실수함수와 복소함수의 성질에 대한 고찰

실수함수와 복소함수의 성질에 대한 고찰

대학교 수학과에 입학하면 보통 1학년 때 미적분학(1학기에는 일변수 실수함수에 대해, 2학기에는 2, 3변수 실수함수와 벡터함수에 대해)을, 2학년 때 해석학(일변수 실수함수)을, 3학년 때 복소해석학(복소함수)을 배운다. 

여기서 다루고자 하는 것은 실수함수와 복소함수의 해석학적 성질에 대해 다루고자 한다. 

중학교 3학년 때 실수$(\mathbb{R})$를 배우고, 고등학교 1학년 때 복소수($\mathbb{C}$)에 대해 배운다. 복소수를 배우기 전 허수에 대해 배우는데 허수단위 $i$는 다음과 같이 제곱해서 $-1$이 되는 수이다. $$i^{2}=-1$$ 즉 $i=\sqrt{-1}$ 이고 허수를 이용해 2차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 판별식 $D=b^{2}-4ac$이 음수가 될 때 허근을 갖는다고 한다. 

순허수는 실수에 허수단위 $i$가 곱해진 수이고, 복소수는 실수와 순허수의 합으로 나타내어지는 수, 즉 $$z=a+bi\,(a,\,b\in\mathbb{R})$$ 이고, $\overline{z}=a-bi$를 복소수 $z$의 켤레복소수라고 한다. 복소해석학에서는 복소수 전체의 집합을 실수축과 허수축으로 구성된 복소평면이라고 한다. 

 

실수는 크기가 있고, 복소수에도 크기가 있다. 실수 $x$와 복소수 $a+bi\,(a,\,b\in\mathbb{R})$에 대해 그 크기는 다음과 같다. $$|x|=\begin{cases}x&\,(x\geq0)\\-x&\,(x<0)\end{cases},\,|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ 그러나 실수는 대소관계가 있으나 복소수에는 대소관계가 없다. 왜냐하면

(1) $i>0$이라 하자. 이 부등식의 양변에 $i$를 곱하면 실수의 대소관계에 의해 다음과 같고 $$-1=i^{2}>0$$ 이것은 실수의 대소관계에 모순이다.

(2) $i<0$이라 하자. 이 부등식의 양변에 $i$를 곱하면 실수의 대소관계에 의해 다음과 같고 $$-1=i^{2}>0$$ 이것 또한 실수의 대소관계에 모순이다.

그러므로 복소수에서는 대소관계를 따질 수 없다. 

실수함수 $f(x)$는 실수변수 $x$에 대한 함숫값이 실수, 즉 정의역과 치역이 모두 실수(또는 부분집합)인 함수이고, 복소함수 $f(z)$는 복소변수 $z$에 대한 함숫값이 복소수, 즉 정의역과 치역이 모두 복소수(또는 부분집합)인 함수이다. 복소함수는 겉보기에는 1변수함수로 보이지만 일반적으로 복소수 $z=x+iy$는 실수부 $x$와 허수부 $y$로 구성되어 있기 때문에 복소함수 $f(z)$는 $x$와 $y$에 대한 2변수함수이기도 하다. 또한 복소함수의 치역이 복소수이므로 다음과 같이 2변수함수의 합(함숫값의 실수부와 허수부의 합)으로 나타낼 수 있다. $$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)$$ 여기서 $u(x,\,y)$와 $v(x,\,y)$는 실수변수 $(x,\,y)$에 대한 2변수 실수함수이다. 

실수함수와 복소함수의 극한

실수함수와 복소함수의 극한은 모두 $\epsilon-\delta$논법을 이용하여 정의된다. 먼저 실수함수 $f$의 극한에 대해 알아보도록 하자. 다음은 실수함수 $f$가 $a$로 접근할 때의 극한을 나타낸 것이다. $$\begin{align*}\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\,&\Leftrightarrow\,\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|x-a|<\delta\,\Rightarrow\,|f(x)-\alpha|<\epsilon\\ \lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\infty\,&\Leftrightarrow\,\forall M>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|x-a|<\delta\,\Rightarrow\,f(x)>M\\ \lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=-\infty\,&\Leftrightarrow\,\forall M>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|x-a|<\delta\,\Rightarrow\,f(x)<-M\end{align*}$$ 복소함수의 극한도 실수함수의 극한의 정의와 비슷하다. $$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}\,\Leftrightarrow\,\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0\,s.t.\,0<|z-z_{0}|<\delta\,\Rightarrow\,|f(z)-w_{0}|<\epsilon$$ 앞에서 언급했듯이 복소함수 $f(z)$는 실수부 $x$와 허수부 $y$에 대한 2변수함수로 나타낼 수 있으므로 위의 극한의 정의를 다음과 동치라고 할 수 있다.

$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)$, $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, $w_{0}=u_{0}+iv_{0}$이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{u(x,\,y)}=u_{0},\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{v(x,\,y)}=v_{0}$$

2변수 미적분학 시간에 2변수함수의 극한은 극한을 다양하게 정의할 수 있고, 서로 다른 경로에 대한 극한이 다르면 극한이 존재하지 않는다고 배웠을 것이다. 복소함수도 마찬가지이다. 그 예로 $\displaystyle f(z)=\frac{i\overline{z}}{2}$와 $\displaystyle g(z)=\frac{z}{\overline{z}}$에 대해 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,1}{f(z)}=\frac{i}{2}$이나 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,0}{g(z)}$는 존재하지 않는다. 그 이유는 $z\,\rightarrow\,0$일 때 실수축에서 0으로 접근하면, 즉 $z=x$일 때 $f(z)=1$이므로 이 때의 극한값은 $1$이지만 허수축에서 0으로 접근하면, 즉 $z=iy$일 때 $f(z)=-1$이므로 이 때의 극한값은 $-1$이다. 그러므로 극한값이 존재하지 않는다.     

실수에서는 대소관계가 있기 때문에 '양의 무한대'와 '음의 무한대'를 자연스럽게 도입할 수 있다. 그러나 복소수에서는 대소관계가 없어서 실수의 방법대로 무한대를 도입할 수 없다. 복소수에서의 무한대는 다른 방법으로 도입한다.

무한 원점이 추가된 복소평면을 확장 복소평면이라고 한다. 다음의 그림을 보자

위의 그림을 입체사영이라고 하고, 구의 면을 리만구면이라고 한다. 위 그림의 구의 북극 $N$을 복소평면 위의 한 점 $z$과 잇는 직선이 구와 만나는 교점을 점 $P$라고 하자. $z$가 충분히 작은 $\epsilon$에 대한 원 $\displaystyle|z|=\frac{1}{\epsilon}$위의 점이면 점 $P$는 $N$과 가까워진다. 이때 집합 $\displaystyle\left\{z\,\mid\,|z|>\frac{1}{\epsilon}\right\}$을 $\infty$(무한대)의 $\epsilon-$근방이라고 하고, $N$을 무한대, 즉 $N=\{\infty\}$로 잡는다.   

이렇게 하면 복소함수에서 정의역의 원소 $z$가 무한대로 갈 때의 복소함수의 극한과 복소함수 $f(z)$가 무한대로 갈 때의 극한을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이 정리의 증명은 $\epsilon-\delta$방법을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

1. $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=\infty\,\Leftrightarrow\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{1}{f(z)}}=0$ 

2. $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=w_{0}\,\Leftrightarrow\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{f\left(\frac{1}{z}\right)}=w_{0}$

3. $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{f(z)}=\infty\,\Leftrightarrow\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\displaystyle f\left(\frac{1}{z}\right)}}=0$

  

실수함수와 복소함수의 연속과 미분

실수함수 $f$가 $x=a$에서 연속이기 위한 조건은 다음과 같다.

1. $x=a$에서 $f$의 함숫값이 정의되어 있다. 즉 $f(a)$가 존재.

2. $x=a$에서 $f$의 극한값이 존재한다. 즉 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha$

3. $x=a$에서 $f$의 함숫값과 극한값이 같다. 즉 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=f(a)$

이와 비슷하게 복소함수 $f$가 $z=z_{0}$에서 연속이기 위한 조건은 다음과 같다.

1. $z=z_{0}$에서 $f$의 함숫값이 정의되어 있다. 즉 $f(z_{0})$가 존재.

2. $z=z_{0}$에서 $f$의 극한값이 존재한다. 즉 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}$

3. $z=z_{0}$에서 $f$의 함숫값과 극한값이 같다. 즉 $\displaystyle\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=w_{0}$

실수함수 $f$의 정의역이 점 $x=a$의 근방을 포함한다고 하자. $x=a$에서 미분계수는 다음과 같고 $$f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$ 이와 비슷하게 복소함수 $f$의 정의역이 점 $z=z_{0}$의 근방을 포함한다고 하자. $z=z_{0}$에서 미분계수는 다음과 같다. $$f'(z_{0})=\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$$ 앞서 말했듯이 복소함수는 실수부 $x$와 허수부 $y$에 대한 이변수함수이기도 하기 때문에 복소함수의 미분계수가 존재할 필요충분조건은 다음의 조건을 만족하는 것이라고 할 수 있다.

$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$에서 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$의 도함수 $f'(z_{0})$가 존재한다고 하자. 그러면 $u(x,\,y)$와 $v(x,\,y)$의 1계 편도함수가 $(x_{0},\,y_{0})$에서 존재하고 다음의 코시-리만 방정식을 만족한다. $$u_{x}(x_{0},\,y_{0})=v_{y}(x_{0},\,y_{0}),\,u_{y}(x_{0},\,y_{0})=-v_{x}(x_{0},\,y_{0})$$ 이때 $f'(z_{0})$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},\,y_{0})+iv_{x}(x_{0},\,y_{0})$$ 복소함수 $f$가 점 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$에서 코시-리만 방정식을 만족한다고 해서 미분가능성이 보장되지 않는다. 그러나 연속에 관한 특정한 조건을 추가하면 미분가능성을 보장할 수 있다. 

$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$의 어떤 근방 전체에서 정의되어 있고 다음이 성립한다고 하자.

(a) $(x_{0},\,y_{0})$의 근방에서 $u(x,\,y)$와 $v(x,\,y)$의 1계 편도함수가 존재한다.  

(b) 그 1계 편도함수들은 $(x_{0},\,y_{0})$에서 연속이고, 이 점에서 코시-리만 방정식을 만족한다. 즉 $$u_{x}(x_{0},\,y_{0})=v_{y}(x_{0},\,y_{0}),\,u_{y}(x_{0},\,y_{0})=-v_{x}(x_{0},\,y_{0})$$ 그러면 $f'(z_{0})$가 존재하고 다음이 성립한다. $$f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},\,y_{0})+iv_{x}(x_{0},\,y_{0})$$ 예: 함수 $f(z)=\overline{z}$에 대하여 $u(x,\,y)=x$, $v(x,\,y)=-y$이므로 $$u_{x}(x,\,y)=1,\,u_{y}(x,\,y)=0,\,v_{x}(x,\,y)=0,\,v_{y}(x,\,y)=-1$$ 이고 $u_{x}\neq v_{y}$, $u_{y}=-v_{x}$이므로 코시-리만 방정식을 만족하지 않는다. 따라서 $f$는 복소평면 전체에서 미분가능하지 않다. 

$g(z)=|z|^{2}$에 대하여 $u(x,\,y)=x^{2}+y^{2}$, $v(x,\,y)=0$이므로 $$u_{x}(x,\,y)=2x,\,u_{y}(x,\,y)=2y,\,v_{x}(x,\,y)=v_{y}(x,\,y)=0$$ 이고 따라서 $g$는 원점($(0,\,0)$)에서만 미분가능하다. 

실수함수 $f$가 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $f'(x)=0$이면, $[a,\,b]$에서 $f(x)$는 상수함수가 된다. 

복소함수의 경우도 마찬가지인데 복소함수 $f$가 영역 $D$에서 $f'(z)=0$이면, $f(z)$는 $D$에서 상수함수이고, $\overline{f(z)}$도 $D$에서 해석적이면 코시-리만 방정식으로부터 $f(z)$는 $D$에서 상수함수이다.   

실수함수와 복소함수의 해석성

실수함수 $f$가 $x=a$에서 해석적이라는 것은 $f$의 $x=a$에서의 테일러 급수가 $x=a$의 적당한 근방에서 수렴하는 것을 뜻한다.

반면에 복소함수 $f$가 $z=z_{0}$에서 해석적이라는 것은 $z=z_{0}$의 적당한 근방에서 미분가능하다는 것을 뜻하고, 전해석이라는 것은 유한 평면(복소 평면)의 모든 점에서 해석적이라는 것을 뜻한다. 

이변수함수 $H(x,\,y)$가 조화적이라는 것은 다음의 편미분방정식(라플라스 방정식)이 성립하는 것을 뜻한다. $$H_{xx}(x,\,y)+H_{yy}(x,\,y)=0$$ 복소함수 $f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 $D$에서 해석적이라는 것은 $u(x,\,y)$와 $v(x,\,y)$가 $D$에서 조화적이라는 것을 뜻하고, 코시-리만 방정식으로부터 성립한다.

    

$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 $D$에서 해석적이면 코시-리만 방정식에 의해 $u(x,\,y)$와 $v(x,\,y)$는 $D$에서 조화적이다. 

이변수함수 $u(x,\,y),\,v(x,\,y)$가 $D$에서 조화적이고 이들의 1계 편도함수들이 $D$ 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키면, $v(x,\,y)$를 $u(x,\,y)$의 켤레 조화함수라고 한다. 

$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$가 $D$에서 해석적일 필요충분조건은 $v(x,\,y)$가 $u(x,\,y)$의 켤레조화함수가 되는 것이다. 

실수함수와 복소함수의 적분

실함수 $f$의 닫힌구간 $[a,\,b]$에서의 적분을 다음과 같이 나타낸다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 반면 복소함수는 일반적으로 단순(교차하지 않는)곡선(또는 직선) 위에서의 선적분이다. 즉 곡선 $C$가 복소평면 위에서 다음과 같이 정의되었다고 하자. $$C:\,z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$$ 이 곡선 $C$ 위에서 복소함수 $f$의 선적분은 다음과 같고 $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$ 만약 곡선 $C$의 양 끝점이 각각 $z=z_{1}$, $z=z_{2}$이고 그 적분 값이 경로에 독립적이면, 즉 경로의 선택에 관계없이 일정하다면 다음과 같이 실수함수와 같은 표기법으로 나타낸다. $$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}$$ 실수함수 $f$의 구간 $[a,\,b]$에서의 정적분은 $c\in(a,\,b)$에 대하여 다음과 같이 구간 $[a,\,c]$에서의 정적분과 $[c,\,b]$에서의 정적분의 합이고 $$\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 복소함수 $f$의 곡선 $C=C_{1}+C_{2}$위에서의 선적분은 다음과 같이 곡선 $C_{1}$에서의 선적분과 $C_{2}$에서의 선적분의 합이다. $$\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{C_{2}}{f(z)dz}=\int_{C}{f(z)dz}$$ 복소평면의 영역 $D$가 단순연결영역이라는 것은 $D$에 포함되는 모든 단순(교차하지 않는)닫힌경로 안에 $D$의 점만이 속하는 영역이라는 것이다. 

코시-구르사 정리

$f$가 단순닫힌경로 $C$와 그 내부에서 해석적이면 다음이 성립한다. $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 코시-구르사 정리로부터 $f$가 단순연결영역 $D$에서 해석적이면 $D$에 포함되는 모든 닫힌경로 $C$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 또한 $C_{1},\,C_{2}$가 단순닫힌경로이고 $C_{1}\subset C_{2}$, $f$가 $C_{1}$과 $C_{2}$사이의 영역에서 해석적이면 다음이 성립한다. $$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$ 이것을 경로변형의 원리라고 한다. 

코시 적분공식

$f$는 단순닫힌경로 $C$와 그 안에서 해석적이라고 하자. $C$ 내부의 점 $z_{0}$에 대하여 다음이 성립한다. $$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz}$$ 위의 코시 적분공식으로부터 $f(z)$를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}$$ 위의 적분식에서 $z$는 적분변수가 아니므로 위 식의 양변을 $z$에 대해 미분하면 다음의 식을 얻고 $$f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{s-z}ds}$$ $n$번 미분하면 다음의 식을 얻는다. $$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds}$$ 코시 적분공식으로부터 복소함수 $f$가 주어진 점에서 해석적이면 그 점에서 모든 계의 도함수가 존재한다는 것을 알 수 있다. 반면에 실수함수의 경우는 그렇지가 않다. 

실수함수 $f$를 다음과 같이 정의하자. $$f(x)=\begin{cases}\displaystyle x^{2}\sin\frac{1}{x}&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$ 이 함수에 대하여 $f(0)=0$이므로 $$\left|\frac{f(x)}{x}\right|=\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leq|x|$$ 이고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{|x|}=0$이므로 $f'(0)=0$이다. 그러나 $x\neq0$일 때 $$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{f'(x)}$는 존재하지 않는다. 따라서 $f'(x)$는 $x=0$에서 불연속이고 미분가능하지 않다. 

실수함수와 복소함수의 적분에 관한 평균값 정리   

실수함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 연속이라고 하자. 그러면 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 다음이 성립한다. $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 복소함수의 경우도 비슷하게 평균값 정리를 얻을 수 있다. 

복소함수 $f$가 다음의 곡선 $C$와 그 내부에서 해석적이라고 하자. $$C:\,z=z_{0}+\rho e^{it}\,(\rho\geq0,\,0\leq t\leq2\pi)$$ 그러면 다음이 성립한다. $$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+\rho e^{it})dt}$$ 복소함수에 대해서 실수함수의 미분, 적분에 관한 평균값 정리를 적용할 수 없다. 

$f(t)=e^{it}$에 대하여 $$f(2\pi)=f(0)=1,\,f'(t)=ie^{it}=if(t),\,f(t)\neq0$$ 이므로 다음의 등식을 만족하는 $c$는 존재하지 않는다. $$0=\frac{f(2\pi)-f(0)}{2\pi-0}=f'(c)=ie^{ic}$$ 마찬가지로 $$\int_{0}^{2\pi}{e^{it}dt}=\left[\frac{1}{i}e^{it}\right]_{0}^{2\pi}=0$$ 이므로 같은 이유로 다음의 등식을 만족하는 $c$는 존재하지 않는다. $$0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)dt}=f(c)=e^{ic}$$ 실수함수와 복소함수의 급수표현

실수함수를 급수로 나타낼 수 있는 정리로 테일러 정리가 있다.

테일러 정리

함수 $f$가 구간 $(a,\,b)$에서 $n$번 미분가능하고 그 도함수가 연속, $f^{(n+1)}$은 $(a,\,b)$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 다음이 성립하고 $$f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}}+R_{n}(x)\,(c\in(a,\,b))$$ 여기서 $R_{n}(x)$는 다음과 같다. $$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$$ $t_{x}$는 $a$와 $x$사이에 존재하는 수이다. 

이때 등식 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}}$이 성립할 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R_{n}(x)}=0$이다. 

다음과 같이 정의된 함수 $f$에 대하여 $$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}}&\,x\neq0\\0&\,x=0\end{cases}$$ $f^{(n)}(0)=0$이므로 $x=0$에서의 테일러 급수는 $f(x)=0$이고 $f(x)$는 $x=0$을 제외한 나머지에서 $0$이 아니므로 따라서 이 함수 $f$는 $x=0$에서 해석적이지 않다. 

복소함수를 급수로 나타낼 수 있는 정리로 실수함수의 경우처럼 테일러 정리가 있지만 더 일반적인 로랑 정리가 있다. 

로랑 정리

복소함수 $f$가 원판 $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$에서 해석적이고, 곡선 $C$가 이 원판에 포함되면서 $z_{0}$의 둘레를 도는 임의의 단순닫힌경로라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(z-z_{0})^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$$ 여기서 $a_{n}$과 $b_{n}$은 다음과 같다. $$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz}\left(=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}\right),\,b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}dz}$$ 참고자료:

Introduction to MAthematical Analysis, Parzynski, Zipse, McGraw-Hill

실해석학 개론, 정동명, 조승제, 경문사

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill