상집합의 군론과 환론에의 적용(2)

상집합의 군론과 환론에의 적용(2)  

정의 2.22 $G$를 군이라 하자. $G\neq\{e\}$이고 $G$가 비자명 진 정규부분군을 갖지 않으면 $G$를 단순군(simple group)이라고 한다. 

정리 2.23 $\phi:G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상이라고 하자. 

(a) $N$이 $G$의 정규부분군이면, $\phi[N]$은 $\phi[G]$의 정규부분군이다. 

(b) $N'$이 $\phi[G]$의 정규부분군이면, $\phi^{-1}[N]$은 $G$의 정규부분군이다.  

증명: 

(a): $\phi[N]$은 $\phi[G]$의 부분군이다. $\phi(x)\in\phi[N]$, $\phi(g)\in\phi[G]$라 하자. 그러면 임의의 $g\in G$, $x\in N$에 대해 $gxg^{-1}\in N$이므로 $\phi(g)\phi(x)\phi(g^{-1})=\phi(gxg^{-1})\in\phi[N]$이고 임의의 $\phi(g)\in\phi[G]$에 대해 $\phi(g)\phi[N](\phi(g))^{-1}\subset\phi[N]$이므로 따라서 정리 2.21에 의해 $\phi[N]$은 $\phi[G]$의 정규부분군이다.  

(b): $x\in\phi^{-1}[N]$라 하자. 그러면 $\phi(x)\in N'$이고 임의의 $g\in G$에 대하여 $\phi(gxg^{-1})=\phi(g)\phi(x)(\phi(g))^{-1}\in N'$이다. 그러면 $gxg^{-1}\in\phi^{-1}[N']$이고 따라서 $\phi^{-1}[N]$은 $G$의 정규부분군이다. 

정의 2.24 $M$을 군 $G$의 정규부분군이라 하자. $M$과 $G$사이에 어떠한 정규부분군이 존재하지 않으면, 즉 $M\subset N\subset G$인 $N$이 존재하지 않으면 $M$을 $G$의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라고 한다. 

정리 2.25 $G$를 군이라 하자. $M$이 $G$의 극대 정규부분군일 필요충분조건은 $G/M$이 단순군이다.  

증명:  

($\Rightarrow$): $M$을 $G$의 극대 정규부분군, $\gamma:G\,\rightarrow\,G/M$을 임의의 $x\in G$에 대하여 $\gamma(x)=xM$으로 정의하자. $N'$이 $M\subset N'\subset G/M$, $M\neq N'$, $N'\neq G/M$을 만족하는 $G/M$의 정규부분군이면 $\gamma^{-1}[N']$은 $M\subset\gamma^{-1}[N']\subset G$를 만족하는 $G$의 정규부분군이나 이것은 $M$이 $G$의 극대 정규부분군이라는 사실에 모순이다. 따라서 $G/M$은 단순군이다. 

($\Leftarrow$): $N$을 $M\subset N\subset G$, $M\neq N$을 만족하는 $G$의 정규부분군이라 하자. $\gamma[N]$은 $\gamma[G]=G/M$의 정규부분군이고 $\gamma[N]\neq\{M\}(=\{eM\})$, $G/M$은 단순군이므로 $\gamma[N]=G/M$이다. 따라서 $N=G$이고 $M$은 $G$의 극대정규부분군이다.  

환론

정의 3.1 집합 $R$에 덧셈 $+$와 곱셈 $\cdot$에 대해 다음의 공리를 만족하면 $\langle R,\,+,\,\cdot\rangle$를 환(ring)이라고 한다.      

R1: $\langle R,\,+\rangle$는 교환법칙이 성립하는 군(아벨군)이다. 

R2: 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다.

R3: 임의의 $a,\,b\in R$에 대하여 다음이 성립한다.(좌, 우 분배법칙) $$\begin{align*}a\cdot(b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot b+b\cdot c\end{align*}$$ 정의 3.2 환 $R$에서 환 $R'$으로의 사상 $\phi$가 모든 $a,\,b\in R$에 대하여 $$1.\,\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b),\,2.\,\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$$ 이면 $\phi$를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다. 

정의 3.3 환 준동형사상 $\phi:R\,\rightarrow\,R'$가 다음의 조건을 만족하면 $\phi$를 환 동형사상(ring isomorphism)이라고 한다. 

(i) $\phi$는 환 준동형사상이다. 

(ii) $\phi$는 일대일이다.

(iii) $\phi$는 $R$을 $R'$위로 사상한다. 즉 $\phi[R]=R'$

정의 3.4 환 $R$이 다음의 공리를 만족하면 체(field)라고 한다. 

(i) $R$에서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. 

(ii) $R$은 곱셈에 대한 항등원 1을 가지고, 0(덧셈에 대한 항등원)이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는다. 

정리 3.5 $\phi:R\,\rightarrow\,R'$을 환 준동형사상이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(i) $0$을 $R$의 덧셈항등원, $0'$을 $R'$의 덧셈항등원이라고 하면, $\phi(0)=0'$이다.  

(ii) 임의의 $a\in R$에 대하여 $\phi(-a)=-\phi(a)$이다. 

(iii) $S$가 $R$의 부분환이면 $\phi[S]$는 $R'$의 부분환이다. 

(iv) $S'$이 $R'$의 부분환이면 $\phi^{-1}[S']$는 $R$의 부분환이다. 

(v) $R$이 곱셈에 대한 항등원 1을 가지면 $\phi(1)$은 $\phi[R]$의 곱셈에 대한 항등원이다. 

증명: 

(i), (ii): 자명하다.

(iii): $\phi[S]$가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. $\phi(s_{1}),\,\phi(s_{2})\in\phi[S]$라 하면 $\phi(s_{1})\phi(s_{2})=\phi(s_{1}s_{2})\in\phi[S]$이므로 $\phi[S]$는 곱셈에 대해 닫혀있고, 따라서 부분환이다.

(iv): $\phi^{-1}[S]$가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. $a,\,b\in\phi^{-1}[S']$이라 하자. 그러면 $\phi(a),\,\phi(b)\in S'$이고 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\in S'$이므로 $ab\in\phi^{-1}[S]$이고 곱셈에 대해 닫혀있다. 따라서 부분환이다. 

(v): 임의의 $r\in R$에 대해 $$\phi(1)\phi(r)=\phi(1r)=\phi(r)=\phi(r1)=\phi(r)\phi(1)$$ 이므로 $\phi(1)$은 $\phi[R]$의 곱셈에 대한 항등원이다. 

정의 3.6 $\phi:R\,\rightarrow\,R'$를 환 준동형사상이라고 하자. $$\phi^{-1}[\{0\}]=\{r\in R\,|\,\phi(r)=0'\}$$ 를 $\phi$의 핵(kernel)이라 하고 $\text{Ker}\phi$로 나타낸다. 

정리 3.7 환 준동형사상 $\phi:R\,\rightarrow\,R'$가 일대일일 필요충분조건은 $\text{Ker}\phi=\{0\}$이다. 

증명: 

($\Leftarrow$): $\text{Ker}\phi=\{0\}$이면 $\phi(a)=\phi(b)$일 때 $0'=\phi(a)-\phi(b)=\phi(a-b)$이고 $a-b\in\text{Ker}\phi$이므로 $a-b=0$이고 $a=b$이다. 

($\Rightarrow$): $\phi$가 일대일이고 $\phi(0)=0'$이므로 $\text{Ker}\phi=\{0\}$이다. 

정의 3.8 환 $R$의 덧셈부분군 $N$이 모든 $a,\,b\in R$에 대하여 $aN\subset N$이고 $bN\subset N$이면 $N$을 환 $R$의 아이디얼(ideal)이라고 한다. 

정의 3.9 환 $R$의 아이디얼 $N$에 대하여 $R/N=\{a+N\,|\,a\in R\}$을 $N$을 법으로 하는 $R$의 잉여환(factor ring)이라고 한다. 

정리 3.10 $N$을 환 $R$의 부분환이라 하자. $N$의 덧셈잉여류 곱 $(a+N)(b+N)=ab+N$이 잘 정의되기 위한 필요충분조건은 $N$이 아이디얼이다. 

증명: 

($\Leftarrow$): 모든 $a,\,b\in R$에 대해 $aN\subset N$, $Nb\subset N$이라 하자. $n_{1},\,n_{2}\in N$일 때 $n_{1}n_{2}\in N$이므로 $NN=N$이 성립한다. 그러면 $$(a+N)(b+N)=ab+aN+bN+N$$ 이고 $aN\subset N$, $Nb\subset N$이므로 따라서 $(a+N)(b+N)=ab+N$이다. 

($\Rightarrow$): 연산 $(a+N)(b+N)=ab+N$이 잘 정의되었다고 하고 $a\in R$이라 하자. $$(a+N)N=(a+N)(0+N)=a\cdot0+N=N$$ 이고 $n\in N$이라 하면 $$(a+N)(n+N)=an+N$$ 이고 $(a+N)N=N$이므로 $an\in N$이고 $aN\subset N$이어야 한다. 같은 방법으로 $N(b+N)=N$이므로 $nb\in N$이고 $Nb\subset N$이어야 한다. 

정리 3.11 $N$을 환 $R$의 아이디얼이라 하자. 그러면 $R/N$은 다음의 연산을 갖는 환이다. $$(a+N)+(b+N)=(a+b)+N,\,(a+N)(b+N)=ab+N$$ 증명: 

(i) 덧셈에 대한 아벨군: 덧셈은 교환법칙이 성립하므로 정리 2.17에 의해 성립한다. 

(ii), (iii) 곱셈에 대한 결합법칙, 좌, 우 분배법칙: 곱셈에 대한 결합법칙이 성립함을 보이면 충분하다.$a+N,\,b+N,\,c+N\in R/N$에 대해 $$\begin{align*}[(a+N)(b+N)](c+N)&=[(ab+N)](c+N)=(ab)c+N\\&=a(bc)+N=(a+N)[(bc+N)]\\&=(a+N)[(b+N)(c+N)]\end{align*}$$ 이므로 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다. 또한 $$\begin{align*}(a+N)[(b+N)+(c+N)]&=(a+N)[(b+c)+N]=a(b+c)+N\\&=(a\cdot b+a\cdot c)+N=(ab+N)+(ac+N)\\&=(a+N)(b+N)+(a+N)(c+N)\end{align*}$$ 이고, 같은 방법으로 $$[(a+N)+(b+N)](c+N)=(a+N)(c+N)+(b+N)(c+N)$$ 이므로 좌, 우 분배법칙이 성립한다.             

정리 3.12 $R,\,R'$을 환, $\phi:R\,\rightarrow\,R'$을 환 준동형사상이라 하자. $N$을 $R$의 아이디얼, $\mu:R/N\,\rightarrow\,\phi[R]$를 임의의 $x+N\in R/N$에 대하여 $\mu(x+N)=\phi(x)$로 정의하면 $\mu$는 환 동형사상이다.

증명: 

(i) $a_{1}+N=a_{2}+N$이라 하자. 그러면 $-a_{1}+a_{2}\in N$, $\phi(-a_{1}+a_{2})=0'$이므로 $\phi(a_{1})=\phi(a_{2})$이고 $$\mu(a_{1}+N)=\phi(a_{1})=\phi(a_{2})=\mu(a_{2}+N)$$ 이다. 

(ii) $\phi$가 환 준동형사상이므로 $$\begin{align*}\mu((a+N)+(b+N))&=\mu((a+b)+N)=\phi(a+b)\\&=\phi(a)+\phi(b)\\&=\mu(a+N)+\mu(b+N)\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}\mu((a+N)(b+N))&=\mu(ab+N)=\phi(ab)\\&=\phi(a)\phi(b)\\&=\mu(a+N)\mu(b+N)\end{align*}$$ 이다. 

(iii) $\mu(a+N)=\mu(b+N)$이라 하자. 그러면 $\phi(a)=\phi(b)$이고 $-(\phi(a))+\phi(b)=0'$이므로 $$-\phi(a)+\phi(b)=\phi(-a+b)=0'$$ 이고 $-a+b=0$이므로 $a=b$이고 $a+N=b+N$이다. 

(iv) $y\in\phi[R]$이라 하자. 적당한 $x\in R$에 대하여 $y=\phi(x)$이므로 $x+N\in R/N$에 대하여 $\mu(x+N)=\phi(x)=y$이다. 

정리 3.13 $N$을 $R$의 한 아이디얼이라 하자. 그러면 $\gamma(x)=x+N$으로 정의되는 $\gamma:R\,\rightarrow\,R/N$는 준동형사상이고 $\text{Ker}\gamma=N$이다. 

증명: 덧셈은 정리 2.19에 의해 성립하므로 곱셈에 대해 성립하는지 확인하면 된다. $$\gamma(xy)=xy+N=(x+N)(y+N)=\gamma(x)\gamma(y)$$ 이므로 $\gamma$는 준동형사상이고 $x+N=N$일 필요충분조건은 $x\in N$이므로 $\text{Ker}\gamma=N$이다. 

정리 3.14 (준동형사상의 기본정리, Fundamental Theorem of Homomorphism) $\phi:R\,\rightarrow\,R'$을 환 준동형사상, $N=\text{Ker}\phi$라 하자. 그러면 $\phi[R]$은 환이고 $\mu(x+N)=\phi(x)$로 정의되는 사상 $\mu:R/N\,\rightarrow\,\phi[R]$는 동형사상이다. $\gamma:R\,\rightarrow\,R/N$가 $\gamma(x)=x+N$로 정의되는 준동형사상이면 임의의 $x\in R$에 대하여 $\phi(x)=\mu(\gamma(x))$를 만족한다.

증명: $N$은 아이디얼이므로 정리 3.12에 의해 $\phi[R]$은 환이고 $\mu$는 환 동형사상이다. 또한 정리 3.13에 의해 임의의 $x\in R$에 대해 $\phi(x)=\mu(\gamma(x))$이다. 

정리 3.15 곱셈에 대한 항등원을 갖는 환 $R$에서 아이디얼이 곱셈에 대한 역원을 포함하면 $N=R$이다. 

증명: $N$은 $R$의 아이디얼이고 $u\in N$이라 하자. 모든 $r\in R$에 대해 $rN\subset N$이고 $r=u^{-1}$(곱셈에 대한 역원)라 하면 $u\in N$이므로 $u^{-1}u=1\in N$이고 $Nr\subset N$이므로 $r=r\cdot1\in N$($\because\,1\in N,\,rN\subset N$이고 $R\subset N$)이고 $R\subset N$이다. $N\subset R$은 분명하므로 따라서 $N=R$이다. 

정리 3.16 체는 비자명 진 아이디얼($\{0\}\neq N\neq R$인 아이디얼 $N$)을 포함하지 않는다.

증명: 0이 아닌 체의 모든 원소들은 곱셈에 대한 역원을 가지므로 정리 3.15에 의해 체의 아이디얼은 $\{0\}$과 자기 자신뿐이다.  

정의 3.17 $M$을 환 $R$의 아이디얼이라 하자. $M\subset N\subset R$인 $R$의 아이디얼 $N$이 존재하지 않으면 $M$을 $R$의 극대 아이디얼이라고 한다. 

정리 3.18 $R$을 곱셈에 대한 항등원을 갖고 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 환이라 하자. $M$이 $R$의 극대 아이디얼이 될 필요충분조건은 $R/M$이 체이다. 

증명: 

($\Rightarrow$): $M$을 $R$의 극대 아이디얼이라 하자. 가정에 의해 $M\neq R$이므로 $R/M$도 곱셈에 대한 항등원을 갖고 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. $R/M$의 덧셈에 대한 항등원이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 보이자.

(* $a+M\in R/M$이 덧셈에 대한 항등원이 아닐 필요충분조건은 $a\neq M$이다.)

$a\notin M$이고 $a+M$이 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는다고 하자. 그러면 $$(R/M)(a+M)=\{(r+M)(a+M)\,|\,r+M\in R/N\}$$ 은 $1+M$을 원소로 갖지 않는다. $(R/M)(a+M)$은 $R/M$의 아이디얼이고 $a\notin M$이므로 $(R/M)(a+M)$은 비자명이고 $1+M\notin(R/M)(a+M)$이므로 $(R/M)(a+M)\neq R/M$이다. 

$\gamma:R\,\rightarrow\,R/M$를 $\gamma(x)=x+M$으로 정의하면 $\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]$은 $M$을 포함하는 $R$의 부분 아이디얼이 되고 $M\subset\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]\subset R$이므로 이것은 $M$이 극대 아이디얼이라는 사실에 모순이다. 따라서 $a+M$은 곱셈에 대한 역원을 갖고 따라서 $R/M$은 체이다.  

($\Leftarrow$): $R/M$이 체라고 하자. $N$이 $M\subset N\subset R$을 만족하는 $R$의 아이디얼이고 $\gamma:R\,\rightarrow\,R/M$가 $\gamma(x)=x+M$으로 정의되는 사상이면 $\gamma[N]$은 $\{0+M\}\subset\gamma[N]\subset R/M$인 $R/M$의 아이디얼이 되는데 $R/M$은 체이므로 정리 3.16에 모순이다. 따라서 $M$은 극대 아이디얼이다. 

군론에서의 정규부분군은 환론의 아이디얼에 대응대고, 잉여군은 잉여환에, 단순군은 체에, 극대정규부분군은 극대아이디얼과 대응된다. 

참고자료:

집합론, 이흥천, 경문사

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley