실수함수와 복소함수의 성질에 대한 고찰

실수함수와 복소함수의 성질에 대한 고찰

대학교 수학과에 입학하면 보통 1학년 때 미적분학(1학기에는 일변수 실수함수에 대해, 2학기에는 2, 3변수 실수함수와 벡터함수에 대해)을, 2학년 때 해석학(일변수 실수함수)을, 3학년 때 복소해석학(복소함수)을 배운다. 

여기서 다루고자 하는 것은 실수함수와 복소함수의 해석학적 성질에 대해 다루고자 한다. 

중학교 3학년 때 실수\((\mathbb{R})\)를 배우고, 고등학교 1학년 때 복소수(\(\mathbb{C}\))에 대해 배운다. 복소수를 배우기 전 허수에 대해 배우는데 허수단위 \(i\)는 다음과 같이 제곱해서 \(-1\)이 되는 수이다.$$i^{2}=-1$$즉 \(i=\sqrt{-1}\) 이고 허수를 이용해 2차방정식 \(ax^{2}+bx+c=0\)의 판별식 \(D=b^{2}-4ac\)이 음수가 될 때 허근을 갖는다고 한다. 

순허수는 실수에 허수단위 \(i\)가 곱해진 수이고, 복소수는 실수와 순허수의 합으로 나타내어지는 수, 즉$$z=a+bi\,(a,\,b\in\mathbb{R})$$이고, \(\overline{z}=a-bi\)를 복소수 \(z\)의 켤레복소수라고 한다. 복소해석학에서는 복소수 전체의 집합을 실수축과 허수축으로 구성된 복소평면이라고 한다. 

 

실수는 크기가 있고, 복소수에도 크기가 있다. 실수 \(x\)와 복소수 \(a+bi\,(a,\,b\in\mathbb{R})\)에 대해 그 크기는 다음과 같다.$$|x|=\begin{cases}x&\,(x\geq0)\\-x&\,(x<0)\end{cases},\,|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$그러나 실수는 대소관계가 있으나 복소수에는 대소관계가 없다. 왜냐하면

(1) \(i>0\)이라 하자. 이 부등식의 양변에 \(i\)를 곱하면 실수의 대소관계에 의해 다음과 같고$$-1=i^{2}>0$$이것은 실수의 대소관계에 모순이다.

(2) \(i<0\)이라 하자. 이 부등식의 양변에 \(i\)를 곱하면 실수의 대소관계에 의해 다음과 같고$$-1=i^{2}>0$$이것 또한 실수의 대소관계에 모순이다.

그러므로 복소수에서는 대소관계를 따질 수 없다. 

실수함수 \(f(x)\)는 실수변수 \(x\)에 대한 함숫값이 실수, 즉 정의역과 치역이 모두 실수(또는 부분집합)인 함수이고, 복소함수 \(f(z)\)는 복소변수 \(z\)에 대한 함숫값이 복소수, 즉 정의역과 치역이 모두 복소수(또는 부분집합)인 함수이다. 복소함수는 겉보기에는 1변수함수로 보이지만 일반적으로 복소수 \(z=x+iy\)는 실수부 \(x\)와 허수부 \(y\)로 구성되어 있기 때문에 복소함수 \(f(z)\)는 \(x\)와 \(y\)에 대한 2변수함수이기도 하다. 또한 복소함수의 치역이 복소수이므로 다음과 같이 2변수함수의 합(함숫값의 실수부와 허수부의 합)으로 나타낼 수 있다.$$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)$$여기서 \(u(x,\,y)\)와 \(v(x,\,y)\)는 실수변수 \((x,\,y)\)에 대한 2변수 실수함수이다. 

실수함수와 복소함수의 극한

실수함수와 복소함수의 극한은 모두 \(\epsilon-\delta\)논법을 이용하여 정의된다. 먼저 실수함수 \(f\)의 극한에 대해 알아보도록 하자. 다음은 실수함수 \(f\)가 \(a\)로 접근할 때의 극한을 나타낸 것이다.$$\begin{align*}\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\,&\Leftrightarrow\,\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|x-a|<\delta\,\Rightarrow\,|f(x)-\alpha|<\epsilon\\ \lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\infty\,&\Leftrightarrow\,\forall M>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|x-a|<\delta\,\Rightarrow\,f(x)>M\\ \lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=-\infty\,&\Leftrightarrow\,\forall M>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|x-a|<\delta\,\Rightarrow\,f(x)<-M\end{align*}$$복소함수의 극한도 실수함수의 극한의 정의와 비슷하다.$$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\,\Leftrightarrow\,\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|z-z_{0}|<\delta\,\Rightarrow\,|f(z)-w_{0}|<\epsilon$$앞에서 언급했듯이 복소함수 \(f(z)\)는 실수부 \(x\)와 허수부 \(y\)에 대한 2변수함수로 나타낼 수 있으므로 위의 극한의 정의를 다음과 동치라고 할 수 있다.

\(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)\), \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\), \(w_{0}=u_{0}+iv_{0}\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{u(x,\,y)}=u_{0},\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{v(x,\,y)}=v_{0}$$

2변수 미적분학 시간에 2변수함수의 극한은 극한을 다양하게 정의할 수 있고, 서로 다른 경로에 대한 극한이 다르면 극한이 존재하지 않는다고 배웠을 것이다. 복소함수도 마찬가지이다. 그 예로 \(\displaystyle f(z)=\frac{i\overline{z}}{2}\)와 \(\displaystyle g(z)=\frac{z}{\overline{z}}\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,1}{f(z)}=\frac{i}{2}\)이나 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{g(z)}\)는 존재하지 않는다. 그 이유는 \(z\,\rightarrow\,0\)일 때 실수축에서 0으로 접근하면, 즉 \(z=x\)일 때 \(f(z)=1\)이므로 이 때의 극한값은 \(1\)이지만 허수축에서 0으로 접근하면, 즉 \(z=iy\)일 때 \(f(z)=-1\)이므로 이 때의 극한값은 \(-1\)이다. 그러므로 극한값이 존재하지 않는다.     

실수에서는 대소관계가 있기 때문에 '양의 무한대'와 '음의 무한대'를 자연스럽게 도입할 수 있다. 그러나 복소수에서는 대소관계가 없어서 실수의 방법대로 무한대를 도입할 수 없다. 복소수에서의 무한대는 다른 방법으로 도입한다.

무한 원점이 추가된 복소평면을 확장 복소평면이라고 한다. 다음의 그림을 보자

위의 그림을 입체사영이라고 하고, 구의 면을 리만구면이라고 한다. 위 그림의 구의 북극 \(N\)을 복소평면 위의 한 점 \(z\)과 잇는 직선이 구와 만나는 교점을 점 \(P\)라고 하자. \(z\)가 충분히 작은 \(\epsilon\)에 대한 원 \(\displaystyle|z|=\frac{1}{\epsilon}\)위의 점이면 점 \(P\)는 \(N\)과 가까워진다. 이때 집합 \(\displaystyle\left\{z\,\mid\,|z|>\frac{1}{\epsilon}\right\}\)을 \(\infty\)(무한대)의 \(\epsilon-\)근방이라고 하고, \(N\)을 무한대, 즉 \(N=\{\infty\}\)로 잡는다.   

이렇게 하면 복소함수에서 정의역의 원소 \(z\)가 무한대로 갈 때의 복소함수의 극한과 복소함수 \(f(z)\)가 무한대로 갈 때의 극한을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이 정리의 증명은 \(\epsilon-\delta\)방법을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

1. \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=\infty\,\Leftrightarrow\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{1}{f(z)}}=0\) 

2. \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=w_{0}\,\Leftrightarrow\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f\left(\frac{1}{z}\right)}=w_{0}\)

3. \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=\infty\,\Leftrightarrow\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\displaystyle f\left(\frac{1}{z}\right)}}=0\)

  

실수함수와 복소함수의 연속과 미분

실수함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 연속이기 위한 조건은 다음과 같다.

1. \(x=a\)에서 \(f\)의 함숫값이 정의되어 있다. 즉 \(f(a)\)가 존재.

2. \(x=a\)에서 \(f\)의 극한값이 존재한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\)

3. \(x=a\)에서 \(f\)의 함숫값과 극한값이 같다. 즉 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=f(a)\)

이와 비슷하게 복소함수 \(f\)가 \(z=z_{0}\)에서 연속이기 위한 조건은 다음과 같다.

1. \(z=z_{0}\)에서 \(f\)의 함숫값이 정의되어 있다. 즉 \(f(z_{0})\)가 존재.

2. \(z=z_{0}\)에서 \(f\)의 극한값이 존재한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\)

3. \(z=z_{0}\)에서 \(f\)의 함숫값과 극한값이 같다. 즉 \(\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\)

실수함수 \(f\)의 정의역이 점 \(x=a\)의 근방을 포함한다고 하자. \(x=a\)에서 미분계수는 다음과 같고$$f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$이와 비슷하게 복소함수 \(f\)의 정의역이 점 \(z=z_{0}\)의 근방을 포함한다고 하자. \(z=z_{0}\)에서 미분계수는 다음과 같다.$$f'(z_{0})=\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$$앞서 말했듯이 복소함수는 실수부 \(x\)와 허수부 \(y\)에 대한 이변수함수이기도 하기 때문에 복소함수의 미분계수가 존재할 필요충분조건은 다음의 조건을 만족하는 것이라고 할 수 있다.

\(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\)에서 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)의 도함수 \(f'(z_{0})\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(u(x,\,y)\)와 \(v(x,\,y)\)의 1계 편도함수가 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 존재하고 다음의 코시-리만 방정식을 만족한다.$$u_{x}(x_{0},\,y_{0})=v_{y}(x_{0},\,y_{0}),\,u_{y}(x_{0},\,y_{0})=-v_{x}(x_{0},\,y_{0})$$이때 \(f'(z_{0})\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},\,y_{0})+iv_{x}(x_{0},\,y_{0})$$복소함수 \(f\)가 점 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\)에서 코시-리만 방정식을 만족한다고 해서 미분가능성이 보장되지 않는다. 그러나 연속에 관한 특정한 조건을 추가하면 미분가능성을 보장할 수 있다. 

\(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\)의 어떤 근방 전체에서 정의되어 있고 다음이 성립한다고 하자.

(a) \((x_{0},\,y_{0})\)의 근방에서 \(u(x,\,y)\)와 \(v(x,\,y)\)의 1계 편도함수가 존재한다.  

(b) 그 1계 편도함수들은 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 연속이고, 이 점에서 코시-리만 방정식을 만족한다. 즉$$u_{x}(x_{0},\,y_{0})=v_{y}(x_{0},\,y_{0}),\,u_{y}(x_{0},\,y_{0})=-v_{x}(x_{0},\,y_{0})$$그러면 \(f'(z_{0})\)가 존재하고 다음이 성립한다.$$f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},\,y_{0})+iv_{x}(x_{0},\,y_{0})$$예: 함수 \(f(z)=\overline{z}\)에 대하여 \(u(x,\,y)=x\), \(v(x,\,y)=-y\)이므로$$u_{x}(x,\,y)=1,\,u_{y}(x,\,y)=0,\,v_{x}(x,\,y)=0,\,v_{y}(x,\,y)=-1$$이고 \(u_{x}\neq v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\)이므로 코시-리만 방정식을 만족하지 않는다. 따라서 \(f\)는 복소평면 전체에서 미분가능하지 않다. 

\(g(z)=|z|^{2}\)에 대하여 \(u(x,\,y)=x^{2}+y^{2}\), \(v(x,\,y)=0\)이므로$$u_{x}(x,\,y)=2x,\,u_{y}(x,\,y)=2y,\,v_{x}(x,\,y)=v_{y}(x,\,y)=0$$이고 따라서 \(g\)는 원점(\((0,\,0)\))에서만 미분가능하다. 

실수함수 \(f\)가 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f'(x)=0\)이면, \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\)는 상수함수가 된다. 

복소함수의 경우도 마찬가지인데 복소함수 \(f\)가 영역 \(D\)에서 \(f'(z)=0\)이면, \(f(z)\)는 \(D\)에서 상수함수이고, \(\overline{f(z)}\)도 \(D\)에서 해석적이면 코시-리만 방정식으로부터 \(f(z)\)는 \(D\)에서 상수함수이다.   

실수함수와 복소함수의 해석성

실수함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 해석적이라는 것은 \(f\)의 \(x=a\)에서의 테일러 급수가 \(x=a\)의 적당한 근방에서 수렴하는 것을 뜻한다.

반면에 복소함수 \(f\)가 \(z=z_{0}\)에서 해석적이라는 것은 \(z=z_{0}\)의 적당한 근방에서 미분가능하다는 것을 뜻하고, 전해석이라는 것은 유한 평면(복소 평면)의 모든 점에서 해석적이라는 것을 뜻한다. 

이변수함수 \(H(x,\,y)\)가 조화적이라는 것은 다음의 편미분방정식(라플라스 방정식)이 성립하는 것을 뜻한다.$$H_{xx}(x,\,y)+H_{yy}(x,\,y)=0$$복소함수 \(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 \(D\)에서 해석적이라는 것은 \(u(x,\,y)\)와 \(v(x,\,y)\)가 \(D\)에서 조화적이라는 것을 뜻하고, 코시-리만 방정식으로부터 성립한다.

    

\(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 \(D\)에서 해석적이면 코시-리만 방정식에 의해 \(u(x,\,y)\)와 \(v(x,\,y)\)는 \(D\)에서 조화적이다. 

이변수함수 \(u(x,\,y),\,v(x,\,y)\)가 \(D\)에서 조화적이고 이들의 1계 편도함수들이 \(D\) 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키면, \(v(x,\,y)\)를 \(u(x,\,y)\)의 켤레 조화함수라고 한다. 

\(f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\)가 \(D\)에서 해석적일 필요충분조건은 \(v(x,\,y)\)가 \(u(x,\,y)\)의 켤레조화함수가 되는 것이다. 

실수함수와 복소함수의 적분

실함수 \(f\)의 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서의 적분을 다음과 같이 나타낸다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$반면 복소함수는 일반적으로 단순(교차하지 않는)곡선(또는 직선) 위에서의 선적분이다. 즉 곡선 \(C\)가 복소평면 위에서 다음과 같이 정의되었다고 하자.$$C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$$이 곡선 \(C\) 위에서 복소함수 \(f\)의 선적분은 다음과 같고$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$만약 곡선 \(C\)의 양 끝점이 각각 \(z=z_{1}\), \(z=z_{2}\)이고 그 적분 값이 경로에 독립적이면, 즉 경로의 선택에 관계없이 일정하다면 다음과 같이 실수함수와 같은 표기법으로 나타낸다.$$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}$$실수함수 \(f\)의 구간 \([a,\,b]\)에서의 정적분은 \(c\in(a,\,b)\)에 대하여 다음과 같이 구간 \([a,\,c]\)에서의 정적분과 \([c,\,b]\)에서의 정적분의 합이고$$\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$복소함수 \(f\)의 곡선 \(C=C_{1}+C_{2}\)위에서의 선적분은 다음과 같이 곡선 \(C_{1}\)에서의 선적분과 \(C_{2}\)에서의 선적분의 합이다.$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{C_{2}}{f(z)dz}=\int_{C}{f(z)dz}$$복소평면의 영역 \(D\)가 단순연결영역이라는 것은 \(D\)에 포함되는 모든 단순(교차하지 않는)닫힌경로 안에 \(D\)의 점만이 속하는 영역이라는 것이다. 

코시-구르사 정리

\(f\)가 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부에서 해석적이면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$코시-구르사 정리로부터 \(f\)가 단순연결영역 \(D\)에서 해석적이면 \(D\)에 포함되는 모든 닫힌경로 \(C\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$또한 \(C_{1},\,C_{2}\)가 단순닫힌경로이고 \(C_{1}\subset C_{2}\), \(f\)가 \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)사이의 영역에서 해석적이면 다음이 성립한다.$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$이것을 경로변형의 원리라고 한다. 

코시 적분공식

\(f\)는 단순닫힌경로 \(C\)와 그 안에서 해석적이라고 하자. \(C\) 내부의 점 \(z_{0}\)에 대하여 다음이 성립한다.$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$위의 코시 적분공식으로부터 \(f(z)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}$$위의 적분식에서 \(z\)는 적분변수가 아니므로 위 식의 양변을 \(z\)에 대해 미분하면 다음의 식을 얻고$$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}$$\(n\)번 미분하면 다음의 식을 얻는다.$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds}$$코시 적분공식으로부터 복소함수 \(f\)가 주어진 점에서 해석적이면 그 점에서 모든 계의 도함수가 존재한다는 것을 알 수 있다. 반면에 실수함수의 경우는 그렇지가 않다. 

실수함수 \(f\)를 다음과 같이 정의하자.$$f(x)=\begin{cases}\displaystyle x^{2}\sin\frac{1}{x}&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$이 함수에 대하여 \(f(0)=0\)이므로$$\left|\frac{f(x)}{x}\right|=\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leq|x|$$이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{|x|}=0\)이므로 \(f'(0)=0\)이다. 그러나 \(x\neq0\)일 때$$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$이므로 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f'(x)}\)는 존재하지 않는다. 따라서 \(f'(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이고 미분가능하지 않다. 

실수함수와 복소함수의 적분에 관한 평균값 정리   

실수함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이라고 하자. 그러면 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$복소함수의 경우도 비슷하게 평균값 정리를 얻을 수 있다. 

복소함수 \(f\)가 다음의 곡선 \(C\)와 그 내부에서 해석적이라고 하자.$$C:\,z=z_{0}+\rho e^{it}\,(\rho\geq0,\,0\leq t\leq2\pi)$$그러면 다음이 성립한다.$$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+\rho e^{it})dt}$$복소함수에 대해서 실수함수의 미분, 적분에 관한 평균값 정리를 적용할 수 없다. 

\(f(t)=e^{it}\)에 대하여$$f(2\pi)=f(0)=1,\,f'(t)=ie^{it}=if(t),\,f(t)\neq0$$이므로 다음의 등식을 만족하는 \(c\)는 존재하지 않는다.$$0=\frac{f(2\pi)-f(0)}{2\pi-0}=f'(c)=ie^{ic}$$마찬가지로$$\int_{0}^{2\pi}{e^{it}dt}=\left[\frac{1}{i}e^{it}\right]_{0}^{2\pi}=0$$이므로 같은 이유로 다음의 등식을 만족하는 \(c\)는 존재하지 않는다.$$0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)dt}=f(c)=e^{ic}$$실수함수와 복소함수의 급수표현

실수함수를 급수로 나타낼 수 있는 정리로 테일러 정리가 있다.

테일러 정리

함수 \(f\)가 구간 \((a,\,b)\)에서 \(n\)번 미분가능하고 그 도함수가 연속, \(f^{(n+1)}\)은 \((a,\,b)\)에서 미분가능하다고 하자. 그러면 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 다음이 성립하고$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}}+R_{n}(x)\,(c\in(a,\,b))$$여기서 \(R_{n}(x)\)는 다음과 같다.$$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$$\(t_{x}\)는 \(a\)와 \(x\)사이에 존재하는 수이다. 

이때 등식 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}}\)이 성립할 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R_{n}(x)}=0\)이다. 

다음과 같이 정의된 함수 \(f\)에 대하여$$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}}&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$\(f^{(n)}(0)=0\)이므로 \(x=0\)에서의 테일러 급수는 \(f(x)=0\)이고 \(f(x)\)는 \(x=0\)을 제외한 나머지에서 \(0\)이 아니므로 따라서 이 함수 \(f\)는 \(x=0\)에서 해석적이지 않다. 

복소함수를 급수로 나타낼 수 있는 정리로 실수함수의 경우처럼 테일러 정리가 있지만 더 일반적인 로랑 정리가 있다. 

로랑 정리

복소함수 \(f\)가 원판 \(R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\)에서 해석적이고, 곡선 \(C\)가 이 원판에 포함되면서 \(z_{0}\)의 둘레를 도는 임의의 단순닫힌경로라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$$여기서 \(a_{n}\)과 \(b_{n}\)은 다음과 같다.$$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}\left(=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}\right),\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}$$참고자료:

Introduction to MAthematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill