상집합의 군론과 환론에의 적용(1)

상집합의 군론과 환론에의 적용(1)

집합론에서 동치관계에 의해 얻어지는 상집합이 현대대수학의 군론과 환론에서 어떻게 적용되는가를 정리하고자 한다.

1. 상집합

정의 1.1 집합 $A$에서 집합 $B$로의 관계(relation) $\mathcal{R}$은 카테시안곱 $A\times B$의 부분집합이고, $(a,\,b)\in\mathcal{R}$을 $_{a}\mathcal{R}_{b}$로 나타내며 이 기호를 "$a$는 $\mathcal{R}$에 따라 $b$와 관계된다"라고 한다. 

정의 1.2 집합 $X$에서의 관계 $\mathcal{R}$이 다음의 조건을 만족하면 왼편의 율이 성립한다고 한다. 

(a) 반사율(reflexive law): 모든 $x\in X$에 대하여 $_{x}\mathcal{R}_{x}$

(b) 대칭율(symmetric law): $_{x}\mathcal{R}_{y}$이면 $_{y}\mathcal{R}_{x}$

(c) 추이율(transitive law): $_{x}\mathcal{R}_{y}$이고 $_{y}\mathcal{R}_{z}$이면 $_{x}\mathcal{R}_{z}$    

(d) 동치관계(equivalence relation): $\mathcal{R}$에 대해 반사율, 대칭율, 추이율 모두가 성립한다. 

정의 1.3 집합 $X$의 동치관계 $\mathcal{R}$과 $x\in X$에 대해 $x/\mathcal{R}=\{y\in X\,|\,_{y}\mathcal{R}_{x}\}$로 정의된 집합을 $x$에 따른 동치류(equivalence class)라고 한다. 

이 $X$에서의 동치류들의 집합 $X/\mathcal{R}=\{x/\mathcal{R}\,|\,x\in X\}$를 $\mathcal{R}$에 의한 집합 $X$의 상집합(quotient set)이라고 한다. 

정리 1.4 집합 $X$위의 동치관계 $\mathcal{R}$에 대해 다음이 성립한다. 

(a) 각 동치류 $x/\mathcal{R}$는 $X$의 부분집합이다.  

(b) $_{x}\mathcal{R}_{y}$는 $x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset$와 동치이다. 

(c) $x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}$는 $_{x}\mathcal{R}_{y}$와 동치이다.  

증명: 

(a) $\mathcal{R}$은 반사적이므로 각 $x\in X$에 대하여 $_{x}\mathcal{R}_{x}$이고 동치류의 정의에 의해 $x\in x/\mathcal{R}$이고 따라서 $x/\mathcal{R}\neq\emptyset$이다.  

(b) $\mathcal{R}$은 $X$위의 동치관계이므로 $x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset$은 $z$가 존재해서 $z\in x/\mathcal{R}$이고 $z\in y/\mathcal{R}$이라는 사실과 동치이고 이것은 $_{x}\mathcal{R}_{z}$, $_{y}\mathcal{R}_{z}$와 동치이다. $\mathcal{R}$은 대칭, 추이적이므로 $_{x}\mathcal{R}_{z}$이고 $_{z}\mathcal{R}_{y}$이고 $_{x}\mathcal{R}_{y}$라는 것과 동치이다. 그러므로 $_{x}\mathcal{R}_{y}$는 $x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset$이다.  

(c) ($\Rightarrow$): (a), (b)에 의해 $x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}$이면 $_{x}\mathcal{R}_{y}$이다. 

($\Leftarrow$): $_{x}\mathcal{R}_{y}$라 하면 $z\in x/\mathcal{R}$일 때 $_{z}\mathcal{R}_{x}$이고 $\mathcal{R}$은 추이적이므로 $_{z}\mathcal{R}_{x}$이고 $_{x}\mathcal{R}_{y}$이면 $_{z}\mathcal{R}_{y}$이고 $z\in y/\mathcal{R}$이다. 따라서 $z\in x/\mathcal{R}$이면 $z\in y/\mathcal{R}$이고 $z$는 $X$의 임의의 원소이므로 $x/\mathcal{R}\subset y/\mathcal{R}$이다. 마찬가지로 $y/\mathcal{R}\subset x/\mathcal{R}$이고 따라서 $x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}$이다.   

정의 1.5 집합 $X$의 부분집합 $A,\,B,\,C$에 대해 다음의 조건을 만족하면 집합 $\mathcal{P}$를 $X$의 분할(partition)이라고 한다.

(a) $A,\,B\in\mathcal{P}$이고 $A\neq B$이면 $A\cap B=\emptyset$

(b) $\displaystyle\bigcup_{C\in\mathcal{P}}{C}=X$

 

정리 1.4의 (b), (c)에 의해 $x/\mathcal{R}=y/\mathcal{R}$은 $x/\mathcal{R}\cap y/\mathcal{R}\neq\emptyset$과 동치이므로 상집합은 집합 $X$의 분할이고 동치류는 집합 $X$의 분할의 원소이다. 

2. 군론

정의 2.1 집합 $S$위에서의 이항연산(binary operation)$*$는 $S\times S$에서 $S$로의 사상이고 각 순서쌍 $(a,\,b)\in S\times S$에 대하여 $S$의 원소 $*((a,\,b))$를 $a*b$로 나타낸다. 

정의 2.2 $*$를 집합 $S$위에서의 이항연산, $H\subset S$라 하자. 모든 $a,\,b\in H$에 대해 $a*b\in H$이면 $H$는 연산 $*$에 대해 닫혀있다(closed)고 한다. 이때 $*$를 $H$에 제한한 $H$위의 이항연산은 $H$위에서 $*$의 유도된 연산(induced operation)이라고 한다. 

정의 2.3 집합 $S$위에서 이항연산 $*$가 정의되었다고 하자. $e\in X$가 모든 $s\in S$에 대해 $$e*s=s*e=s$$ 이면, $e$를 $*$에 대한 항등원(identity)이라고 한다. 

정의 2.4 군(group) $\langle G,\,*\rangle$는 이항연산 $*$에 대해 닫혀있고, 다음의 공리를 만족하는 집합 $G$이다. 

G1: 모든 $a,\,b,\,c\in G$에 대하여 다음의 결합법칙(association law)이 성립한다. $$(a*b)*c=a*(b*c)$$ G2: 모든 $a\in G$에 대하여 연산 $*$에 대한 항등원 $e\in G$가 존재하여 다음이 성립한다. $$e*a=a*e=a$$ G3: 모든 $a\in G$에 대하여 연산 $*$에 대한 역원(inverse) $a^{-1}\in G$가 존재해서 다음이 성립한다. $$a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$$ 보통 집합 $G$위에 이항연산이 있다고 전제하여 연산기호를 생략하고 나타낸다. $*$가 덧셈이면 교환법칙이 성립하나 일반적으로 군에서 교환법칙(commutative law)이 성립하지 않음에 유의한다.  

정의 2.5 군 $G$의 부분집합 $H$가 $G$의 이항연산 하에서 닫혀있고, $G$로부터 유도된 연산을 가질 때 그 자신이 군이면 $H$는 $G$의 부분군(subgroup)이라 하고 $H\leq G$ 또는 $G\geq H$로 나타낸다. 

정리 2.6 $H$가 군 $G$의 부분군일 필요충분조건은 $a,\,b\in H$에 대하여 $ab^{-1}\in H$이다. 

증명:

($\Rightarrow$): 자명하다.

($\Leftarrow$): $H$는 분명히 $G$의 연산 하에서 닫혀있고 $b=a$일 때 $e=aa^{-1}\in H$, $a=e$, $b=a$일 때 $a^{-1}=ea^{-1}\in H$이므로 따라서 $H$는 $G$의 부분군이다. 

정리 2.7 $H$를 $G$의 부분군이라 하자. $G$에서의 관계 $\sim_{L}$을 $a\,\sim_{L}\,b\,\Leftrightarrow\,a^{-1}b\in H$, 관계 $\sim_{R}$을 $a\,\sim_{R}\,b\,\Leftrightarrow\,ab^{-1}\in H$라 하자. 그러면 $\sim_{L}$과 $\sim_{R}$은 $G$위에서 동치관계이다. 

증명: 

(i) 임의의 $a\in G$에 대하여 $a^{-1}a=e\in H$, $aa^{-1}=e\in H$이므로 $a\,\sim_{L}\,a$, $a\,\sim_{R}\,a$이다. 

(ii) $a\,\sim_{L}\,b$, $a\,\sim_{R}\,b$라 하자. 그러면 $a^{-1}b,\,ab^{-1}\in H$이므로 $(a^{-1}b)=b^{-1}a\in H$, $(ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H$이고 따라서 $b\,\sim_{L}\,a$, $b\,\sim_{R}\,a$이다. 

(iii) $a\,\sim_{L}\,b$이고 $b\,\sim_{L}\,c$, $a\,\sim_{R}\,b$이고 $b\sim_{R}\,c$라 하자. 그러면 $a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H$, $ab^{-1},\,bc^{-1}\in H$이고 $(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\in H$, $(ab^{-1})(bc^{-1})\in H$이므로 $a\,\sim_{L}\,c$, $a\,\sim_{R}\,c$이다. 

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 $\sim_{L}$, $\sim_{R}$은 $G$위의 동치관계이다. 

정의 2.8 $H$를 $G$의 부분군이라 하자. $G$의 부분집합 $$\begin{align*}aH&=\{ah\,|\,h\in H\}\\Ha&=\{ha\,|\,h\in H\}\end{align*}$$ 를 각각 $a$를 포함하는 $H$의 좌잉여류(left coset), 우잉여류(right coset)라고 한다.

집합론에서 동치관계에 의해 동치류가 생성되고, 정리 2.7에서 정의된 $\sim_{L},\,\sim_{R}$에 의해 좌잉여류, 우잉여류가 생성된다.  

정의 2.9 군 $G$에서 군 $G'$로의 사상 $\phi$가 모든 $a,\,b\in G$에 대하여 $$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$$ 이면 $\phi$를 군 준동형사상(group homomorphism)이라고 한다. 

정의 2.10 $\phi:G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상이라고 하자. $e'$이 $G'$의 항등원일 때 부분군 $$\phi^{-1}[\{e'\}]=\{x\in G\,|\,\phi(x)=e'\}$$ 를 $\phi$의 핵(kernel)이라 하고 $\text{Ker}\phi$로 나타낸다.   

정리 2.11 $\phi:G\,\rightarrow\,G'$을 군 준동형사상이라고 하자. 

(a) $e$가 $G$에서의 항등원이고 $e'$이 $G'$에서의 항등원일 때 $\phi(e)=e'$이다. 

(b) 임의의 $a\in G$에 대하여 $\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}$  

(c) $H\leq G$이면 $\phi[H]\leq G'$

(d) $K'\leq G'$이면 $\phi^{-1}[K']\leq G$

증명: 

(a): $\phi(a)=\phi(ae)=\phi(a)\phi(e)$이므로 $\phi(e)=e'$

(b): $\phi(a)\phi(a^{-1})=\phi(aa^{-1})=\phi(e)=\phi(e)'$이므로 $\phi(a)=(\phi(a))^{-1}$  

(c): $x,\,y\in\phi[H]$라 하자. $a,\,b\in H$가 존재해서 $\phi(a)=x$, $\phi(b)=y$이고 $$xy^{-1}=\phi(a)(\phi(b))^{-1}=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(ab^{-1})\in\phi[H]$$ 이므로 정리 2.6에 의해 $\phi[H]\leq G'$이다. 

(d): $a,\,b\in\phi^{-1}[H]$라 하자. 그러면 $\phi(a),\,\phi(b)\in K'$이고 $$\phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(a)(\phi(b))^{-1}$$ 이며 $K'\leq G'$이므로 $\phi(a)(\phi(b))^{-1}\in K'$이다. 따라서 정리 2.6에 의해 $\phi(ab^{-1})\in K'$이고 $ab^{-1}\in\phi^{-1}[K']$이다. 

정리 2.12 군 준동형사상 $\phi:G\,\rightarrow\,G'$이 일대일일 필요충분조건은 $\text{ker}\phi=\{e\}$이다. 

증명: 

($\Leftarrow$): $\text{ker}\phi=\{e\}$이면 $\phi(a)=\phi(b)$일 때 $$e'=\phi(a)(\phi(b))^{-1}=\phi(ab^{-1})$$ 이고 $ab^{-1}\in\text{ker}\phi=\{e\}$이므로 $ab^{-1}=e$이고 $a=b$이다. 

($\Rightarrow$): $\phi$가 일대일이고 $\phi(e)=e'$이므로 $\text{Ker}\phi=\{e\}$이다. 

정의 2.13 군 준동형사상 $\phi:G\,\rightarrow\,G'$가 다음의 조건을 만족하면 $\phi$를 군 동형사상(group isomorphism)이라고 한다. 

(i) $\phi$는 군 준동형사상이다.

(ii) $\phi$는 일대일이다. 

(iii) $\phi$는 $G$를 $G'$위로 사상한다. 즉 $\phi[G]=G'$ 

정의 2.14 군 $G$의 부분군 $H$의 좌잉여류와 우잉여류가 같다면, 즉 모든 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$이면 $H$를 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이라고 한다. 

정의 2.15 군 $G$의 좌잉여류 $H$에 대하여 $G/H=\{aH\,|\,a\in G\}$를 $H$를 법으로 하는 $G$의 잉여군(factor group)이라고 한다. 

집합론의 이론에 의해 동치관계에 의해 한 집합을 상집합이라는 분할로 만들 수 있다. 비슷하게 현대대수학의 이론에 의해 좌/우잉여류에 의해 한 군을 상군이라는 분할로 만들 수 있다. 

정리 2.16 $H$를 군 $G$의 부분군이라고 하자. 연산 $(aH)(bH)=(ab)H$가 잘 정의될 필요충분조건은 $H$가 $G$의 정규부분군이다. 

증명: 

($\Rightarrow$): $g\in H$라 하자. $gH=Hg$가 성립함을 보이면 된다.

(i) $gH\subset Hg$가 성립함을 보이자. $x\in gH$, $g^{-1}\in g^{-1}H$라 하자. 그러면 $xH=gH$이고 $(xH)(g^{-1}H)=(xg^{-1})H$이다. $$(gH)(g^{-1}H)=(gg^{-1})H=eH$$ 이고 가정에 의해 $$(xg^{-1})H=(xH)(g^{-1}H)=(gH)(g^{-1}H)=eH$$ 이므로 $xg^{-1}\in H$이다. 그러면 적당한 $h\in H$에 대하여 $xg^{-1}\in H$이고 $h=xg^{-1}$이므로 $x=hg\in Hg$이다. 

(ii) $Hg\subset gH$가 성립함을 보이자. $y\in Hg$라고 하면 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $y=h_{1}g$이고 $y^{-1}=g^{-1}h^{-1}$이므로 $y^{-1}\in g^{-1}H$이고 $y^{-1}H=g^{-1}H$이다. 가정에 의해 $(y^{-1}H)(gH)=(g^{-1}H)(gH)$이므로 $(y^{-1}g)H=(g^{-1}g)H=eH$이고 $y^{-1}g\in eH=H$이다. 적당한 $h_{2}\in H$에 대하여 $y^{-1}g=h_{2}$이고 $y=gh_{2}^{-1}\in gH$이다. 

(i), (ii)에 의해 $gH\subset Hg$이고 $Hg\subset gH$이므로 따라서 $gH=Hg$이다. 

($\Leftarrow$): $a_{1}H=a_{2}H$, $b_{1}H=b_{2}H$라 하자. 그러면 $a_{1}^{-1}a_{2}\in H$, $b_{1}^{-1}b_{2}\in H$이고 $$(a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})=b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}b_{2}\in Hb_{2}$$ 이며 가정에 의해 $$b_{1}^{-1}Hb_{2}=b^{-1}(b_{2}H)=(b_{1}^{-1}b_{2})H=eH=H$$ 이므로 $(a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})\in H$이고 $a_{1}b_{1}H=a_{2}b_{2}H$이므로 따라서 $(a_{1}H)(b_{1}H)=(a_{2}H)(b_{2}H)$이다. 

정리 2.17 $H$를 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 $G/H$는 연산 $(aH)(bH)=(ab)H$에 대하여 군을 이룬다. 

증명: 

(i) 결합법칙: 임의의 $aH,\,bH,\,cH\in G/H$에 대하여 다음이 성립한다. $$[(aH)(bH)](cH)=[(ab)H](cH)=((ab)c)H=(a(bc))H=(aH)=[(bc)H]=(aH)[(bH)(cH)]$$ (ii) 항등원: $eH=H\in G/H$이므로 임의의 $aH\in G/H$에 대하여 다음이 성립한다. $$(aH)(eH)=(ae)H=aH=(ea)H=(eH)(aH)$$ (iii) 역원: 임의의 $aH\in G/H$에 대하여 $a^{-1}H\in G/H$이고 다음이 성립한다. $$(a^{-1})H(aH)=(a^{-1}a)H=eH=(aa^{-1})H=(aH)(a^{-1}H)$$ 따라서 $G/H$는 군이다. 

정리 2.18 $G,\,G'$을 군, $\phi:G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상이라고 하자. $H$를 $G$의 정규부분군, $\mu:G/H\,\rightarrow\,\phi[G]$를 임의의 $aH\in G/H$에 대하여 $\mu(aH)=\phi(a)$로 정의하면 $\mu$는 군 동형사상이다. 

증명: 

(i) $a_{1}H=a_{2}H$라 하자. 그러면 $a_{1}^{-1}a_{2}\in H$이고 $\phi(a_{1}^{-1}a_{2})=e'$이므로 $\phi(a_{1})=\phi(a_{2})$이고 다음이 성립하므로 $\mu$는 잘 정의된다. $$\mu(a_{1}H)=\phi(a_{1})=\phi(a_{2})=\mu(a_{2}H)$$ (ii) $\phi$는 준동형사상이므로 다음이 성립하고 따라서 $\mu$는 군 준동형사상이다. $$\mu((aH)(bH))=\mu((ab)H)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\mu(aH)\mu(bH)$$ (iii) $\mu(aH)=\mu(bH)$라 하자. 그러면 $\phi(a)=\phi(b)$이고 $(\phi(a))^{-1}\phi(b)=e'$이다. 그러면 $\phi(a^{-1})\phi(b)=\phi(a^{-1}b)=e'$이고 $a^{-1}b\in H$이므로 $a^{-1}bH=H$이고 $aH=bH$이다. 

(iv) $y\in\phi[G]$라 하자. 그러면 적당한 $x\in G$에 대하여 $y=\phi(x)$이므로 $xH\in G/H$에 대하여 $\phi(xH)=\phi(x)=y$이다. 

정리 2.19 $H$를 군 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 $\gamma(x)=xH$로 정의되는 사상 $\gamma:G\,\rightarrow\,G/H$는 준동형사상이고 $\text{Ker}\gamma=H$이다. 

증명: $x,\,y\in G$라 하자. 그러면 $$\gamma(xy)=(xy)H=(xH)(yH)=\gamma(x)\gamma(y)$$ 이므로 $\gamma$는 준동형사상이고 $xH=H$일 필요충분조건은 $x\in H$이므로 $\text{Ker}\gamma=H$이다.  

정리 2.20 (준동형사상의 기본정리, Fundamental Theorem of Homomorphism) $\phi:G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상, $H=\text{Ker}\phi$라 하자. 그러면 $\phi[G]$는 군이고 $\mu(gH)=\phi(g)$로 정의되는 사상 $\mu:G/H\,\rightarrow\,\phi[G]$는 동형사상이다. $\gamma:G\,\rightarrow\,G/H$가 $\gamma(g)=gH$로 정의되는 준동형사상이면, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\phi(g)=\mu(\gamma(g))$이다. 

증명: $\phi[G]$는 군이고 $H$는 정규부분군이므로 정리 2.18에 의해 $\mu$는 동형사상이고, 또한 정리 2.19에 의해 임의의 $g\in G$에 대해 $\phi(g)=\mu(\gamma(g))$이다. 

 

정리 2.21 $H$를 군 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다. 

(a) 임의의 $g\in G,\,h\in H$에 대하여 $ghg^{-1}\in H$ 즉, 임의의 $g\in G$에 대하여 $gHg^{-1}\subset H$           

(b) 임의의 $g\in G$에 대하여 $gHg^{-1}=H$  

(c) 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$

증명: 

(a)$\Rightarrow$(b): 가정에 의해 임의의 $g\in G$에 대하여 $gHg^{-1}\subset H$이므로 $H\subset gHg^{-1}$이 성립함을 보이자. 임의의 $g\in G$, $h\in H$에 대하여 $ghg^{-1}\in H$이므로 $g^{-1}h(g^{-1})^{-1}\in H$이고 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $g^{-1}h(g^{-1})^{-1}=g^{-1}hg=h_{1}$이다. 그러면 $h=gh_{1}g^{-1}\in gHg^{-1}$이고 따라서 $H\subset gHg^{-1}$이다. 

(b)$\Rightarrow$(c): 임의의 $g\in H$에 대하여 $g^{-1}Hg=H$라 하자. 그러면 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $ghg^{-1}=h_{1}$이고 $gh=h_{1}g\in Hg$이다. 따라서 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH\subset Hg$이고 또한 적당한 $h_{2}\in H$에 대하여 $g^{-1}hg=h_{2}$이므로 $hg=gh_{2}\in gH$이고 따라서 임의의 $g\in G$에 대하여 $Hg\subset gH$이다. 

(c)$\Rightarrow$(a): 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$라 하자. 그러면 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $gh=h_{1}g$이고 따라서 $ghg^{-1}=h_{1}\in H$이다.   

(2)에서 계속...

참고자료: 

집합론, 이흥천, 경문사

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley