복소해석학을 이용한 이상적분의 계산(1)

복소해석학을 이용한 이상적분의 계산(1)

 

 

연속인 실수함수 중에서는 부정적분을 구할 수 없는 함수가 존재한다. 다음의 함수들은 부정적분을 구할 수 없는 함수들이다.$$y=e^{-x^{2}},\,y=e^{-x^{2}}\cos2bx\,(b>0),\,y=\frac{\sin x}{x},\,y=\sin x^{2},\,y=\cos x^{2}$$그러나 이들 함수의 실수 전체에서의 이상적분은 복소해석학의 방법으로 구할 수 있다. 

 

1. \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)

 

2. ML-부등식

복소함수 \(f\)가 곡선 \(C\)위에서 \(|f(z)|\leq M\,(M>0)\)이고, \(C\)의 길이가 \(L\)이면 다음이 성립한다.$$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|\leq ML$$3. 코시-구르사 정리

복소함수 \(f\)가 곡선 \(C\)와 그 내부에서 해석적이면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$4. 원환 \(R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\)위에서 \(C\)가 이 원환 내부에 존재하고 해석적이라고 하자. \(f\)가 이 원환 위에서 해석적이면 다음과 같이 로랑급수로 나타낼 수 있고,$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}(z-z_{0})^{n}},\,\left(c_{n}=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C}{\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n}}dz}\right)$$위의 급수에서 \(\displaystyle\frac{1}{z}\)의 계수 \(c_{-1}\)을 \(z=z_{0}\)에서의 유수라 하고, 다음과 같이 나타낸다.$$\text{Res}_{z=z_{0}}f(z)=c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}{f(z)dz}$$바꾸어 말하자면 \(C\)위에서 \(f\)의 선적분은 원환에 포함되는 곡선 \(C\)위에서 \(f\)의 로랑급수에서 \(\displaystyle\frac{1}{z}\)의 계수(유수)에 \(2\pi i\)를 곱한것과 같다. 

 

이 네 가지 이론들을 이용하여 몇 가지 이상적분들을 계산하도록 하자.

 

1. \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}\,(b>0)\)

 

(i) 미분방정식을 이용한 풀이

\(\displaystyle I(b)=\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}\)라 하자.$$\begin{align*}\frac{d}{db}I(b)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{\partial}{\partial b}(e^{-x^{2}}\cos2bx)dx}\\&=-\int_{0}^{\infty}{2xe^{-x^{2}}\sin2bxdx}\\&=\int_{0}^{\infty}{(e^{-x^{2}})'\sin2bxdx}\\&=\left[e^{-x^{2}}\sin2bx\right]_{0}^{\infty}-2b\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}\\&=-2bI(b)\end{align*}$$이고$$I(0)=\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$이므로 다음의 1계 미분방정식을 얻고,$$I'(b)=-2bI(b),\,I(0)=\frac{\pi}{2}$$이 미분방정식을 풀면 다음의 결과를 얻는다.$$I(b)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}$$(ii) 복소해석학을 이용한 풀이.

다음의 그림을 고려하자.

위의 경로 \(C_{1},\,C_{2},\,C_{3},\,C_{4}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}C_{1}:&\,z=-x+bi\,(-a\leq x\leq a)\\C_{2}:&\,z=-a-yi\,(-b\leq y\leq0)\\C_{3}:&\,z=x\,(-a\leq x\leq a)\\C_{4}:&\,z=a+yi\,(0\leq y\leq b)\end{align*}$$\(C=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}\cup C_{4}\)라 하자. 그러면 \(C\)는 닫힌 경로이고 \(e^{-z^{2}}\)는 정함수(복소평면 전체에서 해석적)이므로 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다.$$0=\int_{C}{e^{-z^{2}}dz}=\int_{C_{1}}{e^{-z^{2}}dz}+\int_{C_{2}}{e^{-z^{2}}dz}+\int_{C_{3}}{e^{-z^{2}}dz}+\int_{C_{4}}{e^{-z^{2}}dz}$$이때$$\begin{align*}\int_{C_{1}}{e^{-z^{2}}dz}&=-\int_{-a}^{a}{e^{-(-x+bi)^{2}}dx}=-\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}+2bxi+b^{2}}dx}\\&=-\int_{-a}^{a}{e^{b^{2}}e^{-x^{2}}(\cos2bx+i\sin2bx)dx}\\&=-2e^{b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\int_{C_{3}}{e^{-z^{2}}dz}&=\int_{-a}^{a}{e^{-x^{2}}dx}=2\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}\\ \int_{C_{2}}{e^{-z^{2}}dz}&=-i\int_{-b}^{0}{e^{-(-a-yi)^{2}}dy}=-i\int_{-b}^{0}{e^{-(a^{2}+2ayi-y^{2})}dy}\\&=-i\int_{-b}^{0}{e^{-a^{2}}e^{-2ayi}e^{y^{2}}dy}=-ie^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}e^{2ayi}dy}\\ \int_{C_{4}}{e^{-z^{2}}dz}&=i\int_{0}^{b}{e^{-(a+yi)^{2}}dy}=i\int_{0}^{b}{e^{-(a^{2}+2ayi-y^{2})}dy}\\&=i\int_{0}^{b}{e^{-a^{2}}e^{2ayi}e^{y^{2}}dy}=ie^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}e^{-2ayi}dy}\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}0&=-2e^{b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}+2\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}-ie^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}e^{2ayi}dy}+ie^{-a^{2}}\int_{0}^{a}{e^{y^{2}}e^{-2ayi}dy}\\&=-2e^{b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}+2\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}+2e^{-a^{2}}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}\sin2aydy}\end{align*}$$이고 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}=e^{-b^{2}}\int_{0}^{a}{e^{-x^{2}}dx}+e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}\sin2aydy}$$이때$$\left|e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}\sin2aydy}\right|\leq e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}dy},\,\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{e^{-(a^{2}+b^{2})}\int_{0}^{b}{e^{y^{2}}}dy}=0$$이므로 따라서 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}\cos2bxdx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^{2}}\,(b>0)$$2. \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\cos x^{2}dx}=\int_{0}^{\infty}{\sin x^{2}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)

 

*이 적분은 '프레네 적분'이라고 불리며, 회절에 이용된다.

 

다음의 그림을 고려하자.

 위의 경로 \(C_{1},\,C_{R},\,C_{2}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$C_{1}:z=x\,(0\leq x\leq R),\,C_{R}:z=Re^{i\theta}\,\left(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}\right),\,C_{2}:z=-(1+i)x\,(-R\leq x\leq0)$$\(C=C_{1}\cup C_{R}\cup C_{2}\)라 하자. \(e^{iz^{2}}\)는 정함수이므로 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다.$$0=\int_{C}{e^{iz^{2}}dz}=\int_{C_{1}}{e^{iz^{2}}dz}+\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}+\int_{C_{2}}{e^{iz^{2}}dz}$$이때$$\begin{align*}\int_{C_{1}}{e^{iz^{2}}dz}&=\int_{0}^{R}{e^{ix^{2}}dx}=\int_{0}^{R}{\cos x^{2}dx}+i\int_{0}^{R}{\sin x^{2}dx}\\ \int_{C_{2}}{e^{iz^{2}}dz}&=-(1+i)\int_{-R}^{0}{e^{i(1+i)^{2}x^{2}}dx}=-(1+i)\int_{-R}^{0}{e^{-2x^{2}}dx}\\&=(1+i)\int_{-R}^{0}{e^{-2x^{2}}dx}\\&=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\int_{0}^{R}{e^{-t^{2}}dt}\,(t=\sqrt{2}x)\end{align*}$$이고 이때 다음의 부등식이 성립하는데$$\left|\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}\right|=\left|\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{e^{iR^{2}(\cos2\theta+i\sin2\theta)}Rie^{i\theta}d\theta}\right|\leq R\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{e^{-R^{2}\sin2\theta}d\theta}=\frac{R}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R^{2}\sin\phi}d\phi}$$\(R>0\), \(\displaystyle0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}\)일 때 다음의 부등식이 성립하므로$$e^{-R^{2}\sin\phi}\leq e^{-\frac{2R^{2}\phi}{\pi}}$$위의 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립하고$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R^{2}\sin\phi}d\phi}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-\frac{2R^{2}\phi}{\pi}}d\phi}=\frac{\pi}{2R^{2}}(1-e^{-R^{2}})<\frac{\pi}{2R^{2}}$$이 부등식에 의해$$\frac{R}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-R^{2}\sin\phi}d\phi}<\frac{\pi}{4R},\,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{4R}}=0$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}}=0$$그러면$$\begin{align*}\int_{0}^{R}{\cos x^{2}dx}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{R}{e^{-t^{2}}dt}-\text{Re}\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}\\ \int_{0}^{R}{\sin x^{2}dx}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{R}{e^{-t^{2}}dt}-\text{Im}\int_{C_{R}}{e^{iz^{2}}dz}\end{align*}$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{0}^{\infty}{\cos x^{2}dx}=\int_{0}^{\infty}{\sin x^{2}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$*참고: 함수 \(S(x)\)와 \(C(x)\)를 다음과 같이 정의하자.$$S(x)=\int_{0}^{x}{\sin t^{2}dt},\,C(x)=\int_{0}^{x}{\cos t^{2}dt}\,(x\geq0)$$그러면 이 두 함수의 그래프는 각각 다음과 같다.

3. \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi}{2}\)

 

*이 적분식은 통신이론에 이용된다.

 

다음의 그림을 고려하자.

  위의 경로 \(C_{R},\,L_{2},\,C_{\rho},\,L_{1}\)는 다음과 같이 나타낼수 있다.$$C_{R}:z=Re^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq\pi),\,L_{2}:z=-r\,(\rho\leq r\leq R),\,-C_{\rho}:z=\rho e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq\pi),\,L_{1}:z=r\,(\rho\leq r\leq R)$$\(C=C_{R}\cup L_{2}\cup C_{\rho}\cup L_{1}\)라 하자. \(\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}\)는 원점을 제외한 복소평면 전체에서 해석적이므로 \(C\) 내부에서 해석적이고, 따라서 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다.$$0=\int_{C}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}$$이때$$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=\int_{\rho}^{R}{\frac{e^{ir}}{r}dr},\,\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=-\int_{\rho}^{R}{\frac{e^{-ir}}{r}dr}$$이므로$$\int_{L_{1}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}+\int_{L_{2}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}=2i\int_{\rho}^{R}{\frac{\sin r}{r}dr}$$이다.$$\left|\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}\right|=\left|\int_{0}^{\pi}{e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta)}R^{-1}e^{-i\theta}\cdot Rie^{i\theta}d\theta}\right|\leq\int_{0}^{\pi}{e^{-R\sin\theta}d\theta}<\frac{\pi}{R}$$이고 위의 끝 부분의 부등식은 다음의 부등식에 의해 성립한다.$$e^{-R\sin\theta}\leq e^{-\frac{2R\theta}{\pi}}$$\(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\pi}{R}}=0\)이므로 등식 \(\displaystyle\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{\int_{C_{R}}{\frac{e^{iz^{2}}}{z}}dz}=0\)이 성립한다.$$\frac{e^{iz}}{z}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(iz)^{n}}{n!}}=\frac{1}{z}\left\{1+\frac{iz}{1!}+\frac{(iz)^{2}}{2!}+\cdots\right\}=\frac{1}{z}+g(z)$$이고 여기서 \(\displaystyle g(z)=\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(iz)^{n}}{n!}}\)이다. \(\displaystyle\frac{1}{z}\)과 \(g(z)\)는 \(-C_{\rho}\)위에서 해석적이고$$\int_{-C_{\rho}}{\frac{1}{z}dz}=\int_{0}^{\pi}{\frac{1}{\rho e^{i\theta}}\rho ie^{i\theta}d\theta}=\pi i$$이므로$$\int_{C_{\rho}}{\frac{1}{z}dz}=-\int_{-C_{\rho}}{\frac{1}{z}dz}=-\pi i$$이며 \(M>0\)가 존재해서 모든 \(z\in C_{\rho}\)에 대해 \(|f(z)|\leq M\)이다.$$\left|\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}\right|\leq M\pi\rho,\,\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{M\pi\rho}=0$$이므로$$\lim_{\rho\,\rightarrow\,0}{\int_{C_{\rho}}{\frac{e^{iz}}{z}dz}}=-\pi i$$이고$$0=2i\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin r}{r}dr}-\pi i$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}$$4. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi\)

 

이 적분은 이상적분이 아니고 부분적분을 반복해서 얻을 수 있다. 주제(부정적분을 구할 수 없는 함수의 무한대에서의 이상적분)에서 벗어난 적분이고, 이 적분을 구하는 과정은 복잡하지만 유수를 이용하면 간단하게 구할 수 있다. 

 

\(C:z=e^{i\theta}\,(0\leq\theta\leq2\pi)\)라 하자. 이때$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{z-z^{-1}}{2i},\,\sin^{2n}\theta=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}$$이고$$\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=2\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}$$이므로 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\int_{C}{\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}\frac{1}{iz}dz}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}i}\int_{C}{\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}dz}$$이때$$\left(z-\frac{1}{z}\right)=\sum_{r=0}^{2n}{\binom{2n}{r}z^{r}\cdot z^{r-2n}(-1)^{r-2n}}$$이므로 위의 이항공식에서 \(r=n\)일 때의 계수는 \(\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}(-1)^{n}\)이고 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}\)의 원점에서의 유수는 \(\displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}(-1)^{n}\)이다.

그러면$$\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}i}\int_{C}{\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{z}\right)^{2n}dz}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}i}\cdot2\pi i\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}(-1)^{n}=\frac{2(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi$$이고$$\frac{2(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi=\int_{0}^{2\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=2\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{0}^{\pi}{\sin^{2n}\theta d\theta}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\pi$$참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill

[논문] The Fresnel integral and its applications, 이희진, 경기대학교 교육대학원