이차곡선(타원, 포물선, 쌍곡선)의 광학적 성질

이차곡선(타원, 포물선, 쌍곡선)의 광학적 성질

포물선의 광학적 성질로는 임의의 위치에서 포물면 안쪽(포물면 내부방향)에 광선을 비추면 그 광선은 포물면에 반사되어 포물선의 초점을 반드시 지난다. 타원의 경우 한 초점에서 타원면에 광선을 비추면 그 광선은 타원면에 반사되어 다른 초점을 반드시 지난다. 쌍곡선의 경우 임의의 위치에서 한 초점을 향해 쌍곡선면에 광선을 비추면 그 광선은 쌍곡선면에 반사되어 다른 초점을 반드시 지난다. 

포물선

포물면 안에서 한 점 \(Q\)를 향해 광선을 비추면 그 점에서의 접선이 입사광선과 이루는 각과 반사광선이 이루는 각이 같다.

포물선의 방정식 \(y^{2}=4px\)를 \(x\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=4p\)이므로 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y}\)이고, 점 \(P(x_{1},\,y_{1})\)에서 접선의 방정식은 다음과 같다.$$y=\frac{2p}{y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$이때 \(y_{1}^{2}=4px_{1}\)이므로 접선의 방정식을 \(y_{1}y=2p(x+x_{1})\)로 나타낼 수 있다. 

접선의 \(x\)절편을 \(Q\)라고 하자.$$\begin{align*}PF&=\sqrt{(x_{1}-p)^{2}+y_{1}^{2}}\\&=\sqrt{(x_{1}^{2}-2px_{1}+p^{2})+4px_{1}}\\&=\sqrt{x_{1}^{2}+2px_{1}+p^{2}}\\&=x_{1}+p\end{align*}$$접선의 \(x\)절편이 \((-x_{1},\,0)\)이므로 \(FQ=p-(-x_{1})=p+x_{1}\)이고 \(FP=FQ\)이다. 그러면 삼각형 \(FPQ\)는 \(FP=FQ\)인 이등변삼각형이고 \(\angle FPQ=\alpha\)이므로 \(\angle PQF=\alpha\)이고, 광선이 \(x\)축과 평행하므로 따라서 \(\alpha=\beta\)이다. 

*구면 거울

구면 내부의 임의의 위치(점 \(P\))에서 구면 거울면(위 그림의 점 \(Q\))에 광선을 비추면 그림과 같이 점 \(R\)로 반사된다. \(OQ=r\)이라고 하자. 원의 중심 \(O\)에서 \(P\)에서 비춰지는 광선에 내린 수선의 발을 \(H\)라고 하면$$OH=r\sin\theta,\,HQ=r\cos\theta$$이고 \(\angle PQR=2\theta\)이므로$$RQ\sin2\theta=r\sin\theta$$이고 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)이므로 \(\displaystyle RQ=\frac{r}{2\cos\theta}\)이다. 그러면 반사되는 점 \(R\)에서 원의 중심까지의 거리는$$\begin{align*}RO&=r\cos\theta-RQ\cos2\theta\\&=r\cos\theta-\frac{r}{2\cos\theta}(2\cos^{2}\theta-1)\\&=\frac{r}{2\cos\theta}=RQ\end{align*}$$이므로 삼각형 \(ROQ\)는 \(RO=RQ\)인 이등변삼각형이고,\(\theta\,\rightarrow\,0+\)일 때 \(\displaystyle RO\,\rightarrow\,\frac{r}{2}\), \(\displaystyle RQ\,\rightarrow\,\frac{r}{2}\)이다.   

타원

타원의 초점 \(F_{1}\)에서 타원의 한 점 \(Q\)를 향해 광선을 비추면 그 점에서의 접선이 입사광선과 이루는 각과 반사광선이 이루는 각이 같다.

타원의 방정식 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)을 \(x\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\)이고 점 \(P(x_{1},\,y_{1})\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.$$y=-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$이때 \(\displaystyle\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\)이므로 \(a^{2}y_{1}^{2}+b^{2}x_{1}^{2}=a^{2}b^{2}\)이고 접선의 방정식을 \(\displaystyle\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1\)로 나타낼 수 있다.

위 그림에서 \(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)이고 \(\beta+\gamma\)는 예각이므로 \(\displaystyle\tan(\beta+\gamma)=\frac{y_{1}}{c-x_{1}}\), \(\displaystyle\tan\gamma=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\)이므로$$\begin{align*}\tan\beta&=\tan((\beta+\gamma)-\gamma)\\&=\frac{\displaystyle\frac{y_{1}}{c-x_{1}}-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}{\displaystyle1+\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}y_{1}(c-x_{1})}}\\&=\frac{a^{2}y_{1}^{2}-b^{2}x_{1}(c-x_{1})}{a^{2}y_{1}(c-x_{1})+b^{2}x_{1}y_{1}}\\&=\frac{b^{2}(a^{2}-cx_{1})}{y_{1}c(a^{2}-cx_{1})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha+x=\frac{\pi}{2}-\gamma\)이므로 \(x=\alpha-\gamma\)이고 \(\displaystyle\tan x=\frac{y_{1}}{x_{1}+c}\)이므로$$\begin{align*}\tan\alpha&=\tan((\alpha-\gamma)+\gamma)\\&=\frac{\displaystyle\frac{y_{1}}{x_{1}+c}+\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}{\displaystyle1-\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}(x_{1}+c)y_{1}}}\\&=\frac{a^{2}y_{1}^{2}+b^{2}x_{1}^{2}+b^{2}x_{1}c}{a^{2}(x_{1}+c)y_{1}-b^{2}x_{1}y_{1}}\\&=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}x_{1}c}{c^{2}x_{1}y_{1}+ca^{2}y_{1}}\\&=\frac{b^{2}(a^{2}+cx_{1})}{y_{1}c(a^{2}+cx_{1})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$그러므로 \(\tan\alpha=\tan\beta\)이고 \(\alpha=\beta\)이다. 

쌍곡선

위의 오른쪽 그림에서 임의의 위치에 초점 \(F_{2}\)를 향해 광선을 비추면 그 점에서의 접선이 입사광선과 이루는 각과 반사광선이 이루는 각은 같고, 접선과 직선 \(PF_{2}\)와 이루는 각과도 같다. 

쌍곡선의 방정식 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)을 \(x\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\)이고 점 \(P(x_{1},\,y_{1})\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.$$y=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$이때 \(\displaystyle\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\)이므로 \(a^{2}y_{1}^{2}-b^{2}x_{1}^{2}=-a^{2}b^{2}\)이고 접선의 방정식을 \(\displaystyle\frac{x_{1}x}{a^{2}}-\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1\)로 나타낼 수 있다.

위 그림에서 \(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)이고 \(\displaystyle\tan\gamma=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\), \(\displaystyle\tan(\gamma-\alpha)=\frac{y_{1}}{x_{1}+c}\)이므로$$\begin{align*}\tan\alpha&=\tan(\gamma-(\gamma-\alpha))\\&=\frac{\displaystyle\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}-\frac{y_{1}}{x_{1}+c}}{\displaystyle1+\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}y_{1}(x_{1}+c)}}\\&=\frac{b^{2}x_{1}(x_{1}+c)-a^{2}y_{1}^{2}}{a^{2}y_{1}(x_{1}+c)+b^{2}x_{1}y_{1}}\\&=\frac{b^{2}(a^{2}+cx_{1})}{cy_{1}(a^{2}+cx_{1})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$이고 \(\beta+\gamma\)는 둔각이므로 \(\displaystyle\tan(\beta+\gamma)=\frac{y_{1}}{x_{1}-c}\)이고$$\begin{align*}\tan\beta&=\tan((\beta+\gamma)-\gamma)\\&=\frac{\displaystyle\frac{y_{1}}{x_{1}-c}-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}{\displaystyle1+\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}(x_{1}-c)y_{1}}}\\&=\frac{a^{2}y_{1}-b^{2}x_{1}^{2}+b^{2}cx_{1}}{a^{2}(x_{1}-c)y_{1}+b^{2}x_{1}y_{2}}\\&=\frac{b^{2}(cx_{1}-a^{2})}{cy_{1}(cx_{1}-a^{2})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$그러므로 \(\tan\alpha=\tan\beta\)이고 \(\alpha=\beta\)이다.