대수학과 작도(1)

대수학과 작도(1) 

1. 확대체

정의 1.1 체 $F$와 체 $E$에 대해 $F\leq E$, 즉 체 $F$가 체 $E$의 부분체이면, $E$를 $F$의 확대체(extension field)라고 한다. 

정리 1.2 (크로네커 정리, Kronecker's Theorem) 

$F$를 체, $f(x)\in F[x]$라 하자. 그러면 $F$의 확대체 $E$와 $\alpha\in E$가 존재해서 $f(\alpha)=0$이다.  

정의 1.3 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$라 하자. 적당한 $f(x)\in F[x]$에 대하여 $f(\alpha)=0$이면 $\alpha$는 $F$ 위에서 대수적(algebraic)이라고 한다. $\alpha$가 $F$ 위에서 대수적이지 않으면 $\alpha$는 $F$위에서 초월적(transcendental)이라고 한다.   

예 1.4 복소수체 $\mathbb{C}$는 유리수체 $\mathbb{Q}$의 확대체이다. 무리수 $\sqrt{2}$는 $x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]$의 근이므로 $\sqrt{2}$는 $\mathbb{Q}$위에서 대수적이고 순허수(복소수) $i(=\sqrt{-1})$는 $x^{2}+1\in\mathbb{Q}[x]$의 근이므로 $i$는 $\mathbb{Q}$위에서 대수적이다. 반면 $\pi$와 $e$는 $\mathbb{Q}$위에서 초월적이다.  

예 1.5 $\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}$라 하면 $\alpha^{2}-1=\sqrt{3}$이므로 $\alpha^{4}-2\alpha^{2}-2=0$이고 $x^{4}-2x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]$는 $\mathbb{Q}$ 위에서 기약(아이젠슈타인 판정법에서 $p=2$)이므로 따라서 $\alpha$는 $x^{4}-2x^{2}-2$의 근이고 $\mathbb{Q}$위에서 대수적이다. 또한 $\displaystyle\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$에 대하여 $\omega^{2}+\omega+1=0$이고 $x^{2}+x+1\in\mathbb{Q}[x]$는 기약다항식이므로 $\omega$는 $x^{2}+x+1$의 근이고 $\mathbb{Q}$위에서 대수적이다.   

정의 1.6 유리수 체 $\mathbb{Q}$위에서 대수적인 복소수체 $\mathbb{C}$의 원소를 대수적 수(algebraic number)라 하고 $\mathbb{Q}$위에서 초월적인 원소를 초월수(transcendental number)라고 한다.   

정리 1.7 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$라 하자. 그러면 유일한 기약다항식 $p(x)\in F[x]$가 존재해서 $p(\alpha)=0$이고 $\text{deg}p(x)\geq1$이다. 또한 $f(x)(\neq0)\in F[x]$에 대하여 $f(\alpha)=0$이면 $p(x)$는 $f(x)$를 나눈다.  

정의 1.8 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$를 $F$ 위에서 대수적이라 하자. 정리 1.7의 서질을 만족하는 최고차항의 계수가 1인 유일한 다항식(모닉다항식, monic polynomial이라고 한다) $p(x)$를 $F$위에서 $\alpha$의 기약다항식이라 하고 $\text{irr}(\alpha,\,F)$로 나타낸다. $\text{irr}(\alpha,\,F)$의 차수는 $F$ 위에서 $\alpha$의 차수이고 $\text{deg}(\alpha,\,F)$로 나타낸다.  

예 1.9 예 1.5에서 다루었던 $\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}$과 $\displaystyle\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$에 대하여 $$\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})=x^{4}-2x^{2}-2,\,\text{irr}(\omega,\,\mathbb{Q})=x^{2}+x+1$$ 이고 $\text{deg}(\alpha,\,\mathbb{Q})=4$, $\text{deg}(\omega,\,\mathbb{Q})=2$이다.  

정의 1.10 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$라 하자. 체 $F$에 $\alpha$를 첨가해(by adjoining) 얻은 확대체를 $F(\alpha)$로 나타내고, $E=F(\alpha)$이면 $E$를 $F$의 단순확대체(simple extension)라고 한다.  

정리 1.11 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$를 체 $F$ 위에서 대수적, $E=F(\alpha)$라 하자. $\text{deg}(\alpha,\,F)=n\geq1$이면, 임의의 $\beta\in F(\alpha)$를 다음과 같이 나타낼 수 있고, 이 표현은 유일하다. $$\beta=b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)$$ 2. 벡터공간, 유한확대체 

정의 2.1 $F$를 체, $V$를 덧셈에 대한 아벨군이라 하자. 스칼라곱 $F\times V\,\rightarrow\,V$이 $a,\,b\in F$와 $\alpha,\,\beta\in V$에 대하여 다음을 만족하면 $V$를 $F-$벡터공간(vector space)이라고 한다. 

$V_{1}:\,a\alpha\in V$ 

$V_{2}:\,a(b\alpha)=(ab)\alpha$ 

$V_{3}:\,(a+b)\alpha=(a\alpha)+(b\alpha)$ 

$V_{4}:\,a(\alpha+\beta)=(a\alpha)+(a\beta)$ 

$V_{5}:\,1\alpha=\alpha$ 

$V$의 원소를 벡터(vector), $F$의 원소를 스칼라(scalar)라고 한다. 

체 $E$를 체 $F$의 확대체라 하자. 그러면 $E$를 체 $F$위의 벡터공간으로 볼 수 있다. 이때 $E$를 $F-$벡터공간이라 하고 $E$의 원소 $\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}$이 $F$ 위에서 일차독립(linearly independent)즉 $$a_{1}\alpha_{1}+\cdots+a_{n}\alpha_{n}=0\,\Leftrightarrow\,a_{1}=\cdots=a_{n}=0$$ 이면 $\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}$을 $F-$일차독립이라 하고, 일차종속인 경우는 즉 적당한 $a_{i}(\neq0)$에 대하여 $$a_{1}\alpha_{1}+\cdots+a_{n}\alpha_{n}=0$$ 이면, $F-$일차종속이라고 한다. 

또한 $B=\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}$가 $F-$벡터공간 $E$의 기저이면 $B$를 $E$의 $F-$기저라고 한다. 

정리 2.2 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$를 $F$ 위에서 대수적이라 하자. $\text{deg}(\alpha,\,F)=n$이면 $F(\alpha)$는 기저가 $\{1,\,\alpha,\,...,\,\alpha^{n-1}\}$인 $n$차원 $F-$벡터공간이다. 모든 $\beta\in F(\alpha)$는 $F$ 위에서 대수적이고 $\text{deg}(\beta,\,F)\leq\text{deg}(\alpha,\,F)$이다.   

정의 2.3 체 $E$를 체 $F$의 확대체라고 하자. $E$의 모든 원소들이 $F$ 위에서 대수적이면 $E$를 $F$의 대수적 확대체(algebraic extension)라고 한다.  

정의 2.4 체 $F$의 확대체 $E$가 $n$차원 $F-$벡터공간이면 $E$는 차수가 $n$인 $F$의 유한 확대체(finite extension)라 하고 차수 $n$을 $[E:F]$로 나타낸다. 

$[E:F]=1$이면, $E=F$인데 그 이유는 정리 2.2에 의해 $\{1\}$은 항상 $F-$벡터공간 $E$의 기저로 확장되므로 $E=F(1)=F$이기 때문이다.  

정리 2.5 체 $F$의 유한 확대체 $E$는 $F$의 대수적 확대체이다.  

정리 2.6 체 $E$가 체 $F$의 유한확대체이고, 체 $K$가 체 $E$의 유한확대체이면, $K$는 $F$의 유한확대체이고 다음이 성립한다. $$[K:F]=[K:E][E:F]$$ 위의 정리로부터 $\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}$이 $F-$벡터공간 $E$의 기저, $\{\beta_{1},\,...,\,\beta_{m}\}$이 $E-$벡터공간 $K$의 기저이면 $\{\alpha_{i}\beta_{j}\}$는 $F$위에서 $K$의 기저이다.   

따름정리 2.7 $i=1,\,...,\,n$에 대하여 $F_{i}$가 체이고 $F_{i+1}$가 $F_{i}$의 유한 확대체이면, $F_{r}$은 $F_{i}$의 유한확대체이고, 다음이 성립한다. $$[F_{r}:F_{1}]=[F_{r}:F_{r-1}][F_{r-1}:F_{r-2}]\cdots[F_{2}:F_{1}]$$ 따름정리 2.8 체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$를 $F$ 위에서 대수적, $\beta\in F(\alpha)$라 하자. 그러면 $\text{deg}(\beta,\,F)$는 $\text{deg}(\alpha,\,F)$를 나눈다. 즉 $\text{deg}(\alpha,\,F)$는 $\text{deg}(\beta,\,F)$의 배수이다.    

예 2.9 따름정리 2.8에 의해 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})(=\{a+b\sqrt{2}\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\})$는 $x^{3}-2$의 근을 포함하지 않는다. 만약 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$가 $x^{3}-2$의 근 $\alpha$를 포함하면 $\mathbb{Q}\leq\mathbb{Q}(\alpha)\leq\mathbb{Q}(\sqrt{2})$이어야 하는데 $\text{deg}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})=2$, $\text{deg}(\alpha,\,\mathbb{Q})=3$이고 3은 2를 나누지 않으므로 모순이다.  

정의 2.10 체 $E$를 체 $F$의 확대체라 하자. $\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in E$에 대하여 $$F(\alpha_{1}),\,(F(\alpha_{1}))(\alpha_{2}),\,\cdots,\,(\cdots((F(\alpha_{1}))(\alpha_{2})))(\alpha_{n})$$ 을 각각 $F(\alpha_{1}),\,F(\alpha_{1},\,\alpha_{2}),\,...,\,F(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{n})$으로 나타내고 $F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})$을 체 $F$에 $\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}$을 첨가해서(by adjoining) 얻은 확대체라고 한다.    

예 2.11 $\{1,\,\sqrt{2}\}$는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$의 기저이고, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$은 기약다항식 $x^{4}-10x^{2}+1\in\mathbb{Q}[x]$의 근이므로 $\text{irr}(\sqrt{2}+\sqrt{3},\,\mathbb{Q})=x^{4}-10x^{2}+1$이고 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$이다. 따라서 $(\sqrt{2}+\sqrt{3}),\,\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{2})$이고 $\{1,\,\sqrt{3}\}$은 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$위에서 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})=(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))(\sqrt{3})$의 기저이며 $\{1,\,\sqrt{2},\,\sqrt{3},\,\sqrt{6}\}$은 $\mathbb{Q}$위에서 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$의 기저이다. 

따라서 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$, $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$이므로 정리 2.6에 의해 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$이고 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$이므로 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$이다.   

* $a,\,b\in\mathbb{Q}\,(a\neq b,\,\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq0)$에 대하여 $\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})$이다. 

$\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})$는 분명하고 $\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$가 성립함을 보이면 된다. $\alpha=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$라 하자. 그러면 $\alpha=\sqrt{a}-\sqrt{b}$이고 $$\frac{1}{2}(\alpha+(\sqrt{a}+\sqrt{b}))=\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{a})=\sqrt{a}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})$$ 이며 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a}=\sqrt{b}\in\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$이므로 $\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$이고 따라서 $\mathbb{Q}(\sqrt{a},\,\sqrt{b})=\mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$이다.   

예 2.12 $\text{deg}(2^{\frac{1}{2}},\,\mathbb{Q})=2$, $\text{deg}(2^{\frac{1}{3}},\,\mathbb{Q})=3$이므로 $2^{\frac{1}{2}}\notin\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$이고 $[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})]$이다. 그러므로 $\{1,\,2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{2}{3}}\}$는 $\mathbb{Q}$위에서 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$의 기저이고 $\{1,\,2^{\frac{1}{2}}\}$는 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$위에서 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})$의 기저이다. 그러면 $\{1,\,2^{\frac{1}{2}},\,2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{5}{6}},\,2^{\frac{2}{3}},\,2^{\frac{7}{6}}\}$은 $\mathbb{Q}$위에서 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})$의 기저이고 $2^{\frac{7}{6}}=2\cdot2^{\frac{1}{6}}$이므로 $2^{\frac{1}{6}}\in\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})$이다. $\text{irr}(2^{\frac{1}{6}},\,\mathbb{Q})=x^{6}-2$이므로 $\mathbb{Q}\leq\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})\leq\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{3}})$이고 정리 2.6에 의해 $$6=[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})][\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})]6$$ 이므로 $[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}}):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})]=1$이고 따라서 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,2^{\frac{1}{2}})=\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{6}})$이다.   

정리 2.13 체 $E$를 체 $F$의 대수적 확대체라고 하자. 그러면 $\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in E$가 존재해서 $E=F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})$일 필요충분조건은 $E$가 $F$의 유한확대체이다. 

3. 작도 

평면 위의 서로 다른 점 $\text{P},\,\text{Q}$에 대해 눈금 없는 자를 이용해 이 두 점을 지나는 직선 직선 $\overleftrightarrow{\text{PQ}}$와 선분 $\overline{\text{PQ}}$를 작도할 수 있고, 컴파스를 이용해 점 $\text{P}$를 중심으로 하고 $\overline{\text{PQ}}$를 반지름으로 갖는 원 $\text{C}(\text{P}:\text{Q})$를 작도할 수 있다(아래 그림 참고).

이처럼 평면 위에서 눈금 없는 자와 컴파스를 이용해 그릴 수 있는 도형을 작도가능한 도형(constructible figure)이라고 한다.

작도를 할 때, 다음의 세 가지 기본작도 I, II, III를 유한번 시행한다.

기본작도 I. 한 점 $\text{P}$를 지나고 주어진 직선 $l$에 수직인 직선 $\overleftrightarrow{\text{PQ}}$를 작도하기.

위의 왼쪽 그림은 $P\notin l$인 경우, 오른쪽 그림은 $P\in l$인 경우이다. 직선 $l$위의 점 $\text{A},\,\text{B}$를 고르고 이때 점 $\text{P}$가 사이에 있게 한다. 다음으로 점 $\text{A}$를 중심으로 하고 $\overline{\text{AB}}$를 반지름으로 하는 원을 그리고, 점 $\text{B}$를 중심으로 하고 $\overline{\text{BA}}$를 반지름으로 하는 원을 그린다. 다음으로 두 원의 교점을 지나는 직선을 그으면 이 직선은 $l$과 수직인 직선이다. $\text{P}$가 $l$위에 없으면 위의 왼쪽 그림처럼 그려진 두 원의 교점 중 하나가 점 $\text{P}$이고, $\text{P}$가 $l$위에 있으면 위의 오른쪽 그림처럼 $l$과 수직이등분선의 교점이 점 $\text{P}$이다.    

기본작도 II. 주어진 직선 $l$과 직선 위에 있지 않은 점 $\text{P}$에 대하여 점 $\text{P}$를 지나 직선 $l$에 평행한 직선 $m$을 작도하기(기본작도 I을 이용한다).

이 경우는 기본작도 I에서 점 $\text{P}$가 직선 $l$위에 있지 않은 경우의 방법을 이용해 수직이등분선을 작도한다. 다음으로 90도 회전해서 점 $\text{P}$가 수직이등분선 위에 있으므로 점이 직선 위에 있는 경우의 방법을 이용하여 수직이등분선을 작도한다. 마지막에 작도한 수직이등분선이 직선 $m$이다. 

기본작도 III. 주어진 두 점 $\text{A},\,\text{B}$와 직선 $l$에 대하여, 점 $\text{P}$가 직선 $l$위에 있을 때 직선 $l$ 위에서 $\overline{\text{PQ}}=\overline{\text{AB}}$인 점 $\text{Q}$를 작도하기(기본작도 II를 이용한다).

먼저 점 $\text{A}$를 중심으로 하고 반지름이 $\overline{\text{AB}}$인 원 $\text{C}(\text{A}:\text{B})$를 작도한다. 다음으로 기본작도 II를 이용해 점 $\text{A}$를 지나고 직선 $l$과 평행한 직선 $m$을 작도한다. 직선 $m$과 원 $\text{C}(\text{A}:\text{B})$의 교점 $\text{B}'$을 구하고 점 $\text{A}$와 점 $\text{P}$를 잇는 직선($\overleftrightarrow{\text{AB}}$을 작도한다. 마지막으로 기본작도 II를 이용해 $\overleftrightarrow{\text{AB}}$와 평행하고 점 $\text{B}'$을 지나는 직선을 작도해 이 직선과 직선 $l$의 교점을 구한다. 이 교점이 $\text{Q}$이고 $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AB'}}=\overline{\text{PQ}}$이다.      

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사