구의 겉넓이와 부피

구의 겉넓이와 부피

 

 

중학교 때 반지름이 \(r\)인 구의 겉넓이는 \(4\pi r^{2}\)임이 알려져 있고, 부피는 구를 정사각형으로 분해한 다음 그 분해된 정사각형을 밑면으로 하고, 높이가 \(r\)인 사각뿔들의 합이므로 \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}\)이라고 배웠을 것이다.  

고등학교 미적분으로 겉넓이가 \(4\pi r^{2}\)가 되는 것을 확인하는 것은 어려우나 부피가 \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}\)이 되는 것은 확인할 수 있고, 대학교 미적분학을 이용하면 구의 부피가 \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}\)이 되는 것은 물론 겉넓이가 \(4\pi r^{2}\)가 되는 것도 확인할 수 있다. 

 

다음은 구의 겉넓이와 부피를 구하는 데 필요한 정의와 정리들이다. 

 

정리 1. 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 곡선 \(y=f(x)\)를 \(x\)축을 중심으로 회전시켰을 때 나타나는 회전체의 겉넓이 \(S\)와 부피 \(V\)는 각각 다음과 같다.$$\begin{align*}S&=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}\\V&=\pi\int_{a}^{b}{\{f(x)\}^{2}dx}\end{align*}$$정리 2. \(x=x(u,\,v)\)와 \(y=y(u,\,v)\)라 할 때, \(xy\)평면 위의 영역 \(R\)이 \(uv\)평면 위의 영역 \(S\)로 일대일 대응한다고 하고, \(x(u,\,v)\)와 \(y(u,\,v)\)가 \(S\)에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하자. \(f\)가 영역 \(R\)에서 연속이면 다음이 성립한다.$$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\iint_{S}{f(x(u,\,v),\,y(u,\,v))\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|dudv}\,\left(\frac{\partial(x,\,y)}{\partial (u,\,v)}=\left|\begin{matrix}x_{u}&x_{v}\\y_{u}&y_{v}\end{matrix}\right|\right)$$정의 3. 매끄러운 매개변수곡면 \(S\)가 다음과 같이 주어진다고 하자.$$\mathbf{r}(u,\,v)=x(u,\,v)\mathbf{i}+y(u,\,v)\mathbf{j}+z(u,\,v)\mathbf{k}\,(u,\,v)\in D$$\(S\)의 표면적은 다음과 같이 주어지고$$A(S)=\iint_{D}{|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}|dA}$$여기서 \(\mathbf{r}_{u}\)와 \(\mathbf{r}_{v}\)는 다음과 같다.$$\mathbf{r}_{u}=x_{u}\mathbf{i}+y_{u}\mathbf{j}+z_{u}\mathbf{k},\,\mathbf{r}_{v}=x_{v}\mathbf{i}+y_{v}\mathbf{j}+z_{v}\mathbf{k}$$ 

반지름이 \(r\)인 구를 다양하게 나타낼 수 있다. 

 

1. 반지름이 \(r\)이고 중심이 원점인 반원 \(y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\)를 \(x\)축을 중심으로 회전시킨 회전체로 볼 때, 정리 1을 이용하여 겉넓이를 구하면 \(\displaystyle y'=-\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)이므로$$\begin{align*}S&=2\pi\int_{-r}^{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\left\{-\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\right\}^{2}}dx}\\&=2\pi\int_{-r}^{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx}\\&=2\pi\int_{-r}^{r}{\sqrt{(r^{2}-x^{2})+x^{2}}dx}\\&=2\pi\int_{-r}^{r}{rdx}\\&=4\pi r^{2}\end{align*}$$이고, 부피는 다음과 같다.$$\begin{align*}V&=\pi\int_{-r}^{r}{(\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}dr}\\&=2\pi\int_{0}^{r}{(r^{2}-x^{2})dx}\\&=2\pi\left[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{r}\\&=\frac{4}{3}\pi r^{3}\end{align*}$$2. 반지름이 \(r\)이고 중심이 원점인 반구 \(z=\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}\)에 대하여 이 반구와 밑면인 \(xy\)평면으로 둘러싸인 영역의 부피는 이중적분 \(\displaystyle\iint_{S}{zdA}\)으로 나타낼 수 있고, 여기서 \(S=\{(x,\,y,\,0)\,|\,x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}\)이다. 이 이중적분은 다음과 같이 변수변환을 하여 계산할 수 있고,$$x=l\cos\theta,\,y=l\sin\theta\,(0\leq l\leq r,\,0\leq\theta\leq2\pi)$$이 변수변환으로부터 정리 2를 적용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.$$\iint_{S}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}dA}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{r}{\sqrt{r^{2}-l^{2}}ldl}d\theta}=2\pi\left[-\frac{1}{3}(r^{2}-l^{2})^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{r}=\frac{2}{3}\pi r^{3}$$이 결과는 반구에 대한 부피이고 따라서 구의 부피 \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}\)을 얻는다.

반지름이 \(r\)인 구 또는 반구를 다음과 같이 매개변수방정식으로 나타낼 수 있고$$\begin{align*}\mathbf{r}(x,\,y)&=(x,\,y,\,\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}})\,(x^{2}+y^{2}\leq r^{2})\\ \mathbf{r}(\phi,\,\theta)&=(\sin\phi\cos\theta,\,r\sin\phi\sin\theta,\,r\cos\theta)\,(0\leq\phi\leq\pi,\,0\leq\theta\leq2\pi)\end{align*}$$위의 방정식은 반구에 대한 매개변수방정식이고, 아래의 방정식은 완전한 구에 대한 매개변수방정식이다. 

먼저 반구에 대한 방정식을 이용하여 겉넓이를 구하자.$$\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{y}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&0&-\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\\0&1&-\frac{y}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\end{matrix}\right|=\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\mathbf{i}+\frac{y}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\mathbf{j}+\mathbf{k}$$이므로$$|\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{y}|=\sqrt{\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}-y^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}-x^{2}-y^{2}}+1}=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}}$$이고 변수변환$$x=l\cos\theta,\,y=l\sin\theta\,(0\leq l\leq r,\,0\leq\theta\leq2\pi)$$과 정리 2와 3을 이용하면$$\begin{align*}A(S)&=\iint_{C}{\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}-y^{2}}}dA}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{r}{\frac{rl}{\sqrt{r^{2}-l^{2}}}dl}d\theta}\\&=2\pi r\int_{0}^{r}{\frac{l}{\sqrt{r^{2}-l^{2}}}dl}\\&=2\pi r[-\sqrt{r^{2}-l^{2}}]_{0}^{r}\\&=2\pi r^{2}\end{align*}$$여기서 \(C=\{(x,\,y,\,0)\,|\,x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}\)이고, 이 결과는 반구에 대한 겉넓이이므로 따라서 구의 겉넓이 \(4\pi r^{2}\)를 얻는다.

완전한 구를 나타내는 매개변수방정식을 이용하여 구의 겉넓이를 구하자.$$\begin{align*}\mathbf{r}_{\phi}\times\mathbf{r}_{\theta}&=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\r\cos\phi\cos\theta&r\cos\phi\sin\theta&-r\sin\phi\\-r\sin\phi\sin\theta&r\cos\phi\cos\theta&0\end{matrix}\right|\\&=r^{2}\sin^{2}\phi\cos\theta\mathbf{i}+r^{2}\sin^{2}\phi\sin\theta\mathbf{j}+r^{2}\sin\phi\cos\phi\mathbf{k}\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}|\mathbf{r}_{\phi}\times\mathbf{r}_{\theta}|&=\sqrt{r^{4}\sin^{4}\phi\cos^{2}\theta+r^{4}\sin^{4}\phi\sin^{2}\theta+r^{4}\sin^{2}\phi\cos^{2}\phi}\\&=r^{2}\sqrt{\sin^{4}\phi+\sin^{2}\phi\cos^{2}\phi}\\&=r^{2}\sqrt{\sin^{2}\phi(\sin^{2}\phi+\cos^{2}\phi)}\\&=r^{2}\sin\phi\end{align*}$$이고 정리 2와 정의 3에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$A(S)=\iint_{C}{r^{2}\sin\phi d\phi d\theta}=r^{2}\int_{0}^{2\pi}{d\theta}\int_{0}^{\pi}{\sin\phi d\phi}=4\pi r^{2}$$이상으로 구의 겉넓이는 \(4\pi r^{2}\), 부피는 \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}\)이라는 결과를 얻었다. 

그런데 구의 겉넓이 공식과 부피 공식을 잘 살펴보면 도함수와 원시함수(부정적분) 관계에 있다는 느낌이 든다. 그렇다. 실제로 이들은 도함수와 원시함수 관계에 있다. 즉, 부피를 반지름에 대해 미분하면 겉넓이가 되고, 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 부피가 된다. 잠을 자야 하기에 부피를 미분했을 때 겉넓이가 되는 것만 살펴보도록 하겠다.

 

반지름이 \(r\)인 구의 겉넓이함수를 \(S(r)\), 부피함수를 \(V(r)\)이라 하자. 그러면$$S(r)=4\pi r^{2},\,V(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}$$이고 반지름이 \(\Delta r\)만큼 변화했을 때$$V(r+\Delta r)=\frac{4}{3}\pi(r+\Delta r)^{3}$$이므로$$\begin{align*}V(r+\Delta r)-V(r)&=\frac{4}{3}\pi\{(r+\Delta r)^{3}-r^{3}\}\\&=\frac{4}{3}\pi\Delta r\{(r+\Delta r)^{2}+r(r+\Delta r)+r^{2}\}\end{align*}$$이다. 이때 \(V(r+\Delta r)-V(r)\)의 기하학적 의미는 반지름이 각각 \(r+\Delta r\)인 구와 \(r\)인 구의 부피의 차이이고 두께가 \(\Delta r\)인 구 껍질이라고 할 수 있다. 이것을 \(\Delta r\)로 나누면$$\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}=\frac{4}{3}\pi\{(r+\Delta r)^{2}+r(r+\Delta r)+r^{2}\}$$이고 이것은 각각 반지름이 \(r\), \(\sqrt{r(r+\Delta r)}\), \(r+\Delta r\)인 구의 겉넓이의 산술평균이다. 이때 \(\sqrt{r(r+\Delta r)}\)은 \(r\)과 \(r+\Delta r\)의 기하평균이고, \(\Delta r\)이 0에 가깝다면 산술평균은 반지름이 \(r\)인 구의 겉넓이와 가까워진다. 실제로$$V'(r)=\lim_{\Delta r\,\rightarrow\,0}{\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}}=4\pi r^{2}=S(r)$$이므로 부피함수의 반지름에 대한 도함수는 겉넓이함수가 됨을 알 수 있다.

다른 방법으로는 \(V(r+\Delta r)-V(r)\)에 대해 다음의 부등식이 성립하고$$S(r)\Delta r\leq V(r+\Delta r)-V(r)\leq S(r+\Delta r)\Delta r$$이 부등식의 양 변을 \(\Delta r\)로 나누면$$S(r)\leq\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}\leq S(r+\Delta r)$$가 되는데$$\lim_{\Delta r\,\rightarrow\,0}{S(r+\Delta r)}=\lim_{\Delta r\,\rightarrow\,0}{S(r)}=S(r)$$이므로 조임정리(샌드위치 정리, squeeze theorem)에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$V'(r)=\lim_{\Delta\,\rightarrow\,0}{\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}}=S(r)$$이상으로 구의 겉넓이와 부피의 관계에 대해 알아보았다. 

 

참고자료:

고등학교 미적분, 이준열 외 7인, 천재교육

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning