이차곡선(타원, 포물선, 쌍곡선)의 광학적 성질

이차곡선(타원, 포물선, 쌍곡선)의 광학적 성질

포물선의 광학적 성질로는 임의의 위치에서 포물면 안쪽(포물면 내부방향)에 광선을 비추면 그 광선은 포물면에 반사되어 포물선의 초점을 반드시 지난다. 타원의 경우 한 초점에서 타원면에 광선을 비추면 그 광선은 타원면에 반사되어 다른 초점을 반드시 지난다. 쌍곡선의 경우 임의의 위치에서 한 초점을 향해 쌍곡선면에 광선을 비추면 그 광선은 쌍곡선면에 반사되어 다른 초점을 반드시 지난다. 

포물선

포물면 안에서 한 점 $Q$를 향해 광선을 비추면 그 점에서의 접선이 입사광선과 이루는 각과 반사광선이 이루는 각이 같다.

포물선의 방정식 $y^{2}=4px$를 $x$에 대해 미분하면 $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=4p$이므로 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y}$이고, 점 $P(x_{1},\,y_{1})$에서 접선의 방정식은 다음과 같다. $$y=\frac{2p}{y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$ 이때 $y_{1}^{2}=4px_{1}$이므로 접선의 방정식을 $y_{1}y=2p(x+x_{1})$로 나타낼 수 있다. 

접선의 $x$절편을 $Q$라고 하자. $$\begin{align*}PF&=\sqrt{(x_{1}-p)^{2}+y_{1}^{2}}\\&=\sqrt{(x_{1}^{2}-2px_{1}+p^{2})+4px_{1}}\\&=\sqrt{x_{1}^{2}+2px_{1}+p^{2}}\\&=x_{1}+p\end{align*}$$ 접선의 $x$절편이 $(-x_{1},\,0)$이므로 $FQ=p-(-x_{1})=p+x_{1}$이고 $FP=FQ$이다. 그러면 삼각형 $FPQ$는 $FP=FQ$인 이등변삼각형이고 $\angle FPQ=\alpha$이므로 $\angle PQF=\alpha$이고, 광선이 $x$축과 평행하므로 따라서 $\alpha=\beta$이다. 

*구면 거울

구면 내부의 임의의 위치(점 $P$)에서 구면 거울면(위 그림의 점 $Q$)에 광선을 비추면 그림과 같이 점 $R$로 반사된다. $OQ=r$이라고 하자. 원의 중심 $O$에서 $P$에서 비춰지는 광선에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $$OH=r\sin\theta,\,HQ=r\cos\theta$$ 이고 $\angle PQR=2\theta$이므로 $$RQ\sin2\theta=r\sin\theta$$ 이고 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$이므로 $\displaystyle RQ=\frac{r}{2\cos\theta}$이다. 그러면 반사되는 점 $R$에서 원의 중심까지의 거리는 $$\begin{align*}RO&=r\cos\theta-RQ\cos2\theta\\&=r\cos\theta-\frac{r}{2\cos\theta}(2\cos^{2}\theta-1)\\&=\frac{r}{2\cos\theta}=RQ\end{align*}$$ 이므로 삼각형 $ROQ$는 $RO=RQ$인 이등변삼각형이고,$\theta\,\rightarrow\,0+$일 때 $\displaystyle RO\,\rightarrow\,\frac{r}{2}$, $\displaystyle RQ\,\rightarrow\,\frac{r}{2}$이다.   

타원

타원의 초점 $F_{1}$에서 타원의 한 점 $Q$를 향해 광선을 비추면 그 점에서의 접선이 입사광선과 이루는 각과 반사광선이 이루는 각이 같다.

타원의 방정식 $\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$을 $x$에 대해 미분하면 $\displaystyle\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$이므로 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$이고 점 $P(x_{1},\,y_{1})$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $$y=-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$ 이때 $\displaystyle\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$이므로 $a^{2}y_{1}^{2}+b^{2}x_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$이고 접선의 방정식을 $\displaystyle\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$로 나타낼 수 있다.

위 그림에서 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$이고 $\beta+\gamma$는 예각이므로 $\displaystyle\tan(\beta+\gamma)=\frac{y_{1}}{c-x_{1}}$, $\displaystyle\tan\gamma=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$이므로 $$\begin{align*}\tan\beta&=\tan((\beta+\gamma)-\gamma)\\&=\frac{\displaystyle\frac{y_{1}}{c-x_{1}}-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}{\displaystyle1+\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}y_{1}(c-x_{1})}}\\&=\frac{a^{2}y_{1}^{2}-b^{2}x_{1}(c-x_{1})}{a^{2}y_{1}(c-x_{1})+b^{2}x_{1}y_{1}}\\&=\frac{b^{2}(a^{2}-cx_{1})}{y_{1}c(a^{2}-cx_{1})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha+x=\frac{\pi}{2}-\gamma$이므로 $x=\alpha-\gamma$이고 $\displaystyle\tan x=\frac{y_{1}}{x_{1}+c}$이므로 $$\begin{align*}\tan\alpha&=\tan((\alpha-\gamma)+\gamma)\\&=\frac{\displaystyle\frac{y_{1}}{x_{1}+c}+\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}{\displaystyle1-\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}(x_{1}+c)y_{1}}}\\&=\frac{a^{2}y_{1}^{2}+b^{2}x_{1}^{2}+b^{2}x_{1}c}{a^{2}(x_{1}+c)y_{1}-b^{2}x_{1}y_{1}}\\&=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}x_{1}c}{c^{2}x_{1}y_{1}+ca^{2}y_{1}}\\&=\frac{b^{2}(a^{2}+cx_{1})}{y_{1}c(a^{2}+cx_{1})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$ 그러므로 $\tan\alpha=\tan\beta$이고 $\alpha=\beta$이다. 

쌍곡선

위의 오른쪽 그림에서 임의의 위치에 초점 $F_{2}$를 향해 광선을 비추면 그 점에서의 접선이 입사광선과 이루는 각과 반사광선이 이루는 각은 같고, 접선과 직선 $PF_{2}$와 이루는 각과도 같다. 

쌍곡선의 방정식 $\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$을 $x$에 대해 미분하면 $\displaystyle\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$이므로 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$이고 점 $P(x_{1},\,y_{1})$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $$y=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$$ 이때 $\displaystyle\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$이므로 $a^{2}y_{1}^{2}-b^{2}x_{1}^{2}=-a^{2}b^{2}$이고 접선의 방정식을 $\displaystyle\frac{x_{1}x}{a^{2}}-\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$로 나타낼 수 있다.

위 그림에서 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$이고 $\displaystyle\tan\gamma=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$, $\displaystyle\tan(\gamma-\alpha)=\frac{y_{1}}{x_{1}+c}$이므로 $$\begin{align*}\tan\alpha&=\tan(\gamma-(\gamma-\alpha))\\&=\frac{\displaystyle\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}-\frac{y_{1}}{x_{1}+c}}{\displaystyle1+\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}y_{1}(x_{1}+c)}}\\&=\frac{b^{2}x_{1}(x_{1}+c)-a^{2}y_{1}^{2}}{a^{2}y_{1}(x_{1}+c)+b^{2}x_{1}y_{1}}\\&=\frac{b^{2}(a^{2}+cx_{1})}{cy_{1}(a^{2}+cx_{1})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$ 이고 $\beta+\gamma$는 둔각이므로 $\displaystyle\tan(\beta+\gamma)=\frac{y_{1}}{x_{1}-c}$이고 $$\begin{align*}\tan\beta&=\tan((\beta+\gamma)-\gamma)\\&=\frac{\displaystyle\frac{y_{1}}{x_{1}-c}-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}{\displaystyle1+\frac{b^{2}x_{1}y_{1}}{a^{2}(x_{1}-c)y_{1}}}\\&=\frac{a^{2}y_{1}-b^{2}x_{1}^{2}+b^{2}cx_{1}}{a^{2}(x_{1}-c)y_{1}+b^{2}x_{1}y_{2}}\\&=\frac{b^{2}(cx_{1}-a^{2})}{cy_{1}(cx_{1}-a^{2})}\\&=\frac{b^{2}}{y_{1}c}\end{align*}$$ 그러므로 $\tan\alpha=\tan\beta$이고 $\alpha=\beta$이다.