원주율 π

원주율 π

잘 알려진 무리수 $\pi$와 $e$는 초월수, 즉 임의의 유리계수 다항방정식의 근이 아님이 알려져 있다. 앞에서 $e$의 정의와 무리성에 대해서 보였다. 

$e$의 정의와 무리성: https://mathphysics.tistory.com/688?category=629536  

원의 넓이는 반지름($r$)의 제곱과 원주율($\pi$)의 곱, 즉 $\pi r^{2}$으로 알려져 있다.   

원주율 $\pi$는 고대에 원의 넓이를 구하는 문제에서부터 시작되었고, 고대에는 원주율을 $3$으로 계산했고, 고대 중국에서도 원주율을 $3$으로 계산했다. 고대 이집트의 경우는 원통형 바퀴를 굴리는 방법으로 원주율을 $\displaystyle\frac{256}{81}=3.16049...$으로 사용했다. 

아르키메데스는 정96각형을 이용하여 다음의 부등식을 통해 원주율을 $3.1406$으로 계산했다. $$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}\approx3.1408<\pi<3.1429$$ 5세기 중국 남북조 시대의 수학자 조충지는 원주율을 $3.141592$로 계산했다.

라이프니츠는 다음과 같이 $\pi$를 무한급수를 이용해 나타냈고, $$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$ 이 급수는 적분식 $\displaystyle\frac{\pi}{4}=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^{2}}dx}$에서 피적분함수 $\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}$를 급수$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}x^{2n}}\right)$로 나타낸 다음 적분을 해서 얻은 결과이다.  

1655년에 월리스는 수열 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}xdx}$을 이용하여 다음과 같이 월리스 곱(Wallis product)이라고 불리는 무한곱을 이용한 원주율에 대한 공식을 발표했다. $$\pi=2\left(\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\cdots\right)$$ 1706년에 존 마친은 다음과 같이 역삼각함수를 이용하여 원주율에 대한 공식을 발표했고 $$4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\tan^{-1}\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}$$ *매클로린 급수(테일러 급수)로부터 다음의 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}0.197395597<&\tan^{-1}\frac{1}{5}<0.1973955616\\0.004184075<&\tan^{-1}\frac{1}{239}<0.004184077\end{align*}$$ 1914년에 라마누잔은 다음의 원주율에 대한 공식을 발표했다. $$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}}$$ 실제로 미적분학을 이용해 원주율을 다양하게 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\pi&=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)3^{n}}}\\ &\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{1}{x^{2}+x+1}dx}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\\ \pi&=\frac{3\sqrt{3}}{4}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{8^{n}}\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+1}\right)}\end{align*}$$ 또한 반지름이 $r$인 원의 넓이를 $S_{n}$이라 할 때, 이 원에 내접하는 $n$각형, 외접하는 $n$각형을 이용하여 얻은 다음의 부등식 $$\left(\frac{1}{2}r^{2}\sin\frac{2\pi}{n}\right)n<S_{n}<\left(\pi r^{2}\tan\frac{\pi}{n}\right)n$$ 에서 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하고 등식 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1$과 조임정리(squeeze theorem)를 이용하여 다음의 등식이 성립함을 알 수 있다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\pi r^{2}$$ 앞에서 $\pi$가 무리수이고 초월수라고 했는데 초월수임을 보이는 것은 수준이 너무 어려운 관계로 생략하고 무리수임을 보이도록 하겠다.

1761년에 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있고, 또한 $x$가 0이 아닌 유리수일 때, 그 연분수는 무리수가 됨을 증명했다($x=0$인 경우만 유리수). $$\tan x=\frac{x}{\displaystyle1-\frac{x^{2}}{\displaystyle3-\frac{x^{2}}{5-\frac{x^{2}}{\displaystyle7-\ddots}}}}$$ 위 연분수 식에 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$를 대입하면 $\displaystyle\tan\frac{\pi}{4}=1$이므로 $\displaystyle\frac{\pi}{4}$는 무리수이고 따라서 $\pi$는 무리수이다.  

 

아이반 니븐은 다음과 같이 귀류법과 미적분학을 이용해 증명했다.

$\pi$를 유리수라고 하자. $\pi>0$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\pi=\frac{a}{b}\,(a,\,b\in\mathbb{N},\,\text{gcd}(a,\,b)=1)$$ 함수 $f_{n}(x)$와 $F_{n}(x)$를 다음과 같이 정의하자. $$\begin{align*}f_{n}(x)&=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}\\F_{n}(x)&=f_{n}(x)-f_{n}^{(2)}(x)+f_{n}^{(4)}(x)-f_{n}^{(6)}(x)+\cdots+(-1)^{n}f_{n}^{(2n)}(x)\,(n\in\mathbb{N})\end{align*}$$ 여기서 $f_{n}^{(i)}(x)$는 함수 $f(x)$를 $i$번 미분한 도함수이다. 

이항정리로부터 $$\begin{align*}f_{n}(x)&=\frac{x^{n}}{n!}(a-bx)^{n}=\frac{x^{n}}{n!}\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}x^{k}(-1)^{k}b^{k}a^{n-k}}\\&=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}(-b)^{k}a^{n-k}x^{n+k}}\end{align*}$$ 이고 $f_{n}(x)$는 $n$차항부터 $2n$차항으로 이루어져 있음을 알 수 있다. 따라서 $i<n$ 또는 $i>2n$일 때 $f_{n}^{(i)}(0)=0$이고 $m=1,\,2,\,...,\,n-1$일 때 $$f_{n}^{(n+m)}(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=m}^{n}{\binom{n}{k}\frac{(n+k)!}{(k-m)!}(-b)^{k}a^{n-k}x^{k-m}}$$ 이고 $$f_{n}^{(n+m)}(0)=a^{n-m}(-b)^{m}\binom{n}{m}\frac{(n+m)!}{n!}$$ 이므로 임의의 $i\in\mathbb{N}$에 대하여 $f_{n}^{(i)}(0)$은 정수이다.

또한 $\displaystyle f_{n}(x)=f\left(\frac{a}{b}-x\right)$이므로 $\displaystyle f_{n}^{(i)}(\pi)=f_{n}^{(i)}\left(\frac{a}{b}\right)$도 정수이고 따라서 $F_{n}(0)$과 $F_{n}(\pi)$는 정수이다. $$\frac{d}{dx}\{F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x\}=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}(x)\sin x=f_{n}(x)\sin x$$ 이므로 $$\int_{0}^{\pi}{f_{n}(x)\sin xdx}=[F'_{n}(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x]_{0}^{\pi}=F_{n}(\pi)-F_{n}(0)$$ 이고 $F_{n}(\pi)$와 $F_{n}(0)$는 정수이므로 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{f_{n}(x)\sin xdx}$는 정수이다. 그런데 모든 $x\in[0,\,\pi]$에 대해 다음이 성립하고 $$0\leq x(a-bx)\leq\pi a,\,0\leq\sin x\leq1$$ 따라서 다음의 부등식이 성립하는데 $$0\leq\int_{0}^{\pi}{f_{n}(x)\sin xdx}\leq\frac{(\pi a)^{n}\pi}{n!}$$ $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{(\pi a)^{n}\pi}{n!}}=0$이므로 적당한 $n$에 대하여 $\displaystyle0<\frac{(\pi a)^{n}\pi}{n!}<1$이고 이것은 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{f_{n}(x)\sin xdx}$가 $0$과 $1$사이에 있다는 것을 말하는데 이 정적분은 정수이므로 모순이다. 

그러므로 $\pi$는 무리수이다.  

참고자료:

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8

https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/pi/wallis.html

https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/pi/irrationalpi.html

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98_%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%84%B1_%EC%A6%9D%EB%AA%85

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

수학과 방과후 활동지도, 박제남, 경문사