로그 적분

로그 적분

실수 범위에서 정의된 자연로그함수 \(y=\ln x\)의 정의역은 양의 실수, 즉 \(x>0\)이고 도함수는 \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)이다. 이때 \(y=\ln|x|\)의 정의역은 \(0\)을 제외한 실수 전체, 즉 \(\mathbb{R}-\{0\}\)이고 그 도함수는 \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)이다. 

실수 범위에서 미분가능한 함수 \(y=f(x)(\neq0)\)에 대하여 합성함수 \(y=\ln|f(x)|\)의 도함수는 연쇄법칙에 의해 다음과 같다.$$y'=\frac{f'(x)}{f(x)}$$이 사실로부터 함수 \(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}\,(f(x)\neq0)\)의 부정적분과 정적분은 각각 다음과 같다.$$\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln|f(x)|+C,\,\int_{a}^{b}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln\left|\frac{f(b)}{f(a)}\right|$$로그적분을 복소함수에서 관찰하도록 하자. 여기서 밑이 \(e\)인 복소 로그함수를 \(\log z\)로 나타내겠다.

먼저 \(x\)가 실수일 때 로그함수 \(y=\ln x\)의 값은 유일하게 결정되지만 복소함수, 즉 \(f(z)=\log z\)인 경우에는 유일하게 결정되지 않는다. 그 이유를 알려면 먼저 복소수의 표현에 대해 알아야 한다.

테일러(매클로린) 급수전개에 의해 다음의 식이 성립하고$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$따라서 \(z=x+iy\)일 때$$e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$$이고, 삼각함수(\(\sin\), \(\cos\))는 주기함수이므로 임의의 복소수 \(z=x+iy\)를 다음과 같이 극형식(polar form)으로 나타낼 수 있다.$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$$여기서$$r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\,\tan\theta=\frac{y}{x}$$이다. 이때 \(\theta\)를 \(z\)의 편각(argument)이라 하고 \(\text{arg}z\)로 나타낸다. \(z\)의 편각 중 구간 \((-\pi,\,\pi]\)에 속하는 유일한 \(\Theta\)를 \(\text{arg}z\)의 주편각(principal value)이라 하고 \(\text{Arg}z\)로 나타낸다. 따라서 편각을 다음과 같이 나타낸다.$$\text{arg}z=\text{Arg}z+2n\pi$$앞서 \(z=re^{i\theta}\)로 나타낼 수 있으므로$$\log z=\ln|z|+i\text{arg}z$$이고$$|e^{z}|=e^{x},\,\text{arg}(e^{z})=y+2n\pi\,(n\in\mathbb{Z})$$이므로$$\begin{align*}\log e^{z}&=\ln|e^{z}|+i\text{arg}(e^{z})\\&=\ln e^{x}+i(y+2n\pi)\\&=(x+iy)+2n\pi i\\&=z+2n\pi i\end{align*}$$이때 \(r=|z|\)이므로 주값(principal value)을 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\text{Log}z=\ln r+i\Theta$$따라서$$\log z=\text{Log}z+2n\pi i$$이다. 앞에서 임의의 복소수 \(z\)를 극형식 \(z=re^{i\theta}\)로 나타낼 수 있다고 했다. 복소함수 \(f(z)\)를 극형식을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(z)=u(r,\,\theta)+iv(r,\,\theta)$$복소 로그함수 \(\log z\)를 다음과 같이 \(r\)과 \(\theta\)를 이용하여 나타낼 수 있고$$\log z=\ln r+i\theta$$극형식에 대한 코시-리만 방정식$$ru_{r}=v_{\theta},\,u_{\theta}=-rv_{r}$$을 이용하여 \(\log z\)의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.$$\frac{d}{dz}\log z=e^{-i\theta}(u_{r}+iv_{r})=\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{z}$$또한$$\frac{d}{dz}\text{Log}z=\frac{1}{z}$$이고 실수 로그함수의 도함수 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\)와 비슷한 모양이라는 것을 알 수 있다. 이야기를 안한 것 같은데 복소함수의 미분에서도 실수함수처럼 연쇄법칙이 성립한다. 그렇기 때문에 복소함수 \(f(z)\)에 대하여$$\frac{d}{dz}\log f(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}$$이다. 

복소함수의 적분은 실함수의 적분과 달리 선적분이다. 이 말의 의미는 실함수의 적분은 실직선 위에서 이루어지지만 복소함수의 적분은 복소평면 위 곡선 위에서 이루어진다는 것을 뜻한다. 

예를들어 곡선 \(C\)가 단위원(중심이 원점이고 반지름이 1인 원)일 때, 다음의 복소적분을 구하라는 두 문제가 있다.$$\int_{C}{\frac{1}{z}dz},\,\int_{C}{\frac{1}{z^{2}}dz}$$곡선 \(C\)를 \(z=e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)\)로 나타낼 수 있으므로 다음과 같이 복소적분을 계산할 수 있다.$$\begin{align*}\int_{C}{\frac{1}{z}dz}&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{e^{i\theta}}ie^{i\theta}d\theta}=i\int_{0}^{2\pi}{d\theta}=2\pi i\\ \int_{C}{\frac{1}{z^{2}}dz}&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{e^{2i\theta}}ie^{i\theta}d\theta}=i\int_{0}^{2\pi}{e^{i\theta}d\theta}=0\end{align*}$$실수함수 \(y=f(x)\)에 대하여 다음과 같이 미적분학의 기본정리가 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(b)$$여기서 \(F(x)\)는 \(f(x)\)의 부정적분이다. 실제로 영역 \(D\)에서 해석적인(더 이상 설명하기 힘드니 복소해석학 책에서 찾으시오) 복소함수 \(f(z)\)에 대해서도 부정적분 \(F(z)\)가 존재하고 다음과 같이 미적분학의 기본정리가 성립한다.$$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}=F(z_{2})-F(z_{1})$$여기서 \(z_{1},\,z_{2}\in D\)이고, 닫힌곡선일 경우에는 \(z_{1}=z_{2}\)이다.

예를들어 복소평면 위의 점 \(z=-1\)에서 \(z=1\)을 잇고 원점을 경유하지 않는 임의의 경로에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{-1}^{1}{z^{i}dz}=\frac{1+e^{-\pi}}{2}(1-i)$$여기서 등식 \(z^{i}=e^{i\text{Log}z}\)과 다음이 성립함을 이용했다.$$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1+i}z^{1+i}\right)=\frac{d}{dz}\frac{1}{1+i}e^{(1+i)\text{Log}z}=e^{(1+i)\text{Log}z}\cdot\frac{1}{z}=z^{i}$$\(f\)가 복소평면상의 영역 \(D\)에서 극점을 제외하고 해석적이면 \(f\)를 \(D\)에서의 유리형 함수(meromorphic function)라고 한다. 

복소함수 \(f\)가 닫힌곡선 \(C\)의 내부에서 유리형 함수이고 \(C\) 위에서 \(0\)이 아니라고 하자. 그러면 \(w=f(z)\)에 의한 \(C\)의 상 \(\Gamma\)는 \(w\)평면에서 닫힌곡선이고, \(\Gamma\)는 \(w\)평면의 원점(\(w=0\))을 지나지 않는다.

고정된 \(w_{0}\in\Gamma\)에 대하여 \(\phi_{0}\)를 \(\text{arg}w_{0}\)의 한 값이라고 하자. \(w\)가 점 \(w_{0}\)에서 출발해 \(\Gamma\)에서 \(w=f(z)\)에 의해 움직임에 따라 \(\text{arg}w\)도 \(\phi_{0}\)에서 시작해 연속적으로 변한다. \(w\)가 \(w_{0}\)로 되돌아갈 때의 \(\text{arg}w\)의 값을 \(\phi_{1}\)이라 하자. 

\(w\)가 \(\Gamma\)를 따라 한 바퀴 회전하면 \(\text{arg}w\)는 \(\phi_{1}-\phi_{0}\)만큼 변하고 이것은 \(w_{0}\)의 선택과 무관하다. \(w=f(z)\)이므로 \(\phi_{1}-\phi_{0}\)는 \(z\)가 \(z_{0}\)에서 출발해 \(C\)에서 한 바퀴 돌 때 \(f(z)\)의 편각의 변화이고 다음과 같이 나타낸다.$$\Delta_{C}\text{arg}f(z)=\phi_{1}-\phi_{0}$$\(\Delta_{C}\text{arg}f(z)\)는 \(2\pi\)의 정수배이고 다음의 정수$$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)$$는 \(w\)가 \(w\)평면에서 원점 둘레를 회전한 회전수이고 이것을 \(w=0\)(\(w\)평면의 원점)에 대한 \(\Gamma\)의 회전수(winding number)라고 한다. 회전수는 \(C\) 내부의 \(f\)의 영점(방정식 \(f(z)=0\)의 근)과 극점(\(f(z)\)가 분수함수일 때 분모를 0으로 만드는 점)의 개수로 결정할 수 있다.

\(C\) 내부에서 \(f\)의 영점이 \(Z\)개, 극점이 \(P\)개 있다고 하자. 이때 \(z_{0}\)가 \(f\)의 \(m_{0}\)차(중복도가 \(m_{0}\)) 영점이면 \(z_{0}\)에 \(m_{0}\)개의 영점, \(z_{0}\)이 \(f\)의 \(m_{p}\)차(중복도가 \(m_{p}\)) 극점이면 \(z_{0}\)에 \(m_{p}\)개의 극점이 있다고 본다.     

편각원리(argument principle)

(a) \(f\)는 닫힌곡선 \(C\) 내부에서 유리형 함수이다.

(b) \(f\)는 \(C\)에서 해석적이고 \(0\)이 아니다.

(c) 중복도를 고려할 때 \(C\) 내부에서 \(f(z)\)의 영점이 \(Z\)개 있고, 극점이 \(P\)개 있다.

그러면 \(f(z)\)의 회전수는 다음과 같다.$$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P$$이 편각원리의 증명에 복소적분 \(\displaystyle\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}\)이 이용된다.

곡선 \(C\)를 다음과 같이 매개변수함수로 나타내자.$$C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$$그러면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{a}^{b}{\frac{f'(z(t))z'(t)}{f(z(t))}dt}$$\(w=f(z)\)에 의한 \(C\)의 상 \(\Gamma\)는 원점을 지나지 않으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(z(t))=\rho(t)e^{i\phi(t)}\,(a\leq t\leq b)$$그러면$$\begin{align*}f'(z(t))z'(t)&=\frac{d}{dt}f(z(t))=\frac{d}{dt}\{\rho(t)e^{i\phi(t)}\}\\&=\rho'(t)e^{i\phi(t)}+i\rho(t)e^{i\phi(t)}\phi'(t)\end{align*}$$\(\rho'(t)\)와 \(\phi'(t)\)는 \(a\leq t\leq b\)에서 구분적 연속이고$$\rho(b)=\rho(a),\,\phi(b)-\phi(a)=\Delta_{C}\text{arg}f(z)$$이므로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}&=\int_{a}^{b}{\frac{\rho'(t)}{\rho(t)}dt}+i\int_{a}^{b}{\phi'(t)dt}\\&=(\ln|\rho(b)|-\ln|\rho(a)|)+i\{\phi(b)-\phi(a)\}\\&=i\Delta_{C}\text{arg}f(z)\end{align*}$$이제 \(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)가 \(C\) 내부에서 \(f\)의 영점, 극점을 제외하고 \(C\)와 그 내부에서 해석적임을 확인하자.

(i) \(z_{0}\)가 \(f\)의 \(m_{0}\)차 영점이면 \(f\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고$$f(z)=(z-z_{0})^{m_{0}}g(z)$$여기서 \(g(z)\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(g(z_{0})\neq0\)이다. 그러면$$f'(z)=m_{0}(z-z_{0})^{m_{0}-1}g(z)+(z-z_{0})^{m_{0}}g'(z)$$이고$$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{m_{0}}{z-z_{0}}+\frac{g'(z)}{g(z)}$$가 되는데 \(\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)}\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이므로 \(z_{0}\)는 \(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)의 단순(1차) 극점이고 여기서의 유수(residue)는 \(m_{0}\)이다.   

(ii) \(z_{0}\)가 \(f\)의 \(m_{p}\)차 극점이면 \(f\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고$$f(z)=(z-z_{0})^{-m_{p}}h(z)$$여기서 \(h(z)\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이고 \(h(z_{0})\neq0\)이다. (i)과 같은 방법으로 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{-m_{p}}{z-z_{0}}+\frac{h'(z)}{h(z)}$$\(\displaystyle\frac{h'(z)}{h(z)}\)는 \(z_{0}\)에서 해석적이므로 \(\displaystyle\frac{f'(z)}{f(z)}\)의 \(z_{0}\)에서의 유수는 \(-m_{p}\)이다. 

(i), (ii)를 종합하면 유수정리에 의해 다음을 얻는다.$$\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i(Z-P)$$그러면$$i\Delta_{C}\text{arg}f(z)=\int_{C}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i(Z-P)$$이고 다음의 결과를 얻는다.$$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}f(z)=Z-P$$이렇게 편각원리의 증명을 마쳤다.

예를들어 단위원 \(C:\,|z|=1\)내부에서 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2}}\)는 영점을 갖지 않고 원점(\(z=0\))에서 2차 극을 가지므로 다음이 성립한다.$$\frac{1}{2\pi}\Delta_{C}\text{arg}\frac{1}{z^{2}}=-2$$편각원리의 증명을 이용하여 다음의 정리를 증명할 수 있다.

\(f\)가 닫힌곡선 \(C\)와 그 내부에서 해석적, \(C\) 위에서 영점을 갖지 않는다고 하자. \(f\)가 \(C\) 내부에서 \(n\)개의 영점 \(z_{k}\,(k=1,\,...,\,n)\)를 갖고 그 중복도가 \(m_{k}\)이면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{\frac{zf'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{m_{k}z_{k}}$$증명: \(f\)가 중복도가 \(m_{k}\)인 영점 \(z_{k}\)를 가지므로$$f(z)=a_{n}(z-z_{1})^{m_{1}}\cdots(z-z_{n})^{m_{n}}\,(a_{n}\neq0)$$이고$$f'(z)=a_{n}m_{1}(z-z_{1})^{m_{1}-1}\cdots(z-z_{n})^{m_{1}}+\cdots+a_{n}m_{n}(z-z_{1})^{m_{1}}\cdots(z-z_{n})^{m_{n}-1}$$이므로$$\frac{zf'(z)}{f(z)}=\frac{m_{1}z}{z-z_{1}}+\cdots+\frac{m_{n}z}{z-z_{n}}$$이고 유수정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{C}{\frac{zf'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{m_{k}z_{k}}$$마지막으로 이 정리의 가정 하에서 다음의 결과를 얻을 수 있다.(증명은 독자에게...)$$\int_{C}{\frac{z^{a}f'(z)}{f(z)}dz}=2\pi i\sum_{k=1}^{n}{m_{k}z_{k}^{a}}\,(a\geq0)$$참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill