복소해석학을 이용한 이상적분의 계산(1)

복소해석학을 이용한 이상적분의 계산(1)

 

 

연속인 실수함수 중에서는 부정적분을 구할 수 없는 함수가 존재한다. 다음의 함수들은 부정적분을 구할 수 없는 함수들이다. $$y=e^{-x^{2}},\,y=e^{-x^{2}}\cos2bx\,(b>0),\,y=\frac{\sin x}{x},\,y=\sin x^{2},\,y=\cos x^{2}$$ 그러나 이들 함수의 실수 전체에서의 이상적분은 복소해석학의 방법으로 구할 수 있다. 

 

1. $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

 

2. ML-부등식

복소함수 $f$가 곡선 $C$위에서 $|f(z)|\leq M\,(M>0)$이고, $C$의 길이가 $L$이면 다음이 성립한다. $$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|\leq ML$$ 3. 코시-구르사 정리

복소함수 $f$가 곡선 $C$와 그 내부에서 해석적이면 다음이 성립한다. $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 4. 원환 $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$위에서 $C$가 이 원환 내부에 존재하고 해석적이라고 하자. $f$가 이 원환 위에서 해석적이면 다음과 같이 로랑급수로 나타낼 수 있고, $$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}},\,\left(c_{n}=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n}}dz}\right)$$ 위의 급수에서 $\displaystyle\frac{1}{z}$의 계수 $c_{-1}$을 $z=z_{0}$에서의 유수라 하고, 다음과 같이 나타낸다. $$\text{Res}_{z=z_{0}}f(z)=c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{f(z)dz}$$ 바꾸어 말하자면 $C$위에서 $f$의 선적분은 원환에 포함되는 곡선 $C$위에서 $f$의 로랑급수에서 $\displaystyle\frac{1}{z}$의 계수(유수)에 $2\pi i$를 곱한것과 같다. 

 

이 네 가지 이론들을 이용하여 몇 가지 이상적분들을 계산하도록 하자.

 

1. $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}\,(b>0)$

 

(i) 미분방정식을 이용한 풀이

$\displaystyle I(b)=\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}$라 하자. $$\begin{align*}\frac{d}{db}I(b)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{\partial}{\partial b}(e^{-x^{2}}\cos2bx)dx}\\&=-\int_{0}^{\infty}{2xe^{-x^{2}}\sin2bxdx}\\&=\int_{0}^{\infty}{(e^{-x^{2}})'\sin2bxdx}\\&=\left[e^{-x^{2}}\sin2bx\right]_{0}^{\infty}-2b\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}\\&=-2bI(b)\end{align*}$$ 이고 $$I(0)=\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$ 이므로 다음의 1계 미분방정식을 얻고, $$I'(b)=-2bI(b),\,I(0)=\frac{\pi}{2}$$ 이 미분방정식을 풀면 다음의 결과를 얻는다. $$I(b)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}$$ (ii) 복소해석학을 이용한 풀이.

다음의 그림을 고려하자.

위의 경로 $C_{1},\,C_{2},\,C_{3},\,C_{4}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}C_{1}:&\,z=-x+bi\,(-a\leq x\leq a)\\C_{2}:&\,z=-a-yi\,(-b\leq y\leq0)\\C_{3}:&\,z=x\,(-a\leq x\leq a)\\C_{4}:&\,z=a+yi\,(0\leq y\leq b)\end{align*}$$ $C=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}\cup C_{4}$라 하자. 그러면 $C$는 닫힌 경로이고 $e^{-z^{2}}$는 정함수(복소평면 전체에서 해석적)이므로 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다. $$0=\int_{C}{e^{-z^{2}}dz}=\int_{C_{1}}{e^{-z^{2}}dz}+\int_{C_{2}}{e^{-z^{2}}dz}+\int_{C_{3}}{e^{-z^{2}}dz}+\int_{C_{4}}{e^{-z^{2}}dz}$$ 이때 $$\begin{align*}\int_{C_{1}}{e^{-z^{2}}dz}&=-\int_{-a}^{a}{e^{-(-x+bi)^{2}}dx}=-\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}+2bxi+b^{2}}dx}\\&=-\int_{-a}^{a}{e^{b^{2}}e^{-x^{2}}(\cos2bx+i\sin2bx)dx}\\&=-2e^{b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}\int_{C_{3}}{e^{-z^{2}}dz}&=\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}}dx}=2\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}\\ \int_{C_{2}}{e^{-z^{2}}dz}&=-i\int_{-b}^{0}{e^{-(-a-yi)^{2}}dy}=-i\int_{-b}^{0}{e^{-(a^{2}+2ayi-y^{2})}dy}\\&=-i\int_{-b}^{0}{e^{-a^{2}}e^{-2ayi}e^{y^{2}}dy}=-ie^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}e^{2ayi}dy}\\ \int_{C_{4}}{e^{-z^{2}}dz}&=i\int_{0}^{b}{e^{-(a+yi)^{2}}dy}=i\int_{0}^{b}{e^{-(a^{2}+2ayi-y^{2})}dy}\\&=i\int_{0}^{b}{e^{-a^{2}}e^{2ayi}e^{y^{2}}dy}=ie^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}e^{-2ayi}dy}\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}0&=-2e^{b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}+2\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}-ie^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}e^{2ayi}dy}+ie^{-a^{2}}\int_{0}^{a}{e^{y^{2}}e^{-2ayi}dy}\\&=-2e^{b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}+2\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}+2e^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}\sin2aydy}\end{align*}$$ 이고 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}=e^{-b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}+e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}\sin2aydy}$$ 이때 $$\left|e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}\sin2aydy}\right|\leq e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}dy},\,\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}}dy}=0$$ 이므로 따라서 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}\,(b>0)$$ 2. $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\cos x^{2}dx}=\int_{0}^{\infty}{\sin x^{2}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

 

*이 적분은 '프레네 적분'이라고 불리며, 회절에 이용된다.

 

다음의 그림을 고려하자.

 위의 경로 $C_{1},\,C_{R},\,C_{2}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$C_{1}:z=x\,(0\leq x\leq R),\,C_{R}:z=Re^{i\theta}\,\left(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}\right),\,C_{2}:z=-(1+i)x\,(-R\leq x\leq0)$$ $C=C_{1}\cup C_{R}\cup C_{2}$라 하자. $e^{iz^{2}}$는 정함수이므로 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다. $$0=\int_{C}{e^{iz^{2}}dz}=\int_{C_{1}}{e^{iz^{2}}dz}+\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}+\int_{C_{2}}{e^{iz^{2}}dz}$$ 이때 $$\begin{align*}\int_{C_{1}}{e^{iz^{2}}dz}&=\int_{0}^{R}{e^{ix^{2}}dx}=\int_{0}^{R}{\cos x^{2}dx}+i\int_{0}^{R}{\sin x^{2}dx}\\ \int_{C_{2}}{e^{iz^{2}}dz}&=-(1+i)\int_{-R}^{0}{e^{i(1+i)^{2}x^{2}}dx}=-(1+i)\int_{-R}^{0}{e^{-2x^{2}}dx}\\&=(1+i)\int_{-R}^{0}{e^{-2x^{2}}dx}\\&=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\int_{0}^{R}{e^{-t^{2}}dt}\,(t=\sqrt{2}x)\end{align*}$$ 이고 이때 다음의 부등식이 성립하는데 $$\left|\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}\right|=\left|\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{e^{iR^{2}(\cos2\theta+i\sin2\theta)}Rie^{i\theta}d\theta}\right|\leq R\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{e^{-R^{2}\sin2\theta}d\theta}=\frac{R}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R^{2}\sin\phi}d\phi}$$ $R>0$, $\displaystyle0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$일 때 다음의 부등식이 성립하므로 $$e^{-R^{2}\sin\phi}\leq e^{-\frac{2R^{2}\phi}{\pi}}$$ 위의 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립하고 $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R^{2}\sin\phi}d\phi}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-\frac{2R^{2}\phi}{\pi}}d\phi}=\frac{\pi}{2R^{2}}(1-e^{-R^{2}})<\frac{\pi}{2R^{2}}$$ 이 부등식에 의해 $$\frac{R}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R^{2}\sin\phi}d\phi}<\frac{\pi}{4R},\,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{4R}}=0$$ 이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}}=0$$ 그러면 $$\begin{align*}\int_{0}^{R}{\cos x^{2}dx}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{R}{e^{-t^{2}}dt}-\text{Re}\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}\\ \int_{0}^{R}{\sin x^{2}dx}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{R}{e^{-t^{2}}dt}-\text{Im}\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}\end{align*}$$ 이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{0}^{\infty}{\cos x^{2}dx}=\int_{0}^{\infty}{\sin x^{2}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$ *참고: 함수 $S(x)$와 $C(x)$를 다음과 같이 정의하자. $$S(x)=\int_{0}^{x}{\sin t^{2}dt},\,C(x)=\int_{0}^{x}{\cos t^{2}dt}\,(x\geq0)$$ 그러면 이 두 함수의 그래프는 각각 다음과 같다.

3. $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi}{2}$

 

*이 적분식은 통신이론에 이용된다.

 

다음의 그림을 고려하자.

  위의 경로 $C_{R},\,L_{2},\,C_{\rho},\,L_{1}$는 다음과 같이 나타낼수 있다. $$C_{R}:z=Re^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq\pi),\,L_{2}:z=-r\,(\rho\leq r\leq R),\,-C_{\rho}:z=\rho e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq\pi),\,L_{1}:z=r\,(\rho\leq r\leq R)$$ $C=C_{R}\cup L_{2}\cup C_{\rho}\cup L_{1}$라 하자. $\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}$는 원점을 제외한 복소평면 전체에서 해석적이므로 $C$ 내부에서 해석적이고, 따라서 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다. $$0=\int_{C}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}$$ 이때 $$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=\int_{\rho}^{R}{\frac{e^{ir}}{r}dr},\,\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=-\int_{\rho}^{R}{\frac{e^{-ir}}{r}dr}$$ 이므로 $$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=2i\int_{\rho}^{R}{\frac{\sin r}{r}dr}$$ 이다. $$\left|\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}\right|=\left|\int_{0}^{\pi}{e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta)}R^{-1}e^{-i\theta}\cdot Rie^{i\theta}d\theta}\right|\leq\int_{0}^{\pi}{e^{-R\sin\theta}d\theta}<\frac{\pi}{R}$$ 이고 위의 끝 부분의 부등식은 다음의 부등식에 의해 성립한다. $$e^{-R\sin\theta}\leq e^{-\frac{2R\theta}{\pi}}$$ $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{R}}=0$이므로 등식 $\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz^{2}}}{z}}dz}=0$이 성립한다. $$\frac{e^{iz}}{z}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(iz)^{n}}{n!}}=\frac{1}{z}\left\{1+\frac{iz}{1!}+\frac{(iz)^{2}}{2!}+\cdots\right\}=\frac{1}{z}+g(z)$$ 이고 여기서 $\displaystyle g(z)=\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(iz)^{n}}{n!}}$이다. $\displaystyle\frac{1}{z}$과 $g(z)$는 $-C_{\rho}$위에서 해석적이고 $$\int_{-C_{\rho}}{\frac{1}{z}dz}=\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\rho e^{i\theta}}\rho ie^{i\theta}d\theta}=\pi i$$ 이므로 $$\int_{C_{\rho}}{\frac{1}{z}dz}=-\int_{-C_{\rho}}{\frac{1}{z}dz}=-\pi i$$ 이며 $M>0$가 존재해서 모든 $z\in C_{\rho}$에 대해 $|f(z)|\leq M$이다. $$\left|\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}\right|\leq M\pi\rho,\,\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{M\pi\rho}=0$$ 이므로 $$\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}}=-\pi i$$ 이고 $$0=2i\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin r}{r}dr}-\pi i$$ 이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}$$ 4. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi$

 

이 적분은 이상적분이 아니고 부분적분을 반복해서 얻을 수 있다. 주제(부정적분을 구할 수 없는 함수의 무한대에서의 이상적분)에서 벗어난 적분이고, 이 적분을 구하는 과정은 복잡하지만 유수를 이용하면 간단하게 구할 수 있다. 

 

$C:z=e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)$라 하자. 이때 $$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{z-z^{-1}}{2i},\,\sin^{2n}\theta=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}$$ 이고 $$\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=2\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}$$ 이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\int_{C}{\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}\frac{1}{iz}dz}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}i}\int_{C}{\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}dz}$$ 이때 $$\left(z-\frac{1}{z}\right)=\sum_{r=0}^{2n}{\binom{2n}{r}z^{r}\cdot z^{r-2n}(-1)^{r-2n}}$$ 이므로 위의 이항공식에서 $r=n$일 때의 계수는 $\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}(-1)^{n}$이고 따라서 $\displaystyle\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}$의 원점에서의 유수는 $\displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}(-1)^{n}$이다.

그러면 $$\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}i}\int_{C}{\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}dz}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}i}\cdot2\pi i\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}(-1)^{n}=\frac{2(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi$$ 이고 $$\frac{2(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi=\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=2\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}$$ 이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi$$ 참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill

[논문] The Fresnel integral and its applications, 이희진, 경기대학교 교육대학원