상집합의 군론과 환론에의 적용(2)

상집합의 군론과 환론에의 적용(2)  

정의 2.22 \(G\)를 군이라 하자. \(G\neq\{e\}\)이고 \(G\)가 비자명 진 정규부분군을 갖지 않으면 \(G\)를 단순군(simple group)이라고 한다. 

정리 2.23 \(\phi:G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상이라고 하자. 

(a) \(N\)이 \(G\)의 정규부분군이면, \(\phi[N]\)은 \(\phi[G]\)의 정규부분군이다. 

(b) \(N'\)이 \(\phi[G]\)의 정규부분군이면, \(\phi^{-1}[N]\)은 \(G\)의 정규부분군이다.  

증명: 

(a): \(\phi[N]\)은 \(\phi[G]\)의 부분군이다. \(\phi(x)\in\phi[N]\), \(\phi(g)\in\phi[G]\)라 하자. 그러면 임의의 \(g\in G\), \(x\in N\)에 대해 \(gxg^{-1}\in N\)이므로 \(\phi(g)\phi(x)\phi(g^{-1})=\phi(gxg^{-1})\in\phi[N]\)이고 임의의 \(\phi(g)\in\phi[G]\)에 대해 \(\phi(g)\phi[N](\phi(g))^{-1}\subset\phi[N]\)이므로 따라서 정리 2.21에 의해 \(\phi[N]\)은 \(\phi[G]\)의 정규부분군이다.  

(b): \(x\in\phi^{-1}[N]\)라 하자. 그러면 \(\phi(x)\in N'\)이고 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(\phi(gxg^{-1})=\phi(g)\phi(x)(\phi(g))^{-1}\in N'\)이다. 그러면 \(gxg^{-1}\in\phi^{-1}[N']\)이고 따라서 \(\phi^{-1}[N]\)은 \(G\)의 정규부분군이다. 

정의 2.24 \(M\)을 군 \(G\)의 정규부분군이라 하자. \(M\)과 \(G\)사이에 어떠한 정규부분군이 존재하지 않으면, 즉 \(M\subset N\subset G\)인 \(N\)이 존재하지 않으면 \(M\)을 \(G\)의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라고 한다. 

정리 2.25 \(G\)를 군이라 하자. \(M\)이 \(G\)의 극대 정규부분군일 필요충분조건은 \(G/M\)이 단순군이다.  

증명:  

(\(\Rightarrow\)): \(M\)을 \(G\)의 극대 정규부분군, \(\gamma:G\,\rightarrow\,G/M\)을 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(\gamma(x)=xM\)으로 정의하자. \(N'\)이 \(M\subset N'\subset G/M\), \(M\neq N'\), \(N'\neq G/M\)을 만족하는 \(G/M\)의 정규부분군이면 \(\gamma^{-1}[N']\)은 \(M\subset\gamma^{-1}[N']\subset G\)를 만족하는 \(G\)의 정규부분군이나 이것은 \(M\)이 \(G\)의 극대 정규부분군이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(G/M\)은 단순군이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(N\)을 \(M\subset N\subset G\), \(M\neq N\)을 만족하는 \(G\)의 정규부분군이라 하자. \(\gamma[N]\)은 \(\gamma[G]=G/M\)의 정규부분군이고 \(\gamma[N]\neq\{M\}(=\{eM\})\), \(G/M\)은 단순군이므로 \(\gamma[N]=G/M\)이다. 따라서 \(N=G\)이고 \(M\)은 \(G\)의 극대정규부분군이다.  

환론

정의 3.1 집합 \(R\)에 덧셈 \(+\)와 곱셈 \(\cdot\)에 대해 다음의 공리를 만족하면 \(\langle R,\,+,\,\cdot\rangle\)를 환(ring)이라고 한다.      

R1: \(\langle R,\,+\rangle\)는 교환법칙이 성립하는 군(아벨군)이다. 

R2: 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다.

R3: 임의의 \(a,\,b\in R\)에 대하여 다음이 성립한다.(좌, 우 분배법칙)$$\begin{align*}a\cdot(b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot b+b\cdot c\end{align*}$$정의 3.2 환 \(R\)에서 환 \(R'\)으로의 사상 \(\phi\)가 모든 \(a,\,b\in R\)에 대하여$$1.\,\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b),\,2.\,\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$$이면 \(\phi\)를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다. 

정의 3.3 환 준동형사상 \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)가 다음의 조건을 만족하면 \(\phi\)를 환 동형사상(ring isomorphism)이라고 한다. 

(i) \(\phi\)는 환 준동형사상이다. 

(ii) \(\phi\)는 일대일이다.

(iii) \(\phi\)는 \(R\)을 \(R'\)위로 사상한다. 즉 \(\phi[R]=R'\)

정의 3.4 환 \(R\)이 다음의 공리를 만족하면 체(field)라고 한다. 

(i) \(R\)에서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. 

(ii) \(R\)은 곱셈에 대한 항등원 1을 가지고, 0(덧셈에 대한 항등원)이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는다. 

정리 3.5 \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)을 환 준동형사상이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(i) \(0\)을 \(R\)의 덧셈항등원, \(0'\)을 \(R'\)의 덧셈항등원이라고 하면, \(\phi(0)=0'\)이다.  

(ii) 임의의 \(a\in R\)에 대하여 \(\phi(-a)=-\phi(a)\)이다. 

(iii) \(S\)가 \(R\)의 부분환이면 \(\phi[S]\)는 \(R'\)의 부분환이다. 

(iv) \(S'\)이 \(R'\)의 부분환이면 \(\phi^{-1}[S']\)는 \(R\)의 부분환이다. 

(v) \(R\)이 곱셈에 대한 항등원 1을 가지면 \(\phi(1)\)은 \(\phi[R]\)의 곱셈에 대한 항등원이다. 

증명: 

(i), (ii): 자명하다.

(iii): \(\phi[S]\)가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. \(\phi(s_{1}),\,\phi(s_{2})\in\phi[S]\)라 하면 \(\phi(s_{1})\phi(s_{2})=\phi(s_{1}s_{2})\in\phi[S]\)이므로 \(\phi[S]\)는 곱셈에 대해 닫혀있고, 따라서 부분환이다.

(iv): \(\phi^{-1}[S]\)가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. \(a,\,b\in\phi^{-1}[S']\)이라 하자. 그러면 \(\phi(a),\,\phi(b)\in S'\)이고 \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\in S'\)이므로 \(ab\in\phi^{-1}[S]\)이고 곱셈에 대해 닫혀있다. 따라서 부분환이다. 

(v): 임의의 \(r\in R\)에 대해$$\phi(1)\phi(r)=\phi(1r)=\phi(r)=\phi(r1)=\phi(r)\phi(1)$$이므로 \(\phi(1)\)은 \(\phi[R]\)의 곱셈에 대한 항등원이다. 

정의 3.6 \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)를 환 준동형사상이라고 하자.$$\phi^{-1}[\{0\}]=\{r\in R\,|\,\phi(r)=0'\}$$를 \(\phi\)의 핵(kernel)이라 하고 \(\text{Ker}\phi\)로 나타낸다. 

정리 3.7 환 준동형사상 \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)가 일대일일 필요충분조건은 \(\text{Ker}\phi=\{0\}\)이다. 

증명: 

(\(\Leftarrow\)): \(\text{Ker}\phi=\{0\}\)이면 \(\phi(a)=\phi(b)\)일 때 \(0'=\phi(a)-\phi(b)=\phi(a-b)\)이고 \(a-b\in\text{Ker}\phi\)이므로 \(a-b=0\)이고 \(a=b\)이다. 

(\(\Rightarrow\)): \(\phi\)가 일대일이고 \(\phi(0)=0'\)이므로 \(\text{Ker}\phi=\{0\}\)이다. 

정의 3.8 환 \(R\)의 덧셈부분군 \(N\)이 모든 \(a,\,b\in R\)에 대하여 \(aN\subset N\)이고 \(bN\subset N\)이면 \(N\)을 환 \(R\)의 아이디얼(ideal)이라고 한다. 

정의 3.9 환 \(R\)의 아이디얼 \(N\)에 대하여 \(R/N=\{a+N\,|\,a\in R\}\)을 \(N\)을 법으로 하는 \(R\)의 잉여환(factor ring)이라고 한다. 

정리 3.10 \(N\)을 환 \(R\)의 부분환이라 하자. \(N\)의 덧셈잉여류 곱 \((a+N)(b+N)=ab+N\)이 잘 정의되기 위한 필요충분조건은 \(N\)이 아이디얼이다. 

증명: 

(\(\Leftarrow\)): 모든 \(a,\,b\in R\)에 대해 \(aN\subset N\), \(Nb\subset N\)이라 하자. \(n_{1},\,n_{2}\in N\)일 때 \(n_{1}n_{2}\in N\)이므로 \(NN=N\)이 성립한다. 그러면$$(a+N)(b+N)=ab+aN+bN+N$$이고 \(aN\subset N\), \(Nb\subset N\)이므로 따라서 \((a+N)(b+N)=ab+N\)이다. 

(\(\Rightarrow\)): 연산 \((a+N)(b+N)=ab+N\)이 잘 정의되었다고 하고 \(a\in R\)이라 하자.$$(a+N)N=(a+N)(0+N)=a\cdot0+N=N$$이고 \(n\in N\)이라 하면$$(a+N)(n+N)=an+N$$이고 \((a+N)N=N\)이므로 \(an\in N\)이고 \(aN\subset N\)이어야 한다. 같은 방법으로 \(N(b+N)=N\)이므로 \(nb\in N\)이고 \(Nb\subset N\)이어야 한다. 

정리 3.11 \(N\)을 환 \(R\)의 아이디얼이라 하자. 그러면 \(R/N\)은 다음의 연산을 갖는 환이다.$$(a+N)+(b+N)=(a+b)+N,\,(a+N)(b+N)=ab+N$$증명: 

(i) 덧셈에 대한 아벨군: 덧셈은 교환법칙이 성립하므로 정리 2.17에 의해 성립한다. 

(ii), (iii) 곱셈에 대한 결합법칙, 좌, 우 분배법칙: 곱셈에 대한 결합법칙이 성립함을 보이면 충분하다.\(a+N,\,b+N,\,c+N\in R/N\)에 대해$$\begin{align*}[(a+N)(b+N)](c+N)&=[(ab+N)](c+N)=(ab)c+N\\&=a(bc)+N=(a+N)[(bc+N)]\\&=(a+N)[(b+N)(c+N)]\end{align*}$$이므로 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다. 또한$$\begin{align*}(a+N)[(b+N)+(c+N)]&=(a+N)[(b+c)+N]=a(b+c)+N\\&=(a\cdot b+a\cdot c)+N=(ab+N)+(ac+N)\\&=(a+N)(b+N)+(a+N)(c+N)\end{align*}$$이고, 같은 방법으로$$[(a+N)+(b+N)](c+N)=(a+N)(c+N)+(b+N)(c+N)$$이므로 좌, 우 분배법칙이 성립한다.             

정리 3.12 \(R,\,R'\)을 환, \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)을 환 준동형사상이라 하자. \(N\)을 \(R\)의 아이디얼, \(\mu:R/N\,\rightarrow\,\phi[R]\)를 임의의 \(x+N\in R/N\)에 대하여 \(\mu(x+N)=\phi(x)\)로 정의하면 \(\mu\)는 환 동형사상이다.

증명: 

(i) \(a_{1}+N=a_{2}+N\)이라 하자. 그러면 \(-a_{1}+a_{2}\in N\), \(\phi(-a_{1}+a_{2})=0'\)이므로 \(\phi(a_{1})=\phi(a_{2})\)이고$$\mu(a_{1}+N)=\phi(a_{1})=\phi(a_{2})=\mu(a_{2}+N)$$이다. 

(ii) \(\phi\)가 환 준동형사상이므로$$\begin{align*}\mu((a+N)+(b+N))&=\mu((a+b)+N)=\phi(a+b)\\&=\phi(a)+\phi(b)\\&=\mu(a+N)+\mu(b+N)\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\mu((a+N)(b+N))&=\mu(ab+N)=\phi(ab)\\&=\phi(a)\phi(b)\\&=\mu(a+N)\mu(b+N)\end{align*}$$이다. 

(iii) \(\mu(a+N)=\mu(b+N)\)이라 하자. 그러면 \(\phi(a)=\phi(b)\)이고 \(-(\phi(a))+\phi(b)=0'\)이므로$$-\phi(a)+\phi(b)=\phi(-a+b)=0'$$이고 \(-a+b=0\)이므로 \(a=b\)이고 \(a+N=b+N\)이다. 

(iv) \(y\in\phi[R]\)이라 하자. 적당한 \(x\in R\)에 대하여 \(y=\phi(x)\)이므로 \(x+N\in R/N\)에 대하여 \(\mu(x+N)=\phi(x)=y\)이다. 

정리 3.13 \(N\)을 \(R\)의 한 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\gamma(x)=x+N\)으로 정의되는 \(\gamma:R\,\rightarrow\,R/N\)는 준동형사상이고 \(\text{Ker}\gamma=N\)이다. 

증명: 덧셈은 정리 2.19에 의해 성립하므로 곱셈에 대해 성립하는지 확인하면 된다.$$\gamma(xy)=xy+N=(x+N)(y+N)=\gamma(x)\gamma(y)$$이므로 \(\gamma\)는 준동형사상이고 \(x+N=N\)일 필요충분조건은 \(x\in N\)이므로 \(\text{Ker}\gamma=N\)이다. 

정리 3.14 (준동형사상의 기본정리, Fundamental Theorem of Homomorphism) \(\phi:R\,\rightarrow\,R'\)을 환 준동형사상, \(N=\text{Ker}\phi\)라 하자. 그러면 \(\phi[R]\)은 환이고 \(\mu(x+N)=\phi(x)\)로 정의되는 사상 \(\mu:R/N\,\rightarrow\,\phi[R]\)는 동형사상이다. \(\gamma:R\,\rightarrow\,R/N\)가 \(\gamma(x)=x+N\)로 정의되는 준동형사상이면 임의의 \(x\in R\)에 대하여 \(\phi(x)=\mu(\gamma(x))\)를 만족한다.

증명: \(N\)은 아이디얼이므로 정리 3.12에 의해 \(\phi[R]\)은 환이고 \(\mu\)는 환 동형사상이다. 또한 정리 3.13에 의해 임의의 \(x\in R\)에 대해 \(\phi(x)=\mu(\gamma(x))\)이다. 

정리 3.15 곱셈에 대한 항등원을 갖는 환 \(R\)에서 아이디얼이 곱셈에 대한 역원을 포함하면 \(N=R\)이다. 

증명: \(N\)은 \(R\)의 아이디얼이고 \(u\in N\)이라 하자. 모든 \(r\in R\)에 대해 \(rN\subset N\)이고 \(r=u^{-1}\)(곱셈에 대한 역원)라 하면 \(u\in N\)이므로 \(u^{-1}u=1\in N\)이고 \(Nr\subset N\)이므로 \(r=r\cdot1\in N\)(\(\because\,1\in N,\,rN\subset N\)이고 \(R\subset N\))이고 \(R\subset N\)이다. \(N\subset R\)은 분명하므로 따라서 \(N=R\)이다. 

정리 3.16 체는 비자명 진 아이디얼(\(\{0\}\neq N\neq R\)인 아이디얼 \(N\))을 포함하지 않는다.

증명: 0이 아닌 체의 모든 원소들은 곱셈에 대한 역원을 가지므로 정리 3.15에 의해 체의 아이디얼은 \(\{0\}\)과 자기 자신뿐이다.  

정의 3.17 \(M\)을 환 \(R\)의 아이디얼이라 하자. \(M\subset N\subset R\)인 \(R\)의 아이디얼 \(N\)이 존재하지 않으면 \(M\)을 \(R\)의 극대 아이디얼이라고 한다. 

정리 3.18 \(R\)을 곱셈에 대한 항등원을 갖고 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 환이라 하자. \(M\)이 \(R\)의 극대 아이디얼이 될 필요충분조건은 \(R/M\)이 체이다. 

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(M\)을 \(R\)의 극대 아이디얼이라 하자. 가정에 의해 \(M\neq R\)이므로 \(R/M\)도 곱셈에 대한 항등원을 갖고 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. \(R/M\)의 덧셈에 대한 항등원이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 보이자.

(* \(a+M\in R/M\)이 덧셈에 대한 항등원이 아닐 필요충분조건은 \(a\neq M\)이다.)

\(a\notin M\)이고 \(a+M\)이 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는다고 하자. 그러면$$(R/M)(a+M)=\{(r+M)(a+M)\,|\,r+M\in R/N\}$$은 \(1+M\)을 원소로 갖지 않는다. \((R/M)(a+M)\)은 \(R/M\)의 아이디얼이고 \(a\notin M\)이므로 \((R/M)(a+M)\)은 비자명이고 \(1+M\notin(R/M)(a+M)\)이므로 \((R/M)(a+M)\neq R/M\)이다. 

\(\gamma:R\,\rightarrow\,R/M\)를 \(\gamma(x)=x+M\)으로 정의하면 \(\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]\)은 \(M\)을 포함하는 \(R\)의 부분 아이디얼이 되고 \(M\subset\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]\subset R\)이므로 이것은 \(M\)이 극대 아이디얼이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(a+M\)은 곱셈에 대한 역원을 갖고 따라서 \(R/M\)은 체이다.  

(\(\Leftarrow\)): \(R/M\)이 체라고 하자. \(N\)이 \(M\subset N\subset R\)을 만족하는 \(R\)의 아이디얼이고 \(\gamma:R\,\rightarrow\,R/M\)가 \(\gamma(x)=x+M\)으로 정의되는 사상이면 \(\gamma[N]\)은 \(\{0+M\}\subset\gamma[N]\subset R/M\)인 \(R/M\)의 아이디얼이 되는데 \(R/M\)은 체이므로 정리 3.16에 모순이다. 따라서 \(M\)은 극대 아이디얼이다. 

군론에서의 정규부분군은 환론의 아이디얼에 대응대고, 잉여군은 잉여환에, 단순군은 체에, 극대정규부분군은 극대아이디얼과 대응된다. 

참고자료:

집합론, 이흥천, 경문사

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley