자연대수 e

자연대수 e

수학에서 대표적인 무리수는 원주율 \(\pi\)와 자연대수 \(e\)이다. 이 두 수는 분수로 나타낼 수 없는 무리수라는 공통점이 있는데 원주율의 역사는 오래된 반면, 자연대수의 역사는 짧다. 원주율은 초등학교 때는 \(3.14\)로, 중학교부터는 \(\pi\)라고 배우지만 자연대수는 고등학교 2학년 또는 3학년이 되었을 때 자연대수에 대해서 배운다.

자연대수 \(e\)는 앞서 언급했듯이 역사가 짧지만 원주율보다 더 중요한 수이다. 그 이유는 미적분학에 많이 사용되는 수이기 때문이다.  

자연대수 \(e\)는 17세기 금융문제를 통해 발견된 수이다. 

일반적으로 원금 \(P\)를 연이율 \(r\)로 복리계산되는 계좌에 예금을 하면 \(t\)년 후의 원리합계는$$S=P(1+r)^{t}$$원이 된다.

금융계에서는 복리 계산법이 다양한데 1년, 반년(6개월), 3개월, 1주일, 심지어 1일을 주기로 복리를 계산한다. 

1년에 \(n\)번 복리계산을 한다고 하자. 이때 은행은 환산 주기마다 연이율 \(r\)을 \(n\)으로 나눈 \(\displaystyle\frac{r}{n}\)을 사용하고, \(t\)년동안 \(nt\)번의 환산주기가 있으므로, 원금 \(P\)의 \(t\)년 뒤의 원리합계는$$S=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$이다. 앞의 식 \(S=P(1+r)^{t}\)는 \(n=1\)인 경우이다.

\(P=1\), \(t=1\)(년)이라고 하면,$$S=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$이고, 다음은 \(n\)의 값에 따른 \(S\)의 값이다. 

\(n\)	\(\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)
1 2 3 4 5 10 50 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000	2 2.25 2.37037 2.44141 2.48832 2.59374 2.69159 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828 2.71828

위의 표를 보면 \(n\)의 값이 커질수록 \(\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)의 값이 어떤 특정한 값에 가까워짐을 알 수 있다.

수렴하는 수열의 극한은 다음과 같이 나타내는데$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha$$주의할 점은 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(a_{n}\)의 극한이 \(\alpha\)임을 뜻할 뿐, \(\alpha\)와 같다는 것을 의미하지 않는다. 이것이 극한개념의 본질이다. 수열은 극한에 원하는 만큼 가까워질 수 있지만, 실제로 극한에 도달할 수 없다.

\((a+b)^{n}\)의 이항전개는 다음과 같다.$$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}{\binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}}$$여기서 \(\displaystyle\binom{n}{r}\)은 이항계수로 다음과 같이 정의된다.$$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\,(n!=n(n-1)\cdots2\cdot1)$$이항계수는 다음과 같이 나타낼 수 있으므로$$\binom{n}{r}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}$$이항정리를 이용하여 \(\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)을 전개하면 다음과 같다.$$\begin{align*}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}&=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{1}{n}\right)^{n}\\&=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n^{n}}\end{align*}$$이때$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1-\frac{2}{n}\right)}=\cdots=1$$이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$이다. 이 극한값이 자연대수 \(e\)이다. 참고로 첫째 항 부터 몇개의 항을 더한 결과는 다음과 같다.

부분합	결과
\(2=\) \(\displaystyle2+\frac{1}{2}=\) \(\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\) \(\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\) \(\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}=\)  \(\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}=\) \(\displaystyle2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}=\)	\(2\) \(2.5\) \(2.666\cdots\) \(2.708333\cdots\) \(2.716666\cdots\) \(2.7180555\cdots\) \(2.718253968\)

\(e\)가 존재함을 보이자.$$S_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$$라고 하면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=e$$이고 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(S_{n}<S_{n+1}\)이므로 \(S_{n}\)은 단조증가한다.

3 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\cdots\cdots n>1\cdot2\cdot2\cdot\cdots\cdot2=2^{n-1}$$그러므로 3 이상의 자연수 \(n\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$S_{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}$$이때$$3-\frac{1}{2^{n-1}}<2+1=3$$이므로 \(S_{n}<3\)이고 \(S_{n}\)은 위로 유계이다.

"위로 유계인 단조증가수열은 수렴한다"라는 사실에 의해 \(S_{n}\)은 수렴하고, 극한값은 2와 3 사이에 있음을 알 수 있다. 이 극한값을 \(S\)라고 하겠다.

\(\displaystyle T_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)이라 하자. 이 수열의 극한값이 \(S_{n}\)과 같음을 보인다.

이항정리에 의해$$\begin{align*}T_{n}&=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac{1}{n^{2}}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{n!}\cdot\frac{1}{n^{n}}\\&=1+1+\left(1-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2!}+\cdots+\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\frac{1}{n!}\end{align*}$$이고, 각 괄호 안의 값이 1보다 작기 때문에 \(T_{n}\leq S_{n}\)이고 따라서 \(T_{n}\)도 위로 유계이다. 또한 \(T_{n}<T_{n+1}\)이므로 \(T_{n}\)은 단조증가이다. 그러므로 \(T_{n}\)도 수렴한다. 그 극한값을 \(T\)라고 하겠다.

\(S=T\)임을 보이자. 모든 \(n\)에 대해 \(S_{n}\geq T_{n}\)이므로 \(S\geq T\)이다. \(S\leq T\)임을 보이면 충분하다. \(m\)을 \(n\)보다 작은 고정된 정수라고 하자.$$T_{m}=1+1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{1}{2!}+\cdots+\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\frac{1}{m!}$$이고 \(m<n\) 이며 모든 항이 양수이므로 \(T_{m}<T_{n}\)이다. 

부등식 \(T_{m}<T_{n}\)에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면 \(S_{m}\leq T\)이고 따라서 \(S\leq T\)이다.

이 결과로부터 \(S=T=e\)이다.

앞서 언급했지만 \(e\)는 무리수이다. 이것을 보이자. 

\(e\)를 유리수라고 가정하자. 그러면 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\,(p,\,q\in\mathbb{Z},\,\text{gcd}(p,\,q)=1)\)로 나타낼 수 있다.$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots$$이므로$$0<e-S_{n}<\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$$이고$$\begin{align*}\sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots=\frac{1}{(n+1)!}\left\{1+\frac{1}{(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots\right\}\\&\leq\frac{1}{(n+1)!}\left\{1+\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots\right\}=\frac{1}{n!n}\end{align*}$$이므로$$0<e-S_{n}<\frac{1}{n!n}$$이다. \(n\)은 모든 자연수이므로$$0<e-S_{q}<\frac{1}{q!q}$$이고 이 부등식의 각 변에 \(q!\)을 곱하면$$0<(e-S_{q})q!<\frac{1}{q}$$이고$$(e-S_{q})q!=p(q-1)!-\left\{q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\cdots+\frac{q!}{q!}\right\}$$이므로 \((e-S_{q})q!\)은 정수이나 \(\displaystyle\frac{1}{q}<1\)이고, 정수는 0과 1사이에 존재할 수 없기 때문에 모순이다. 

따라서 \(e\)는 무리수이다.

앞의 결과로부터 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=e\)라고 할 수 있고, 함수의 극한 개념을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=e,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e$$자연대수 \(e\)를 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 하고 \(\ln \)(또는 \(\log\))로 나타낸다. 자연대수 \(e\)의 정의로부터 다음 등식이 성립한다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1$$오일러는 다음과 같이 자연대수 \(e\)를 밑으로 하는 지수함수와 로그함수를 정의했다.$$e^{x}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}},\,\ln x=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n(x^{\frac{1}{n}}-1)}$$지수함수의 정의(정확히는 이항정리)를 살펴보면$$e^{x}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$이고, 테일러 정리로부터 이 식이 성립함을 확인할 수 있다. 참고로 오일러는 자연대수 \(e\)를 다음과 같이 연분수로 나타냈다.$$e=2+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle2+\frac{2}{\displaystyle3+\frac{3}{\displaystyle4+\frac{4}{\displaystyle5+\cdots}}}}}$$미분가능한 함수 \(f\)의 도함수는 정의에 의해$$f'(x)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$이다. 도함수의 정의를 이용하여 지수함수 \(f(x)=e^{x}\)의 도함수를 구하자.$$\begin{align*}f(x)&=\lim_{\Delta x}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}\right)\\&=e^{x}\end{align*}$$도함수를 구하면 놀랍게도 자기 자신이다. 이러한 성질은 자연대수 \(e\)가 중요하게 여겨지는 이유이다. 또한 로그함수 \(f(x)=\ln x\)의 도함수를 구하면$$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}=\frac{1}{x}\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}}\right)\\&=\frac{1}{x}\end{align*}$$이다. 

모든 실수 \(n\)에 대하여 \(x^{n}\)의 도함수는 \(nx^{n-1}\)이고, \(-1\)이 아닌 모든 실수 \(n\)에 대하여 \(x^{n}\)의 부정적분은 \(\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)이며, 앞의 결과에 의해 \(\displaystyle\frac{1}{x}(=x^{-1})\)의 부정적분은 \(\ln x\)임을 알 수 있다. 이러한 이유로 자연로그 \(\ln\)을 다음과 같이 \(x=1\)부터 \(x(>0)\)까지 쌍곡선 \(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)의 정적분으로 정의할 수 있다.$$\ln x=\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}$$적분의 성질들로부터 로그의 성질을 만족함을 확인할 수 있다.

\(-1<x<1\)인 실수 \(x\)에 대해 다음의 등식이 성립한다$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots$$이 등식으로부터 \(-1<x<1\)일 때, 다음의 등식이 성립함을 알 수 있다.$$\begin{align*}\ln(1+x)&=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t}dt}\\&=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots\end{align*}$$이 공식은 테일러 정리로부터 성립하는데 \(x\)값의 범위가 \(-1<x\leq1\)이라는 것에 유의한다. 여기서 \(x=1\)일 때 성립하는 이유는 \(x=1\)일 때, 교대급수가 되고, 교대급수판정법에 의해 \(x=1\)일 때 수렴하기 때문이다.

그러면 위의 결과를 이용하여 \(\ln2\)의 값을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\ln2&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\\&=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{5\cdot6}+\cdots\\&=0.69314709\cdots\end{align*}$$또한 이 결과를 이용하여 \(2\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$2=\frac{e^{1}}{e^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{e^{\frac{1}{3}}}{e^{\frac{1}{4}}}\cdot\frac{e^{\frac{1}{5}}}{e^{\frac{1}{6}}}\cdots$$

지수함수 \(y=e^{x}\)의 도함수가 자기자신인 \(y=e^{x}\)라는 사실을 이용하여 함수의 미분을 포함하는 미분방정식을 풀 수 있다.          

초기조건이 \(y(0)=y_{0}\)인 1계선형동차 미분방정식 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=ky\)의 해는 \(y=y_{0}e^{kx}\)라는 것을 알 수 있다.

이 결과를 응용하여 다음과 같은 실용적인 결과물들을 얻을 수 있다.

1. 방사성 물질의 붕괴율 및 방사성 물질의 방출량은 매 순간 자신의 질량에 비례한다. 즉 질량이 \(m\)일 때, \(\displaystyle\frac{dm}{dt}=-km\)이고, 초기 질량을 \(m_{0}\)라 할 때, \(m=m_{0}e^{-kt}\)이다.

2. (뉴턴의 냉각법칙) 온도가 항상 일정한 환경에서 온도가 \(T_{0}\)인 뜨거운 물체를 주변 온도가 \(T_{1}\)인 곳에 놔뒀을 때, 그 물체는 시각 \(t\)에서의 온도 \(T\)와 주변 온도의 차 \(T-T_{1}\)에 비례하는 속도로 냉각된다. 즉 \(\displaystyle\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{1})\)이고, \(T=T_{1}+(T_{0}-T_{1})e^{-kt}\)이다.

3. 연이율이 \(r\)이고, 연속복리로 계산되는 계좌에 원금 \(P\)원을 예금하면, \(t\)년 후의 원리합계는 \(S=Pe^{rt}\)이다.

4. 질량이 \(m\)인 사람이 시각 \(t=0\)에서 낙하산을 폈을 때, 중력 \(mg\)와 공기저항 \(kv\)가 작용한다. 초기속도를 \(v_{0}\)라고 하면 뉴턴의 운동 제2법칙으로부터 \(\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv\)이고, \(\displaystyle v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t})+v_{0}e^{-\frac{k}{m}t}\)이다.

2계 이상의 고계미분방정식을 풀 때 학부과정 기준으로 해의 형태를 \(y=e^{\lambda x}\)형태로 놓고 미분방정식에 대입한 후, \(\lambda\)에 대한 특성방정식을 얻어, 이 방정식을 풀어서 \(\lambda\)들에 대한 해들의 선형결합으로 나타내어 미분방정식 풀이를 한다. 예를들어 미분방정식 \(y''-3y'+2y=0\)의 특성방정식은 \(\lambda^{2}-3\lambda+2=0\)이고, \(\lambda=1,\,2\)이므로 이 미분방정식의 일반해는 \(y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}\)이다. 

함수 \(\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\)는 평균이 \(\mu\)이고, 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수이다. 이 확률밀도함수는 부정적분으로 나타낼 수 없으나 확률밀도함수의 정의로부터$$\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx}=1$$임을 알 수있다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}\)는 \(e^{-x^{2}}\)을 부정적분으로 나타낼 수 없으나 극좌표 변환을 이용하여 구할 수 있다.

\(C(a)=\{x^{2}+y^{2}\leq a\,|\,a\geq0\}\)라고 하자. \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)로 놓고 극좌표 변환을 이용하면$$\iint_{C(a)}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dA}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{a}{re^{-r^{2}}dr}d\theta}=\pi\int_{0}^{a^{2}}{e^{-t}dt}=\pi(1-e^{-a^{2}})$$이다. \(e^{-(x^{2}+y^{2})}\geq0\)이고 \(C(a)\subset\{[-r,\,r]\times[-r,\,r]\,|\,0\leq r\leq a\}\subset C(\sqrt{2}a)\)이므로(아래 그림 참고)

$$\iint_{C(a)}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dA}\leq\int_{-a}^{a}{\int_{-a}^{a}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dx}dy}\leq\iint_{C(\sqrt{2}a)}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dA}$$이고, 푸비니 정리에 의해$$\int_{-a}^{a}{\int_{-a}^{a}{e^{-(x^{2}+y^{2})}dx}dy}=\left(\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}}}\right)^{2}$$이므로$$\pi(1-e^{-a^{2}})\leq\left(\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}}dx}\right)^{2}\leq\pi(1-e^{2a^{2}})$$이다. 위의 부등식에서 극한 \(a\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면 등식 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\sqrt{\pi}\)를 얻는다.

정규분포의 확률밀도함수를 실수 전체에서 적분하면 1이 되는 것은 위의 결과에서 치환적분을 해서 확인할 수 있다. 

\(e\)를 밑으로 하는 지수함수를 포함하는 함수에는 다음과 같이 오차함수와 라플라스변환, 감마함수가 있다.$$\text{erf}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{x}{e^{-t^{2}}dt},\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt},\,\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}{x^{a-1}e^{-x}dx}(a>0)$$

쌍곡선함수는 다음과 같이 정의된다.$$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\,\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\,\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$$이때 다음의 성질이 성립한다.$$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\,\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$$이것은 삼각함수의 도함수$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\,\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$와 비슷하다. 주의할 점은 삼각함수는 주기함수이나 쌍곡선함수는 주기함수가 아니라는 점이다.    

앞에서 지수함수 \(y=e^{x}\)를 다음과 같이 전개할 수 있음을 보였다.$$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots$$오일러는 \(x\)에 \(ix\,(i=\sqrt{-1})\)를 대입하여 다음과 같이 등식 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\,(i=\sqrt{-1})\)이 성립함을 보였다.$$\begin{align*}e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\cdots\\&=\left(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)\\&=\cos x+i\sin x\end{align*}$$이 결과로부터 다음이 성립하며$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,e^{-ix}=\cos x-i\sin x$$이 두 식들로부터 다음의 식이 성립한다.$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\,\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$또한 다음의 식이 성립한다.$$e^{\pi i}=-1(e^{\pi i}+1=0),\,i^{i}=e^{-\frac{\pi}{2}}$$이를 이용하여 임의의 복소수 \(z\)를 다음과 같이 나타낸다.$$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

 

참고자료:

오일러가 사랑한 수 e, 엘리 마오, 허민 옮김, 경문사

실해석학 입문, 맨프레드 스톨, 허민, 오혜영 옮김, 경문사

https://librewiki.net/wiki/%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84