상집합의 군론과 환론에의 적용(1)

상집합의 군론과 환론에의 적용(1)

집합론에서 동치관계에 의해 얻어지는 상집합이 현대대수학의 군론과 환론에서 어떻게 적용되는가를 정리하고자 한다.

1. 상집합

정의 1.1 집합 \(A\)에서 집합 \(B\)로의 관계(relation) \(\mathcal{R}\)은 카테시안곱 \(A\times B\)의 부분집합이고, \((a,\,b)\in\mathcal{R}\)을 \(_{a}\mathcal{R}_{b}\)로 나타내며 이 기호를 "\(a\)는 \(\mathcal{R}\)에 따라 \(b\)와 관계된다"라고 한다. 

정의 1.2 집합 \(X\)에서의 관계 \(\mathcal{R}\)이 다음의 조건을 만족하면 왼편의 율이 성립한다고 한다. 

(a) 반사율(reflexive law): 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(_{x}\mathcal{R}_{x}\)

(b) 대칭율(symmetric law): \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)이면 \(_{y}\mathcal{R}_{x}\)

(c) 추이율(transitive law): \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)이고 \(_{y}\mathcal{R}_{z}\)이면 \(_{x}\mathcal{R}_{z}\)    

(d) 동치관계(equivalence relation): \(\mathcal{R}\)에 대해 반사율, 대칭율, 추이율 모두가 성립한다. 

정의 1.3 집합 \(X\)의 동치관계 \(\mathcal{R}\)과 \(x\in X\)에 대해 \(x/\mathcal{R}=\{y\in X\,|\,_{y}\mathcal{R}_{x}\}\)로 정의된 집합을 \(x\)에 따른 동치류(equivalence class)라고 한다. 

이 \(X\)에서의 동치류들의 집합 \(X/\mathcal{R}=\{x/\mathcal{R}\,|\,x\in X\}\)를 \(\mathcal{R}\)에 의한 집합 \(X\)의 상집합(quotient set)이라고 한다. 

정리 1.4 집합 \(X\)위의 동치관계 \(\mathcal{R}\)에 대해 다음이 성립한다. 

(a) 각 동치류 \(x/\mathcal{R}\)는 \(X\)의 부분집합이다.  

(b) \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)는 \(x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset\)와 동치이다. 

(c) \(x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}\)는 \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)와 동치이다.  

증명: 

(a) \(\mathcal{R}\)은 반사적이므로 각 \(x\in X\)에 대하여 \(_{x}\mathcal{R}_{x}\)이고 동치류의 정의에 의해 \(x\in x/\mathcal{R}\)이고 따라서 \(x/\mathcal{R}\neq\emptyset\)이다.  

(b) \(\mathcal{R}\)은 \(X\)위의 동치관계이므로 \(x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset\)은 \(z\)가 존재해서 \(z\in x/\mathcal{R}\)이고 \(z\in y/\mathcal{R}\)이라는 사실과 동치이고 이것은 \(_{x}\mathcal{R}_{z}\), \(_{y}\mathcal{R}_{z}\)와 동치이다. \(\mathcal{R}\)은 대칭, 추이적이므로 \(_{x}\mathcal{R}_{z}\)이고 \(_{z}\mathcal{R}_{y}\)이고 \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)라는 것과 동치이다. 그러므로 \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)는 \(x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset\)이다.  

(c) (\(\Rightarrow\)): (a), (b)에 의해 \(x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}\)이면 \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)라 하면 \(z\in x/\mathcal{R}\)일 때 \(_{z}\mathcal{R}_{x}\)이고 \(\mathcal{R}\)은 추이적이므로 \(_{z}\mathcal{R}_{x}\)이고 \(_{x}\mathcal{R}_{y}\)이면 \(_{z}\mathcal{R}_{y}\)이고 \(z\in y/\mathcal{R}\)이다. 따라서 \(z\in x/\mathcal{R}\)이면 \(z\in y/\mathcal{R}\)이고 \(z\)는 \(X\)의 임의의 원소이므로 \(x/\mathcal{R}\subset y/\mathcal{R}\)이다. 마찬가지로 \(y/\mathcal{R}\subset x/\mathcal{R}\)이고 따라서 \(x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}\)이다.   

정의 1.5 집합 \(X\)의 부분집합 \(A,\,B,\,C\)에 대해 다음의 조건을 만족하면 집합 \(\mathcal{P}\)를 \(X\)의 분할(partition)이라고 한다.

(a) \(A,\,B\in\mathcal{P}\)이고 \(A\neq B\)이면 \(A\cap B=\emptyset\)

(b) \(\displaystyle\bigcup_{C\in\mathcal{P}}{C}=X\)

 

정리 1.4의 (b), (c)에 의해 \(x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}\)은 \(x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset\)과 동치이므로 상집합은 집합 \(X\)의 분할이고 동치류는 집합 \(X\)의 분할의 원소이다. 

2. 군론

정의 2.1 집합 \(S\)위에서의 이항연산(binary operation)\(*\)는 \(S\times S\)에서 \(S\)로의 사상이고 각 순서쌍 \((a,\,b)\in S\times S\)에 대하여 \(S\)의 원소 \(*((a,\,b))\)를 \(a*b\)로 나타낸다. 

정의 2.2 \(*\)를 집합 \(S\)위에서의 이항연산, \(H\subset S\)라 하자. 모든 \(a,\,b\in H\)에 대해 \(a*b\in H\)이면 \(H\)는 연산 \(*\)에 대해 닫혀있다(closed)고 한다. 이때 \(*\)를 \(H\)에 제한한 \(H\)위의 이항연산은 \(H\)위에서 \(*\)의 유도된 연산(induced operation)이라고 한다. 

정의 2.3 집합 \(S\)위에서 이항연산 \(*\)가 정의되었다고 하자. \(e\in X\)가 모든 \(s\in S\)에 대해$$e*s=s*e=s$$이면, \(e\)를 \(*\)에 대한 항등원(identity)이라고 한다. 

정의 2.4 군(group) \(\langle G,\,*\rangle\)는 이항연산 \(*\)에 대해 닫혀있고, 다음의 공리를 만족하는 집합 \(G\)이다. 

G1: 모든 \(a,\,b,\,c\in G\)에 대하여 다음의 결합법칙(association law)이 성립한다.$$(a*b)*c=a*(b*c)$$G2: 모든 \(a\in G\)에 대하여 연산 \(*\)에 대한 항등원 \(e\in G\)가 존재하여 다음이 성립한다.$$e*a=a*e=a$$G3: 모든 \(a\in G\)에 대하여 연산 \(*\)에 대한 역원(inverse) \(a^{-1}\in G\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$$보통 집합 \(G\)위에 이항연산이 있다고 전제하여 연산기호를 생략하고 나타낸다. \(*\)가 덧셈이면 교환법칙이 성립하나 일반적으로 군에서 교환법칙(commutative law)이 성립하지 않음에 유의한다.  

정의 2.5 군 \(G\)의 부분집합 \(H\)가 \(G\)의 이항연산 하에서 닫혀있고, \(G\)로부터 유도된 연산을 가질 때 그 자신이 군이면 \(H\)는 \(G\)의 부분군(subgroup)이라 하고 \(H\leq G\) 또는 \(G\geq H\)로 나타낸다. 

정리 2.6 \(H\)가 군 \(G\)의 부분군일 필요충분조건은 \(a,\,b\in H\)에 대하여 \(ab^{-1}\in H\)이다. 

증명:

(\(\Rightarrow\)): 자명하다.

(\(\Leftarrow\)): \(H\)는 분명히 \(G\)의 연산 하에서 닫혀있고 \(b=a\)일 때 \(e=aa^{-1}\in H\), \(a=e\), \(b=a\)일 때 \(a^{-1}=ea^{-1}\in H\)이므로 따라서 \(H\)는 \(G\)의 부분군이다. 

정리 2.7 \(H\)를 \(G\)의 부분군이라 하자. \(G\)에서의 관계 \(\sim_{L}\)을 \(a\,\sim_{L}\,b\,\Leftrightarrow\,a^{-1}b\in H\), 관계 \(\sim_{R}\)을 \(a\,\sim_{R}\,b\,\Leftrightarrow\,ab^{-1}\in H\)라 하자. 그러면 \(\sim_{L}\)과 \(\sim_{R}\)은 \(G\)위에서 동치관계이다. 

증명: 

(i) 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(a^{-1}a=e\in H\), \(aa^{-1}=e\in H\)이므로 \(a\,\sim_{L}\,a\), \(a\,\sim_{R}\,a\)이다. 

(ii) \(a\,\sim_{L}\,b\), \(a\,\sim_{R}\,b\)라 하자. 그러면 \(a^{-1}b,\,ab^{-1}\in H\)이므로 \((a^{-1}b)=b^{-1}a\in H\), \((ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H\)이고 따라서 \(b\,\sim_{L}\,a\), \(b\,\sim_{R}\,a\)이다. 

(iii) \(a\,\sim_{L}\,b\)이고 \(b\,\sim_{L}\,c\), \(a\,\sim_{R}\,b\)이고 \(b\sim_{R}\,c\)라 하자. 그러면 \(a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\), \(ab^{-1},\,bc^{-1}\in H\)이고 \((a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\in H\), \((ab^{-1})(bc^{-1})\in H\)이므로 \(a\,\sim_{L}\,c\), \(a\,\sim_{R}\,c\)이다. 

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 \(\sim_{L}\), \(\sim_{R}\)은 \(G\)위의 동치관계이다. 

정의 2.8 \(H\)를 \(G\)의 부분군이라 하자. \(G\)의 부분집합$$\begin{align*}aH&=\{ah\,|\,h\in H\}\\Ha&=\{ha\,|\,h\in H\}\end{align*}$$를 각각 \(a\)를 포함하는 \(H\)의 좌잉여류(left coset), 우잉여류(right coset)라고 한다.

집합론에서 동치관계에 의해 동치류가 생성되고, 정리 2.7에서 정의된 \(\sim_{L},\,\sim_{R}\)에 의해 좌잉여류, 우잉여류가 생성된다.  

정의 2.9 군 \(G\)에서 군 \(G'\)로의 사상 \(\phi\)가 모든 \(a,\,b\in G\)에 대하여$$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$$이면 \(\phi\)를 군 준동형사상(group homomorphism)이라고 한다. 

정의 2.10 \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상이라고 하자. \(e'\)이 \(G'\)의 항등원일 때 부분군$$\phi^{-1}[\{e'\}]=\{x\in G\,|\,\phi(x)=e'\}$$를 \(\phi\)의 핵(kernel)이라 하고 \(\text{Ker}\phi\)로 나타낸다.   

정리 2.11 \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)을 군 준동형사상이라고 하자. 

(a) \(e\)가 \(G\)에서의 항등원이고 \(e'\)이 \(G'\)에서의 항등원일 때 \(\phi(e)=e'\)이다. 

(b) 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}\)  

(c) \(H\leq G\)이면 \(\phi[H]\leq G'\)

(d) \(K'\leq G'\)이면 \(\phi^{-1}[K']\leq G\)

증명: 

(a): \(\phi(a)=\phi(ae)=\phi(a)\phi(e)\)이므로 \(\phi(e)=e'\)

(b): \(\phi(a)\phi(a^{-1})=\phi(aa^{-1})=\phi(e)=\phi(e)'\)이므로 \(\phi(a)=(\phi(a))^{-1}\)  

(c): \(x,\,y\in\phi[H]\)라 하자. \(a,\,b\in H\)가 존재해서 \(\phi(a)=x\), \(\phi(b)=y\)이고$$xy^{-1}=\phi(a)(\phi(b))^{-1}=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(ab^{-1})\in\phi[H]$$이므로 정리 2.6에 의해 \(\phi[H]\leq G'\)이다. 

(d): \(a,\,b\in\phi^{-1}[H]\)라 하자. 그러면 \(\phi(a),\,\phi(b)\in K'\)이고$$\phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(a)(\phi(b))^{-1}$$이며 \(K'\leq G'\)이므로 \(\phi(a)(\phi(b))^{-1}\in K'\)이다. 따라서 정리 2.6에 의해 \(\phi(ab^{-1})\in K'\)이고 \(ab^{-1}\in\phi^{-1}[K']\)이다. 

정리 2.12 군 준동형사상 \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)이 일대일일 필요충분조건은 \(\text{ker}\phi=\{e\}\)이다. 

증명: 

(\(\Leftarrow\)): \(\text{ker}\phi=\{e\}\)이면 \(\phi(a)=\phi(b)\)일 때$$e'=\phi(a)(\phi(b))^{-1}=\phi(ab^{-1})$$이고 \(ab^{-1}\in\text{ker}\phi=\{e\}\)이므로 \(ab^{-1}=e\)이고 \(a=b\)이다. 

(\(\Rightarrow\)): \(\phi\)가 일대일이고 \(\phi(e)=e'\)이므로 \(\text{Ker}\phi=\{e\}\)이다. 

정의 2.13 군 준동형사상 \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)가 다음의 조건을 만족하면 \(\phi\)를 군 동형사상(group isomorphism)이라고 한다. 

(i) \(\phi\)는 군 준동형사상이다.

(ii) \(\phi\)는 일대일이다. 

(iii) \(\phi\)는 \(G\)를 \(G'\)위로 사상한다. 즉 \(\phi[G]=G'\) 

정의 2.14 군 \(G\)의 부분군 \(H\)의 좌잉여류와 우잉여류가 같다면, 즉 모든 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)이면 \(H\)를 \(G\)의 정규부분군(normal subgroup)이라고 한다. 

정의 2.15 군 \(G\)의 좌잉여류 \(H\)에 대하여 \(G/H=\{aH\,|\,a\in G\}\)를 \(H\)를 법으로 하는 \(G\)의 잉여군(factor group)이라고 한다. 

집합론의 이론에 의해 동치관계에 의해 한 집합을 상집합이라는 분할로 만들 수 있다. 비슷하게 현대대수학의 이론에 의해 좌/우잉여류에 의해 한 군을 상군이라는 분할로 만들 수 있다. 

정리 2.16 \(H\)를 군 \(G\)의 부분군이라고 하자. 연산 \((aH)(bH)=(ab)H\)가 잘 정의될 필요충분조건은 \(H\)가 \(G\)의 정규부분군이다. 

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(g\in H\)라 하자. \(gH=Hg\)가 성립함을 보이면 된다.

(i) \(gH\subset Hg\)가 성립함을 보이자. \(x\in gH\), \(g^{-1}\in g^{-1}H\)라 하자. 그러면 \(xH=gH\)이고 \((xH)(g^{-1}H)=(xg^{-1})H\)이다.$$(gH)(g^{-1}H)=(gg^{-1})H=eH$$이고 가정에 의해$$(xg^{-1})H=(xH)(g^{-1}H)=(gH)(g^{-1}H)=eH$$이므로 \(xg^{-1}\in H\)이다. 그러면 적당한 \(h\in H\)에 대하여 \(xg^{-1}\in H\)이고 \(h=xg^{-1}\)이므로 \(x=hg\in Hg\)이다. 

(ii) \(Hg\subset gH\)가 성립함을 보이자. \(y\in Hg\)라고 하면 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(y=h_{1}g\)이고 \(y^{-1}=g^{-1}h^{-1}\)이므로 \(y^{-1}\in g^{-1}H\)이고 \(y^{-1}H=g^{-1}H\)이다. 가정에 의해 \((y^{-1}H)(gH)=(g^{-1}H)(gH)\)이므로 \((y^{-1}g)H=(g^{-1}g)H=eH\)이고 \(y^{-1}g\in eH=H\)이다. 적당한 \(h_{2}\in H\)에 대하여 \(y^{-1}g=h_{2}\)이고 \(y=gh_{2}^{-1}\in gH\)이다. 

(i), (ii)에 의해 \(gH\subset Hg\)이고 \(Hg\subset gH\)이므로 따라서 \(gH=Hg\)이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(a_{1}H=a_{2}H\), \(b_{1}H=b_{2}H\)라 하자. 그러면 \(a_{1}^{-1}a_{2}\in H\), \(b_{1}^{-1}b_{2}\in H\)이고$$(a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})=b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}b_{2}\in Hb_{2}$$이며 가정에 의해$$b_{1}^{-1}Hb_{2}=b^{-1}(b_{2}H)=(b_{1}^{-1}b_{2})H=eH=H$$이므로 \((a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})\in H\)이고 \(a_{1}b_{1}H=a_{2}b_{2}H\)이므로 따라서 \((a_{1}H)(b_{1}H)=(a_{2}H)(b_{2}H)\)이다. 

정리 2.17 \(H\)를 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 그러면 \(G/H\)는 연산 \((aH)(bH)=(ab)H\)에 대하여 군을 이룬다. 

증명: 

(i) 결합법칙: 임의의 \(aH,\,bH,\,cH\in G/H\)에 대하여 다음이 성립한다.$$[(aH)(bH)](cH)=[(ab)H](cH)=((ab)c)H=(a(bc))H=(aH)=[(bc)H]=(aH)[(bH)(cH)]$$(ii) 항등원: \(eH=H\in G/H\)이므로 임의의 \(aH\in G/H\)에 대하여 다음이 성립한다.$$(aH)(eH)=(ae)H=aH=(ea)H=(eH)(aH)$$(iii) 역원: 임의의 \(aH\in G/H\)에 대하여 \(a^{-1}H\in G/H\)이고 다음이 성립한다.$$(a^{-1})H(aH)=(a^{-1}a)H=eH=(aa^{-1})H=(aH)(a^{-1}H)$$따라서 \(G/H\)는 군이다. 

정리 2.18 \(G,\,G'\)을 군, \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상이라고 하자. \(H\)를 \(G\)의 정규부분군, \(\mu:G/H\,\rightarrow\,\phi[G]\)를 임의의 \(aH\in G/H\)에 대하여 \(\mu(aH)=\phi(a)\)로 정의하면 \(\mu\)는 군 동형사상이다. 

증명: 

(i) \(a_{1}H=a_{2}H\)라 하자. 그러면 \(a_{1}^{-1}a_{2}\in H\)이고 \(\phi(a_{1}^{-1}a_{2})=e'\)이므로 \(\phi(a_{1})=\phi(a_{2})\)이고 다음이 성립하므로 \(\mu\)는 잘 정의된다.$$\mu(a_{1}H)=\phi(a_{1})=\phi(a_{2})=\mu(a_{2}H)$$(ii) \(\phi\)는 준동형사상이므로 다음이 성립하고 따라서 \(\mu\)는 군 준동형사상이다.$$\mu((aH)(bH))=\mu((ab)H)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\mu(aH)\mu(bH)$$(iii) \(\mu(aH)=\mu(bH)\)라 하자. 그러면 \(\phi(a)=\phi(b)\)이고 \((\phi(a))^{-1}\phi(b)=e'\)이다. 그러면 \(\phi(a^{-1})\phi(b)=\phi(a^{-1}b)=e'\)이고 \(a^{-1}b\in H\)이므로 \(a^{-1}bH=H\)이고 \(aH=bH\)이다. 

(iv) \(y\in\phi[G]\)라 하자. 그러면 적당한 \(x\in G\)에 대하여 \(y=\phi(x)\)이므로 \(xH\in G/H\)에 대하여 \(\phi(xH)=\phi(x)=y\)이다. 

정리 2.19 \(H\)를 군 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 그러면 \(\gamma(x)=xH\)로 정의되는 사상 \(\gamma:G\,\rightarrow\,G/H\)는 준동형사상이고 \(\text{Ker}\gamma=H\)이다. 

증명: \(x,\,y\in G\)라 하자. 그러면$$\gamma(xy)=(xy)H=(xH)(yH)=\gamma(x)\gamma(y)$$이므로 \(\gamma\)는 준동형사상이고 \(xH=H\)일 필요충분조건은 \(x\in H\)이므로 \(\text{Ker}\gamma=H\)이다.  

정리 2.20 (준동형사상의 기본정리, Fundamental Theorem of Homomorphism) \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상, \(H=\text{Ker}\phi\)라 하자. 그러면 \(\phi[G]\)는 군이고 \(\mu(gH)=\phi(g)\)로 정의되는 사상 \(\mu:G/H\,\rightarrow\,\phi[G]\)는 동형사상이다. \(\gamma:G\,\rightarrow\,G/H\)가 \(\gamma(g)=gH\)로 정의되는 준동형사상이면, 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(\phi(g)=\mu(\gamma(g))\)이다. 

증명: \(\phi[G]\)는 군이고 \(H\)는 정규부분군이므로 정리 2.18에 의해 \(\mu\)는 동형사상이고, 또한 정리 2.19에 의해 임의의 \(g\in G\)에 대해 \(\phi(g)=\mu(\gamma(g))\)이다. 

 

정리 2.21 \(H\)를 군 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다. 

(a) 임의의 \(g\in G,\,h\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}\in H\) 즉, 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\subset H\)           

(b) 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}=H\)  

(c) 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)

증명: 

(a)\(\Rightarrow\)(b): 가정에 의해 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\subset H\)이므로 \(H\subset gHg^{-1}\)이 성립함을 보이자. 임의의 \(g\in G\), \(h\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}\in H\)이므로 \(g^{-1}h(g^{-1})^{-1}\in H\)이고 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(g^{-1}h(g^{-1})^{-1}=g^{-1}hg=h_{1}\)이다. 그러면 \(h=gh_{1}g^{-1}\in gHg^{-1}\)이고 따라서 \(H\subset gHg^{-1}\)이다. 

(b)\(\Rightarrow\)(c): 임의의 \(g\in H\)에 대하여 \(g^{-1}Hg=H\)라 하자. 그러면 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}=h_{1}\)이고 \(gh=h_{1}g\in Hg\)이다. 따라서 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH\subset Hg\)이고 또한 적당한 \(h_{2}\in H\)에 대하여 \(g^{-1}hg=h_{2}\)이므로 \(hg=gh_{2}\in gH\)이고 따라서 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(Hg\subset gH\)이다. 

(c)\(\Rightarrow\)(a): 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)라 하자. 그러면 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(gh=h_{1}g\)이고 따라서 \(ghg^{-1}=h_{1}\in H\)이다.   

(2)에서 계속...

참고자료: 

집합론, 이흥천, 경문사

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley