대수학과 작도(1)

대수학과 작도(1) 

1. 확대체

정의 1.1 체 \(F\)와 체 \(E\)에 대해 \(F\leq E\), 즉 체 \(F\)가 체 \(E\)의 부분체이면, \(E\)를 \(F\)의 확대체(extension field)라고 한다. 

정리 1.2 (크로네커 정리, Kronecker's Theorem) 

\(F\)를 체, \(f(x)\in F[x]\)라 하자. 그러면 \(F\)의 확대체 \(E\)와 \(\alpha\in E\)가 존재해서 \(f(\alpha)=0\)이다.  

정의 1.3 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)라 하자. 적당한 \(f(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(\alpha)=0\)이면 \(\alpha\)는 \(F\) 위에서 대수적(algebraic)이라고 한다. \(\alpha\)가 \(F\) 위에서 대수적이지 않으면 \(\alpha\)는 \(F\)위에서 초월적(transcendental)이라고 한다.   

예 1.4 복소수체 \(\mathbb{C}\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)의 확대체이다. 무리수 \(\sqrt{2}\)는 \(x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]\)의 근이므로 \(\sqrt{2}\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적이고 순허수(복소수) \(i(=\sqrt{-1})\)는 \(x^{2}+1\in\mathbb{Q}[x]\)의 근이므로 \(i\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적이다. 반면 \(\pi\)와 \(e\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 초월적이다.  

예 1.5 \(\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}\)라 하면 \(\alpha^{2}-1=\sqrt{3}\)이므로 \(\alpha^{4}-2\alpha^{2}-2=0\)이고 \(x^{4}-2x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]\)는 \(\mathbb{Q}\) 위에서 기약(아이젠슈타인 판정법에서 \(p=2\))이므로 따라서 \(\alpha\)는 \(x^{4}-2x^{2}-2\)의 근이고 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적이다. 또한 \(\displaystyle\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)에 대하여 \(\omega^{2}+\omega+1=0\)이고 \(x^{2}+x+1\in\mathbb{Q}[x]\)는 기약다항식이므로 \(\omega\)는 \(x^{2}+x+1\)의 근이고 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적이다.   

정의 1.6 유리수 체 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적인 복소수체 \(\mathbb{C}\)의 원소를 대수적 수(algebraic number)라 하고 \(\mathbb{Q}\)위에서 초월적인 원소를 초월수(transcendental number)라고 한다.   

정리 1.7 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)라 하자. 그러면 유일한 기약다항식 \(p(x)\in F[x]\)가 존재해서 \(p(\alpha)=0\)이고 \(\text{deg}p(x)\geq1\)이다. 또한 \(f(x)(\neq0)\in F[x]\)에 대하여 \(f(\alpha)=0\)이면 \(p(x)\)는 \(f(x)\)를 나눈다.  

정의 1.8 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)를 \(F\) 위에서 대수적이라 하자. 정리 1.7의 서질을 만족하는 최고차항의 계수가 1인 유일한 다항식(모닉다항식, monic polynomial이라고 한다) \(p(x)\)를 \(F\)위에서 \(\alpha\)의 기약다항식이라 하고 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)로 나타낸다. \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)의 차수는 \(F\) 위에서 \(\alpha\)의 차수이고 \(\text{deg}(\alpha,\,F)\)로 나타낸다.  

예 1.9 예 1.5에서 다루었던 \(\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}\)과 \(\displaystyle\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)에 대하여$$\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})=x^{4}-2x^{2}-2,\,\text{irr}(\omega,\,\mathbb{Q})=x^{2}+x+1$$이고 \(\text{deg}(\alpha,\,\mathbb{Q})=4\), \(\text{deg}(\omega,\,\mathbb{Q})=2\)이다.  

정의 1.10 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)라 하자. 체 \(F\)에 \(\alpha\)를 첨가해(by adjoining) 얻은 확대체를 \(F(\alpha)\)로 나타내고, \(E=F(\alpha)\)이면 \(E\)를 \(F\)의 단순확대체(simple extension)라고 한다.  

정리 1.11 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)를 체 \(F\) 위에서 대수적, \(E=F(\alpha)\)라 하자. \(\text{deg}(\alpha,\,F)=n\geq1\)이면, 임의의 \(\beta\in F(\alpha)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고, 이 표현은 유일하다.$$\beta=b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)$$2. 벡터공간, 유한확대체 

정의 2.1 \(F\)를 체, \(V\)를 덧셈에 대한 아벨군이라 하자. 스칼라곱 \(F\times V\,\rightarrow\,V\)이 \(a,\,b\in F\)와 \(\alpha,\,\beta\in V\)에 대하여 다음을 만족하면 \(V\)를 \(F-\)벡터공간(vector space)이라고 한다. 

\(V_{1}:\,a\alpha\in V\) 

\(V_{2}:\,a(b\alpha)=(ab)\alpha\) 

\(V_{3}:\,(a+b)\alpha=(a\alpha)+(b\alpha)\) 

\(V_{4}:\,a(\alpha+\beta)=(a\alpha)+(a\beta)\) 

\(V_{5}:\,1\alpha=\alpha\) 

\(V\)의 원소를 벡터(vector), \(F\)의 원소를 스칼라(scalar)라고 한다. 

체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체라 하자. 그러면 \(E\)를 체 \(F\)위의 벡터공간으로 볼 수 있다. 이때 \(E\)를 \(F-\)벡터공간이라 하고 \(E\)의 원소 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\)이 \(F\) 위에서 일차독립(linearly independent)즉$$a_{1}\alpha_{1}+\cdots+a_{n}\alpha_{n}=0\,\Leftrightarrow\,a_{1}=\cdots=a_{n}=0$$이면 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\)을 \(F-\)일차독립이라 하고, 일차종속인 경우는 즉 적당한 \(a_{i}(\neq0)\)에 대하여$$a_{1}\alpha_{1}+\cdots+a_{n}\alpha_{n}=0$$이면, \(F-\)일차종속이라고 한다. 

또한 \(B=\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}\)가 \(F-\)벡터공간 \(E\)의 기저이면 \(B\)를 \(E\)의 \(F-\)기저라고 한다. 

정리 2.2 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)를 \(F\) 위에서 대수적이라 하자. \(\text{deg}(\alpha,\,F)=n\)이면 \(F(\alpha)\)는 기저가 \(\{1,\,\alpha,\,...,\,\alpha^{n-1}\}\)인 \(n\)차원 \(F-\)벡터공간이다. 모든 \(\beta\in F(\alpha)\)는 \(F\) 위에서 대수적이고 \(\text{deg}(\beta,\,F)\leq\text{deg}(\alpha,\,F)\)이다.   

정의 2.3 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체라고 하자. \(E\)의 모든 원소들이 \(F\) 위에서 대수적이면 \(E\)를 \(F\)의 대수적 확대체(algebraic extension)라고 한다.  

정의 2.4 체 \(F\)의 확대체 \(E\)가 \(n\)차원 \(F-\)벡터공간이면 \(E\)는 차수가 \(n\)인 \(F\)의 유한 확대체(finite extension)라 하고 차수 \(n\)을 \([E:F]\)로 나타낸다. 

\([E:F]=1\)이면, \(E=F\)인데 그 이유는 정리 2.2에 의해 \(\{1\}\)은 항상 \(F-\)벡터공간 \(E\)의 기저로 확장되므로 \(E=F(1)=F\)이기 때문이다.  

정리 2.5 체 \(F\)의 유한 확대체 \(E\)는 \(F\)의 대수적 확대체이다.  

정리 2.6 체 \(E\)가 체 \(F\)의 유한확대체이고, 체 \(K\)가 체 \(E\)의 유한확대체이면, \(K\)는 \(F\)의 유한확대체이고 다음이 성립한다.$$[K:F]=[K:E][E:F]$$위의 정리로부터 \(\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}\)이 \(F-\)벡터공간 \(E\)의 기저, \(\{\beta_{1},\,...,\,\beta_{m}\}\)이 \(E-\)벡터공간 \(K\)의 기저이면 \(\{\alpha_{i}\beta_{j}\}\)는 \(F\)위에서 \(K\)의 기저이다.   

따름정리 2.7 \(i=1,\,...,\,n\)에 대하여 \(F_{i}\)가 체이고 \(F_{i+1}\)가 \(F_{i}\)의 유한 확대체이면, \(F_{r}\)은 \(F_{i}\)의 유한확대체이고, 다음이 성립한다.$$[F_{r}:F_{1}]=[F_{r}:F_{r-1}][F_{r-1}:F_{r-2}]\cdots[F_{2}:F_{1}]$$따름정리 2.8 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)를 \(F\) 위에서 대수적, \(\beta\in F(\alpha)\)라 하자. 그러면 \(\text{deg}(\beta,\,F)\)는 \(\text{deg}(\alpha,\,F)\)를 나눈다. 즉 \(\text{deg}(\alpha,\,F)\)는 \(\text{deg}(\beta,\,F)\)의 배수이다.    

예 2.9 따름정리 2.8에 의해 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})(=\{a+b\sqrt{2}\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\})\)는 \(x^{3}-2\)의 근을 포함하지 않는다. 만약 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)가 \(x^{3}-2\)의 근 \(\alpha\)를 포함하면 \(\mathbb{Q}\leq\mathbb{Q}(\alpha)\leq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)이어야 하는데 \(\text{deg}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})=2\), \(\text{deg}(\alpha,\,\mathbb{Q})=3\)이고 3은 2를 나누지 않으므로 모순이다.  

정의 2.10 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체라 하자. \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in E\)에 대하여$$F(\alpha_{1}),\,(F(\alpha_{1}))(\alpha_{2}),\,\cdots,\,(\cdots((F(\alpha_{1}))(\alpha_{2})))(\alpha_{n})$$을 각각 \(F(\alpha_{1}),\,F(\alpha_{1},\,\alpha_{2}),\,...,\,F(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{n})\)으로 나타내고 \(F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)을 체 \(F\)에 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\)을 첨가해서(by adjoining) 얻은 확대체라고 한다.    

예 2.11 \(\{1,\,\sqrt{2}\}\)는 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)의 기저이고, \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)은 기약다항식 \(x^{4}-10x^{2}+1\in\mathbb{Q}[x]\)의 근이므로 \(\text{irr}(\sqrt{2}+\sqrt{3},\,\mathbb{Q})=x^{4}-10x^{2}+1\)이고 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}]\)이다. 따라서 \((\sqrt{2}+\sqrt{3}),\,\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)이고 \(\{1,\,\sqrt{3}\}\)은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)위에서 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})=(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))(\sqrt{3})\)의 기저이며 \(\{1,\,\sqrt{2},\,\sqrt{3},\,\sqrt{6}\}\)은 \(\mathbb{Q}\)위에서 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)의 기저이다. 

따라서 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2\), \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2\)이므로 정리 2.6에 의해 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4\)이고 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]\)이므로 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)이다.   

* \(a,\,b\in\mathbb{Q}\,(a\neq b,\,\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq0)\)에 대하여 \(\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})\)이다. 

\(\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})\)는 분명하고 \(\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)가 성립함을 보이면 된다. \(\alpha=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)라 하자. 그러면 \(\alpha=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)이고$$\frac{1}{2}(\alpha+(\sqrt{a}+\sqrt{b}))=\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{a})=\sqrt{a}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})$$이며 \((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a}=\sqrt{b}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)이므로 \(\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)이고 따라서 \(\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})=\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)이다.   

예 2.12 \(\text{deg}(2^{\frac{1}{2}},\,\mathbb{Q})=2\), \(\text{deg}(2^{\frac{1}{3}},\,\mathbb{Q})=3\)이므로 \(2^{\frac{1}{2}}\notin\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\)이고 \([\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})]\)이다. 그러므로 \(\{1,\,2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{2}{3}}\}\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\)의 기저이고 \(\{1,\,2^{\frac{1}{2}}\}\)는 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\)위에서 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})\)의 기저이다. 그러면 \(\{1,\,2^{\frac{1}{2}},\,2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{5}{6}},\,2^{\frac{2}{3}},\,2^{\frac{7}{6}}\}\)은 \(\mathbb{Q}\)위에서 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})\)의 기저이고 \(2^{\frac{7}{6}}=2\cdot2^{\frac{1}{6}}\)이므로 \(2^{\frac{1}{6}}\in\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})\)이다. \(\text{irr}(2^{\frac{1}{6}},\,\mathbb{Q})=x^{6}-2\)이므로 \(\mathbb{Q}\leq\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})\leq\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{3}})\)이고 정리 2.6에 의해$$6=[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})][\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})]6$$이므로 \([\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})]=1\)이고 따라서 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})=\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})\)이다.   

정리 2.13 체 \(E\)를 체 \(F\)의 대수적 확대체라고 하자. 그러면 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in E\)가 존재해서 \(E=F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)일 필요충분조건은 \(E\)가 \(F\)의 유한확대체이다. 

3. 작도 

평면 위의 서로 다른 점 \(\text{P},\,\text{Q}\)에 대해 눈금 없는 자를 이용해 이 두 점을 지나는 직선 직선 \(\overleftrightarrow{\text{PQ}}\)와 선분 \(\overline{\text{PQ}}\)를 작도할 수 있고, 컴파스를 이용해 점 \(\text{P}\)를 중심으로 하고 \(\overline{\text{PQ}}\)를 반지름으로 갖는 원 \(\text{C}(\text{P}:\text{Q})\)를 작도할 수 있다(아래 그림 참고).

이처럼 평면 위에서 눈금 없는 자와 컴파스를 이용해 그릴 수 있는 도형을 작도가능한 도형(constructible figure)이라고 한다.

작도를 할 때, 다음의 세 가지 기본작도 I, II, III를 유한번 시행한다.

기본작도 I. 한 점 \(\text{P}\)를 지나고 주어진 직선 \(l\)에 수직인 직선 \(\overleftrightarrow{\text{PQ}}\)를 작도하기.

위의 왼쪽 그림은 \(P\notin l\)인 경우, 오른쪽 그림은 \(P\in l\)인 경우이다. 직선 \(l\)위의 점 \(\text{A},\,\text{B}\)를 고르고 이때 점 \(\text{P}\)가 사이에 있게 한다. 다음으로 점 \(\text{A}\)를 중심으로 하고 \(\overline{\text{AB}}\)를 반지름으로 하는 원을 그리고, 점 \(\text{B}\)를 중심으로 하고 \(\overline{\text{BA}}\)를 반지름으로 하는 원을 그린다. 다음으로 두 원의 교점을 지나는 직선을 그으면 이 직선은 \(l\)과 수직인 직선이다. \(\text{P}\)가 \(l\)위에 없으면 위의 왼쪽 그림처럼 그려진 두 원의 교점 중 하나가 점 \(\text{P}\)이고, \(\text{P}\)가 \(l\)위에 있으면 위의 오른쪽 그림처럼 \(l\)과 수직이등분선의 교점이 점 \(\text{P}\)이다.    

기본작도 II. 주어진 직선 \(l\)과 직선 위에 있지 않은 점 \(\text{P}\)에 대하여 점 \(\text{P}\)를 지나 직선 \(l\)에 평행한 직선 \(m\)을 작도하기(기본작도 I을 이용한다).

이 경우는 기본작도 I에서 점 \(\text{P}\)가 직선 \(l\)위에 있지 않은 경우의 방법을 이용해 수직이등분선을 작도한다. 다음으로 90도 회전해서 점 \(\text{P}\)가 수직이등분선 위에 있으므로 점이 직선 위에 있는 경우의 방법을 이용하여 수직이등분선을 작도한다. 마지막에 작도한 수직이등분선이 직선 \(m\)이다. 

기본작도 III. 주어진 두 점 \(\text{A},\,\text{B}\)와 직선 \(l\)에 대하여, 점 \(\text{P}\)가 직선 \(l\)위에 있을 때 직선 \(l\) 위에서 \(\overline{\text{PQ}}=\overline{\text{AB}}\)인 점 \(\text{Q}\)를 작도하기(기본작도 II를 이용한다).

먼저 점 \(\text{A}\)를 중심으로 하고 반지름이 \(\overline{\text{AB}}\)인 원 \(\text{C}(\text{A}:\text{B})\)를 작도한다. 다음으로 기본작도 II를 이용해 점 \(\text{A}\)를 지나고 직선 \(l\)과 평행한 직선 \(m\)을 작도한다. 직선 \(m\)과 원 \(\text{C}(\text{A}:\text{B})\)의 교점 \(\text{B}'\)을 구하고 점 \(\text{A}\)와 점 \(\text{P}\)를 잇는 직선(\(\overleftrightarrow{\text{AB}}\)을 작도한다. 마지막으로 기본작도 II를 이용해 \(\overleftrightarrow{\text{AB}}\)와 평행하고 점 \(\text{B}'\)을 지나는 직선을 작도해 이 직선과 직선 \(l\)의 교점을 구한다. 이 교점이 \(\text{Q}\)이고 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AB'}}=\overline{\text{PQ}}\)이다.      

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사