자연대수 e

자연대수 e

수학에서 대표적인 무리수는 원주율 $\pi$와 자연대수 $e$이다. 이 두 수는 분수로 나타낼 수 없는 무리수라는 공통점이 있는데 원주율의 역사는 오래된 반면, 자연대수의 역사는 짧다. 원주율은 초등학교 때는 $3.14$로, 중학교부터는 $\pi$라고 배우지만 자연대수는 고등학교 2학년 또는 3학년이 되었을 때 자연대수에 대해서 배운다.

자연대수 $e$는 앞서 언급했듯이 역사가 짧지만 원주율보다 더 중요한 수이다. 그 이유는 미적분학에 많이 사용되는 수이기 때문이다.  

자연대수 $e$는 17세기 금융문제를 통해 발견된 수이다. 

일반적으로 원금 $P$를 연이율 $r$로 복리계산되는 계좌에 예금을 하면 $t$년 후의 원리합계는 $$S=P(1+r)^{t}$$ 원이 된다.

금융계에서는 복리 계산법이 다양한데 1년, 반년(6개월), 3개월, 1주일, 심지어 1일을 주기로 복리를 계산한다. 

1년에 $n$번 복리계산을 한다고 하자. 이때 은행은 환산 주기마다 연이율 $r$을 $n$으로 나눈 $\displaystyle\frac{r}{n}$을 사용하고, $t$년동안 $nt$번의 환산주기가 있으므로, 원금 $P$의 $t$년 뒤의 원리합계는 $$S=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$ 이다. 앞의 식 $S=P(1+r)^{t}$는 $n=1$인 경우이다.

$P=1$, $t=1$(년)이라고 하면, $$S=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$ 이고, 다음은 $n$의 값에 따른 $S$의 값이다. 

$n$	$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
1 2 3 4 5 10 50 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000	2 2.25 2.37037 2.44141 2.48832 2.59374 2.69159 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828 2.71828

위의 표를 보면 $n$의 값이 커질수록 $\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$의 값이 어떤 특정한 값에 가까워짐을 알 수 있다.

수렴하는 수열의 극한은 다음과 같이 나타내는데 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha$$ 주의할 점은 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $a_{n}$의 극한이 $\alpha$임을 뜻할 뿐, $\alpha$와 같다는 것을 의미하지 않는다. 이것이 극한개념의 본질이다. 수열은 극한에 원하는 만큼 가까워질 수 있지만, 실제로 극한에 도달할 수 없다.

$(a+b)^{n}$의 이항전개는 다음과 같다. $$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}{\binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}}$$ 여기서 $\displaystyle\binom{n}{r}$은 이항계수로 다음과 같이 정의된다. $$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\,(n!=n(n-1)\cdots2\cdot1)$$ 이항계수는 다음과 같이 나타낼 수 있으므로 $$\binom{n}{r}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}$$ 이항정리를 이용하여 $\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$을 전개하면 다음과 같다. $$\begin{align*}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}&=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{1}{n}\right)^{n}\\&=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n^{n}}\end{align*}$$ 이때 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1-\frac{2}{n}\right)}=\cdots=1$$ 이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$ 이다. 이 극한값이 자연대수 $e$이다. 참고로 첫째 항 부터 몇개의 항을 더한 결과는 다음과 같다.

부분합	결과
$2=$ $\displaystyle2+\frac{1}{2}=$ $\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=$ $\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=$ $\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}=$  $\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}=$ $\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}=$	$2$ $2.5$ $2.666\cdots$ $2.708333\cdots$ $2.716666\cdots$ $2.7180555\cdots$ $2.718253968$

$e$가 존재함을 보이자. $$S_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$$ 라고 하면 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=e$$ 이고 모든 자연수 $n$에 대해 $S_{n}<S_{n+1}$이므로 $S_{n}$은 단조증가한다.

3 이상의 자연수 $n$에 대하여 다음의 부등식이 성립한다. $$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\cdots\cdots n>1\cdot2\cdot2\cdot\cdots\cdot2=2^{n-1}$$ 그러므로 3 이상의 자연수 $n$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$S_{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}$$ 이때 $$3-\frac{1}{2^{n-1}}<2+1=3$$ 이므로 $S_{n}<3$이고 $S_{n}$은 위로 유계이다.

"위로 유계인 단조증가수열은 수렴한다"라는 사실에 의해 $S_{n}$은 수렴하고, 극한값은 2와 3 사이에 있음을 알 수 있다. 이 극한값을 $S$라고 하겠다.

$\displaystyle T_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$이라 하자. 이 수열의 극한값이 $S_{n}$과 같음을 보인다.

이항정리에 의해 $$\begin{align*}T_{n}&=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac{1}{n^{2}}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{n!}\cdot\frac{1}{n^{n}}\\&=1+1+\left(1-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2!}+\cdots+\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\frac{1}{n!}\end{align*}$$ 이고, 각 괄호 안의 값이 1보다 작기 때문에 $T_{n}\leq S_{n}$이고 따라서 $T_{n}$도 위로 유계이다. 또한 $T_{n}<T_{n+1}$이므로 $T_{n}$은 단조증가이다. 그러므로 $T_{n}$도 수렴한다. 그 극한값을 $T$라고 하겠다.

$S=T$임을 보이자. 모든 $n$에 대해 $S_{n}\geq T_{n}$이므로 $S\geq T$이다. $S\leq T$임을 보이면 충분하다. $m$을 $n$보다 작은 고정된 정수라고 하자. $$T_{m}=1+1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{1}{2!}+\cdots+\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\frac{1}{m!}$$ 이고 $m<n$ 이며 모든 항이 양수이므로 $T_{m}<T_{n}$이다. 

부등식 $T_{m}<T_{n}$에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 $S_{m}\leq T$이고 따라서 $S\leq T$이다.

이 결과로부터 $S=T=e$이다.

앞서 언급했지만 $e$는 무리수이다. 이것을 보이자. 

$e$를 유리수라고 가정하자. 그러면 $\displaystyle e=\frac{p}{q}\,(p,\,q\in\mathbb{Z},\,\text{gcd}(p,\,q)=1)$로 나타낼 수 있다. $$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots$$ 이므로 $$0<e-S_{n}<\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$$ 이고 $$\begin{align*}\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots=\frac{1}{(n+1)!}\left\{1+\frac{1}{(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots\right\}\\&\leq\frac{1}{(n+1)!}\left\{1+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots\right\}=\frac{1}{n!n}\end{align*}$$ 이므로 $$0<e-S_{n}<\frac{1}{n!n}$$ 이다. $n$은 모든 자연수이므로 $$0<e-S_{q}<\frac{1}{q!q}$$ 이고 이 부등식의 각 변에 $q!$을 곱하면 $$0<(e-S_{q})q!<\frac{1}{q}$$ 이고 $$(e-S_{q})q!=p(q-1)!-\left\{q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\cdots+\frac{q!}{q!}\right\}$$ 이므로 $(e-S_{q})q!$은 정수이나 $\displaystyle\frac{1}{q}<1$이고, 정수는 0과 1사이에 존재할 수 없기 때문에 모순이다. 

따라서 $e$는 무리수이다.

앞의 결과로부터 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=e$라고 할 수 있고, 함수의 극한 개념을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=e,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e$$ 자연대수 $e$를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 하고 $\ln$(또는 $\log$)로 나타낸다. 자연대수 $e$의 정의로부터 다음 등식이 성립한다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1$$ 오일러는 다음과 같이 자연대수 $e$를 밑으로 하는 지수함수와 로그함수를 정의했다. $$e^{x}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}},\,\ln x=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n(x^{\frac{1}{n}}-1)}$$ 지수함수의 정의(정확히는 이항정리)를 살펴보면 $$e^{x}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$ 이고, 테일러 정리로부터 이 식이 성립함을 확인할 수 있다. 참고로 오일러는 자연대수 $e$를 다음과 같이 연분수로 나타냈다. $$e=2+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle2+\frac{2}{\displaystyle3+\frac{3}{\displaystyle4+\frac{4}{\displaystyle5+\cdots}}}}}$$ 미분가능한 함수 $f$의 도함수는 정의에 의해 $$f'(x)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$ 이다. 도함수의 정의를 이용하여 지수함수 $f(x)=e^{x}$의 도함수를 구하자. $$\begin{align*}f(x)&=\lim_{\Delta x}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}\right)\\&=e^{x}\end{align*}$$ 도함수를 구하면 놀랍게도 자기 자신이다. 이러한 성질은 자연대수 $e$가 중요하게 여겨지는 이유이다. 또한 로그함수 $f(x)=\ln x$의 도함수를 구하면 $$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}=\frac{1}{x}\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}}\right)\\&=\frac{1}{x}\end{align*}$$ 이다. 

모든 실수 $n$에 대하여 $x^{n}$의 도함수는 $nx^{n-1}$이고, $-1$이 아닌 모든 실수 $n$에 대하여 $x^{n}$의 부정적분은 $\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}$이며, 앞의 결과에 의해 $\displaystyle\frac{1}{x}(=x^{-1})$의 부정적분은 $\ln x$임을 알 수 있다. 이러한 이유로 자연로그 $\ln$을 다음과 같이 $x=1$부터 $x(>0)$까지 쌍곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$의 정적분으로 정의할 수 있다. $$\ln x=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$ 적분의 성질들로부터 로그의 성질을 만족함을 확인할 수 있다.

$-1<x<1$인 실수 $x$에 대해 다음의 등식이 성립한다 $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots$$ 이 등식으로부터 $-1<x<1$일 때, 다음의 등식이 성립함을 알 수 있다. $$\begin{align*}\ln(1+x)&=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t}dt}\\&=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots\end{align*}$$ 이 공식은 테일러 정리로부터 성립하는데 $x$값의 범위가 $-1<x\leq1$이라는 것에 유의한다. 여기서 $x=1$일 때 성립하는 이유는 $x=1$일 때, 교대급수가 되고, 교대급수판정법에 의해 $x=1$일 때 수렴하기 때문이다.

그러면 위의 결과를 이용하여 $\ln2$의 값을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\ln2&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\\&=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{5\cdot6}+\cdots\\&=0.69314709\cdots\end{align*}$$ 또한 이 결과를 이용하여 $2$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$2=\frac{e^{1}}{e^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{e^{\frac{1}{3}}}{e^{\frac{1}{4}}}\cdot\frac{e^{\frac{1}{5}}}{e^{\frac{1}{6}}}\cdots$$

지수함수 $y=e^{x}$의 도함수가 자기자신인 $y=e^{x}$라는 사실을 이용하여 함수의 미분을 포함하는 미분방정식을 풀 수 있다.          

초기조건이 $y(0)=y_{0}$인 1계선형동차 미분방정식 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=ky$의 해는 $y=y_{0}e^{kx}$라는 것을 알 수 있다.

이 결과를 응용하여 다음과 같은 실용적인 결과물들을 얻을 수 있다.

1. 방사성 물질의 붕괴율 및 방사성 물질의 방출량은 매 순간 자신의 질량에 비례한다. 즉 질량이 $m$일 때, $\displaystyle\frac{dm}{dt}=-km$이고, 초기 질량을 $m_{0}$라 할 때, $m=m_{0}e^{-kt}$이다.

2. (뉴턴의 냉각법칙) 온도가 항상 일정한 환경에서 온도가 $T_{0}$인 뜨거운 물체를 주변 온도가 $T_{1}$인 곳에 놔뒀을 때, 그 물체는 시각 $t$에서의 온도 $T$와 주변 온도의 차 $T-T_{1}$에 비례하는 속도로 냉각된다. 즉 $\displaystyle\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{1})$이고, $T=T_{1}+(T_{0}-T_{1})e^{-kt}$이다.

3. 연이율이 $r$이고, 연속복리로 계산되는 계좌에 원금 $P$원을 예금하면, $t$년 후의 원리합계는 $S=Pe^{rt}$이다.

4. 질량이 $m$인 사람이 시각 $t=0$에서 낙하산을 폈을 때, 중력 $mg$와 공기저항 $kv$가 작용한다. 초기속도를 $v_{0}$라고 하면 뉴턴의 운동 제2법칙으로부터 $\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv$이고, $\displaystyle v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t})+v_{0}e^{-\frac{k}{m}t}$이다.

2계 이상의 고계미분방정식을 풀 때 학부과정 기준으로 해의 형태를 $y=e^{\lambda x}$형태로 놓고 미분방정식에 대입한 후, $\lambda$에 대한 특성방정식을 얻어, 이 방정식을 풀어서 $\lambda$들에 대한 해들의 선형결합으로 나타내어 미분방정식 풀이를 한다. 예를들어 미분방정식 $y''-3y'+2y=0$의 특성방정식은 $\lambda^{2}-3\lambda+2=0$이고, $\lambda=1,\,2$이므로 이 미분방정식의 일반해는 $y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}$이다. 

함수 $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$는 평균이 $\mu$이고, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수이다. 이 확률밀도함수는 부정적분으로 나타낼 수 없으나 확률밀도함수의 정의로부터 $$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}=1$$ 임을 알 수있다.

이상적분 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}$는 $e^{-x^{2}}$을 부정적분으로 나타낼 수 없으나 극좌표 변환을 이용하여 구할 수 있다.

$C(a)=\{x^{2}+y^{2}\leq a\,|\,a\geq0\}$라고 하자. $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$로 놓고 극좌표 변환을 이용하면 $$\iint_{C(a)}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dA}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{a}{re^{-r^{2}}dr}d\theta}=\pi\int_{0}^{a^{2}}{e^{-t}dt}=\pi(1-e^{-a^{2}})$$ 이다. $e^{-(x^{2}+y^{2})}\geq0$이고 $C(a)\subset\{[-r,\,r]\times[-r,\,r]\,|\,0\leq r\leq a\}\subset C(\sqrt{2}a)$이므로(아래 그림 참고)

$$\iint_{C(a)}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dA}\leq\int_{-a}^{a}{\int_{-a}^{a}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dx}dy}\leq\iint_{C(\sqrt{2}a)}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dA}$$ 이고, 푸비니 정리에 의해 $$\int_{-a}^{a}{\int_{-a}^{a}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dx}dy}=\left(\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}}}\right)^{2}$$ 이므로 $$\pi(1-e^{-a^{2}})\leq\left(\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}}dx}\right)^{2}\leq\pi(1-e^{2a^{2}})$$ 이다. 위의 부등식에서 극한 $a\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 등식 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\sqrt{\pi}$를 얻는다.

정규분포의 확률밀도함수를 실수 전체에서 적분하면 1이 되는 것은 위의 결과에서 치환적분을 해서 확인할 수 있다. 

$e$를 밑으로 하는 지수함수를 포함하는 함수에는 다음과 같이 오차함수와 라플라스변환, 감마함수가 있다. $$\text{erf}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{x}{e^{-t^{2}}dt},\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt},\,\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}{x^{a-1}e^{-x}dx}(a>0)$$

쌍곡선함수는 다음과 같이 정의된다. $$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\,\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\,\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$$ 이때 다음의 성질이 성립한다. $$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\,\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$$ 이것은 삼각함수의 도함수 $$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\,\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$ 와 비슷하다. 주의할 점은 삼각함수는 주기함수이나 쌍곡선함수는 주기함수가 아니라는 점이다.    

앞에서 지수함수 $y=e^{x}$를 다음과 같이 전개할 수 있음을 보였다. $$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$ 오일러는 $x$에 $ix\,(i=\sqrt{-1})$를 대입하여 다음과 같이 등식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x\,(i=\sqrt{-1})$이 성립함을 보였다. $$\begin{align*}e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\cdots\\&=\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)\\&=\cos x+i\sin x\end{align*}$$ 이 결과로부터 다음이 성립하며 $$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,e^{-ix}=\cos x-i\sin x$$ 이 두 식들로부터 다음의 식이 성립한다. $$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\,\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ 또한 다음의 식이 성립한다. $$e^{\pi i}=-1(e^{\pi i}+1=0),\,i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}$$ 이를 이용하여 임의의 복소수 $z$를 다음과 같이 나타낸다. $$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

 

참고자료:

오일러가 사랑한 수 e, 엘리 마오, 허민 옮김, 경문사

실해석학 입문, 맨프레드 스톨, 허민, 오혜영 옮김, 경문사

https://librewiki.net/wiki/%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84