대수학과 작도(2)

대수학과 작도(2) 

*그리스 사람들은 노동을 멸시해서 수학에서도 길이나 넓이를 재는 측량술, 계산술은 노예들이 하는 천한 기술로 치부했다.    

평면 위에 두 점 \(\text{E},\,\text{E}'\)이 주어졌을 때, 세 기본 작도를 이용하면 이 평면 위에 직교좌표계를 설정할 수 있다. 

정리 3.1 좌표평면 위에서 다음이 성립한다. 

(1) 점 \(\text{P}(\alpha,\,0)\)가 작도가능하면, \(\text{P}'(-\alpha,\,0)\)과 \(\text{Q}(0,\,\alpha)\)는 작도가능하다.  

(2) 점 \(\text{Q}(0,\,\alpha)\)가 작도가능하면, \(\text{P}(\alpha,\,0)\)와 \(\text{Q}'(0,\,-\alpha)\)은 작도가능하다. 

(3) 점 \(\text{P}(\alpha,\,\beta)\)가 작도가능할 필요충분조건은 \(\text{P}_{1}(\alpha,\,0)\)과 \(\text{P}_{2}(0,\,\beta)\)가 작도가능하다. 

증명: \(\alpha\neq0,\,\beta\neq0\)이라 하자. 

(1): 점 \(\text{P}\)가 작도가능하다고 하자. 원 \(\text{C}(\text{O}:\text{P})\)를 작도하면 이 원의 반지름이 \(|\alpha|\)이므로 \(x\)축과 \(\text{P}'(-\alpha,\,0)\)에서 만나고 또한 \(y\)축과 \(\text{Q}(0,\,\alpha)\)에서 만나므로 \(\text{P}'\)과 \(\text{Q}\)는 작도가능하다.  

(2): 점 \(\text{Q}\)가 작도가능하다고 하자. 원 \(\text{C}(\text{O}:\text{Q})\)를 작도하면 이 원의 반지름이 \(|\alpha|\)이므로 \(x\)축과 점 \(\text{P}(\alpha,\,0)\)에서 만나고 또한 \(y\)축과 \(\text{Q}'(0,\,-\alpha)\)에서 만나므로 \(\text{P}\)와 \(\text{Q}'\)은 작도가능하다.

(3):(\(\Rightarrow\)): 점 \(\text{P}(\alpha,\,\beta)\)가 작도가능하다고 하자. 기본작도 II를 이용해 점 \(\text{P}\)를 지나 \(y\)축에 평행한 직선을 작도하면 이 직선은 \(x\)축과 점 \(\text{P}_{1}(\alpha,\,0)\)에서 만나므로 \(\text{P}_{1}\)은 작도가능하고 또한 점 \(\text{P}\)를 지나 \(x\)축에 평행한 직선을 작도하면 이 직선은 \(y\)축과 점 \(\text{P}_{2}(0,\,\beta)\)에서 만나므로 \(\text{P}_{2}\)는 작도가능하다. 

(\(\Leftarrow\)): 두 점 \(\text{P}_{1}(\alpha,\,0)\)과 \(\text{P}_{2}(0,\,\beta)\)가 작도가능하다고 하자. \(\text{P}_{1}\)을 지나 \(y\)축에 평행한 직선과 \(\text{P}_{2}\)를 지나 \(x\)축에 평행한 직선을 작도하면 이 두 직선은 점 \(\text{P}(\alpha,\,\beta)\)에서 만나므로 \(\text{P}\)는 작도가능하다.

  

정의 3.2 \(\alpha\in\mathbb{R}\)에 대하여 좌표평면 위의 점 \(\text{P}(\alpha,\,0)\)가 작도가능한 점이면 \(\alpha\)를 작도가능한 수(constructible number)라고 한다.  

* 이 정의에서 "좌표평면 위의 점 \(\text{P}(\alpha,\,0)\)"를 "길이가 \(|\alpha|\)인 선분"으로 교체할 수 있다. 

 

예 3.3 좌표평면에서 원점 \(\text{O}\)와 점 \(\text{E}(1,\,0)\), \(\text{E}'(-1,\,0)\), \(\text{A}(\sqrt{3},\,0)\), \(\text{A}'(-\sqrt{3},\,0)\)는 다음의 그림에 의해 작도가능한 점이므로

(위 그림에서 큰 원은 중심이 각각 \(\text{B}(0,\,1)\), \(\text{B}'(0,\,-1)\)이고 반지름이 2, 작은 원은 중심이 원점 \(\text{O}\)이고 반지름이 1이다)

따라서 \(0,\,\pm1,\,\pm\sqrt{3}\)은 작도가능한 수이다.    

예: 3.4 좌표평면에서 크기가 \(\theta\)인 각 \(\angle\text{XOE}\)가 작도가능하면 점 \(\text{A}(\cos\theta,\,\sin\theta)\)는 작도가능하고 따라서 정리 3.1에 의해 \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)는 작도가능하다.

또한 각의 이등분선을 작도할 수 있으므로 \(\displaystyle\cos\frac{\theta}{2},\,\sin\frac{\theta}{2}\)도 작도가능하다. 기본작도 I에 의해 \(\displaystyle\pi,\,\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2^{2}},\,...\)는 작도가능한 각이다. 

 

정리 3.5 \(F\)를 작도가능한 실수 전체의 집합이라 하자. 

(1) \(F\)는 \(\mathbb{R}\)의 부분체이다.  

(2) \(\alpha\in F\,(\alpha\geq0)\)이면, \(\sqrt{\alpha}\in F\)이다.  

증명: \(\alpha,\,\beta\in F\,(\alpha>0,\,\beta>0)\)에 대하여 다음이 성립함을 보인다. 

(1): 

(i) 좌표평면 위에서 점 \(\text{B}(0,\,1)\), \(\text{P}(\alpha,\,0)\)를 작도하고 점 \(\text{B}\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선을 그어 이 직선 위에 점 \(\text{Q}(\beta,\,1)\)를 고르고 이 점에서 \(\overleftrightarrow{\text{BP}}\)에 평행한 직선을 그으면 이 직선은 \(x\)축과 \(\text{R}(\alpha+\beta,\,0)\)에서 만나므로 \(\alpha+\beta\)는 작도가능하다.

또한 점 \(\text{P}'(-\alpha,\,0)\)은 작도가능하므로 정리 3.1에 의해 \(-\alpha\)도 작도가능하다. 앞에서 점 \(\text{P}\)를 \(\text{P}'(-\alpha,\,0)\)으로 바꾸면 \(\text{R}\)의 좌표는 \(\text{R}(-\alpha,\,0)\)이므로 \(-\alpha+\beta\)도 작도가능하다. 

(ii) \(\alpha=1\)이면 \(\alpha\beta=\beta\)이므로 \(\alpha\beta\)는 작도가능하다. \(\alpha\neq1\)이라 하자. 좌표평면 위에서 \(\text{E}(1,\,0)\), \(\text{P}(\alpha,\,0)\), \(\text{Q}(0,\,\beta)\)를 작도하고 점 \(\text{P}\)를 지나 \(\overleftrightarrow{\text{EQ}}\)에 평행한 직선을 그어 이 직선과 \(y\)축의 교점을 \(\text{R}\)이라 하면 \(\triangle\text{OEQ}\)와 \(\triangle\text{OPR}\)은 닮은 삼각형이므로 점 \(\text{R}\)의 좌표는 \(\text{R}(0,\,\alpha\beta)\)이고 따라서 \(\alpha\beta\)는 작도가능하다.

(iii) \(\alpha\neq1\)이라 하자. 좌표평면 위에서 \(\text{E}(1,\,0)\), \(\text{P}(\alpha,\,0)\), \(\text{B}(0,\,1)\)라 하고 점 \(\text{E}\)를 지나 \(\overleftrightarrow{\text{BP}}\)에 평행한 직선을 그어 이 직선과 \(y\)축과의 교점을 \(\text{Q}\)라고 하면 \(\triangle\text{OPB}\)와 \(\triangle\text{OEQ}\)는 닮은 삼각형이므로 점 \(\text{Q}\)의 좌표는 \(\text{Q}(0,\,\alpha^{-1})\)이고 따라서 \(\displaystyle\alpha^{-1}=\frac{1}{\alpha}\)는 작도가능하다.

(i), (ii), (iii)에 의해 \(F\)는 \(\mathbb{R}\)의 부분체이다. 

(2): \(\alpha\in F,\,\alpha>0\)이라 하자. 좌표평면 위에서 \(\text{E}(1,\,0)\)와 \(\text{P}(1+\alpha,\,0)\)를 작도하고 기본작도 I를 이용해 \(\overline{\text{OP}}\)의 중점 \(\text{M}\)을 작도해 \(\text{E}\)에서 \(x\)축에 수직인 직선과 원 \(\text{C}(\text{M}:\text{O})\)를 그려 이 직선과 원의 교점을 \(\text{Q}\)라 하면 \(\displaystyle\angle\text{OQP}=\frac{\pi}{2}\), \(\triangle\text{OEQ}\), \(\triangle\text{QEP}\)는 닮은 삼각형이므로 \(\displaystyle\frac{\overline{\text{OE}}}{\overline{\text{EQ}}}=\frac{\overline{\text{QE}}}{\overline{\text{EP}}}\) 이고 \(\overline{\text{EQ}}^{2}=\alpha\)이므로 따라서 점 \(\text{Q}\)의 좌표는 \(\text{Q}(1,\,\sqrt{\alpha})\)이고 정리 3.1에 의해 \(\sqrt{\alpha}\)는 작도가능하다.

 

* 정리 3.5의 (2)는 \(F\)가 유한번 양수의 제곱근을 연속적으로 취하고 유한번의 체의 연산을 시행해 얻을 수 있는 모든 실수들로 구성됨을 뜻한다.  

  

예 3.6 작도가능한 수 \(\alpha,\,\beta\)에 대하여 \(\alpha\beta\)와 \(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\,(\beta\neq0)\)를 다음과 같이 작도할 수 있다. 

위의 왼쪽 그림에서 \(1:|\alpha|=|\beta|:\overline{\text{OQ}}\)이므로 \(\overline{\text{OQ}}=|\alpha\beta|\)이고 위의 오른쪽 그림에서 \(\overline{\text{OQ}}:1=|\alpha|:|\beta|\)이므로 \(\displaystyle\overline{\text{OQ}}=\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|\)이다. 

또한 다음의 그림을 이용하여 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(\sqrt{n}\)을 작도할 수 있다. 

정리 3.7 정리 3.5의 체 \(F\)에 대하여 좌표평면 위의 점 \(\text{A},\,\text{B},\,\text{C},\,\text{D}\)의 좌표가 모두 \(F\)의 원소라고 하자. 그러면 직선 \(\overleftrightarrow{\text{AB}}\)의 방정식과 원 \(\text{C}(\text{A}:\text{B})\)의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.  

직선: \(ax+by+c=0\,(a,\,b,\,c\in F)\) 

원: \(x^{2}+y^{2}+mx+ny+q=0\,(m,\,n,\,q\in F)\)

증명: 두 점 \(\text{A}(a_{1},\,b_{1})\), \(\text{B}(a_{2},\,b_{2})\)에 대하여 직선 \(\overleftrightarrow{\text{AB}}\)의 방정식은$$y=\frac{b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}(x-a_{1})+b_{1}$$이고 식을 정리하면$$(b_{2}-b_{1})x-(a_{2}-a_{1})y+(-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})=0$$이다. 여기서 \(a=b_{2}-b_{1}\), \(b=a_{1}-a_{2}\), \(c=-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\)라 하면 \(a,\,b,\,c\in F\)이고 \(ax+by+c=0\)이다.  

원 \(\text{C}(\text{A}:\text{B})\)의 방정식은$$(x-a_{1})^{2}+(y-b_{1})^{2}=(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}$$이고 식을 정리하면$$x^{2}+y^{2}-2a_{1}x-2b_{1}x-a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}=0$$이다. \(m=-2a_{1}\), \(n=-2b_{1}\), \(q=-a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}\)라 하면 \(m,\,n,\,q\in F\)이고 \(x^{2}+y^{2}+mx+ny+q=0\)이다. 

다음의 따름정리는 정리 3.5의 (2)의 따름정리이다. 

따름정리 3.8 \(\gamma\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)가 작도가능하면, 유한수열 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}=\gamma\)가 존재해서 \(\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)는 \(\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1})\)의 차수가 2인 확대체이고 특히 \([\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]=2^{r}\,(r\geq0)\)이다.  

증명: 정리 3.5에 의해 \(\alpha_{i}\)가 존재하므로 \(\mathbb{Q}\leq\mathbb{Q}(\gamma)\leq\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)이고 정리 2.6에 의해$$2^{n}=[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}):\mathbb{Q}(\gamma)][\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]$$이고 따라서 \([\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]=2^{r}\)이다.     

4. 3대 작도불능 문제 

정리 4.1 눈금 없는 자와 컴파스 만을 가지고 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 하는 정육면체의 한 모서리의 길이를 작도할 수 없다. 

증명: 정육면체의 한 모서리의 길이를 1이라 하면 새로운 정육면체의 부피는 2이므로 한 모서리의 길이는 \(2^{\frac{1}{3}}\)이다. \(2^{\frac{1}{3}}\)은 기약다항식 \(x^{3}-2\)의 근이므로 \([\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}):\mathbb{Q}]=3\)이고 따름정리 3.8에 의해 \(2^{\frac{1}{3}}\)은 작도가능하지 않다.  

정리 4.2 눈금 없는 자와 컴파스 만을 가지고 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이를 작도할 수 없다. 

증명: 원의 반지름을 1이라고 하면 이 원의 넓이는 \(\sqrt{\pi}\)이므로 정사각형의 한 변의 길이는 \(\sqrt{\pi}\)이다. \(\sqrt{\pi}\)가 대수적 수이면 \((\sqrt{\pi})^{2}=\pi\)도 대수적 수이나 \(\pi\)는 초월수이므로 \(\sqrt{\pi}\)도 초월수이다. 그러므로 따름정리 3.8에 의해 \(\sqrt{\pi}\)는 작도가능하지 않다.  

정리 4.3 눈금 없는 자와 컴파스 만을 가지고 크기가 \(60^{\circ}\)인 각을 삼등분할 수 없다. 

증명: \(\alpha=\cos20^{\circ}\)라 하자.$$\cos3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$$이므로$$\frac{1}{2}=\cos60^{\circ}=4\alpha^{3}-3\alpha$$이고 \(8\alpha^{3}-6\alpha-1=0\)이므로 \(\alpha\)는 \(8x^{3}-6x-1\)의 근이다. \(\displaystyle\pm\frac{1}{8},\,\pm\frac{1}{4},\,\pm\frac{1}{2},\,\pm1\)은 \(8x^{3}-6x-1\)의 근이 아니므로 이 다항식은 기약다항식이고$$\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})=x^{3}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8},\,[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=3$$이므로 \(\alpha\)는 작도가능하지 않다. 따라서 크기가 \(60^{\circ}\)인 각을 삼등분하는 작도는 불가능하다. 

*원에 내접하는 정\(n\)각형\((n\geq3)\)을 작도하는 문제는 그 원주를 \(n\)등분하는 문제와 같고 크기가 \(\displaystyle\frac{2\pi}{n}\)인 각을 작도하는 문제와 같으며 \(\displaystyle\cos\frac{2\pi}{n}\)을 작도하는 문제와 같다.   

원을 좌표평면 위의 단위원으로 보고 점 \(\text{P}(\alpha,\,\beta)\)를 복소평면 위의 점 \(z=\alpha+\beta i\)에 대응시키면$$1,\,\zeta,\,...,\,\zeta^{n-1}\,\left(\zeta=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}=e^{i\frac{2\pi}{n}}\right)$$은 정\(n\)각형의 꼭짓점을 나타내고 이들은 다항식 \(z^{n}-1\)의 근이며 \(\displaystyle\zeta+\zeta^{-1}=2\cos\frac{2\pi}{n}\)이다.   

소수 \(p\)가 \(p=2^{2^{k}}+1\,(k\geq0)\)의 형태인 페르마 소수(Fermat prime)일 때 정\(p\)각형은 작도가능하고, 역도 성립한다.  

정5각형의 작도 

\(\zeta=e^{\frac{2}{5}\pi i}\)라 하면 \(\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1=0\)이므로$$\zeta^{2}+\zeta+1+\frac{1}{\zeta}+\frac{1}{\zeta^{2}}=0$$이고 \(\displaystyle\eta=\zeta+\frac{1}{\zeta}=2\cos\frac{2}{5}\pi\)라 하면 \(\eta^{2}+\eta-1=0\)이므로 \(\displaystyle\eta=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)이다.

위의 그림에서 \(\displaystyle\overline{\text{OM}}=\overline{\text{MA'}}=\frac{1}{2}\), \(\overline{\text{MC}}=\overline{\text{MB}}\)라 하면$$\begin{align*}\overline{\text{OQ}}&=\cos\frac{2}{5}\pi=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\\ \overline{\text{AP}}^{2}&=\left(1-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+1^{2}-\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\\ \overline{\text{CB}}^{2}&=1^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\end{align*}$$이므로 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{CB}}\)이다. 

정오각형의 한 변을 다음의 순서를 따라 작도한다. 

1. \(\overline{\text{OA'}}\)의 중점 \(\text{M}\)을 작도한다.   

2. \(x\)축 위에 \(\overline{\text{MC}}=\overline{\text{MB}}\)인 점 \(\text{C}\)를 작도한다. 

3. 원 위에서 \(\overline{\text{AP}}=\overline{\text{CB}}\)인 점 \(\text{P}\)를 작도한다.  

참고자료: 

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley 

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사