다항식의 기초 대수학적 성질(1)

다항식의 기초 대수학적 성질(1) 

다항식의 기초 대수학적 성질에 대해 다루고자 한다. 

1. 기초 환 및 체론 

정의 1.1 집합 \(R\)에 덧셈 \(+\)와 곱셈 \(\cdot\)가 다음의 공리를 만족하면 \(\langle R,\,+,\,\cdot\rangle\)를 환(ring)이라고 한다. 

R1: \(\langle R,\,+\rangle\)는 아벨군(가환군)이다. 

R2: 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 

R3: \(a,\,b,\,c\in R\)에 대하여 다음이 성립한다.

좌분배법칙(left distributive law): \(a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\) 

우분배법칙(right distributive law): \((a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\) 

정의 1.2 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 군을 가환환(commutative ring)이라 하고 단위원(unity)이라고 불리는 곱셈항등원 \(1(\neq0)\)을 갖는 환을 단위원을 갖는 환(ring with unity)이라고 한다. 

정의 1.3 단위원을 갖는 환 \(R\)에 대하여 \(u\in R\)가 \(R\)에서 곱셈에 대한 역원을 가지면 \(U\)를 \(R\)의 단원(unit)이라고 한다. \(R\)의 덧셈항등원 \(0\)을 제외한 모든 원소들이 단원이면 \(R\)을 나눗셈 환(division ring)이라고 한다. 

환 \(R\)이 가환환이고 나눗셈 환이면, \(R\)을 체(field)라고 한다. 

정의 1.4 환 \(R\)의 부분집합 \(S\)가 덧셈과 곱셈에 대해 환이 되면 \(S\)를 부분환(subring)이라고 하고, 같은 방법으로 체 \(F\)의 부분집합 \(S\)가 덧셈과 곱셈에 대해 체가 되면 \(S\)를 부분체(subfield)라고 한다. 

정의 1.5 \(R,\,R'\)을 각각 환이라 하자. \(a,\,b\in R\)에 대하여 사상 \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)이

(i) \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\)

(ii) \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\)

를 만족하면 \(\phi\)를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다. 

정의 1.6 환 \(R\)의 0이 아닌 두 원소 \(a,\,b\)에 대하여 \(ab=0\)이면, \(a,\,b\)를 0의 약수(divisor of zero)라고 한다. \(D\)가 단위원을 갖는 가환환이고, 0의 약수를 갖지 않는 가환환이면, \(D\)를 정역(integral domain)이라고 한다. 

 

정의 1.7 환 \(R\)의 덧셈 부분군 \(N\)이 모든 \(a,\,b\in R\)에 대해 \(aN\subset N\)이고 \(Nb\subset N\)이면, \(N\)을 환 \(R\)의 아이디얼(ideal)이라고 한다.    

정리 1.8 \(R\)이 단위원을 갖는 환이고 \(N\)이 단원을 갖는 \(R\)의 아이디얼이면 \(N=R\)이다. 

정의 1.9 \(R\)을 환, \(N\)을 환 \(R\)의 아이디얼이라고 하자. \(R/N=\{a+N\,|\,a\in R\}\)로 정의된 환 \(R/N\)은 다음의 덧셈과 곱셈을 만족하고

덧셈: \((a+N)+(b+N)=(a+b)+N\) 

곱셈: \((a+N)(b+N)=ab+N\)

이것을 \(N\)을 법으로 하는 \(R\)의 잉여환(factor ring)이라고 한다. 

정의 1.10 \(M\)을 환 \(R\)의 아이디얼이라고 하자. \(M\subset N\subset R\)인 아이디얼 \(N\)이 존재하지 않으면 \(M\)을 환 \(R\)의 극대 아이디얼(maximum ideal)이라고 한다. 

정리 1.11 단위원을 갖는 가환환 \(R\)의 아이디얼 \(M\)이 극대일 필요충분조건은 \(R/M\)이 체이다. 

정의 1.12 가환환 \(R\)의 아이디얼 \(N(\neq R)\)이 모든 \(a,\,b\in R\)에 대하여 \(ab\in N\)일 때 \(a\in N\) 또는 \(b\in N\)이면 \(N\)을 \(R\)의 소 아이디얼(prime ideal)이라고 한다.

정리 1.13 단위원을 갖는 가환환의 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 

정의 1.14 \(R\)을 단위원을 갖는 가환환, \(a\in R\)이라 하자. 아이디얼 \(\{ra\,|\,r\in R\}\)를 \(a\)로 생성된 주 아이디얼(principal ideal)이라고 하고 \(\langle a\rangle\)로 나타낸다. 

\(R\)의 주 아이디얼 \(N\)은 \(R\)의 적당한 원소 \(a\)에 대하여 \(N=\langle a\rangle\)인 \(R\)의 아이디얼이다. 

2. 다항식 환

정의 2.1 환 \(R\)과 부정원(indeterminate) \(x\)에 대하여 다음과 같은 형식적 무한합(formal infinite sum)을 \(R\)위의 \(x\)에 대한 다항식(polynomial)이라고 한다.$$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots$$여기서 \(a_{i}\in R\)이고 유한개를 제외한 모든 \(i\)에 대하여 \(a_{i}=0\)이고, \(a_{i}\)를 \(f(x)\)의 계수(coefficient), \(a_{i}\neq0\)인 \(i\)가 존재할 때 이러한 \(i\)중 가장 큰 값을 \(f(x)\)의 차수(degree)라 하고 \(\text{deg}f(x)\)로 나타낸다. 

정의 2.2 환 \(R\)위의 다항식 \(f(x)\)가 상수항을 제외한 계수가 모두 \(0\), 즉 \(f(x)=a_{0}\)이면, 이 다항식 \(f(x)\)를 상수다항식(constant polynomial)이라고 한다. 

환 \(R\)의 임의의 원소를 상수다항식이라고 할 수 있다. 

정리 2.3 환 \(R\)의 원소를 계수로 갖는 부정원 \(x\)에 대한 다항식 전체의 집합을 \(R[x]\), 이 집합에서 합과 곱을 다음과 같이 정의하자. 

\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots,\,g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}+\cdots\in R[x]\)에 대하여 

덧셈: \(f(x)+g(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots+c_{n}x^{n}+\cdots\,(c_{n}=a_{n}+b_{n})\) 

곱셈: \(\displaystyle f(x)g(x)=d_{0}+d_{1}x+\cdots+d_{n}x^{n}\,\left(d_{n}=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)\) 

그러면 \(R[x]\)는 환이다.  

증명: \(\langle R[x],\,+\rangle\)가 아벨군임은 분명하다. \(a_{i},\,b_{j},\,c_{k}\in R\)에 대하여$$\begin{align*}\left\{\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}\right)\right\}\left(\sum_{k=0}^{\infty}{c_{k}x^{k}}\right)&=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)x^{n}}\right\}\left(\sum_{k=0}^{\infty}{c_{k}x^{k}}\right)\\&=\sum_{s=0}^{\infty}{\left\{\sum_{n=0}^{s}{\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)c_{s-n}}\right\}x^{s}}\\&=\sum_{s=0}^{\infty}{\left(\sum_{i+j+k=s}a_{i}b_{j}c_{k}\right)x^{s}}\\&=\sum_{s=0}^{\infty}{\left\{\sum_{m=0}^{s}{a_{s-m}\left(\sum_{j=0}^{m}{b_{j}c_{m-j}}\right)}\right\}x^{s}}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left\{\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{j=0}^{m}{b_{j}c_{m-j}}\right)x^{m}}\right\}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left\{\left(\sum_{j=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}{c_{k}x^{k}}\right)\right\}\end{align*}$$이므로 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다.$$\begin{align*}\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}+\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left\{\sum_{j=0}^{\infty}{(b_{j}+c_{j})x^{j}}\right\}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left\{\sum_{i=0}^{n}{a_{i}(b_{n-i}+c_{n-i})}\right\}x^{n}}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)x^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}c_{n-i}}\right)x^{n}}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{b_{j}x^{j}}\right)+\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}+\sum_{i=0}^{\infty}{b_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)&=\left\{\sum_{i=0}^{\infty}{(a_{i}+b_{i})x^{i}}\right\}\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left\{\sum_{i=0}^{n}{(a_{i}+b_{i})c_{n-i}}\right\}x^{n}}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{a_{i}c_{n-i}}\right)x^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{i=0}^{n}{b_{i}c_{n-i}}\right)x^{n}}\\&=\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)+\left(\sum_{i=0}^{\infty}{b_{i}x^{i}}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}{c_{j}x^{j}}\right)\end{align*}$$이므로 좌, 우분배법칙이 성립한다. 

그러므로 \(R[x]\)는 환이다.    

*연산의 정의에 의해 \(R\)이 가환환이면 \(R[x]\)도 가환환이고, \(R\)에서의 단위원 \(1\)은 \(R[x]\)에서의 단위원이다. 

*\(D\)가 정역이면 \(D[x]\)도 정역이 되는데 그 이유는 \(a_{i},\,b_{i}\in D\)에 대하여$$\begin{align*}f(x)&=a_{m}x^{m}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{m}\neq0)\\g(x)&=b_{n}x^{n}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\,(b_{n}\neq0)\end{align*}$$이라 하자. \(f(x),\,g(x)\in D[x]\)이고 \(a_{m},\,b_{n}\in D\)이므로 \(a_{m}b_{n}\neq0\)이고 이것은 \(f(x)g(x)\neq0\)을 뜻한다. 또한 \(D\)의 단위원 1은 \(D[x]\)에서의 단위원이므로 따라서 \(D[x]\)는 정역이다. 이 결과로부터 \(F\)가 체이면 \(F[x]\)는 정역이나 부정원 \(x\)가 일반적으로 가역원이 아니므로 \(F[x]\)는 체가 아니다.  

정리 2.4 체 \(F\)를 체 \(E\)의 부분체, \(\alpha\in E\), \(x\)를 부정원이라 하자. 사상 \(\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,E\)를 \(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]\)일 때$$\phi_{\alpha}(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}$$으로 정의하면 \(\phi_{\alpha}\)는 준동형사상이다. 

증명: 임의의 \(a_{i},\,b_{i}\in F\)에 대하여$$\begin{align*}f(x)&=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\\g(x)&=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}\end{align*}$$이라 하면 \(f(x),\,g(x)\in F[x]\)이고$$\begin{align*}\phi_{\alpha}(f(x)+g(x))&=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})\alpha+\cdots+(a_{n}+b_{n})\alpha^{n}\\&=(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})+(b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n}\alpha^{n})\\&=\phi_{\alpha}(f(x))+\phi_{\alpha}(g(x))\end{align*}$$이고$$\phi_{\alpha}(f(x)g(x))=(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})(b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n}\alpha^{n})=\phi_{\alpha}(f(x))\phi_{\alpha}(g(x))$$이므로 따라서 \(\phi_{\alpha}\)는 환 준동형사상이다.

정리 2.4의 사상 \(\phi_{\alpha}\)를 \(\alpha\)에서의 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)이라고 한다. 

정의 2.5 체 \(F\)를 체 \(E\)의 부분체, \(\alpha\in E\), \(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]\)라 하자. \(\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,E\)가 \(\alpha\)에서의 대입 준동형사상이고$$\phi_{\alpha}(f(x))=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0$$즉 \(f(\alpha)=0\)이면, \(\alpha\)를 \(f(x)\)의 근(root 또는 zero)이라고 한다. 

정리 2.6 (다항식에 대한 나눗셈 알고리즘, division algorithm for polynomial)

\(F\)를 체, \(f(x),\,g(x)\in F[x]\)에 대하여$$\begin{align*}f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\\g(x)&=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\end{align*}$$(\(a_{n}\neq0,\,b_{m}\neq0,\,m>0\))라 하자. 그러면 유일한 다항식 \(q(x),\,r(x)\in F[x]\)가 존재해서$$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$$이고 \(\text{deg}g(x)>\text{deg}r(x)\)이다. 

증명: \(S=\{f(x)-g(x)s(x)\,|\,s(x)\in F[x]\}\)라 하자. \(0\in S\)이면 적당한 \(s(x)\in F[x]\)가 존재해서 \(f(x)-g(x)s(x)=0\)이고 이때 \(q(x)=s(x)\), \(r(x)=0\)이다. 

그렇지 않다면(\(0\notin S\)), \(r(x)\)를 \(S\)의 원소 중 차수가 가장 낮은 다항식이라고 하자. 그러면 적당한 \(q(x)\in F[x]\)가 존재해서$$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$$이고 \(\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)=m\)이 성립함을 보여야 한다.$$r(x)=c_{t}x^{t}+c_{t-1}x^{t-1}+\cdots+c_{1}t+c_{0}\,(c_{j}\in F,\,c_{t}\neq0)$$이라 하자. \(t\geq m\)이면$$\begin{align*}f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)&=r(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)\\&=r(x)-\left(c_{t}x^{t}+\frac{c_{t}b_{m-1}}{b_{m}}x^{t-1}+\cdots+\frac{c_{t}b_{1}}{b_{m}}x+\frac{c_{t}b_{0}}{b_{m}}\right)\\&=\left(c_{t-1}-\frac{c_{t}b_{m-1}}{b_{m}}\right)x^{t-1}+\cdots+\left(c_{0}-\frac{c_{t}b_{0}}{b_{m}}\right)\end{align*}$$은 차수가 \(t\)보다 작은, 즉 차수가 \(t-1\)인 다항식이다. 그런데$$f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)=f(x)-g(x)\left\{q(x)+\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}\right\}\in S$$이고 이것은 \(r(x)\)가 차수가 가장 낮은 \(S\)의 원소라는 사실에 모순이므로 따라서 \(\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)=m\)이다. 

유일성을 보이기 위해$$f(x)=g(x)q_{1}(x)+r_{1}(x)$$이고$$f(x)=g(x)q_{2}(x)+r_{2}(x)$$라 하자. 그러면$$g(x)q_{1}(x)+r_{1}(x)=g(x)q_{2}(x)+r_{2}(x)$$이고$$g(x)\{q_{1}(x)-q_{2}(x)\}=r_{2}(x)-r_{1}(x)$$이다. 이때 \(r_{2}(x)-r_{1}(x)=0\)이거나 \(\text{deg}\{r_{2}(x)-r_{1}(x)\}<\text{deg}g(x)\)이므로 \(q_{1}(x)-q_{2}(x)=0\)이어야 하고 따라서 \(q_{1}(x)=q_{2}(x)\)이고 \(r_{1}(x)=r_{2}(x)\)이다. 

(2)에서 계속...

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사