2차원 벡터장과 복소함수에 대한 고찰

2차원 벡터장과 복소함수에 대한 고찰

 

 

지난번에는 실수함수와 복소함수에 대해 고찰을 했고, 이번에는 2차원 벡터장(이하 벡터장)과 복소함수에 대해 고찰을 하고자 한다.

 

먼저 벡터장은 2차원 벡터로 사상하는 이변수 벡터함수, 즉 $\mathbf{F}:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$이고, 다음과 같이 나타낸다. $$\mathbf{F}(x,\,y)=P(x,\,y)\mathbf{i}+Q(x,\,y)\mathbf{j}$$ 복소함수는 복소수를 복소수로 대응하는 함수, 즉 $f:\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$인데 이때 임의의 복소수 $z$를 $$z=x+iy\,(x,\,y\in\mathbb{R})$$ 로 나타낼 수 있으므로 다음과 같이 2변수함수로도 나타낼 수 있다. $$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)$$ 선형대수학에서 $\mathbf{i},\,\mathbf{j}$는 $\mathbb{R}^{2}$의 기저를 나타낸다고 배웠다. 더 나아가서 현대대수학의 벡터공간 단원에서 $1,\,i(=\sqrt{-1})$은 $\mathbb{C}$의 기저이고 따라서 $\mathbb{C}$와 $\mathbb{R}^{2}$는 동형((실수)체의 연산에 대해 닫혀있고, 일대일로 대응시킬 수 있음)이라고 배우게 될 것이다. 이것이 복소수 전체의 집합 $\mathbb{C}$를 '복소평면'이라고 하는 이유이다. 

 

극한

벡터장의 극한은 다음과 같이 나타내고 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{\mathbf{F}(x,\,y)}=\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{\{P(x,\,y)\mathbf{i}+Q(x,\,y)\mathbf{j}\}}$$ 이 극한값이 존재하려면 다음의 두 극한이 모두 존재해야 한다. $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{P(x,\,y)},\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{Q(x,\,y)}$$ 복소함수의 극한은 다음과 같이 나타내고, $$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{\{u(x,\,y)+iv(x,\,y)\}}\,(z_{0}=x_{0}+iy_{0})$$ 이 극한값이 존재하려면 벡터장의 경우처럼 다음의 두 극한이 모두 존재해야 한다. $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{u(x,\,y)},\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{v(x,\,y)}$$ 이변수함수는 극한값이 존재하기 위한 조건이 매우 까다롭다. 왜냐하면 이변수함수는 경로에 따라 서로 다른 극한값을 취할 수 있기 때문이다. 

다음의 함수 $f,\,g:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의하자. $$f(x,\,y)=\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},\,g(x,\,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$ 그러면 $$|f(x,\,y)|\leq3|y|,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{3|y|}=0$$ 이므로 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{f(x,\,y)}=0$$ 이나 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{g(x,\,y)}$$ 는 존재하지 않는다. 그 이유는 $(x,\,y)$가 각각 $x$축, $y$축에서 $(0,\,0)$(원점)으로 접근할 때 $$g(x,\,0)=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\,g(0,\,y)=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1$$ 이므로 원점으로의 극한은 존재하지 않는다.

복소함수 $\displaystyle f(z)=\frac{z}{\overline{z}}$는 다음과 같이 이변수함수로 나타낼 수 있고 $$f(z)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}i$$ $(x,\,y)$가 각각 $x$축, $y$축 에서 원점으로 접근할 때 $$f(z)=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\,f(z)=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1$$ 이므로 $f(z)$의 원점으로의 극한은 존재하지 않는다.  

 

연속

벡터장의 연속 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(x_{0},\,y_{0})}{\mathbf{F}(x,\,y)}=\mathbf{F}(x_{0},\,y_{0})$$ 복소함수의 연속 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{f(z)}=f(z_{0})$$

 

미분, 적분

벡터장의 적분이 선적분이라는 점과 복소함수의 적분이 선적분이라는 점에서 적분은 비교가 가능하지만 미분의 경우, '벡터장의 미분'이라는 개념이 없어서 보존적이라는 개념과 보존적이기 위한 조건으로 대체할 것이다. 보존적 개념은 복소함수의 미분과 대응시킬 수 있고, 보존적이기 위한 조건은 복소함수가 미분가능하기 위한 조건인 코시-리만 방정식과 대응이 가능하다. 

 

벡터장 $\mathbf{F}$가 보존적이라는 것은 적당한 2변수함수 $f$가 존재해서 다음이 성립하는 것이다. $$\mathbf{F}=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$ 또한 벡터장 $\mathbf{F}=P(x,\,y)\mathbf{i}+Q(x,\,y)\mathbf{j}$이 보존적이면 다음의 등식이 성립하고 $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$ 역은 벡터장이 단순연결영역(빈 구멍이 없는 닫힌영역) 위에서 정의된 경우에만 성립한다.

 

복소함수의 미분은 다음과 같이 정의된다. $$f'(z_{0})=\lim_{z\,\rightarrow\,z_{0}}{\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},\,f'(z)=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}$$ 왼쪽의 식은 미분계수, 오른쪽의 식은 도함수이다.

다음의 복소함수 $$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)$$ 가 한 점 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$의 근방에서 정의되었고, 그 근방에서 $u(x,\,y),\,v(x,\,y)$의 1계 편도함수가 존재하고, 점 $(x_{0},\,y_{0})$에서 연속이며, 다음의 코시-리만 방정식을 만족한다고 하자. $$u_{x}(x_{0},\,y_{0})=v_{y}(x_{0},\,y_{0}),\,u_{y}(x_{0},\,y_{0})=-v_{x}(x_{0},\,y_{0})$$ 그러면 $f'(z_{0})$이 존재하고 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},\,y_{0})+iv_{x}(x_{0},\,y_{0})$$ 다음의 벡터장에 대해 $$\mathbf{F}(x,\,y)=(x^{2}+y^{2})\mathbf{i}+2xy\mathbf{j}$$ 다음이 성립한다. $$\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)$$ 그러면 이 벡터장은 보존장이고 $\mathbf{F}=\nabla f$를 만족하는 $f$가 존재한다. 이때 $$f_{x}(x,\,y)=x^{2}+y^{2},\,f_{y}(x,\,y)=2xy$$ 이므로 $$f(x,\,y)=xy^{2}+g(x)$$ 이고 $$f_{x}=y^{2}+g'(x)=x^{2}+y^{2}$$ 이므로 $$g'(x)=x^{2}$$ 이고 $$g(x)=\frac{1}{3}x^{3}+C$$ 이므로 따라서 $$f(x,\,y)=xy^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+C$$ 다음의 복소함수에 대해 $$f(z)=z^{2}$$ 다음과 같이 이변수함수로 나타낼 수 있고 $$f(z)=(x^{2}-y^{2})+2xyi$$ 각 성분들을 다음과 같이 나타내자. $$u(x,\,y)=x^{2}-y^{2},\,v(x,\,y)=2xy$$ 임의의 $z=x+iy$에 대하여 $$u_{x}(x,\,y)=2x=v_{y}(x,\,y),\,u_{y}(x,\,y)=-2y=-v_{x}(x,\,y)$$ 이므로 복소평면 위에서 코시-리만 방정식을 만족한다. 그러므로 $f(z)$는 복소평면 전체에서 미분가능하고 다음이 성립한다. $$f'(z)=2x+i2y=2(x+iy)=2z$$

 

벡터장 $\mathbf{F}:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$의 곡선 $C:\mathbb{r}(t)\,(a\leq t\leq b)$위에서의 선적분은 다음과 같이 정의된다. $$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{a}^{b}{\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt}$$ 만약 벡터장 $\mathbb{F}$가 다음과 같으면 $$\mathbf{F}(x,\,y)=P(x,\,y)\mathbf{i}+Q(x,\,y)\mathbf{j}$$ 다음과 같이 나타낼 수 있으므로 $$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}&=\int_{a}^{b}{\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt}\\&=\int_{a}^{b}{(P(x,\,y)\mathbf{i}+Q(x,\,y)\mathbf{j})(x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j})dt}\\&=\int_{a}^{b}{\{P(x(t),\,y(t))x'(t)+Q(x(t),\,y(t))y'(t)\}dt}\end{align*}$$ 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{C}{Pdx+Qdy}\,(dx=x'(t)dt,\,dy=y'(t)dt)$$ 복소함수 $f:\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$의 곡선 $C:z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$위에서의 선적분은 다음과 같이 정의된다. $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$ 복소함수 $f(z)$와 경로 $C:z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$가 다음과 같다면 $$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y),\,z(t)=x(t)+iy(t)$$ 복소 선적분을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\int_{C}{(u+iv)(dx+idy)}\\&=\int_{C}{udx-vdy}+i\int_{C}{vdx+udy}\end{align*}$$ 벡터장 $\mathbf{F}$에 대한 선적분 $\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}$이 경로에 독립이라는 것은 곡선 $C$의 양 끝점을 잇는 임의의 두 경로 $C_{1},\,C_{2}$에 대하여 다음이 성립하는 것이다. $$\int_{C_{1}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\int_{C_{2}}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}$$ 복소함수 $f(z)$에 대한 선적분 $\displaystyle\int_{C}{f(z)dz}$가 경로에 독립이라는 것은 곡선 $C$의 양 끝점을 잇는 임의의 두 경로 $C_{1},\,C_{2}$에 대하여 다음이 성립하는 것이다. $$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$ 이때 $C$의 양 끝점이 각각 $z=z_{1}$, $z=z_{2}$이면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}$$ 선적분의 기본정리

곡선 $C:\mathbf{r}(t)\,(a\leq t\leq b)$와 이변수함수 $f$의 그래디언트 $\nabla f$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_{C}{\nabla f\cdot d\mathbf{r}}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))$$ 선적분의 기본정리로부터 벡터장 $\mathbf{F}$가 보존적, 즉 적당한 이변수함수 $f$가 존재해서 $\mathbf{F}=\nabla f$일 때 다음이 성립한다. $$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))$$ 미분가능한 복소함수 $F(z)$에 대하여 $F'(z)=f(z)$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}=F(z_{2})-F(z_{1})$$ 벡터장 $\mathbf{F}(x,\,y)$가 다음과 같다고 하자. $$\mathbf{F}(x,\,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}$$ 이 벡터장은 $\mathbb{R}^{2}-\{0\}$ 위에서 정의되고, 곡선 $C$가 다음과 같을 때 $$C:\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}\,(0\leq t\leq2\pi)$$ 이 벡터장의 곡선 $C$위에서의 선적분은 $$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}&=\int_{0}^{2\pi}\left\{-\frac{\sin t}{\cos^{2}t+\sin^{2}t}\mathbf{i}+\frac{\cos t}{\cos^{2}t+\sin^{2}t}\mathbf{j}\right\}(-\sin t\mathbf{i}+\cos t\mathbf{j})dt\\&=\int_{0}^{2\pi}{(\sin^{2}t+\cos^{2}t)dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{1dt}=2\pi\end{align*}$$ 복소함수 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{z}$의 곡선 $C:z=e^{it}\,(a\leq t\leq b)$위에서의 선적분은 다음과 같다. $$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{e^{it}}ie^{it}dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{idt}=2\pi i\end{align*}$$ 이때 복소함수 $f(z)$와 곡선을 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$f(z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}i,\,z(t)=\cos t+i\sin t$$ 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C}{\frac{x}{x^{2}+y^{2}}dx+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}}dy&=\int_{0}^{2\pi}{\{-(\cos t\sin t)+\sin t\cos t\}}dt=0\\ \int_{C}{-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy}&=\int_{0}^{2\pi}{\{(-\sin t)^{2}+\cos^{2}t\}dt}=2\pi\end{align*}$$ 참고자료:

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill