르베그 적분에서의 근사

르베그 적분에서의 근사

르베그 외측도(Lebesgue outer measure)의 정의는 다음과 같고$$m^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{k=1}^{\infty}{\ell(I_{k})}\,|\,E\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}{I_{k}}\right\}$$여기서 \(\{I_{k}\}\)는 \(A\)를 덮는 유계 열린구간들의 가산집합족, \(\ell(I_{k})\)는 구간 \(I_{k}\)의 길이이며, 유계구간 \([a,\,b]\), \((a,\,b]\), \([a,\,b)\), \((a,\,b)\)의 르베그 외측도는 다음과 같이 그 구간의 길이(length)이다.$$\begin{align*}m^{*}([b,\,a])&=\ell([a,\,b])=b-a\\m^{*}((a,\,b])&=\ell((a,\,b])=b-a\\m^{*}([a,\,b))&=\ell([a,\,b])=b-a\\m^{*}((a,\,b))&=\ell((a,\,b))=b-a\end{align*}$$집합 \(E\)가 가측(measurable)이라는 것은 임의의 집합 \(A\)에 대하여 다음의 등식이 성립하는 것이고$$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A-E)$$가측집합들의 집합족으로 제한시킨 외측도 \(m^{*}\)를 르베그 측도(Lebesgue measure)라 하고, 가측집합 \(E\)의 르베그 측도를 다음과 같이 나타낸다.$$m(E)=m^{*}(E)$$이때 르베그 외측도의 정의로부터 임의의 가측집합 \(E\)에 대해 다음의 성질들이 성립하고, 르베그 외측도의 정의로부터 성립한다.

성질 1. 다음의 명제들은 \(E\)가 가측집합이라는 사실과 동치이다.

(i) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 열린집합 \(\mathcal{O}\)가 존재해서 \(m(\mathcal{O}-E)<\epsilon\)이다.  

(ii) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 닫힌집합 \(F\)가 존재해서 \(m(E-F)<\epsilon\)이다. 

성질 2. \(E\)를 유한측도를 갖는 가측집합이라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 서로소인 유한개의 열린 구간들의 집합 \(\{I_{k}\}_{k=1}^{n}\)이 존재해서 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\)일 때 다음이 성립한다.$$m(E-\mathcal{O})+m(\mathcal{O}-E)<\epsilon$$또한 외측도의 정의로부터 \(E\)가 가측집합이면, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 열린집합 \(\mathcal{O}\)가 존재해서 \(E\subset\mathcal{O}\)이고, \(m(\mathcal{O})<m(E)+\epsilon\)이므로 다음이 성립한다.$$m(\mathcal{O}-E)=m(\mathcal{O})-m(E)<\epsilon$$어떤 성질이 가측집합 \(E\)에서 거의 어디서나(almost everywhere, a.e.) 성립한다는 것은 \(E\)의 부분집합 \(E_{0}\)가 존재해서 \(E-E_{0}\)에서 이 성질이 성립하고 \(m(E_{0})=0\)이 성립하는 것이다.

성질 3. 함수 \(f\)의 정의역이 가측집합 \(E\)라 하자. 그러면 다음의 성질들은 서로 동치이다.

(i) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대해 집합 \(\{x\in E\,|\,f(x)>c\}\)는 가측집합이다. 

(ii) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대해 집합 \(\{x\in E\,|\,f(x)\geq c\}\)는 가측집합이다.  

(iii) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대해 집합 \(\{x\in E\,|\,f(x)<c\}\)는 가측집합이다.

(iv) 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대해 집합 \(\{x\in E\,|\,f(x)\leq c\}\)는 가측집합이다.   

위의 성질 3을 만족하는 함수 \(f\)를 가측함수(measurable function)라고 한다. 

임의의 집합 \(A\)의 특성함수(characteristic function) \(\chi_{A}\)는 다음과 같이 정의되는 실수 상의 함수이고$$\chi_{A}=\begin{cases}1&\,(x\in A)\\0&\,(x\notin A)\end{cases}$$다음과 같이 특성함수들의 선형결합으로 구성된 함수 \(\varphi\)를 단순함수(simple function)라고 한다.$$\varphi=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{E_{k}}},\,(E_{k}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=c_{k}\})$$성질 4. \(E\)를 가측집합, \(f\)를 \(E\)에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 음이 아닌 단순함수열 \(\{s_{n}\}\)이 존재해서 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴하고, \(f\)가 유계이면, \(\{s_{n}\}\)은 \(E\)로 균등수렴한다. 여기서 \(s_{n}\)은 다음과 같이 정의된다.$$s_{n}=\sum_{k=0}^{2^{2n}-1}{\frac{k}{2^{n}}\chi_{f^{-1}\left[\frac{k}{2^{n}},\,\frac{k+1}{2^{n}}\right]}}+2^{n}\chi_{f^{-1}[(2^{n},\,\infty]]}$$가측집합 \(E\)에서 정의된 단순함수 \(\displaystyle\varphi=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{E_{k}}}\)의 르베그 적분(Lebesgue integral)은 다음과 같이 정의되고$$\int_{E}{fdm}=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}m(E\cap E_{k})}$$\(E\)에서 정의된 음이 아닌 가측함수 \(f\)의 적분은 다음과 같이 정의된다.$$\int_{E}{fdm}=\sup\left\{\int_{E}{\varphi dm}\,|\,0\leq\varphi\leq f,\,\varphi\,\text{simple}\right\}$$함수 \(f\)가 \(E\)에서 적분가능(integrable)하다는 것은 다음이 성립하는 것이다.$$\int_{E}{|f|dm}<\infty$$정리 1. \(E\)를 유한측도 가측집합, \(f\)를 \(E\)에서 a.e. 유한한 가측함수라 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 가측집합 \(F\)가 존재해서 \(F\subset E\)이고 \(f\)는 \(F\)에서 유계이며, \(m(E-F)<\epsilon\)이다.

증명: \(f\)가 \(E\)에서 a.e. 유한이므로 \(m(\{x\in E\,|\,|f(x)|=\infty\})=0\)이고 \(f\)가 가측함수이므로 \(|f|\)도 가측함수이고, 다음의 집합도 가측함수이다.$$E_{n}=\{x\in E\,|\,|f(x)|>n\}\,n\in\mathbb{N}$$이때 \(E_{n+1}\subset E_{n}\)이고$$\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=\{x\in E\,|\,|f(x)|=\infty\}$$이며 \(m(E_{1})\leq m(E)<\infty\)이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}=m(\{x\in E\,|\,|f(x)|=\infty\})=0$$이다. 그러면 적당한 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 모든 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\displaystyle m(E_{N})<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 또한 \(E-E_{N}\)은 가측이므로 닫힌집합 \(F\subset E-E_{N}\)가 존재해서 \(\displaystyle m(E-E_{N})-m(F)<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 따라서 \(f\)는 \(F\)에서 유계이고 다음이 성립한다.$$m(E-F)=m(E-E_{N})+m(E_{N}-F)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$정리 2. \(E\)를 유한측도 가측집합, \(f\)를 \(E\)에서 a.e. 유한한 가측함수라 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 가측집합 \(F\)와 \(E\)에서의 단순함수열 \(\{\varphi_{n}\}\)이 존재해서 \(F\subset E\)이고 \(F\)에서 \(\{\varphi\}\)는 \(f\)로 균등수렴하며, \(m(E-F)<\epsilon\)이다. 

증명: 정리 1에 의해 가측집합 \(F\subset E\)가 존재해서 \(f\)는 \(F\)에서 유계이고, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(m(E-F)<\epsilon\)이다. 성질 4에 의해 \(E\)상의 단순함수열 \(\{s_{n}\}\)이 존재해서 \(E\)에서 \(f\)로 점별수렴한다. \(\varphi_{n}=s_{n}\chi_{F}\)라고 하면, \(f\)가 \(F\)에서 유계이므로 \(\{\varphi_{n}\}\)은 \(F\)에서 \(f\)로 균등수렴한다.

정리 3. \(I\)를 유계 닫힌구간, \(E\)를 \(I\)의 가측 부분집합, \(\epsilon>0\)이라 하자. \(I\)에서의 계단함수 \(h\)와 \(I\)의 가측 부분집합 \(F\)가 존재해서 \(F\)에서 \(h=\chi_{E}\)이고 \(m(I-F)<\epsilon\)이다.      

증명: \(E\)가 가측이고 \(E\subset I\)이므로, 외측도의 정의로부터 열린집합 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{\infty}{I_{k}}\)(\(\{I_{k}\}\)는 유계 열린구간들의 가산집합족)가 존재해서 \(E\subset\mathcal{O}\)이고,$$m(\mathcal{O})\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}<m(E)+\epsilon$$이므로 다음이 성립한다.$$m(\mathcal{O}-E)\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}-m(E)<\frac{\epsilon}{2}$$\(\displaystyle m(\mathcal{O})\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}<\infty\)이어야 하므로 적당한 \(n\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}{m(I_{k})}<\frac{\epsilon}{2}\)가 성립한다. \(\displaystyle\mathcal{O}'=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$m(E\cap\mathcal{O}')=m(E)-m(E\cap(\mathcal{O}-\mathcal{O}'))>m(E)-\frac{\epsilon}{2}$$\(\displaystyle h=\sum_{k=1}^{n}{\chi_{J_{k}}}\), \(\displaystyle J_{k}=I_{k}-\bigcup_{j=1}^{k-1}{I_{j}}\)라 하자. 그러면 \(J_{k}\)들은 서로소이고 \(h\)는 계단함수이다. \(F=(E\cap\mathcal{O}')\cup(I-\mathcal{O})\)라고 하면 다음이 성립하고$$m(I-F)=m(\mathcal{O}-(E\cap\mathcal{O}'))\leq m(\mathcal{O})-m(E\cap\mathcal{O})<m(\mathcal{O})-m(E)+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$\(E\cap\mathcal{O}'\)에서 \(h=1\), \(I-\mathcal{O}\)에서 \(h=0\)이므로 \(F\)에서 \(h=\chi_{E}\)이다.   

정리 4. \(I\)를 유계 닫힌구간, \(\psi\)를 \(I\)에서 정의된 단순함수, \(\epsilon>0\)라 하자. \(I\)에서의 계단함수 \(h\)와 \(I\)의 가측 부분집합 \(F\)가 존재해서 \(F\)에서 \(h=\psi\)이고 \(m(I-F)<\epsilon\)이다.   

증명: 단순함수 \(\psi\)를 \(\displaystyle\psi=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{E_{k}}}\)라고 하자. 가측집합 \(E_{k}\)에 대해 정리 3을 적용하면 가측집합 \(F_{1},\,...,\,F_{n}\)과 계단함수 \(h_{1},\,...,\,h_{n}\)들이 존재해서 \(F_{k}\)에서 \(h_{k}=\chi_{E_{k}}\)이고 \(\displaystyle m(I-F_{k})<\frac{\epsilon}{n}\)이다. \(h\)와 \(F\)를 다음과 같이 정의하면$$h=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}h_{k}},\,F=\bigcap_{k=1}^{n}{F_{k}}$$\(F\)에서 \(h=\psi\)이고 다음이 성립한다.$$m(I-F)\leq\sum_{k=1}^{n}{m(I-F_{k})}<n\cdot\frac{\epsilon}{n}=\epsilon$$정리 5. \(I\)를 유계 닫힌구간, \(f\)를 \(I\)에서의 유계 가측함수, \(\epsilon>0\)이라 하자. \(I\)에서의 계단함수 \(h\)와 \(I\)의 가측 부분집합 \(F\)가 존재해서 \(F\)에서 \(|h-f|<\epsilon\)이고 \(m(I-F)<\epsilon\)이다. 

증명: \(f\)가 유계이고 가측이므로 단순함수 \(\psi\)가 존재해서 \(|f-\psi|<\epsilon\)이다. 정리 4의 결과에 의해 계단함수 \(h\)와 \(I\)의 가측 부분집합 \(F\)가 존재해서 \(F\)에서 \(h=\psi\), \(m(I-F)<\epsilon\)이다. 그러면 \(F\)에서 다음이 성립한다.$$|f-h|=|f-\psi|<\epsilon$$정리 6. \(f\)를 \(\mathbb{R}\)에서 적분가능하다고 하고 \(\epsilon>0\)이라 하자. 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(i) \(\mathbb{R}\)상의 단순함수 \(\eta\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f-\eta|dm}<\epsilon\)이다.  

(ii) \(\mathbb{R}\)상의 계단함수 \(s\)가 존재해서 유계 닫힌구간의 바깥에서 소멸하고, \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f-s|dm}<\epsilon\)이다.  

(iii) \(\mathbb{R}\)상의 연속함수 \(g\)가 존재해서 유계 닫힌구간의 바깥에서 소멸하고, \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f-g|dm}<\epsilon\)이다.   

증명: 

(i): \(f\)를 \(\mathbb{R}\)에서 음이 아닌 적분가능한 함수라 하자. 그러면 적분의 정의에 의해 \(\mathbb{R}\)상의 단순함수 \(\eta\)가 존재해서 \(0\leq\eta\leq f\)이고, \(|f-\eta|=f-\eta\)이므로 다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{|f-\eta|dm}=\int_{\mathbb{R}}{fdm}-\int_{\mathbb{R}}{\eta dm}<\epsilon$$\(f\)가 \(\mathbb{R}\)에서 일반적인 적분가능한 함수라 하자. 그러면 \(f=f^{+}-f^{-}\)로 나타낼 수 있고, \(f^{+}\)와 \(f^{-}\)는 음이 아닌 적분가능한 함수이므로, 앞의 결과를 적용한다. 즉 \(f^{+}\)에 대해 단순함수 \(\eta_{1}\)이, \(f^{-}\)에 대해 단순함수 \(\eta_{2}\)가 존재한다고 하고 다음이 성립한다고 하자.$$\int_{\mathbb{R}}{|f^{+}-\eta_{1}|dm}<\frac{\epsilon}{2},\,\int_{\mathbb{R}}{|f^{-}-\eta_{2}|dm}<\frac{\epsilon}{2}$$\(\eta=\eta_{1}-\eta_{2}\)라고 하면 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{\mathbb{R}}{|f-\eta|dm}\leq\int_{\mathbb{R}}{|f^{+}-\eta_{1}|dm}+\int_{\mathbb{R}}{|f^{-}-\eta_{2}|dm}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$(ii): (i)의 결과에 의해 \(f\)를 단순함수로 근사시킬 수 있고, 삼각부등식에 의해 \(E\)를 유계 가측집합이라고 할 때 \(\chi_{E}\)가 계단함수로 근사될 수 있음을 보이면 된다. 외측도의 정의에 의해 열린집합 \(\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{\infty}{I_{k}}\)(\(\{I_{k}\}\)는 유계 열린구간들의 가산집합족)가 존재해서 \(E\subset\mathcal{O}\)이고 \(\displaystyle m(\mathcal{O}-E)<\frac{\epsilon}{2}\)이다. \(\displaystyle m(\mathcal{O})\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}<\infty\)이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재해서 \(\displaystyle m\left(\bigcup_{k=N+1}^{\infty}{I_{k}}\right)<\frac{\epsilon}{2}\)이고, \(\displaystyle s=\sum_{k=1}^{N}{\chi_{I_{k}}}\)는 계단함수이므로 따라서 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}}{|\chi_{E}-s|dm}&\leq\sum_{k=1}^{N}{\int_{\mathbb{R}}{|\chi_{E\cap I_{k}}-\chi_{I_{k}}|dm}}+\sum_{k=N+1}^{\infty}{\int_{\mathbb{R}}{\chi_{E\cap I_{k}}dm}}\\&\leq m\left(\bigcup_{k=1}^{N}{I_{k}}-E\right)+m\left(\bigcup_{k=N+1}^{\infty}{(I_{k}\cap E)}\right)\\&\leq m(\mathcal{O}-E)+m\left(\bigcup_{k=N+1}^{\infty}{I_{k}}\right)<\epsilon\end{align*}$$(iii): (ii)와 삼각부등식에 의해 유계구간 \([a,\,b]\)에 대한 특성함수 \(\chi_{[a,\,b]}\)가 \(g\)로 근사될 수 있음을 보이면 된다. \(g\)를 \(\displaystyle\left[a+\frac{\epsilon}{2},\,b-\frac{\epsilon}{2}\right]\)에서 1, \([a,\,b]\)바깥에서 0, 나머지에서는 직선이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{|\chi_{[a,\,b]}-g|dm}<m\left(\left[a,\,a+\frac{\epsilon}{2}\right)\cup\left(b-\frac{\epsilon}{2},\,b\right]\right)=\epsilon$$정리 6의 결과로 다음의 리만-르베그 보조정리가 성립함을 보일 수 있다.

정리 7(리만-르베그 보조정리, Riemann-Lebesgue Lemma) \(f\)를 \(\mathbb{R}\)에서 적분가능하다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos nxdx}}=0$$증명: 정리 6의 (ii)에 의해 계단함수 \(\displaystyle s=\sum_{k=1}^{K}{s_{k}\chi_{(a_{k},\,b_{k})}}\)(\(\{(a_{k},\,b_{k})\}\)는 서로소인 유계 열린구간들의 집합족, \(s_{k}\)들은 서로 다른 값)가 존재해서 닫힌 유계구간 바깥에서 0이고, 다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{|f-s|dm}<\frac{\epsilon}{2}$$그러면 다음이 성립하고$$\left|\int_{-\infty}^{\infty}{s(x)\cos nxdx}\right|\leq\sum_{k=1}^{K}{|s_{k}|\left|\int_{a_{k}}^{b_{k}}{\cos nxdx}\right|}=\sum_{k=1}^{K}{\frac{|s_{k}|}{n}|\sin nb_{k}-\sin na_{k}|}\leq\frac{2K\max\{|s_{i}|\}}{n}$$\(\displaystyle n>N=\frac{4K\max{\{|s_{i}|\}}}{\epsilon}\)이라고 하면 다음에 의해 리만-르베그 보조정리가 성립한다.$$\left|\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos nxdx}\right|\leq\int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)-s(x)|dx}+\left|\int_{-\infty}^{\infty}{s(x)\cos nxdx}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

참고자료:

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications second edition, Folland, Wiley

https://math.stackexchange.com/questions/238944/stuck-on-existence-proofs-involving-measurability-and-simple-functions