다항식의 기초 대수학적 성질(1)

다항식의 기초 대수학적 성질(1) 

다항식의 기초 대수학적 성질에 대해 다루고자 한다. 

1. 기초 환 및 체론 

정의 1.1 집합 $R$에 덧셈 $+$와 곱셈 $\cdot$가 다음의 공리를 만족하면 $\langle R,\,+,\,\cdot\rangle$를 환(ring)이라고 한다. 

R1: $\langle R,\,+\rangle$는 아벨군(가환군)이다. 

R2: 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 

R3: $a,\,b,\,c\in R$에 대하여 다음이 성립한다.

좌분배법칙(left distributive law): $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ 

우분배법칙(right distributive law): $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$ 

정의 1.2 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 군을 가환환(commutative ring)이라 하고 단위원(unity)이라고 불리는 곱셈항등원 $1(\neq0)$을 갖는 환을 단위원을 갖는 환(ring with unity)이라고 한다. 

정의 1.3 단위원을 갖는 환 $R$에 대하여 $u\in R$가 $R$에서 곱셈에 대한 역원을 가지면 $U$를 $R$의 단원(unit)이라고 한다. $R$의 덧셈항등원 $0$을 제외한 모든 원소들이 단원이면 $R$을 나눗셈 환(division ring)이라고 한다. 

환 $R$이 가환환이고 나눗셈 환이면, $R$을 체(field)라고 한다. 

정의 1.4 환 $R$의 부분집합 $S$가 덧셈과 곱셈에 대해 환이 되면 $S$를 부분환(subring)이라고 하고, 같은 방법으로 체 $F$의 부분집합 $S$가 덧셈과 곱셈에 대해 체가 되면 $S$를 부분체(subfield)라고 한다. 

정의 1.5 $R,\,R'$을 각각 환이라 하자. $a,\,b\in R$에 대하여 사상 $\phi:R\,\rightarrow\,R'$이

(i) $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$

(ii) $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$

를 만족하면 $\phi$를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다. 

정의 1.6 환 $R$의 0이 아닌 두 원소 $a,\,b$에 대하여 $ab=0$이면, $a,\,b$를 0의 약수(divisor of zero)라고 한다. $D$가 단위원을 갖는 가환환이고, 0의 약수를 갖지 않는 가환환이면, $D$를 정역(integral domain)이라고 한다. 

 

정의 1.7 환 $R$의 덧셈 부분군 $N$이 모든 $a,\,b\in R$에 대해 $aN\subset N$이고 $Nb\subset N$이면, $N$을 환 $R$의 아이디얼(ideal)이라고 한다.    

정리 1.8 $R$이 단위원을 갖는 환이고 $N$이 단원을 갖는 $R$의 아이디얼이면 $N=R$이다. 

정의 1.9 $R$을 환, $N$을 환 $R$의 아이디얼이라고 하자. $R/N=\{a+N\,|\,a\in R\}$로 정의된 환 $R/N$은 다음의 덧셈과 곱셈을 만족하고

덧셈: $(a+N)+(b+N)=(a+b)+N$ 

곱셈: $(a+N)(b+N)=ab+N$

이것을 $N$을 법으로 하는 $R$의 잉여환(factor ring)이라고 한다. 

정의 1.10 $M$을 환 $R$의 아이디얼이라고 하자. $M\subset N\subset R$인 아이디얼 $N$이 존재하지 않으면 $M$을 환 $R$의 극대 아이디얼(maximum ideal)이라고 한다. 

정리 1.11 단위원을 갖는 가환환 $R$의 아이디얼 $M$이 극대일 필요충분조건은 $R/M$이 체이다. 

정의 1.12 가환환 $R$의 아이디얼 $N(\neq R)$이 모든 $a,\,b\in R$에 대하여 $ab\in N$일 때 $a\in N$ 또는 $b\in N$이면 $N$을 $R$의 소 아이디얼(prime ideal)이라고 한다.

정리 1.13 단위원을 갖는 가환환의 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 

정의 1.14 $R$을 단위원을 갖는 가환환, $a\in R$이라 하자. 아이디얼 $\{ra\,|\,r\in R\}$를 $a$로 생성된 주 아이디얼(principal ideal)이라고 하고 $\langle a\rangle$로 나타낸다. 

$R$의 주 아이디얼 $N$은 $R$의 적당한 원소 $a$에 대하여 $N=\langle a\rangle$인 $R$의 아이디얼이다. 

2. 다항식 환

정의 2.1 환 $R$과 부정원(indeterminate) $x$에 대하여 다음과 같은 형식적 무한합(formal infinite sum)을 $R$위의 $x$에 대한 다항식(polynomial)이라고 한다. $$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots$$ 여기서 $a_{i}\in R$이고 유한개를 제외한 모든 $i$에 대하여 $a_{i}=0$이고, $a_{i}$를 $f(x)$의 계수(coefficient), $a_{i}\neq0$인 $i$가 존재할 때 이러한 $i$중 가장 큰 값을 $f(x)$의 차수(degree)라 하고 $\text{deg}f(x)$로 나타낸다. 

정의 2.2 환 $R$위의 다항식 $f(x)$가 상수항을 제외한 계수가 모두 $0$, 즉 $f(x)=a_{0}$이면, 이 다항식 $f(x)$를 상수다항식(constant polynomial)이라고 한다. 

환 $R$의 임의의 원소를 상수다항식이라고 할 수 있다. 

정리 2.3 환 $R$의 원소를 계수로 갖는 부정원 $x$에 대한 다항식 전체의 집합을 $R[x]$, 이 집합에서 합과 곱을 다음과 같이 정의하자. 

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots,\,g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}+\cdots\in R[x]$에 대하여 

덧셈: $f(x)+g(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots+c_{n}x^{n}+\cdots\,(c_{n}=a_{n}+b_{n})$ 

곱셈: $\displaystyle f(x)g(x)=d_{0}+d_{1}x+\cdots+d_{n}x^{n}\,\left(d_{n}=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)$ 

그러면 $R[x]$는 환이다.  

증명: $\langle R[x],\,+\rangle$가 아벨군임은 분명하다. $a_{i},\,b_{j},\,c_{k}\in R$에 대하여 $$\begin{align*}\left\{\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}\right)\right\}\left(\sum_{k=0}^{\infty}{c_{k}x^{k}}\right)&=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)x^{n}}\right\}\left(\sum_{k=0}^{\infty}{c_{k}x^{k}}\right)\\&=\sum_{s=0}^{\infty}{\left\{\sum_{n=0}^{s}{\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)c_{s-n}}\right\}x^{s}}\\&=\sum_{s=0}^{\infty}{\left(\sum_{i+j+k=s}a_{i}b_{j}c_{k}\right)x^{s}}\\&=\sum_{s=0}^{\infty}{\left\{\sum_{m=0}^{s}{a_{s-m}\left(\sum_{j=0}^{m}{b_{j}c_{m-j}}\right)}\right\}x^{s}}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left\{\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{j=0}^{m}{b_{j}c_{m-j}}\right)x^{m}}\right\}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left\{\left(\sum_{j=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}{c_{k}x^{k}}\right)\right\}\end{align*}$$ 이므로 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. $$\begin{align*}\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}+\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left\{\sum_{j=0}^{\infty}{(b_{j}+c_{j})x^{j}}\right\}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left\{\sum_{i=0}^{n}{a_{i}(b_{n-i}+c_{n-i})}\right\}x^{n}}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)x^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}c_{n-i}}\right)x^{n}}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}\right)+\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}+\sum_{i=0}^{\infty}{b_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)&=\left\{\sum_{i=0}^{\infty}{(a_{i}+b_{i})x^{i}}\right\}\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left\{\sum_{i=0}^{n}{(a_{i}+b_{i})c_{n-i}}\right\}x^{n}}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}c_{n-i}}\right)x^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{b_{i}c_{n-i}}\right)x^{n}}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)+\left(\sum_{i=0}^{\infty}{b_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)\end{align*}$$ 이므로 좌, 우분배법칙이 성립한다. 

그러므로 $R[x]$는 환이다.    

*연산의 정의에 의해 $R$이 가환환이면 $R[x]$도 가환환이고, $R$에서의 단위원 $1$은 $R[x]$에서의 단위원이다. 

*$D$가 정역이면 $D[x]$도 정역이 되는데 그 이유는 $a_{i},\,b_{i}\in D$에 대하여 $$\begin{align*}f(x)&=a_{m}x^{m}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{m}\neq0)\\g(x)&=b_{n}x^{n}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\,(b_{n}\neq0)\end{align*}$$ 이라 하자. $f(x),\,g(x)\in D[x]$이고 $a_{m},\,b_{n}\in D$이므로 $a_{m}b_{n}\neq0$이고 이것은 $f(x)g(x)\neq0$을 뜻한다. 또한 $D$의 단위원 1은 $D[x]$에서의 단위원이므로 따라서 $D[x]$는 정역이다. 이 결과로부터 $F$가 체이면 $F[x]$는 정역이나 부정원 $x$가 일반적으로 가역원이 아니므로 $F[x]$는 체가 아니다.  

정리 2.4 체 $F$를 체 $E$의 부분체, $\alpha\in E$, $x$를 부정원이라 하자. 사상 $\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,E$를 $a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]$일 때 $$\phi_{\alpha}(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}$$ 으로 정의하면 $\phi_{\alpha}$는 준동형사상이다. 

증명: 임의의 $a_{i},\,b_{i}\in F$에 대하여 $$\begin{align*}f(x)&=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\\g(x)&=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}\end{align*}$$ 이라 하면 $f(x),\,g(x)\in F[x]$이고 $$\begin{align*}\phi_{\alpha}(f(x)+g(x))&=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})\alpha+\cdots+(a_{n}+b_{n})\alpha^{n}\\&=(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})+(b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n}\alpha^{n})\\&=\phi_{\alpha}(f(x))+\phi_{\alpha}(g(x))\end{align*}$$ 이고 $$\phi_{\alpha}(f(x)g(x))=(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})(b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n}\alpha^{n})=\phi_{\alpha}(f(x))\phi_{\alpha}(g(x))$$ 이므로 따라서 $\phi_{\alpha}$는 환 준동형사상이다.

정리 2.4의 사상 $\phi_{\alpha}$를 $\alpha$에서의 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)이라고 한다. 

정의 2.5 체 $F$를 체 $E$의 부분체, $\alpha\in E$, $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]$라 하자. $\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,E$가 $\alpha$에서의 대입 준동형사상이고 $$\phi_{\alpha}(f(x))=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0$$ 즉 $f(\alpha)=0$이면, $\alpha$를 $f(x)$의 근(root 또는 zero)이라고 한다. 

정리 2.6 (다항식에 대한 나눗셈 알고리즘, division algorithm for polynomial)

$F$를 체, $f(x),\,g(x)\in F[x]$에 대하여 $$\begin{align*}f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\\g(x)&=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\end{align*}$$ ($a_{n}\neq0,\,b_{m}\neq0,\,m>0$)라 하자. 그러면 유일한 다항식 $q(x),\,r(x)\in F[x]$가 존재해서 $$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$$ 이고 $\text{deg}g(x)>\text{deg}r(x)$이다. 

증명: $S=\{f(x)-g(x)s(x)\,|\,s(x)\in F[x]\}$라 하자. $0\in S$이면 적당한 $s(x)\in F[x]$가 존재해서 $f(x)-g(x)s(x)=0$이고 이때 $q(x)=s(x)$, $r(x)=0$이다. 

그렇지 않다면($0\notin S$), $r(x)$를 $S$의 원소 중 차수가 가장 낮은 다항식이라고 하자. 그러면 적당한 $q(x)\in F[x]$가 존재해서 $$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$$ 이고 $\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)=m$이 성립함을 보여야 한다. $$r(x)=c_{t}x^{t}+c_{t-1}x^{t-1}+\cdots+c_{1}t+c_{0}\,(c_{j}\in F,\,c_{t}\neq0)$$ 이라 하자. $t\geq m$이면 $$\begin{align*}f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)&=r(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)\\&=r(x)-\left(c_{t}x^{t}+\frac{c_{t}b_{m-1}}{b_{m}}x^{t-1}+\cdots+\frac{c_{t}b_{1}}{b_{m}}x+\frac{c_{t}b_{0}}{b_{m}}\right)\\&=\left(c_{t-1}-\frac{c_{t}b_{m-1}}{b_{m}}\right)x^{t-1}+\cdots+\left(c_{0}-\frac{c_{t}b_{0}}{b_{m}}\right)\end{align*}$$ 은 차수가 $t$보다 작은, 즉 차수가 $t-1$인 다항식이다. 그런데 $$f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)=f(x)-g(x)\left\{q(x)+\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}\right\}\in S$$ 이고 이것은 $r(x)$가 차수가 가장 낮은 $S$의 원소라는 사실에 모순이므로 따라서 $\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)=m$이다. 

유일성을 보이기 위해 $$f(x)=g(x)q_{1}(x)+r_{1}(x)$$ 이고 $$f(x)=g(x)q_{2}(x)+r_{2}(x)$$ 라 하자. 그러면 $$g(x)q_{1}(x)+r_{1}(x)=g(x)q_{2}(x)+r_{2}(x)$$ 이고 $$g(x)\{q_{1}(x)-q_{2}(x)\}=r_{2}(x)-r_{1}(x)$$ 이다. 이때 $r_{2}(x)-r_{1}(x)=0$이거나 $\text{deg}\{r_{2}(x)-r_{1}(x)\}<\text{deg}g(x)$이므로 $q_{1}(x)-q_{2}(x)=0$이어야 하고 따라서 $q_{1}(x)=q_{2}(x)$이고 $r_{1}(x)=r_{2}(x)$이다. 

(2)에서 계속...

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사