다항식의 기초 대수학적 성질(2)

다항식의 기초 대수학적 성질(2) 

따름정리 2.7 (인수정리, factor theorem)

\(F\)를 체, \(a\in F\)라 하자. \(a\in F\)가 \(f(x)\in F[x]\)의 근일 필요충분조건은 \(x-a\)가 \(f(x)\)의 인수, 즉 \(q(x)\in F[x]\)가 존재해서 \(f(x)=(x-a)q(x)\)이다. 

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(a\in F\)에 대하여 \(f(a)=0\)이라 하자. 그러면 나눗셈 알고리즘(정리 2.6)에 의해 \(q(x),\,r(x)\in F[x]\)가 존재해서$$f(x)=(x-a)q(x)+r(x)$$이고 이때 \(\text{deg}r(x)<\text{deg}(x-a)=1\)이어야 하므로 \(\text{deg}r(x)=0\), 즉 \(r(x)=c\)(상수다항식)이어야 한다. \(a\)에서의 대입 준동형사상 \(\phi(a)\)를 \(f(x)\)에 적용하면,$$0=f(a)=0\cdot q(a)+c$$이므로 \(c=0\)이다. 따라서 \(f(x)=(x-a)q(x)\)이므로 \(x-a\)는 \(f(x)\)의 인수이다.

(\(\Leftarrow\)): \(F[x]\)에서 \(x-a\)가 \(f(x)\)의 인수이면 적당한 \(q(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(x)=(x-a)q(x)\)이고 따라서 \(f(a)=0\cdot q(a)=0\)이다.

따름정리 2.8 \(F\)를 체, \(f(x)\in F[x]\), \(\text{deg}f(x)=n\)이라 하자. 그러면 \(f(x)\)는 체 \(F\)안에서 최대 \(n\)개의 근을 갖는다.

증명: 인수정리에 의해 \(a_{1}\in F\)가 \(f(x)\)의 근이면, \(q_{1}(x)\)가 존재해서$$f(x)=(x-a_{1})q_{1}(x)$$이고 \(\text{deg}q_{1}(x)=n-1\)이다. \(a_{2}(\neq a_{1})\in F\)가 \(f(x)\)의 근이면, \(q_{1}(x)\)의 근이면$$f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})q_{2}(x)\,(q_{2}(x)\in F[x],\,\text{deg}q_{2}(x)=n-2)$$이다. 이 과정을 반복하면$$f(x)=(x-a_{1})\cdots(x-a_{r})q_{r}(x)$$이고 \(q_{r}(x)\)는 \(F\)에서 근을 갖지 않는다. \(\text{deg}f(x)=n\)이므로 \(r\leq n\)이고 \(b\in F\,(b\neq a_{i})\)에 대하여$$f(b)=(b-a_{1})\cdots(b-a_{r})q_{r}(b)\neq0$$이 되는데 \(F\)의 원소들은 모두 0의 약수가 아니기 때문이다. 따라서 \(a_{i}\,(i=1,\,...,\,n)\)들은 \(f(x)\)의 해이다. 

*참고: 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)

\(n\)차 복소다항식 \(f(z)\)에 대하여 방정식 \(f(z)=0\)은 \(n\)개의 해를 갖는다. 

따름정리 2.9 \(f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}\in\mathbb{Z}[x]\,(a_{0}\neq0)\)가 유리수 체 \(\mathbb{Q}\)에서 근을 가지면 \(f(x)\)는 정수 환 \(\mathbb{Z}\)에서 정수해 \(m\)을 근으로 갖고 \(a_{0}\)는 \(m\)의 배수이다. 

증명: \(f(x)\)가 \(\mathbb{Q}\)에서 \(a\)를 근으로 가지면 인수정리에 의해 적당한 \(q(x)\in\mathbb{Q}[x]\)에 대하여$$f(x)=(x-a)q(x)$$이고 \(\mathbb{Z}[x]\)에서$$f(x)=(x-m)\left(x^{n-1}+\cdots-\frac{a_{0}}{m}\right)$$이므로 \(\displaystyle\frac{a_{0}}{m}\in\mathbb{Z}\)이고 따라서 \(f(m)=0\), \(a_{0}\)는 \(m\)의 배수이다. 

정의 2.10 다항식 \(f(x)\in F[x]\)를 상수가 아닌 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 없으면, 즉 적당한 \(g(x),\,h(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(x)=g(x)h(x)\)로 나타낼 수 없으면, \(f\)는 \(F\)위에서 기약(irreducible)이라 하고 \(f\)를 기약다항식(irreducible polynomial)이라고 한다. 

정리 2.11 (아이젠슈타인 판정법, Eisenstein criterion)

\(f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\)를 정수계수 다항식이라 하자 즉 \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\). 소수 \(p\)에 대하여 \(a_{n}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\), \(i<n\)에 대하여 \(a_{i}\equiv0\,(\text{mod}\,p)\), \(a_{0}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p^{2})\)이면, \(f(x)\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 기약이다. 

증명: \(\mathbb{Z}[x]\)에서$$f(x)=(b_{r}x^{r}+\cdots+b_{0})(c_{s}x^{s}+\cdots+c_{0})$$(\(b_{r}\neq0,\,c_{s}\neq0,\,s,\,r<n,\,s+r=n\))이라 하자. 그러면$$a_{0}\equiv0\,(\text{mod}\,p),\,a_{0}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p^{2}),\,a_{0}=b_{0}c_{0}$$이므로 \(b_{0}\equiv0\,(\text{mod}\,p)\), \(c_{0}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\) 또는 \(b_{0}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\), \(c_{0}\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)이고 일반성을 잃지 않고$$b_{0}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p),\,c_{0}\equiv0\,(\text{mod}\,p)$$라고 할 수 있다.

\(a_{n}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)이고 \(a_{n}=b_{r}c_{s}\)이므로 \(b_{r}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\), \(c_{s}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)이고 \(m\)을 \(c_{k}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)인 \(k\)의 값 중 가장 작은 값이라 하자. 그러면$$a_{m}=b_{0}c_{m}+b_{1}c_{m-1}+\cdots+\begin{cases}b_{m}c_{0}&\,(r\geq m)\\ b_{r}c_{m-r}&\,(r<m)\end{cases}$$이고 \(b_{0}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\), \(c_{m}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)이나$$c_{0}\equiv c_{1}\equiv\cdots\equiv c_{m-1}\equiv0\,(\text{mod}\,p)$$이므로 \(a_{m}\not\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)이다. 그런데 \(i<n\)에 대하여 \(a_{i}\equiv0\,(\text{mod}\,p)\)이므로 \(m=n\)이고 \(s=n\)이 되는데 이는 \(s<n\)이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(f(x)\)는 기약다항식이다. 

예: 2.12 \(F[x]\)의 주 아이디얼 \(\langle x\rangle=\{xf(x)\,|\,f(x)\in F[x]\}\)는 상수가 0인 모든 다항식들로 구성되어 있다.

정리 2.13 \(F\)를 체라고 하자. 그러면 \(F[x]\)의 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 

증명: \(N\)을 \(F[x]\)의 아이디얼이라 하자. \(N=\{0\}\)이면 \(N=\langle0\rangle\)이다. \(N\neq\{0\}\)이라 하고 \(g(x)(\neq0)\)를 \(N\)의 차수가 가장 낮은 다항식이라 하자. \(\text{deg}g(x)=0\)이면 \(g(x)\in F\)이고 \(g(x)\)는 단원이므로 정리 1.8에 의해 \(N=F[x]=\langle1\rangle\)이고 \(N\)은 주 아이디얼이다. 

\(\text{deg}g(x)\geq1\)이면, \(f(x)\in N\)이라 하자. 그러면 나눗셈 알고리즘에 의해 적당한 \(q(x),\,r(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(x)=g(x)q(x)+r(x)\)로 나타낼 수 있고, \(f(x),\,g(x)\in N\)이므로 아이디얼의 정의에 의해 \(r(x)=f(x)-g(x)q(x)\in N\)이다. \(g(x)\)는 \(N\)에서 차수가 가장 낮은 다항식이므로 \(r(x)=0\)이어야 하고 따라서 \(f(x)=g(x)q(x)\)이고 \(N=\langle g(x)\rangle\)이다. 

정리 2.14 \(F[x]\)의 아이디얼 \(\langle p(x)\rangle(\neq0)\)가 극대일 필요충분조건은 \(p(x)\)가 \(F\)위에서 기약이다.  

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\langle p(x)\rangle\)를 \(F[x]\)의 극대 아이디얼이라고 하자. 그러면 \(\langle p(x)\rangle\neq F[x]\)이고 \(p(x)\notin F\)이다. \(F[x]\)에서 \(p(x)=f(x)g(x)\,((f(x),\,g(x)\in F[x])\)라 하자. \(\langle p(x)\rangle\)가 극대 아이디얼이므로 정리 1.13에 의해 소 아이디얼이고, \(p(x)=f(x)g(x)\in\langle p(x)\rangle\)이며 \(f(x)\in\langle p(x)\rangle\) 이거나 \(g(x)\in\langle p(x)\rangle\)이다. \(f(x)\) 또는 \(g(x)\)는 \(p(x)\)의 배수이고 \(\text{deg}f(x)>\text{deg}p(x)\) 또는 \(\text{deg}g(x)>\text{deg}p(x)\)이어야 하는데 \(p(x)=f(x)g(x)\)이므로 이는 불가능하다. 따라서 \(p(x)\)는 \(F\)에서 기약이다. 

(\(\Leftarrow\)): \(p(x)\)를 \(F\)에서 기약, \(N\)을 \(\langle p(x)\rangle\subset N\subset F[x]\)인 \(F[x]\)의 아이디얼이라 하자. 정리 2.13에 의해 \(N\)은 주 아이디얼이므로 적당한 \(g(x)\in F[x]\)에 대하여 \(N=\langle g(x)\rangle\)이고 적당한 \(q(x)\in F[x]\)에 대하여 \(p(x)=g(x)q(x)\)이다. \(p(x)\)는 기약다항식이므로 \(\text{deg}g(x)=0\) 또는 \(\text{deg}q(x)=0\)이어야 한다. 

\(\text{deg}g(x)=0\)이면 \(g(x)\in F\)이므로 \(\langle g(x)\rangle=N=F[x]\)이고 \(\text{deg}q(x)=0\)이면 \(q(x)=c\in F[x]\)이고 \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{c}p(x)\in\langle p(x)\rangle\)가 되어 \(N=\langle p(x)\rangle\)이다. 그러면 \(\langle p(x)\rangle\subset N\subset F[x]\)인 아이디얼 \(N\)이 존재하지 않고 따라서 \(\langle p(x)\rangle\)는 극대 아이디얼이다. 

3. 응용 

정의 3.1 체 \(E\)와 \(F\)에 대해 \(F\leq E\)이면, 즉 체 \(F\)가 체 \(E\)의 부분체이면, \(E\)를 \(F\)의 확대체(extension field)라고 한다. 

정리 3.2 (크로네커 정리, Kronecker's Theorem)

\(F\)를 체, \(f(x)\in F[x]\)라 하자. 그러면 \(F\)의 확대체 \(E\)와 \(\alpha\in E\)가 존재해서 \(f(\alpha)=0\)이다. 

증명: \(f(x)\)가 기약다항식들의 곱으로 인수분해 될 때 그 인수 중 하나인 기약다항식 \(p(x)\)를 \(f(x)\)의 인수라 하자. 그러면 \(F\)의 확대체 \(E\)와 \(p(\alpha)=0\)인 \(\alpha\in E\)가 존재함을 보이면 충분하다. 

정리 2.14에 의해 \(\langle p(x)\rangle\)는 극대 아이디얼이므로 정리 1.11에 의해 \(F[x]/\langle p(x)\rangle\)는 체이다. 그러면 \(a\in F\)에 대하여$$\psi(a)=a+\langle p(x)\rangle$$로 정의되는 사상 \(\psi:F\,\rightarrow\,F[x]/\langle p(x)\rangle\)에 대해 \(F\)를 \(F[x]/\langle p(x)\rangle\)의 부분체와 일치시킬 수 있는데 그 이유는 \(a,\,b\in F\)에 대하여

(i) \(\psi(a)=\psi(b)\)이면 \(a+\langle p(x)\rangle=b+\langle p(x)\rangle\)이므로 \(a-b\in\langle p(x)\rangle\)이고 적당한 \(g(x)\in F[x]\)에 대하여 \(a-b=g(x)p(x)\)이다. \(a,\,b\in F\)이므로 \(a-b\in F\)이어야 하고 \(a-b=g(x)p(x)\)이므로 \(a-b=0\)이어야 한다. 그러므로 \(a=b\)이고 따라서 \(\psi\)는 일대일이다.  

(ii)$$\begin{align*}\psi(a+b)&=(a+b)+\langle p(x)\rangle=(a+\langle p(x)\rangle)+(b+\langle p(x)\rangle)=\psi(a)+\psi(b)\\ \psi(ab)&=ab+\langle p(x)\rangle=(a+\langle p(x)\rangle)(b+\langle p(x)\rangle)=\psi(a)\psi(b)\end{align*}$$이므로 \(\psi\)는 준동형사상이다.  

\(a\in a+\langle p(x)\rangle\)이므로 \(\psi\)를 이용하여 \(a\)를 \(a+\langle p(x)\rangle\), \(F\)를 \(F/\langle p(x)\rangle=\{a+\langle p(x)\rangle\,|\,a\in F\}\)와 같다고 할 수 있고, 따라서 \(E=F[x]/\langle p(x)\rangle\)를 \(F\)의 확대체라고 할 수 있다. 

\(\alpha=x+\langle p(x)\rangle\in E\)라 하자. 그러면 \(\alpha\in E\)이고 \(\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,E\)를 \(\alpha\)에서의 대입 준동형사상, \(p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\,(a_{i}\in F)\)라 하면 \(E\)에서$$\begin{align*}\phi_{\alpha}(p(x))&=p(\alpha)=a_{0}+a_{1}(x+\langle p(x)\rangle)+\cdots+a_{n}(x+\langle p(x)\rangle)^{n}\\&=(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})+\langle p(x)\rangle\\&=p(x)+\langle p(x)\rangle=\langle p(x)\rangle=0\end{align*}$$이므로 \(p(\alpha)=0\)이고 \(p(x)\)는 \(f(x)\)의 인수이므로 따라서 \(f(\alpha)=0\)이다.   

정의 3.3 \(E\)를 \(F\)의 확대체, \(f(x)\in F[x]\)라 하자. \(\alpha\in E\)에 대하여 \(f(\alpha)=0\)이면 \(\phi_{\alpha}[F[x]]\)는 \(E\)의 부분체이고, \(F\)와 \(\alpha\)를 포함하는 가장 작은 부분체이다. 이 부분체를 \(F(\alpha)\)로 나타내고, \(E=F(\alpha)\)이면, \(E\)를 \(F\)의 단순 확대체(simple extension)라고 한다.  

실수 \(\mathbb{R}\)에서의 다항식 \(f(x)=x^{2}+1\)은 실근을 갖지 않으므로 기약다항식이다. 그러면 \(\langle x^{2}+1\rangle\)은 \(\mathbb{R}[x]\)의 극대 아이디얼이고 \(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\)이다. \(r\in\mathbb{R}\)을 \(r+\langle x^{2}+1\rangle\)과 일치시키면 \(\mathbb{R}\)을 \(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\)의 부분체로 볼 수 있고 \(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\)의 원소 \(\alpha\)를$$\alpha=x+\langle x^{2}+1\rangle$$라 하면$$\begin{align*}f(\alpha)&=(x+\langle x^{2}+1\rangle)^{2}+(1+\langle x^{2}+1\rangle)\\&=(x^{2}+1)+\langle x^{2}+1\rangle\\&=\langle x^{2}+1\rangle=0\end{align*}$$이므로 \(\alpha\)는 다항식 \(f(x)\)의 근이다. 

복소수 전체의 집합 \(\mathbb{C}\)는 \(\{1,\,i\}\,(i=\sqrt{-1})\)을 기저로 갖는 실벡터공간으로 볼 수 있고, \(i^{2}+1=0\)이다. 앞에서 \(\alpha=x+\langle x^{2}+1\rangle\)에 대해 \(\alpha^{2}+1=0\)이므로 \(\alpha\)는 \(i\in\mathbb{C}\)의 역할을 하고, \(a,\,b\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(a+b\alpha\)는 임의의 복소수 \(a+bi\)의 역할을 한다. 그러므로 \(\mathbb{R}(\alpha)\simeq\mathbb{C}\)이다. 

참고자료: 

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사