오일러-마스케로니 상수

오일러-마스케로니 상수

고등학교를 다니면서 배운 대표적인 상수로는 \(\pi\)와 \(e\)(자연계열 학생들의 경우)가 있다. 여기서 소개하려는 오일러-마스케로니 상수는 앞서 말했던 \(\pi\)와 \(e\)와는 다른 상수로 다음과 같이 정의된다.$$\gamma=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)}=\int_{1}^{\infty}{\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right)dx}$$여기서 \(\lfloor x\rfloor\)는 바닥함수$$H_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$$은 조화급수(Harmonic Series)로 발산하는데 그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}H_{1}&=1\\H_{2}&=1+\frac{1}{2}\\H_{4}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\geq1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}\\H_{8}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{8}\geq1+\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{8}=1+3\cdot\frac{1}{2}\\ \vdots\\H_{2^{n}}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\geq1+\frac{n}{2}\end{align*}$$이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{n}{2}\right)}=\infty$$이기 때문이다.

조화급수는 다음의 성질을 가지고$$H_{n}=H_{n-1}+\frac{1}{n}\,(n>1),\,H_{1}=1$$다음의 등식이 성립하므로$$\ln(1-x)=(1-x)\sum_{r=1}^{\infty}{H_{r}x^{r}}$$다음의 생성함수를 얻는다.$$\frac{1}{1-x}\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)=\sum_{r=1}^{\infty}{H_{r}x^{r}}$$또한 다음 등식이 성립한다.$$x+\frac{1}{2}x^{2}+\cdots=\sum_{m=1}^{\infty}{H_{m}x^{m}}-\sum_{m=1}^{\infty}{H_{m}x^{m+1}}\,(|x|<1)$$ 

 

다음의 그림은 \(x>0\)일때 (쌍)곡선 \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)의 그래프이다.

위의 그래프로부터 다음의 부등식이 성립하고$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\leq\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}\leq1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}$$즉$$H_{n}-1\leq\ln n\leq H_{n}-\frac{1}{n}$$이고$$\ln n+\frac{1}{n}\leq H_{n}\leq\ln n+1$$이므로$$\frac{1}{n}\leq H_{n}-\ln n\leq1$$이다.

오일러-마스케로니 상수가 존재함을 보이도록 하겠다.

적분에 관한 평균값 정리에 의해 \(\displaystyle c_{n}\in\left(\frac{1}{n+1},\,\frac{1}{n}\right)\)이 존재해서$$\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}{\ln xdx}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\ln c_{n}=\frac{\ln c_{n}}{n(n+1)}$$이고, 부분적분법으로부터$$\begin{align*}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}{\ln xdx}&=\left[x\ln x-x\right]_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\\&=\left(\frac{1}{n}\ln\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{1}{n+1}\ln\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\right)\\&=-\frac{\ln n+1}{n}+\frac{\ln(n+1)+1}{n+1}\\&=\frac{\ln(n+1)}{n+1}-\frac{\ln n}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\\&=\frac{1}{n(n+1)}\{n\ln(n+1)-(n+1)\ln n\}-\frac{1}{n(n+1)}\\&=\frac{1}{n(n+1)}\left\{\ln\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}-1\right\}\end{align*}$$이다. 위의 두 식은 서로 같으므로$$\frac{\ln c_{n}}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}\left\{\ln\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}-1\right\}$$이고 이것은$$\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}c_{n}}=e$$를 뜻한다.$$e=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\frac{1}{nc_{n}}$$이고 이때$$\frac{1}{n+1}<c_{n}<\frac{1}{n}$$이므로$$1<\frac{1}{nc_{n}}<1+\frac{1}{n}$$이고 \(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{nc_{n}}\)이라고 하면$$e=a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},\,1<a_{n}<1+\frac{1}{n}$$이며 이 부등식에 극한을 취하면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=1\)이다.

\(n\)을 \(m\)으로 바꾸면$$e=a_{m}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}$$이고, 이 식 양변에 로그를 취하면$$1=\ln a_{m}+m\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)=\ln a_{m}+m\ln\left(\frac{m+1}{m}\right)$$이므로$$\frac{1}{m}=\frac{1}{m}\ln a_{m}+\ln\left(\frac{m+1}{m}\right)$$이다. 이 식의 항들을 더하면$$\begin{align*}\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}}&=\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}\ln a_{m}}+\sum_{m=1}^{n}{\ln\left(\frac{m+1}{m}\right)}\\&=\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}\ln a_{m}}+\ln(m+1)\end{align*}$$이므로 다음의 등식을 얻는다.$$\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}}-\ln(m+1)=\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}\ln a_{m}}$$\(a_{m}>1\)이므로 이 등식은 \(n\)에 대한 증가수열이고, 이것이 유계임을 보이자.

부등식 \(\displaystyle\frac{1}{n}<a_{n}<1+\frac{1}{n}\)으로부터$$\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}}-\ln(m+1)=\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}\ln a_{m}}<\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m}\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)}<\sum_{m=1}^{n}{\frac{1}{m^{2}}}<\frac{\pi^{2}}{6}\,\left(\because\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m^{2}}}=\frac{\pi^{2}}{6}\right)$$이므로 위로유계이다. 따라서 수열 \(H_{n}-\ln n\)은 수렴하는데 참고로$$\ln(n+1)=\ln n+\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$이므로$$\gamma=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{H_{n}-\ln(n+1)\}}$$이라고 할 수 있다.$$\gamma_{n}=H_{n}-\ln n$$이라고 하면 다음의 부등식이 성립한다.$$\frac{1}{2(n+1)}<\gamma_{n}-\gamma<\frac{1}{2n}$$   

감마함수의 정의는$$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}dt}\,(x>0)$$이고, 부분적분 공식으로부터 \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)이다. 감마함수는 0을 포함한 음의 정수에서 정의되지 않으므로 이러한 정수들을 제외한 복소수에서도 복소함수로써 정의할 수 있다. 

오일러는 다음의 식$$\begin{align*}\Gamma_{r}(x)&=\frac{r!r^{x}}{x(1+x)(2+x)\cdots(r+x)}\\&=\frac{r^{x}}{\displaystyle x\left(1+\frac{x}{1}\right)\left(1+\frac{x}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{x}{r}\right)}\end{align*}$$을 이용하여 감마함수를 다음과 같이 극한으로서 정의했다.$$\Gamma(x)=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\Gamma_{r}(x)}$$실제로$$\begin{align*}\Gamma_{r}(x+1)&=\frac{r!r^{x}}{(x+1)(x+2)\cdots(x+r)(x+r+1)}\\&=\frac{r}{x+r+1}x\Gamma_{r}(x)\end{align*}$$이므로$$\Gamma(x+1)=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\Gamma_{r}(x+1)}=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\frac{r}{x+r+1}x\Gamma_{r}(x)}=x\Gamma(x)$$이고 또한$$\Gamma_{r}(1)=\frac{r!}{(1+1)(1+2)\cdots(1+r)}r=\frac{r}{r+1}$$이므로$$\Gamma(1)=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\Gamma_{r}(1)}=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\frac{r}{r+1}}=1$$이다.

바이어슈트라스(Karl Weierstrass)는 앞에서 정의한 \(\Gamma_{r}(x)\)식을 다음과 같이 나타내 \(\gamma\)와 감마함수 사이의 관계를 얻었다.$$\begin{align*}\Gamma_{r}(x)&=\frac{e^{x\ln r}}{\displaystyle x\left(1+\frac{x}{1}\right)\left(1+\frac{x}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{x}{r}\right)}\\&=\frac{e^{x\left(\ln r-1-\frac{1}{2}-\cdots-\frac{1}{r}\right)}e^{x\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{r}\right)}}{\displaystyle x\left(1+\frac{x}{1}\right)\left(1+\frac{x}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{x}{r}\right)}\\&=\frac{e^{-x\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{r}-\ln r\right)}}{x}\frac{e^{x}}{\displaystyle\left(1+\frac{x}{1}\right)}\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\displaystyle\left(1+\frac{x}{2}\right)}\cdots\frac{e^{\frac{x}{r}}}{\displaystyle\left(1+\frac{x}{r}\right)}\end{align*}$$그러므로$$\frac{1}{\Gamma(x)}=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{\Gamma_{r}(x)}}=xe^{\gamma x}\prod_{r=1}^{\infty}{\left(1+\frac{x}{r}\right)e^{-\frac{x}{r}}}$$이고 이 식에 자연로그를 취하면$$-\ln\Gamma(x)=\ln x+\gamma x+\sum_{r=1}^{\infty}{\left(\ln\left(1+\frac{x}{r}\right)-\frac{x}{r}\right)}$$이며 이 식의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면$$\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\frac{1}{x}-\gamma+\sum_{r=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+x}\right)}$$이다. 이 식에서 \(x=1\)을 대입하면$$\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=-1-\gamma+\sum_{r=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}\right)}=-\gamma$$이고 \(\Gamma(1)=1\)이므로 따라서 \(\Gamma'(1)=-\gamma\)이다. 위의 식에서 \(\displaystyle\Psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)라고 하면$$\Psi(x)=-\gamma+\sum_{r=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+x-1}\right)}$$이므로$$\Psi(x+1)-\Psi(x)=\sum_{r=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+x}\right)}-\sum_{r=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+x-1}\right)}=\frac{1}{x}$$이고$$\Psi(x+1)=\Psi(x)+\frac{1}{x}$$이다. 이때$$\Gamma'(x)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{x-1}\ln tdt}$$이므로$$-\gamma=\Gamma'(1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}\ln tdt}$$이고$$\gamma=-\int_{0}^{\infty}{e^{-t}\ln tdt}$$이다.

위의 적분식을 변형해서 다음의 식들을 얻는다.$$\begin{align*}\gamma&=-\int_{0}^{\infty}{e^{-t}\ln tdt}\\&=-\int_{0}^{1}{\ln\ln\frac{1}{t}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{\left(\frac{1}{e^{t}-1}-\frac{1}{te^{t}}\right)dt}\\&=\int_{0}^{1}{\left(\frac{1}{\ln t}-\frac{1}{1-t}\right)dt}\end{align*}$$또한 다음의 식들이 성립한다.$$\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\ln x dx}=-\frac{\gamma+2\ln2}{4}\sqrt{\pi},\,\int_{0}^{\infty}{e^{x}(\ln x)^{2}dx}=\gamma^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}$$ 

오일러-마스케로니 상수 \(\gamma\)는 아직 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않았다. 

     

참고자료:

오일러 상수 감마, 줄리언 해빌 저, 고중숙 옮김, 승산

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC-%EB%A7%88%EC%8A%A4%EC%BC%80%EB%A1%9C%EB%8B%88_%EC%83%81%EC%88%98