로그 적분

로그 적분

실수 범위에서 정의된 자연로그함수 $y=\ln x$의 정의역은 양의 실수, 즉 $x>0$이고 도함수는 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$이다. 이때 $y=\ln|x|$의 정의역은 $0$을 제외한 실수 전체, 즉 $\mathbb{R}-\{0\}$이고 그 도함수는 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$이다. 

실수 범위에서 미분가능한 함수 $y=f(x)(\neq0)$에 대하여 합성함수 $y=\ln|f(x)|$의 도함수는 연쇄법칙에 의해 다음과 같다. $$y'=\frac{f'(x)}{f(x)}$$ 이 사실로부터 함수 $\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}\,(f(x)\neq0)$의 부정적분과 정적분은 각각 다음과 같다. $$\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln|f(x)|+C,\,\int_{a}^{b}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln\left|\frac{f(b)}{f(a)}\right|$$ 로그적분을 복소함수에서 관찰하도록 하자. 여기서 밑이 $e$인 복소 로그함수를 $\log z$로 나타내겠다.

먼저 $x$가 실수일 때 로그함수 $y=\ln x$의 값은 유일하게 결정되지만 복소함수, 즉 $f(z)=\log z$인 경우에는 유일하게 결정되지 않는다. 그 이유를 알려면 먼저 복소수의 표현에 대해 알아야 한다.

테일러(매클로린) 급수전개에 의해 다음의 식이 성립하고 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$ 따라서 $z=x+iy$일 때 $$e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$$ 이고, 삼각함수($\sin$, $\cos$)는 주기함수이므로 임의의 복소수 $z=x+iy$를 다음과 같이 극형식(polar form)으로 나타낼 수 있다. $$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$$ 여기서 $$r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\,\tan\theta=\frac{y}{x}$$ 이다. 이때 $\theta$를 $z$의 편각(argument)이라 하고 $\text{arg}z$로 나타낸다. $z$의 편각 중 구간 $(-\pi,\,\pi]$에 속하는 유일한 $\Theta$를 $\text{arg}z$의 주편각(principal value)이라 하고 $\text{Arg}z$로 나타낸다. 따라서 편각을 다음과 같이 나타낸다. $$\text{arg}z=\text{Arg}z+2n\pi$$ 앞서 $z=re^{i\theta}$로 나타낼 수 있으므로 $$\log z=\ln|z|+i\text{arg}z$$ 이고 $$|e^{z}|=e^{x},\,\text{arg}(e^{z})=y+2n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$$ 이므로 $$\begin{align*}\log e^{z}&=\ln|e^{z}|+i\text{arg}(e^{z})\\&=\ln e^{x}+i(y+2n\pi)\\&=(x+iy)+2n\pi i\\&=z+2n\pi i\end{align*}$$ 이때 $r=|z|$이므로 주값(principal value)을 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$\text{Log}z=\ln r+i\Theta$$ 따라서 $$\log z=\text{Log}z+2n\pi i$$ 이다. 앞에서 임의의 복소수 $z$를 극형식 $z=re^{i\theta}$로 나타낼 수 있다고 했다. 복소함수 $f(z)$를 극형식을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(z)=u(r,\,\theta)+iv(r,\,\theta)$$ 복소 로그함수 $\log z$를 다음과 같이 $r$과 $\theta$를 이용하여 나타낼 수 있고 $$\log z=\ln r+i\theta$$ 극형식에 대한 코시-리만 방정식 $$ru_{r}=v_{\theta},\,u_{\theta}=-rv_{r}$$ 을 이용하여 $\log z$의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다. $$\frac{d}{dz}\log z=e^{-i\theta}(u_{r}+iv_{r})=\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{z}$$ 또한 $$\frac{d}{dz}\text{Log}z=\frac{1}{z}$$ 이고 실수 로그함수의 도함수 $\displaystyle\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$와 비슷한 모양이라는 것을 알 수 있다. 이야기를 안한 것 같은데 복소함수의 미분에서도 실수함수처럼 연쇄법칙이 성립한다. 그렇기 때문에 복소함수 $f(z)$에 대하여 $$\frac{d}{dz}\log f(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}$$ 이다. 

복소함수의 적분은 실함수의 적분과 달리 선적분이다. 이 말의 의미는 실함수의 적분은 실직선 위에서 이루어지지만 복소함수의 적분은 복소평면 위 곡선 위에서 이루어진다는 것을 뜻한다. 

예를들어 곡선 $C$가 단위원(중심이 원점이고 반지름이 1인 원)일 때, 다음의 복소적분을 구하라는 두 문제가 있다. $$\int_{C}{\frac{1}{z}dz},\,\int_{C}{\frac{1}{z^{2}}dz}$$ 곡선 $C$를 $z=e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$로 나타낼 수 있으므로 다음과 같이 복소적분을 계산할 수 있다. $$\begin{align*}\int_{C}{\frac{1}{z}dz}&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{e^{i\theta}}ie^{i\theta}d\theta}=i\int_{0}^{2\pi}{d\theta}=2\pi i\\ \int_{C}{\frac{1}{z^{2}}dz}&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{e^{2i\theta}}ie^{i\theta}d\theta}=i\int_{0}^{2\pi}{e^{i\theta}d\theta}=0\end{align*}$$ 실수함수 $y=f(x)$에 대하여 다음과 같이 미적분학의 기본정리가 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(b)$$ 여기서 $F(x)$는 $f(x)$의 부정적분이다. 실제로 영역 $D$에서 해석적인(더 이상 설명하기 힘드니 복소해석학 책에서 찾으시오) 복소함수 $f(z)$에 대해서도 부정적분 $F(z)$가 존재하고 다음과 같이 미적분학의 기본정리가 성립한다. $$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}=F(z_{2})-F(z_{1})$$ 여기서 $z_{1},\,z_{2}\in D$이고, 닫힌곡선일 경우에는 $z_{1}=z_{2}$이다.

예를들어 복소평면 위의 점 $z=-1$에서 $z=1$을 잇고 원점을 경유하지 않는 임의의 경로에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{-1}^{1}{z^{i}dz}=\frac{1+e^{-\pi}}{2}(1-i)$$ 여기서 등식 $z^{i}=e^{i\text{Log}z}$과 다음이 성립함을 이용했다. $$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1+i}z^{1+i}\right)=\frac{d}{dz}\frac{1}{1+i}e^{(1+i)\text{Log}z}=e^{(1+i)\text{Log}z}\cdot\frac{1}{z}=z^{i}$$ $f$가 복소평면상의 영역 $D$에서 극점을 제외하고 해석적이면 $f$를 $D$에서의 유리형 함수(meromorphic function)라고 한다. 

복소함수 $f$가 닫힌곡선 $C$의 내부에서 유리형 함수이고 $C$ 위에서 $0$이 아니라고 하자. 그러면 $w=f(z)$에 의한 $C$의 상 $\Gamma$는 $w$평면에서 닫힌곡선이고, $\Gamma$는 $w$평면의 원점($w=0$)을 지나지 않는다.

고정된 $w_{0}\in\Gamma$에 대하여 $\phi_{0}$를 $\text{arg}w_{0}$의 한 값이라고 하자. $w$가 점 $w_{0}$에서 출발해 $\Gamma$에서 $w=f(z)$에 의해 움직임에 따라 $\text{arg}w$도 $\phi_{0}$에서 시작해 연속적으로 변한다. $w$가 $w_{0}$로 되돌아갈 때의 $\text{arg}w$의 값을 $\phi_{1}$이라 하자. 

$w$가 $\Gamma$를 따라 한 바퀴 회전하면 $\text{arg}w$는 $\phi_{1}-\phi_{0}$만큼 변하고 이것은 $w_{0}$의 선택과 무관하다. $w=f(z)$이므로 $\phi_{1}-\phi_{0}$는 $z$가 $z_{0}$에서 출발해 $C$에서 한 바퀴 돌 때 $f(z)$의 편각의 변화이고 다음과 같이 나타낸다. $$\Delta_{C}\text{arg}f(z)=\phi_{1}-\phi_{0}$$ $\Delta_{C}\text{arg}f(z)$는 $2\pi$의 정수배이고 다음의 정수 $$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)$$ 는 $w$가 $w$평면에서 원점 둘레를 회전한 회전수이고 이것을 $w=0$($w$평면의 원점)에 대한 $\Gamma$의 회전수(winding number)라고 한다. 회전수는 $C$ 내부의 $f$의 영점(방정식 $f(z)=0$의 근)과 극점($f(z)$가 분수함수일 때 분모를 0으로 만드는 점)의 개수로 결정할 수 있다.

$C$ 내부에서 $f$의 영점이 $Z$개, 극점이 $P$개 있다고 하자. 이때 $z_{0}$가 $f$의 $m_{0}$차(중복도가 $m_{0}$) 영점이면 $z_{0}$에 $m_{0}$개의 영점, $z_{0}$이 $f$의 $m_{p}$차(중복도가 $m_{p}$) 극점이면 $z_{0}$에 $m_{p}$개의 극점이 있다고 본다.     

편각원리(argument principle)

(a) $f$는 닫힌곡선 $C$ 내부에서 유리형 함수이다.

(b) $f$는 $C$에서 해석적이고 $0$이 아니다.

(c) 중복도를 고려할 때 $C$ 내부에서 $f(z)$의 영점이 $Z$개 있고, 극점이 $P$개 있다.

그러면 $f(z)$의 회전수는 다음과 같다. $$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P$$ 이 편각원리의 증명에 복소적분 $\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}$이 이용된다.

곡선 $C$를 다음과 같이 매개변수함수로 나타내자. $$C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$$ 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{f'(z(t))z'(t)}{f(z(t))}dt}$$ $w=f(z)$에 의한 $C$의 상 $\Gamma$는 원점을 지나지 않으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(z(t))=\rho(t)e^{i\phi(t)}\,(a\leq t\leq b)$$ 그러면 $$\begin{align*}f'(z(t))z'(t)&=\frac{d}{dt}f(z(t))=\frac{d}{dt}\{\rho(t)e^{i\phi(t)}\}\\&=\rho'(t)e^{i\phi(t)}+i\rho(t)e^{i\phi(t)}\phi'(t)\end{align*}$$ $\rho'(t)$와 $\phi'(t)$는 $a\leq t\leq b$에서 구분적 연속이고 $$\rho(b)=\rho(a),\,\phi(b)-\phi(a)=\Delta_{C}\text{arg}f(z)$$ 이므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}&=\int_{a}^{b}{\frac{\rho'(t)}{\rho(t)}dt}+i\int_{a}^{b}{\phi'(t)dt}\\&=(\ln|\rho(b)|-\ln|\rho(a)|)+i\{\phi(b)-\phi(a)\}\\&=i\Delta_{C}\text{arg}f(z)\end{align*}$$ 이제 $\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}$가 $C$ 내부에서 $f$의 영점, 극점을 제외하고 $C$와 그 내부에서 해석적임을 확인하자.

(i) $z_{0}$가 $f$의 $m_{0}$차 영점이면 $f$를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$f(z)=(z-z_{0})^{m_{0}}g(z)$$ 여기서 $g(z)$는 $z_{0}$에서 해석적이고 $g(z_{0})\neq0$이다. 그러면 $$f'(z)=m_{0}(z-z_{0})^{m_{0}-1}g(z)+(z-z_{0})^{m_{0}}g'(z)$$ 이고 $$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{m_{0}}{z-z_{0}}+\frac{g'(z)}{g(z)}$$ 가 되는데 $\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)}$는 $z_{0}$에서 해석적이므로 $z_{0}$는 $\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}$의 단순(1차) 극점이고 여기서의 유수(residue)는 $m_{0}$이다.   

(ii) $z_{0}$가 $f$의 $m_{p}$차 극점이면 $f$를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$f(z)=(z-z_{0})^{-m_{p}}h(z)$$ 여기서 $h(z)$는 $z_{0}$에서 해석적이고 $h(z_{0})\neq0$이다. (i)과 같은 방법으로 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{-m_{p}}{z-z_{0}}+\frac{h'(z)}{h(z)}$$ $\displaystyle\frac{h'(z)}{h(z)}$는 $z_{0}$에서 해석적이므로 $\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}$의 $z_{0}$에서의 유수는 $-m_{p}$이다. 

(i), (ii)를 종합하면 유수정리에 의해 다음을 얻는다. $$\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i(Z-P)$$ 그러면 $$i\Delta_{C}\text{arg}f(z)=\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i(Z-P)$$ 이고 다음의 결과를 얻는다. $$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P$$ 이렇게 편각원리의 증명을 마쳤다.

예를들어 단위원 $C:\,|z|=1$내부에서 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2}}$는 영점을 갖지 않고 원점($z=0$)에서 2차 극을 가지므로 다음이 성립한다. $$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}\frac{1}{z^{2}}=-2$$ 편각원리의 증명을 이용하여 다음의 정리를 증명할 수 있다.

$f$가 닫힌곡선 $C$와 그 내부에서 해석적, $C$ 위에서 영점을 갖지 않는다고 하자. $f$가 $C$ 내부에서 $n$개의 영점 $z_{k}\,(k=1,\,...,\,n)$를 갖고 그 중복도가 $m_{k}$이면 다음이 성립한다. $$\int_{C}{\frac{zf'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{m_{k}z_{k}}$$ 증명: $f$가 중복도가 $m_{k}$인 영점 $z_{k}$를 가지므로 $$f(z)=a_{n}(z-z_{1})^{m_{1}}\cdots(z-z_{n})^{m_{n}}\,(a_{n}\neq0)$$ 이고 $$f'(z)=a_{n}m_{1}(z-z_{1})^{m_{1}-1}\cdots(z-z_{n})^{m_{1}}+\cdots+a_{n}m_{n}(z-z_{1})^{m_{1}}\cdots(z-z_{n})^{m_{n}-1}$$ 이므로 $$\frac{zf'(z)}{f(z)}=\frac{m_{1}z}{z-z_{1}}+\cdots+\frac{m_{n}z}{z-z_{n}}$$ 이고 유수정리에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{C}{\frac{zf'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{m_{k}z_{k}}$$ 마지막으로 이 정리의 가정 하에서 다음의 결과를 얻을 수 있다.(증명은 독자에게...) $$\int_{C}{\frac{z^{a}f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{m_{k}z_{k}^{a}}\,(a\geq0)$$ 참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill