

 

먼저 밑변의 길이가 \(a\)이고 높이의 길이가 \(b\)인 직사각형의 넓이를 구하자. 정리 3에서 함수 \(f\)를 상수함수 \(f(x)=b\), 구간을 길이가 \(a\)인 구간 \([0,\,a]\)라 하면 직사각형의 넓이는 다음과 같이 구해진다.$$\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{bdx}=ab$$삼각형의 넓이는 사각형 넓이의 절반이긴 하지만 그래도 적분을 이용하여 넓이를 구해보자.

밑변의 길이가 \(a\)이고 높이의 길이가 \(b\)인 직각삼각형의 넓이를 구하자. 정리 3에서 함수 \(f\)를 \(\displaystyle f(x)=\frac{a}{b}x\), 구간을 \([0,\,a]\)라고 하면 삼각형의 넓이는 다음과 같이 구해진다.$$\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{\frac{b}{a}xdx}=\left[\frac{b}{2a}x^{2}\right]_{0}^{a}=\frac{1}{2}ab$$반지름의 길이가 \(r\)인 원의 넓이를 구하자. 정리 3에서 함수 \(f\)를 \(f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\), 구간을 \([-r,\,r]\)이라고 하면 반원의 넓이는 다음과 같이 구해진다.$$\begin{align*}\int_{-r}^{r}{f(x)dx}&=2\int_{0}^{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx}\\&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{r^{2}\cos^{2}tdt}\,(x=r\sin t)\\&=r^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(1+\cos2t)dt}\\&=\frac{\pi}{2}r^{2}\end{align*}$$이것은 반원의 넓이이고 따라서 원의 넓이 \(\pi r^{2}\)를 얻는다. 

원의 넓이를 \(n\)개의 이등변삼각형들의 합으로 근사하는 구분구적법(정의 2)으로도 구할 수 있다. 원이 \(n\)등분 되므로, 분할된 이등변삼각형의 꼭지각의 각도는 \(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\)이고 하나의 이등변삼각형의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}r^{2}\sin\frac{2\pi}{n}\)이다. 그러면 \(n\)개의 이등변삼각형들의 합은 \(\displaystyle S_{n}=\frac{1}{2}r^{2}n\sin\frac{2\pi}{n}\)이고 정리 1에 의해 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1\)이므로 \(\displaystyle x=\frac{2\pi}{n}\)이라 하면 \(x\,\rightarrow\,0+\)일 때 \(n\,\rightarrow\,\infty\)이므로 원의 넓이는 다음과 같다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2}r^{2}n\sin\frac{2\pi}{n}}=\pi r^{2}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{n}{2\pi}\sin\frac{2\pi}{n}}=\pi r^{2}$$이상으로 평면도형의 넓이를 미적분으로 구했다. 이제 공간도형(기둥과 뿔)의 넓이를 미적분으로 구하겠다.

 

*유클리드의 원론에 따르면 입체는 길이와 폭, 두께를 갖고 그 끝은 면이다. 각기둥은 크기가 깉고 평행한 두 도형을 연결하는 입체이고 그 옆면은 평행사변형(직사각형)이다. 원기둥은 직사각형의 한 변을 고정시킨 다음 그 변을 중심으로 한 바퀴 회전시켜 만든 도형이다. 

각뿔은 한 평면과 그 평면 밖의 한 꼭짓점을 연결하는 입체이고 원뿔은 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변을 회전시켰을 때 생기는 도형이다.

 

원기둥, 삼각기둥, 사각기둥의 부피는 각각 다음과 같다.

도형이름	삼각기둥	사각기둥	원기둥
모양(형태)
부피	\(\displaystyle\frac{1}{2}abh\)	\(abh\)	\(\pi r^{2}h\)

삼각기둥과 사각기둥, 원기둥의 부피는 정리 4에서 길이가 \(h\)인 구간 \([0,\,h]\)의 임의의 점 \(x\)에 대해 단면적의 넓이가 각각$$T(x)=\frac{1}{2}ab,\,S(x)=ab,\,C(x)=\pi r^{2}$$인 입체의 부피로 다음과 같이 계산된다.$$\int_{0}^{a}{T(x)dx}=\frac{1}{2}abh,\,\int_{0}^{h}{S(x)dx}=abh,\,\int_{0}^{h}{C(x)dx}=\pi r^{2}h$$원론에서 원기둥을 직사각형의 한 변을 고정시키고 회전시켜 만든 도형이라고 했다. 이것은 구간 \([0,\,h]\)에서 직선(상수함수) \(f(x)=r\)을 회전시킨 회전체의 부피와 같고 이때 단면적의 넓이가 \(\pi\{f(x)\}^{2}=\pi r^{2}\)이므로 앞과 똑같은 결과를 얻는다.$$\pi\int_{0}^{h}{\{f(x)\}^{2}dx}=\pi r^{2}h$$원뿔, 삼각뿔, 사각뿔의 부피는 각각 다음과 같다.

도형이름	삼각뿔	사각뿔	원뿔
모양(형태)
부피	\(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}ab\right)\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}abh\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^{2}h\)

이 뿔들의 부피를 두 가지 방법으로 구할 수 있는데 하나는 구분구적법, 다른 하나는 정리 4를 이용하는 것이다.

 

먼저 구분구적법을 이용해 뿔의 부피를 구하자. 높이를 \(n\)등분하여 \(n-1\)개의 각기둥, 원기둥들의 합을 구한후 이를 근사하면 되고, 이때 맨 윗부분의 기둥과 전체 사이의 비례관계를 이용한다. *그리기가 힘들어서 그림 없이 설명하겠다.

 

삼각뿔의 부피

맨 윗부분의 삼각기둥의 밑면 길이를 \(x\), 높이 길이를 \(y\)라고 하자. 그러면 다음의 비례식을 얻고$$x:a=\frac{h}{n}:h,\,y:b=\frac{h}{n}:h$$이 비례식으로부터 \(\displaystyle x=\frac{a}{n}\), \(\displaystyle y=\frac{b}{n}\)이다. \(n-1\)개 삼각기둥들의 부피의 합을 \(V_{n}\)이라 하면$$\begin{align*}V_{n}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab}{n^{2}}\cdot\frac{h}{n}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2^{2}ab}{n^{2}}\cdot\frac{h}{n}+\cdots+\frac{1}{2}\cdot\frac{(n-1)^{2}ab}{n^{2}}\cdot\frac{h}{n}\\&=\frac{abh}{2n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}{k^{2}}\\&=\frac{abh}{2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}\end{align*}$$이고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{V_{n}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}abh\right)\)이므로 삼각뿔의 부피는 삼각기둥 부피의 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)이 됨을 알 수 있다.

같은 방법으로 사각뿔의 부피를 구하자. 맨 윗부분의 사각기둥의 밑면 길이를 \(x\), 높이 길이를 \(y\)라 하자. 그러면 다음의 비례식으로부터$$x:a=\frac{h}{n}:h,\,y:b=\frac{h}{n}:h$$\(\displaystyle x=\frac{a}{n},\,y=\frac{b}{n}\)을 얻는다. \(n-1\)개 삼각기둥들의 부피의 합을 \(V_{n}\)이라 하면$$\begin{align*}V_{n}&=\cdot\frac{ab}{n^{2}}\cdot\frac{h}{n}+\cdot\frac{2^{2}ab}{n^{2}}\cdot\frac{h}{n}+\cdots+\cdot\frac{(n-1)^{2}ab}{n^{2}}\cdot\frac{h}{n}\\&=\frac{abh}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}{k^{2}}\\&=abh\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}\end{align*}$$이고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{V_{n}}=\frac{1}{3}abh\)이므로 사각뿔의 부피도 사각기둥 부피의 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)이 됨을 알 수 있다.

원뿔의 부피를 구하자. 맨 윗부분의 원기둥의 밑면 길이를 \(x\)라고 하면 다음의 비례식으로부터$$x:r=\frac{h}{n}:h$$\(\displaystyle x=\frac{r}{n}\)을 얻고, \(n-1\)개 원기둥들의 부피의 합을 \(V_{n}\)이라 하면$$\begin{align*}V_{n}&=\pi\left(\frac{r}{n}\right)^{2}\frac{h}{n}+\pi\left(\frac{2r}{n}\right)^{2}\frac{h}{n}+\cdots+\pi\left\{\frac{(n-1)r}{n}\right\}^{2}\frac{h}{n}\\&=\frac{\pi r^{2}h}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}{k^{2}}\\&=\pi r^{2}h\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{V_{n}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\)이므로 원뿔의 부피 역시 원기둥 부피의 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)이 됨을 알 수 있다.

일반적으로 밑면의 넓이가 \(S\)이고 높이가 \(h\)인 뿔의 부피는 높이를 \(n\)등분하고, \(k\)번째 기둥의 부피를 \(S_{k}\)라고 하면 다음의 비례식으로부터$$S_{k}:S=\left(\frac{k}{n}h\right)^{2}:h^{2}$$\(\displaystyle S_{k}=\frac{k^{2}}{n^{2}}S\)이고 \(n-1\)개 기둥들의 부피의 합을 \(V_{n}\)이라 하면$$\begin{align*}V_{n}&=\sum_{k=1}^{n-1}{S_{k}}\\&=\frac{Sh}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n-1}{k^{2}}\\&=Sh\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{V_{n}}=\frac{1}{3}Sh\)이므로 원래 기둥의 부피의 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)이다.        

 

이제 적분을 이용하여 구하자. 뿔의 밑면의 넓이를 \(S\), 구간 \([0,\,h]\)의 임의의 점 \(x\)에서 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 \(S(x)\)라고 하면, 다음의 비례식을 얻고$$S(x):S=x^{2}:h^{2}$$이 비례식으로부터 \(\displaystyle S(x)=\frac{S}{h^{2}}x^{2}\)이므로 그 부피는 다음과 같다.$$V=\int_{0}^{h}{S(x)dx}=\frac{S}{h^{2}}\int_{0}^{h}{x^{2}dx}=\frac{1}{3}Sh$$밑면이 삼각형, 사각형, 원인 경우는 각각$$S=\frac{1}{2}ab,\,S=ab,\,S=\pi r^{2}$$이므로 삼각뿔, 사각뿔, 원뿔의 부피는 각각 다음과 같다.$$V=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}ab\right),\,V=\frac{1}{3}abh,\,V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$마지막으로 밑면이 \(S\)이고, 높이가 \(h_{1}(<h)\)인 뿔대의 부피는 다음과 같이 구할 수 있고$$V=\int_{0}^{h}{S(x)dx}-\int_{0}^{h_{1}}{S(x)dx}=\int_{h_{1}}^{h}{S(x)dx}$$다음의 그림은 밑면의 반지름이 \(r\), 높이가 \(2r\)인 원통이고 그 안에 구와 원뿔이 내접하고 있다.

원기둥에 내접하는 구와 원뿔

위 그림에 있는 원기둥, 구, 원뿔의 부피는 각각 다음과 같고$$2\pi r^{3},\,\frac{4}{3}\pi r^{3},\,\frac{2}{3}\pi r^{3}$$이들의 비율은 \(3:2:1\)이다.

 

참고자료:

중학교 수학 1(2015년 개정), 이준열 외 8인, 천재교육

고등학교 수학 II(2007년 과정), 우정호 외 5인, 대한교과서(현 미래엔)