르베그 적분에서의 근사

르베그 적분에서의 근사

르베그 외측도(Lebesgue outer measure)의 정의는 다음과 같고 $$m^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{k=1}^{\infty}{\ell(I_{k})}\,|\,E\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}{I_{k}}\right\}$$ 여기서 $\{I_{k}\}$는 $A$를 덮는 유계 열린구간들의 가산집합족, $\ell(I_{k})$는 구간 $I_{k}$의 길이이며, 유계구간 $[a,\,b]$, $(a,\,b]$, $[a,\,b)$, $(a,\,b)$의 르베그 외측도는 다음과 같이 그 구간의 길이(length)이다. $$\begin{align*}m^{*}([b,\,a])&=\ell([a,\,b])=b-a\\m^{*}((a,\,b])&=\ell((a,\,b])=b-a\\m^{*}([a,\,b))&=\ell([a,\,b])=b-a\\m^{*}((a,\,b))&=\ell((a,\,b))=b-a\end{align*}$$ 집합 $E$가 가측(measurable)이라는 것은 임의의 집합 $A$에 대하여 다음의 등식이 성립하는 것이고 $$m^{*}(A)=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A-E)$$ 가측집합들의 집합족으로 제한시킨 외측도 $m^{*}$를 르베그 측도(Lebesgue measure)라 하고, 가측집합 $E$의 르베그 측도를 다음과 같이 나타낸다. $$m(E)=m^{*}(E)$$ 이때 르베그 외측도의 정의로부터 임의의 가측집합 $E$에 대해 다음의 성질들이 성립하고, 르베그 외측도의 정의로부터 성립한다.

성질 1. 다음의 명제들은 $E$가 가측집합이라는 사실과 동치이다.

(i) 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 열린집합 $\mathcal{O}$가 존재해서 $m(\mathcal{O}-E)<\epsilon$이다.  

(ii) 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 닫힌집합 $F$가 존재해서 $m(E-F)<\epsilon$이다. 

성질 2. $E$를 유한측도를 갖는 가측집합이라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 서로소인 유한개의 열린 구간들의 집합 $\{I_{k}\}_{k=1}^{n}$이 존재해서 $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}$일 때 다음이 성립한다. $$m(E-\mathcal{O})+m(\mathcal{O}-E)<\epsilon$$ 또한 외측도의 정의로부터 $E$가 가측집합이면, 임의의 $\epsilon>0$에 대해 열린집합 $\mathcal{O}$가 존재해서 $E\subset\mathcal{O}$이고, $m(\mathcal{O})<m(E)+\epsilon$이므로 다음이 성립한다. $$m(\mathcal{O}-E)=m(\mathcal{O})-m(E)<\epsilon$$ 어떤 성질이 가측집합 $E$에서 거의 어디서나(almost everywhere, a.e.) 성립한다는 것은 $E$의 부분집합 $E_{0}$가 존재해서 $E-E_{0}$에서 이 성질이 성립하고 $m(E_{0})=0$이 성립하는 것이다.

성질 3. 함수 $f$의 정의역이 가측집합 $E$라 하자. 그러면 다음의 성질들은 서로 동치이다.

(i) 모든 $c\in\mathbb{R}$에 대해 집합 $\{x\in E\,|\,f(x)>c\}$는 가측집합이다. 

(ii) 모든 $c\in\mathbb{R}$에 대해 집합 $\{x\in E\,|\,f(x)\geq c\}$는 가측집합이다.  

(iii) 모든 $c\in\mathbb{R}$에 대해 집합 $\{x\in E\,|\,f(x)<c\}$는 가측집합이다.

(iv) 모든 $c\in\mathbb{R}$에 대해 집합 $\{x\in E\,|\,f(x)\leq c\}$는 가측집합이다.   

위의 성질 3을 만족하는 함수 $f$를 가측함수(measurable function)라고 한다. 

임의의 집합 $A$의 특성함수(characteristic function) $\chi_{A}$는 다음과 같이 정의되는 실수 상의 함수이고 $$\chi_{A}=\begin{cases}1&\,(x\in A)\\0&\,(x\notin A)\end{cases}$$ 다음과 같이 특성함수들의 선형결합으로 구성된 함수 $\varphi$를 단순함수(simple function)라고 한다. $$\varphi=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{E_{k}}},\,(E_{k}=\{x\in E\,|\,\varphi(x)=c_{k}\})$$ 성질 4. $E$를 가측집합, $f$를 $E$에서 음이 아닌 가측함수라 하자. 그러면 음이 아닌 단순함수열 $\{s_{n}\}$이 존재해서 $E$에서 $f$로 점별수렴하고, $f$가 유계이면, $\{s_{n}\}$은 $E$로 균등수렴한다. 여기서 $s_{n}$은 다음과 같이 정의된다. $$s_{n}=\sum_{k=0}^{2^{2n}-1}{\frac{k}{2^{n}}\chi_{f^{-1}\left[\frac{k}{2^{n}},\,\frac{k+1}{2^{n}}\right]}}+2^{n}\chi_{f^{-1}[(2^{n},\,\infty]]}$$ 가측집합 $E$에서 정의된 단순함수 $\displaystyle\varphi=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{E_{k}}}$의 르베그 적분(Lebesgue integral)은 다음과 같이 정의되고 $$\int_{E}{fdm}=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}m(E\cap E_{k})}$$ $E$에서 정의된 음이 아닌 가측함수 $f$의 적분은 다음과 같이 정의된다. $$\int_{E}{fdm}=\sup\left\{\int_{E}{\varphi dm}\,|\,0\leq\varphi\leq f,\,\varphi\,\text{simple}\right\}$$ 함수 $f$가 $E$에서 적분가능(integrable)하다는 것은 다음이 성립하는 것이다. $$\int_{E}{|f|dm}<\infty$$ 정리 1. $E$를 유한측도 가측집합, $f$를 $E$에서 a.e. 유한한 가측함수라 하자. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 가측집합 $F$가 존재해서 $F\subset E$이고 $f$는 $F$에서 유계이며, $m(E-F)<\epsilon$이다.

증명: $f$가 $E$에서 a.e. 유한이므로 $m(\{x\in E\,|\,|f(x)|=\infty\})=0$이고 $f$가 가측함수이므로 $|f|$도 가측함수이고, 다음의 집합도 가측함수이다. $$E_{n}=\{x\in E\,|\,|f(x)|>n\}\,n\in\mathbb{N}$$ 이때 $E_{n+1}\subset E_{n}$이고 $$\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_{n}}=\{x\in E\,|\,|f(x)|=\infty\}$$ 이며 $m(E_{1})\leq m(E)<\infty$이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{m(E_{n})}=m(\{x\in E\,|\,|f(x)|=\infty\})=0$$ 이다. 그러면 적당한 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 모든 $\epsilon>0$에 대해 $\displaystyle m(E_{N})<\frac{\epsilon}{2}$이다. 또한 $E-E_{N}$은 가측이므로 닫힌집합 $F\subset E-E_{N}$가 존재해서 $\displaystyle m(E-E_{N})-m(F)<\frac{\epsilon}{2}$이다. 따라서 $f$는 $F$에서 유계이고 다음이 성립한다. $$m(E-F)=m(E-E_{N})+m(E_{N}-F)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ 정리 2. $E$를 유한측도 가측집합, $f$를 $E$에서 a.e. 유한한 가측함수라 하자. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 가측집합 $F$와 $E$에서의 단순함수열 $\{\varphi_{n}\}$이 존재해서 $F\subset E$이고 $F$에서 $\{\varphi\}$는 $f$로 균등수렴하며, $m(E-F)<\epsilon$이다. 

증명: 정리 1에 의해 가측집합 $F\subset E$가 존재해서 $f$는 $F$에서 유계이고, 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $m(E-F)<\epsilon$이다. 성질 4에 의해 $E$상의 단순함수열 $\{s_{n}\}$이 존재해서 $E$에서 $f$로 점별수렴한다. $\varphi_{n}=s_{n}\chi_{F}$라고 하면, $f$가 $F$에서 유계이므로 $\{\varphi_{n}\}$은 $F$에서 $f$로 균등수렴한다.

정리 3. $I$를 유계 닫힌구간, $E$를 $I$의 가측 부분집합, $\epsilon>0$이라 하자. $I$에서의 계단함수 $h$와 $I$의 가측 부분집합 $F$가 존재해서 $F$에서 $h=\chi_{E}$이고 $m(I-F)<\epsilon$이다.      

증명: $E$가 가측이고 $E\subset I$이므로, 외측도의 정의로부터 열린집합 $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{\infty}{I_{k}}$($\{I_{k}\}$는 유계 열린구간들의 가산집합족)가 존재해서 $E\subset\mathcal{O}$이고, $$m(\mathcal{O})\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}<m(E)+\epsilon$$ 이므로 다음이 성립한다. $$m(\mathcal{O}-E)\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}-m(E)<\frac{\epsilon}{2}$$ $\displaystyle m(\mathcal{O})\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}<\infty$이어야 하므로 적당한 $n\in\mathbb{N}$이 존재해서 $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}{m(I_{k})}<\frac{\epsilon}{2}$가 성립한다. $\displaystyle\mathcal{O}'=\bigcup_{k=1}^{n}{I_{k}}$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$m(E\cap\mathcal{O}')=m(E)-m(E\cap(\mathcal{O}-\mathcal{O}'))>m(E)-\frac{\epsilon}{2}$$ $\displaystyle h=\sum_{k=1}^{n}{\chi_{J_{k}}}$, $\displaystyle J_{k}=I_{k}-\bigcup_{j=1}^{k-1}{I_{j}}$라 하자. 그러면 $J_{k}$들은 서로소이고 $h$는 계단함수이다. $F=(E\cap\mathcal{O}')\cup(I-\mathcal{O})$라고 하면 다음이 성립하고 $$m(I-F)=m(\mathcal{O}-(E\cap\mathcal{O}'))\leq m(\mathcal{O})-m(E\cap\mathcal{O})<m(\mathcal{O})-m(E)+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$ $E\cap\mathcal{O}'$에서 $h=1$, $I-\mathcal{O}$에서 $h=0$이므로 $F$에서 $h=\chi_{E}$이다.   

정리 4. $I$를 유계 닫힌구간, $\psi$를 $I$에서 정의된 단순함수, $\epsilon>0$라 하자. $I$에서의 계단함수 $h$와 $I$의 가측 부분집합 $F$가 존재해서 $F$에서 $h=\psi$이고 $m(I-F)<\epsilon$이다.   

증명: 단순함수 $\psi$를 $\displaystyle\psi=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{E_{k}}}$라고 하자. 가측집합 $E_{k}$에 대해 정리 3을 적용하면 가측집합 $F_{1},\,...,\,F_{n}$과 계단함수 $h_{1},\,...,\,h_{n}$들이 존재해서 $F_{k}$에서 $h_{k}=\chi_{E_{k}}$이고 $\displaystyle m(I-F_{k})<\frac{\epsilon}{n}$이다. $h$와 $F$를 다음과 같이 정의하면 $$h=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}h_{k}},\,F=\bigcap_{k=1}^{n}{F_{k}}$$ $F$에서 $h=\psi$이고 다음이 성립한다. $$m(I-F)\leq\sum_{k=1}^{n}{m(I-F_{k})}<n\cdot\frac{\epsilon}{n}=\epsilon$$ 정리 5. $I$를 유계 닫힌구간, $f$를 $I$에서의 유계 가측함수, $\epsilon>0$이라 하자. $I$에서의 계단함수 $h$와 $I$의 가측 부분집합 $F$가 존재해서 $F$에서 $|h-f|<\epsilon$이고 $m(I-F)<\epsilon$이다. 

증명: $f$가 유계이고 가측이므로 단순함수 $\psi$가 존재해서 $|f-\psi|<\epsilon$이다. 정리 4의 결과에 의해 계단함수 $h$와 $I$의 가측 부분집합 $F$가 존재해서 $F$에서 $h=\psi$, $m(I-F)<\epsilon$이다. 그러면 $F$에서 다음이 성립한다. $$|f-h|=|f-\psi|<\epsilon$$ 정리 6. $f$를 $\mathbb{R}$에서 적분가능하다고 하고 $\epsilon>0$이라 하자. 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(i) $\mathbb{R}$상의 단순함수 $\eta$가 존재해서 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f-\eta|dm}<\epsilon$이다.  

(ii) $\mathbb{R}$상의 계단함수 $s$가 존재해서 유계 닫힌구간의 바깥에서 소멸하고, $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f-s|dm}<\epsilon$이다.  

(iii) $\mathbb{R}$상의 연속함수 $g$가 존재해서 유계 닫힌구간의 바깥에서 소멸하고, $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{|f-g|dm}<\epsilon$이다.   

증명: 

(i): $f$를 $\mathbb{R}$에서 음이 아닌 적분가능한 함수라 하자. 그러면 적분의 정의에 의해 $\mathbb{R}$상의 단순함수 $\eta$가 존재해서 $0\leq\eta\leq f$이고, $|f-\eta|=f-\eta$이므로 다음이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{|f-\eta|dm}=\int_{\mathbb{R}}{fdm}-\int_{\mathbb{R}}{\eta dm}<\epsilon$$ $f$가 $\mathbb{R}$에서 일반적인 적분가능한 함수라 하자. 그러면 $f=f^{+}-f^{-}$로 나타낼 수 있고, $f^{+}$와 $f^{-}$는 음이 아닌 적분가능한 함수이므로, 앞의 결과를 적용한다. 즉 $f^{+}$에 대해 단순함수 $\eta_{1}$이, $f^{-}$에 대해 단순함수 $\eta_{2}$가 존재한다고 하고 다음이 성립한다고 하자. $$\int_{\mathbb{R}}{|f^{+}-\eta_{1}|dm}<\frac{\epsilon}{2},\,\int_{\mathbb{R}}{|f^{-}-\eta_{2}|dm}<\frac{\epsilon}{2}$$ $\eta=\eta_{1}-\eta_{2}$라고 하면 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{\mathbb{R}}{|f-\eta|dm}\leq\int_{\mathbb{R}}{|f^{+}-\eta_{1}|dm}+\int_{\mathbb{R}}{|f^{-}-\eta_{2}|dm}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ (ii): (i)의 결과에 의해 $f$를 단순함수로 근사시킬 수 있고, 삼각부등식에 의해 $E$를 유계 가측집합이라고 할 때 $\chi_{E}$가 계단함수로 근사될 수 있음을 보이면 된다. 외측도의 정의에 의해 열린집합 $\displaystyle\mathcal{O}=\bigcup_{k=1}^{\infty}{I_{k}}$($\{I_{k}\}$는 유계 열린구간들의 가산집합족)가 존재해서 $E\subset\mathcal{O}$이고 $\displaystyle m(\mathcal{O}-E)<\frac{\epsilon}{2}$이다. $\displaystyle m(\mathcal{O})\leq\sum_{k=1}^{\infty}{m(I_{k})}<\infty$이므로 $N\in\mathbb{N}$이 존재해서 $\displaystyle m\left(\bigcup_{k=N+1}^{\infty}{I_{k}}\right)<\frac{\epsilon}{2}$이고, $\displaystyle s=\sum_{k=1}^{N}{\chi_{I_{k}}}$는 계단함수이므로 따라서 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}}{|\chi_{E}-s|dm}&\leq\sum_{k=1}^{N}{\int_{\mathbb{R}}{|\chi_{E\cap I_{k}}-\chi_{I_{k}}|dm}}+\sum_{k=N+1}^{\infty}{\int_{\mathbb{R}}{\chi_{E\cap I_{k}}dm}}\\&\leq m\left(\bigcup_{k=1}^{N}{I_{k}}-E\right)+m\left(\bigcup_{k=N+1}^{\infty}{(I_{k}\cap E)}\right)\\&\leq m(\mathcal{O}-E)+m\left(\bigcup_{k=N+1}^{\infty}{I_{k}}\right)<\epsilon\end{align*}$$ (iii): (ii)와 삼각부등식에 의해 유계구간 $[a,\,b]$에 대한 특성함수 $\chi_{[a,\,b]}$가 $g$로 근사될 수 있음을 보이면 된다. $g$를 $\displaystyle\left[a+\frac{\epsilon}{2},\,b-\frac{\epsilon}{2}\right]$에서 1, $[a,\,b]$바깥에서 0, 나머지에서는 직선이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{|\chi_{[a,\,b]}-g|dm}<m\left(\left[a,\,a+\frac{\epsilon}{2}\right)\cup\left(b-\frac{\epsilon}{2},\,b\right]\right)=\epsilon$$ 정리 6의 결과로 다음의 리만-르베그 보조정리가 성립함을 보일 수 있다.

정리 7(리만-르베그 보조정리, Riemann-Lebesgue Lemma) $f$를 $\mathbb{R}$에서 적분가능하다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos nxdx}}=0$$ 증명: 정리 6의 (ii)에 의해 계단함수 $\displaystyle s=\sum_{k=1}^{K}{s_{k}\chi_{(a_{k},\,b_{k})}}$($\{(a_{k},\,b_{k})\}$는 서로소인 유계 열린구간들의 집합족, $s_{k}$들은 서로 다른 값)가 존재해서 닫힌 유계구간 바깥에서 0이고, 다음이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{|f-s|dm}<\frac{\epsilon}{2}$$ 그러면 다음이 성립하고 $$\left|\int_{-\infty}^{\infty}{s(x)\cos nxdx}\right|\leq\sum_{k=1}^{K}{|s_{k}|\left|\int_{a_{k}}^{b_{k}}{\cos nxdx}\right|}=\sum_{k=1}^{K}{\frac{|s_{k}|}{n}|\sin nb_{k}-\sin na_{k}|}\leq\frac{2K\max\{|s_{i}|\}}{n}$$ $\displaystyle n>N=\frac{4K\max{\{|s_{i}|\}}}{\epsilon}$이라고 하면 다음에 의해 리만-르베그 보조정리가 성립한다. $$\left|\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cos nxdx}\right|\leq\int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)-s(x)|dx}+\left|\int_{-\infty}^{\infty}{s(x)\cos nxdx}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

참고자료:

Real Analysis 4th edition, Royden, Fitzpatrick, Pearson

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications second edition, Folland, Wiley

https://math.stackexchange.com/questions/238944/stuck-on-existence-proofs-involving-measurability-and-simple-functions