벡터 미적분을 이용한 에너지 보존법칙의 수학적 해석

벡터 미적분을 이용한 에너지 보존법칙의 수학적 해석

 

 

벡터를 고등학교 수학(이과)시간 또는 물리 시간에 크기와 방향을 갖는 양이고, 스칼라를 크기만 갖는 양이라고 배웠을 것이다. 

다음은 벡터량과 스칼라량의 예이다.

 

벡터량: 변위, 속도, 가속도, 힘

스칼라량: 부피, 질량, 속력, 시간, 에너지

 

여기서는 수학적 개념인 벡터장의 선적분을 이용하여 에너지 보존법칙에 대해 다룰 것이다. 그전에 앞서 벡터함수의 정의와 그 미분, 적분, 길이에 대한 정의를 언급할 필요가 있다.

 

벡터 \(\mathbf{a}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3}),\,\mathbf{b}=(b_{1},\,b_{2},\,b_{3})\)의 내적은 다음과 같이 정의된다.$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$$여기서 \(\theta(0\leq\theta\leq\pi)\)는 두 벡터가 이루는 각이다. 물리학에서 벡터의 내적을 보통 힘이 한 일(물리학적인 일)로 정의한다. 즉 힘 \(\mathbf{F}\)가 변위 \(\mathbf{s}\)만큼 이동할 때 한 일은 다음과 같이 정의된다.$$W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$$만약 물체가 직선 위에서 위치 \(x\)에 따라 힘 \(f(x)\)을 받을 때, 이 때 지점 \(x=a\)에서 \(x=b\)로 이동했다면 이 상황에서의 물리학적 일은 다음과 같이 적분으로 나타내어진다.$$W=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$\(I\)를 구간이라 하자. 벡터함수 \(\mathbf{r}:I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\mathbf{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}\,(t\in I)$$이 벡터함수의 미분은 다음과 같이 정의되고,$$\mathbf{r}'(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(x'(t),\,y'(t),\,z'(t))$$이때 다음과 같이 정의되는 \(\mathbf{T}(t)\)를 단위접선벡터라고 한다.$$\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$$적분은 다음과 같이 정의된다.$$\int_{a}^{b}{\mathbf{r}(t)dt}=\left(\int_{a}^{b}{x(t)dt},\,\int_{a}^{b}{y(t)dt},\,\int_{a}^{b}{z(t)dt}\right)$$또한 \(I=[a,\,b]\)일 때 벡터함수의 길이는 다음과 같이 정의된다.$$L=\int_{a}^{b}{|\mathbf{r}'(t)|dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}+\{z'(t)\}^{2}}dt}$$\(E\subset\mathbb{R}^{3}\), 위의 각 점 \((x,\,y,\,z)\)에 벡터 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^{3}\)를 대응하는 함수 \(\mathbf{F}:E\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 \(E\)에서 3차원 벡터장이라고 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=P(x,\,y,\,z)\mathbf{i}+Q(x,\,y,\,z)\mathbf{j}+R(x,\,y,\,z)\mathbf{k}$$벡터장의 예로 중력, 전기력, 전기장이 있고, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\mathbf{F}=G\frac{Mm}{r^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r},\,\mathbf{F}=\epsilon\frac{Qq}{r^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r},\,\mathbf{E}=\epsilon\frac{Q}{r^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r}\,(\mathbf{r}=(x,\,y,\,z),\,r=|\mathbf{r}|)$$스칼라함수 \(f(x,\,y,\,z)\)의 그래디언트(기울기)는 다음과 같이 정의되고 \(\nabla f\)로 나타낸다.$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$벡터장 \(\mathbf{F}\)가 보존장이라는 것은 적당한 스칼라함수 \(f\)가 존재해서 다음이 성립하는 것이고$$\mathbf{F}=\nabla f$$이때 \(f\)를 \(\mathbf{F}\)의 퍼텐셜함수라고 한다.

 

물리학에서 보존력은 다음의 두 조건을 모두 만족하는 힘이다.

1. 두 점 사이를 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 이동경로와 무관하다.

2. 닫힌경로를 따라 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 \(0\)이다.  

 

예를들어 중력 \(\displaystyle\mathbf{F}=G\frac{Mm}{r^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r}\)는 위의 두 조건을 만족하므로 보존력이고, 중력위치에너지 \(\displaystyle U(x,\,y,\,z)=G\frac{Mm}{r}\,(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\nabla U(x,\,y,\,z)=-G\frac{Mm}{r^{2}}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r}=-\mathbf{F}$$그러나 크기가 운동마찰계수 \(\mu_{k}\)와 수직항력의 크기 \(n\)의 곱인 운동마찰력 \(\mathbf{f}_{k}\)는 보존력의 두 조건을 만족하지 않기 때문에 보존력이 아닌 비보존력이다. 실제로 운동마찰력이 한 일은 이동거리에 비례하기 때문에 보존력의 조건을 충족하지 못함을 알 수 있다.

 

앞에서 물리학적인 일은 힘벡터와 변위벡터의 내적이라고 했다. 어떤 물체가 3차원 매끄러운 곡선 \(C:\,\mathbf{r}(t),\,(a\leq t\leq b)\)상에서 힘 \(\mathbf{F}\)을 받으며 운동하고 있고, 그 경로가 다음과 같다고 하자.

 위의 그림에서 점 \(P_{0},\,...,\,P_{n}\)은 경로를 균등분할한 점이고, \(\mathbf{F}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\)와 \(\mathbf{T}(t_{i}^{*})(=\mathbf{T}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*}))\)는 각각 점 \(P_{i}\)에서 물체가 받는 힘, 단위접선벡터이다. 또한 점 \(P_{i}\)에서의 물리학적 일은 다음과 같고$$\mathbf{F}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\cdot\{\Delta s_{i}\mathbf{T}(t_{i}^{*})\}=\{\mathbf{F}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\cdot\mathbf{T}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\}\Delta s_{i}$$여기서 \(\Delta s_{i}\)는 다음과 같다.$$\Delta s_{i}=|\mathbf{r}(t_{i}^{*})-\mathbf{r}(t_{i}^{*})|,\,\mathbf{r}(t_{i}^{*})=(x(t_{i}^{*}),\,y(t_{i}^{*}),\,z(t_{i}^{*}))=(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})$$각 점에서의 물리학적 일의 합은 다음과 같고$$\sum_{i=1}^{n}\{\mathbf{F}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\cdot\mathbf{T}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\}\Delta s_{i}$$\(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 이 물리학적 일을 다음과 같이 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 곡선 \(C\)위에서의 선적분으로 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\sum_{i=1}^{n}{\{\mathbf{F}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\cdot\mathbf{T}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\}\Delta s_{i}}&=\int_{C}{\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}ds}\\&=\int_{a}^{b}{\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{\mathbf{r}(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}|\mathbf{r}'(t)|dt}\\&=\int_{a}^{b}{\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt}\\&=\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\end{align*}$$벡터장$$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=P(x,\,y,\,z)\mathbf{i}+Q(x,\,y,\,z)\mathbf{j}+R(x,\,y,\,z)\mathbf{k}$$에 대하여 \(\mathbf{F}\)의 선적분을 다음과 같이 나타내기도 한다.$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{C}{Pdx+Qdy+Rdz}$$연속함수 \(f\)의 부정적분을 \(F\)라 하면 다음의 미적분학의 기본정리가 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$이와 비슷하게 선적분에도 이러한 성질을 갖는 정리가 있는데 이 정리의 이름은 "선적분의 기본정리"이고, 매끄러운 곡선 \(C:\,\mathbf{r}(t)\,(a\leq t\leq b)\)와 1계 편도함수가 연속인 함수 \(f(x,\,y,\,z)\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\int_{C}{\nabla f\cdot d\mathbf{r}}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))$$이 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.$$\begin{align*}\int_{C}{\nabla f\cdot d\mathbf{r}}&=\int_{a}^{b}{\nabla f\cdot\mathbf{r}'(t)dt}\\&=\int_{a}^{b}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right)dt}\\&=\int_{a}^{b}{\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))dt}\\&=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))\end{align*}$$서로 다른 두 점을 잇는 서로 다른 임의의 두 경로 \(C_{1},\,C_{2}\)에 대해 다음이 성립하면 \(\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\)은 경로에 독립이라고 한다(\(C\)의 시점과 종점은 앞의 \(C_{1},\,C_{2}\)와 같다).$$\int_{C_{1}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{C_{2}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}$$이 사실로부터 선적분 \(\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\)이 영역 \(D\)에서 경로에 독립일 필요충분조건은 \(D\) 내부의 임의의 닫힌경로(시점과 종점이 같은 경로) \(C\)에 대해 \(\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=0\)이 되는 것이다. 

앞서 보존력의 조건 중 첫 번째 조건은 입자에 보존력이 한 일은 시점과 종점의 영향만을 받는 것을 뜻하고, 두 번째 조건은 닫힌 경로는 시점과 종점이 같기 때문에 닫힌 경로에서 보존력이 한 일의 양이 0이라는 것이다. 이 결과는 보존력의 성질과 같다고 볼 수 있다.

 

\(\mathbf{F}\)를 열린영역 \(D\)에서 각 성분들이 연속인 벡터장이라 하자. \(\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\)이 경로에 독립일 필요충분조건은 \(\mathbf{F}\)가 보존장이 되는 것이다.

필요조건의 증명은 가정에 의해 적당한 스칼라함수 \(f\)가 존재해서 \(\mathbf{F}=\nabla f\)이므로, 선적분의 기본정리로부터 바로 성립함을 알 수 있다.

충분조건을 증명하자. \(\text{A}(a,\,b,\,c)\in D\)라 하자. 이 증명의 목적은 다음과 같은 함수 \(f\)를 건설하는 것이다.$$f(x,\,y,\,z)=\int_{(a,\,b,\,c)}^{(x,\,y,\,z)}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\,((x,\,y,\,z)\in D)$$\(C_{x_{1}}\)을 점 \((a,\,b,\,c)\)에서 점 \((x_{1},\,y,\,z)\,(x_{1}<x)\)으로의 경로, \(C_{x_{2}}\)를 점 \((x_{1},\,y,\,z)\)에서 점 \((x,\,y,\,z)\)로의 경로라 하자. 그러면$$\begin{align*}f(x,\,y,\,z)&=\int_{C_{x_{1}}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}+\int_{C_{x_{2}}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\\&=\int_{(a,\,b,\,c)}^{(x,\,y,\,z)}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}+\int_{C_{x_{2}}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}\end{align*}$$이고 \(C_{x_{2}}\)에서 \(y,\,z\)는 상수이므로 \(dy=dz=0\)이다. 그러면$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,\,y,\,z)=\frac{\partial}{\partial x}\int_{C_{x_{2}}}{Pdx+Qdy+Rdz}=\frac{\partial}{\partial x}\int_{x_{1}}^{x}{P(t,\,y,\,z)dt}=P(x,\,y,\,z)$$이고 같은 방법으로 다음이 성립함을 증명할 수 있다.$$\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,\,y,\,z),\,\frac{\partial f}{\partial z}=R(x,\,y,\,z)$$그러면 다음이 성립하고$$\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}=\nabla f$$따라서 \(\mathbf{F}\)는 보존장이다. 

 

물리학에서 일-운동에너지 정리는 알짜힘\(\displaystyle\sum\mathbf{F}=m\mathbf{a}\)이 한 일 \(W_{\text{net}}\)이 운동에너지의 변화 \(\Delta K\)와 같다는 정리이다. 즉$$W_{\text{net}}=\int_{C}{\left(\sum\mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{r}}$$고등학교 과정 물리학에서는 초기 속도가 \(v_{i}\), 최종속도가 \(v_{f}\), 이때까지 움직인 거리를 \(s\), 가속도가 \(a\)인 등가속도 직선운동을 하는 물체에 대해 뉴턴의 제2법칙에 의해 \(F=ma\)이고, \(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2as\)이므로 일-운동에너지 정리가 다음과 같이 유도된다.$$W_{\text{net}}=Fs=mas=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}$$실제로 직선운동하는 물체가 등가속도 운동을 하지 않더라도 다음과 같이 적분을 이용하면 위와 같은 결과를 얻을 수 있다.$$\begin{align*}W_{\text{net}}&=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{madx}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{m\frac{dv}{dt}dx}\\&=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}dx}=\int_{v_{i}}^{v_{f}}{mvdv}\\&=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}\end{align*}$$3차원 공간에서 일-운동에너지 정리를 적용하자. 어떤 물체가 곡선 \(C:\,\mathbf{r}(t)\,(a\leq t\leq b)\)위를 힘장 \(\mathbf{F}\)에 의해 운동한다고 하자. 뉴턴의 제 2법칙에 의해$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=m\mathbf{r}''(t)$$이므로 이 경우 알짜힘이 한 일은$$\begin{align*}W_{\text{net}}&=\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{a}^{b}{\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)dt}\\&=\frac{1}{2}m\int_{a}^{b}{\frac{d}{dt}\{\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\}dt}=\frac{1}{2}m\int_{a}^{b}{\frac{d}{dt}|\mathbf{r}'(t)|^{2}dt}\\&=\frac{1}{2}m|\mathbf{r}'(b)|^{2}-\frac{1}{2}m|\mathbf{r}'(a)|^{2}\end{align*}$$이고 이때 \(\mathbf{v}=\mathbf{r}'\)이므로$$W_{\text{net}}=\frac{1}{2}m|\mathbf{v}(b)|^{2}-\frac{1}{2}m|\mathbf{v}(a)|^{2}$$로 나타낼 수 있고$$K_{f}=\frac{1}{2}m|\mathbf{v}(b)|^{2},\,K_{i}=\frac{1}{2}m|\mathbf{v}(a)|^{2}$$라 하면 다음과 같이 알짜힘이 한 일이 운동에너지의 변화량임을 알 수 있다.$$W_{\text{net}}=K_{f}-K_{i}=\Delta K$$위치에너지는 운동에너지로 바뀔 수 있는 에너지이고, 계의 구성원들의 배열상태에 따라 결정된다.

보존력의 두 가지 성질로부터 계 내부에서 한 일과 위치에너지의 감소가 같게 하도록 위치에너지함수 \(U\)를 정의할 수 있다. 이 이야기는 알짜힘이 한 일이 위치에너지의 감소량과 같다는 것과 같다.

1차원(직선)의 경우 다음과 같이 위치에너지함수를 변위에 대해 미분한 도함수로 나타낼 수 있고$$F=-\frac{dU}{dx}$$3차원 공간의 경우는 다음과 같이 그래디언트를 이용하여 나타낼 수 있다.$$\mathbf{F}=-\nabla U$$음(-)의 부호는 위치에너지가 감소했음을 나타내는 부호이다.

 

계의 운동에너지와 위치에너지의 합을 역학적 에너지라고 한다. 즉$$E_{\text{mech}}=K+U$$입자로 모형화한 물체에 여러 힘이 작용하면 입자의 운동에너지가 변한다. 이러한 간단한 상황은 비고립계의 모형의 예이다. 

 

에너지는 생성되지도 소멸되지도 않아 항상 보존된다. 그러므로 계의 에너지가 변하면 일, 역학적 파동, 물질전달, 전기송전, 전자기복사 이 6가지 중 하나와 같은 에너지 전달 방식으로 에너지가 계의 경계를 넘어가기 때문이다. 

이러한 에너지 보존법칙을 수학적으로 표현한 에너지 보존 방정식은 다음과 같다.$$\Delta E_{\text{system}}=\sum T$$여기서 \(E_{\text{system}}\)은 계의 전체 에너지로 계에 저장가능한 모든 에너지(운동에너지, 위치에너지, 내부에너지(온도와 관련된 에너지))이고, \(T\)는 어떤 전달과정을 거치면서 계의 경계를 넘어 전달되는 에너지의 양이다. 

일을 \(W\), 열에너지를 \(Q\), 역학적 파동을 \(T_{\text{MW}}\), 물질 수송을 \(T_{\text{MT}}\), 전기송전을 \(T_{ET}\), 전자기복사를 \(T_{ER}\)이라 하자. 위의 에너지 보존 방정식을 다음과 같이 풀어서 나타낼 수 있고$$\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{int}}=W+Q+T_{MW}+T_{MT}+T_{ET}+T_{ER}$$이것은 비고립계 모형을 에너지 방정식으로 나타낸 것이다. 

비고립계에 한 힘이 작용하고 힘의 작용점의 계의 변위와 같이 움직이고, 힘은 속력에만 영향을 미친다고 하면, 에너지 전달과정은 일이고, 계의 에너지에는 운동에너지의 변화만 남게 된다. 그러면 \(\Delta K=W\)이고, 이것은 일-운동에너지 정리이다.  

고립계는 계의 경계를 넘는 에너지 전달이 없고 위의 에너지 전달 방정식의 우변이 모두 \(0\)이다. 즉 \(\Delta E_{\text{system}}=0\). 비보존력이 없다면 역학적 에너지는 보존되고 즉 \(\Delta E_{\text{mech}}=0\), 비보존력이 존재하면 역학적 에너지는 보존되지 않으나 \(\Delta E_{\text{system}}=0\)이므로 전체 에너지는 보존된다. 

 

마찰이 있는 표면 위에 질량이 \(m\)인 어떤 물체가 있고, 이 물체에 여러 힘(비보존력)들이 작용해서 경로 \(C\)를 따라 운동하고, 운동마찰력을 제외한 힘들이 물체를 변형시키지 않는다고 하자. 그러면 운동마찰력을 제외한 힘들이 한 일은$$\sum W_{\text{other forces}}=\int_{C}{\left(\sum\mathbf{F}_{\text{other forces}}\right)\cdot d\mathbf{r}}$$이고 이 물체의 알짜힘은 운동마찰력과 그 외의 힘들의 합이므로$$\sum\mathbf{F}_{\text{other forces}}+\mathbf{f}_{k}=\sum\mathbf{F}$$이고$$\begin{align*}\sum W_{\text{other forces}}+\int_{C}{\mathbf{f}_{k}\cdot d\mathbf{r}}&=\int_{C}{\left(\sum\mathbf{F}_{\text{other forces}}\right)\cdot d\mathbf{r}}+\int_{C}{\mathbf{f}_{k}\cdot d\mathbf{r}}\\&=\int_{C}{\left(\sum\mathbf{F}_{\text{other forces}}+\mathbf{f}_{k}\right)\cdot d\mathbf{r}}\\&=\int_{C}{\left(\sum\mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{r}}\end{align*}$$이다. 일-에너지 정리에 의해 \(\displaystyle\int_{C}{\left(\sum\mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{r}}=\Delta K\)이고, 운동마찰력 \(\mathbf{f}_{k}\)의 방향은 움직이는 방향과 반대이므로$$\int_{C}{\mathbf{f}_{k}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{C}{f_{k}dr}=-f_{k}\int_{C}{dr}=-f_{k}d$$이다. 그러므로 다음이 성립한다.$$\sum W_{\text{other forces}}-f_{k}d=\Delta K$$여기서 마찰력 외의 힘을 무시한다면, 즉 마찰력만 고려한다면$$\Delta E_{\text{system}}=\Delta K+\Delta E_{\text{int}}=0$$이고 \(\sum W_{\text{other forces}}=0\)이므로$$\Delta K=-f_{k}d$$이고, 여기서 \(-f_{k}d\)는 운동마찰력이 한 일이다. 그러면$$\Delta E_{\text{int}}=f_{k}d$$이고 이 사실은 마찰력이 계의 내부의 운동에너지를 내부에너지로 변환시킨다는 것을 뜻한다. 

여기까지는 위치에너지를 고려하지 않았다. 만약 물체를 계의 일부로 포함해 위치에너지의 변화도 존재한다고 하면$$\Delta E_{\text{mech}}=\Delta K+\Delta U=-f_{k}d$$이고, 비고립계 안에서 다른 비보존력이 작용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\Delta E_{\text{mech}}=-f_{k}d+\sum W_{\text{other forces}}$$\(\sum W_{\text{other forces}}\)는 마찰력 이외의 비보존력들이 한 일이다. 

 

참고자료: 

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 7th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning