복소해석학을 이용한 이상적분의 계산(2)

복소해석학을 이용한 이상적분의 계산(2) 

 

 

여기서 다루고자 하는 이상적분 $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zx^{2}-ibx}dx}=\left(\frac{\pi}{z}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{b^{2}}{4z}}\,(z\in\mathbb{C},\,\text{Re}z>0,\,b\in\mathbb{R})$$ 은 양자역학, 확률론, 파인만적분에 이용되는 공식인데 그 유도는 복소해석학을 이용하지만 과정은 길고 복잡하다. 때문에 앞에서 같이 다루지 않고 여기서 따로 다루도록 하겠다. 

 

다음은 이 적분공식을 유도하는데 필요한 정의와 정리들이다. 

 

1. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^{2}}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,(a>0)$

 

2. 지배수렴정리

$\{f_{n}\}$을 실수($\mathbb{R}$) 위에서의 연속함수열로 다음이 성립한다고 하자. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x)}=f(x)$$ 여기서 $f$는 실수 전체에서 연속인 함수이다. 실수 전체에서 적분가능한 함수 $g$가 존재해서 다음이 성립하면 $$|f_{n}(x)|\leq g(x)\,(x\in\mathbb{R},\,n\in\mathbb{N})$$ $f$는 실수 전체에서 적분가능하고 다음의 등식이 성립한다 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f_{n}(x)dx}}=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}$$ 3. 푸비니 정리

함수 $f:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 영역 $R\subset\mathbb{R}^{2}$위에서의 연속함수라 하자.

(i) $R=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq b,\,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$($g_{1},\,g_{2}$는 $[a,\,b]$에서 연속)이면 다음이 성립한다. $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{f(x,\,y)dy}dx}$$ (ii) $R=\{(x,\,y)\,|\,c\leq y\leq d,\,h_{1}(y)\leq x\leq h_{2}(y)\}$($h_{1},\,h_{2}$는 $[c,\,d]$에서 연속)이면 다음이 성립한다. $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\int_{c}^{d}{\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}{f(x,\,y)dx}dy}$$ 4. 복소함수 $f$가 한 점 $z_{0}$에서 연속일 필요충분조건은 $z_{0}$로 수렴하는 임의의 수열 $\{z_{n}\}$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow,\,\infty}{f(z_{n})}=f(z_{0})$가 성립하는 것이다.

 

5. 복소함수 $f$가 $z_{0}$에서 해석적이라는 것은 $z_{0}$의 한 근방 위의 모든 점에서 미분가능하다는 것이다. $f$가 복소평면 $\mathbb{C}$ 전체에서 해석적이면, 정함수라고 한다.   

 

6. 복소함수 $f$가 영역 $D$ 전체에서 해석적이고 $D$ 내부에 포함되는 어떤 영역 또는 선분 위에서 $f(z)=0$이라 하자. 그러면 $D$ 전체에서 $f(z)=0$이다. 

 

7. 곡선 $C:z=z(t)\,(a\leq t\leq b)$위에서 복소함수 $f$의 선적분은 다음과 같이 정의된다. $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$ 8. ML-부등식

복소함수 $f$가 곡선 $C$위의 임의의 점 $z$에 대해 $M>0$이 존재해서 $|f(z)|\leq M$, $C$의 길이를 $L$이라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립한다. $$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|\leq ML$$ 8. 코시-구르사 정리

$f$를 닫힌 곡선 $C$와 그 내부에서 해석적이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 9. 모레라 정리

복소함수 $f$가 $D$ 전체에서 연속이라 하고, $D$ 내부의 모든 닫힌곡선 $C$에 대해 다음이 성립한다고 하자. $$\int_{C}{f(z)dz}=0$$ 그러면 $f$는 $D$전체에서 해석적이다.  

 

다음은 여기서 유도하고자 하는 적분공식이다.

$\mathbb{C}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z>0\}$일 때 $z\in\mathbb{C}_{+}$와 $b\in\mathbb{R}$에 대하여 $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zx^{2}-ibx}dx}=\left(\frac{\pi}{z}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{b^{2}}{4z}}$$ 그 전에 앞서 $a>0,\,b\in\mathbb{R}$일 때 다음의 적분공식이 성립함을 보여야 한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^{2}-ibx}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{b^{2}}{4a}}$$ $b=0$이면 1에 의해 $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^{2}}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$ 이므로 $b\neq0$이라 하자.

(i) $b>0$일 때 $\displaystyle b_{1}=\frac{b}{2a},\,R>0$이라 하고 다음의 그림을 고려하자.

 위 그림의 $C_{1},\,C_{2},\,C_{3},\,C_{4}$는 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$C_{1}:z=t\,(-R\leq t\leq R),\,C_{2}:z=R+ti\,(0\leq t\leq b_{1}),\,C_{3}:z=t+b_{1}i\,(-R\leq t\leq R),\,C_{4}:z=-R-ti\,(-b_{1}\leq t\leq0)$$ $C=C_{1}\cup C_{2}\cup-C_{3}\cup C_{4}$라 하면 $e^{-az^{2}}$는 정함수이므로 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다. $$0=\int_{C}{e^{-az^{2}}dz}=\int_{C_{1}}{e^{-az^{2}}dz}+\int_{C_{2}}{e^{-az^{2}dz}}-\int_{C_{3}}{e^{-az^{2}}dz}+\int_{C_{4}}{e^{-az^{2}}dz}$$ 이때 $$\begin{align*}\int_{C_{3}}{e^{-az^{2}}dz}&=\int_{-R}^{R}{e^{-a(t+b_{1}i)^{2}}dt}=\int_{-R}^{R}{e^{-a(t^{2}+2b_{1}ti-b_{1}^{2})}dt}\\ \int_{C_{1}}{e^{-az^{2}}dz}&=\int_{-R}^{R}{e^{-at^{2}}dt}\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}\int_{C_{2}}{e^{-az^{2}}dz}&=i\int_{0}^{b_{1}}{e^{-a(R+ti)^{2}}dt}=i\int_{0}^{b_{1}}{e^{-a(R^{2}+2Rti-t^{2})}dt}\\&=ie^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}e^{-2aRti}dt}\\ \int_{C_{4}}{e^{-az^{2}}dz}&=-i\int_{-b_{1}}^{0}{e^{-a(R+ti)^{2}}dt}=-i\int_{-b_{1}}^{0}{e^{-a(R^{2}+2Rti-t^{2})}dt}=-ie^{-aR^{2}}\int_{-b_{1}}^{0}{e^{-2aRt}e^{at^{2}}dt}\\&=-ie^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}e^{2aRti}dt}\end{align*}$$ 이므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}0&=\int_{-R}^{R}{e^{-at^{2}}dt}-\int_{-R}^{R}{e^{-a(t^{2}+2b_{1}ti-b_{1}^{2})}dt}+ie^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}e^{-2aRti}dt}-ie^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}e^{2aRti}dt}\\&=\int_{-R}^{R}{e^{-at^{2}}dt}-\int_{-R}^{R}{e^{-a(t^{2}+2b_{1}ti-b_{1}^{2})}dt}+2e^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}\sin2aRt dt}\end{align*}$$ 이때 $$\left|2e^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}\sin2aRt dt}\right|\leq2e^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}dt},\,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{2e^{-aR^{2}}\int_{0}^{b_{1}}{e^{at^{2}}dt}}=0$$ 이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-at^{2}-2b_{1}ati+ab_{1}^{2}}dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-at^{2}}dt}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$ $\displaystyle b_{1}=\frac{b}{2a}$이므로 $\displaystyle ab_{1}^{2}=\frac{b^{2}}{4a}$이고 따라서 $b>0$일 때 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^{2}-ibx}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{b^{2}}{4a}}$$ (ii) $b<0$일 때 $\displaystyle b_{1}=\frac{b}{2a}$라 하고 다음의 그림을 고려하자.

 위 그림의 $C_{1},\,C_{2},\,C_{3},\,C_{4}$는 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$C_{1}:z=t+b_{1}i\,(-R\leq t\leq R),\,C_{2}:z=R+ti\,(b_{1}\leq t\leq0),\,C_{3}:z=-t\,(-R\leq t\leq R),\,C_{4}:z=-R-ti\,(0\leq t\leq-b_{1})$$ $C=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}\cup C_{4}$라 하면 $e^{-az^{2}}$는 정함수이므로 코시-구르사 정리에 의해 다음이 성립한다. $$0=\int_{C}{e^{-az^{2}}dz}=\int_{C_{1}}{e^{-az^{2}}dz}+\int_{C_{2}}{e^{-az^{2}}dz}+\int_{C_{3}}{e^{-az^{2}}dz}+\int_{C_{4}}{e^{-az^{2}}dz}$$ 이때 $$\begin{align*}\int_{C_{1}}{e^{-az^{2}}dz}&=\int_{-R}^{R}{e^{-a(t+b_{1}i)^{2}}dt}=\int_{-R}^{R}{e^{-a(t^{2}+2b_{1}ti-b_{1}^{2})}dt}\\ \int_{C_{3}}{e^{-az^{2}}dz}&=-\int_{-R}^{R}{e^{-at^{2}}dt}\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}\int_{C_{2}}{e^{-az^{2}}dz}&=i\int_{b_{1}}^{0}{e^{-a(R+ti)^{2}}}=i\int_{b_{1}}^{0}{e^{-a(R^{2}+2Rti-t^{2})}dt}\\&=ie^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}e^{-2aRti}dt}\\ \int_{C_{4}}{e^{-az^{2}}dz}&=-i\int_{0}^{-b_{1}}{e^{-a(R+ti)^{2}}dt}=-i\int_{0}^{-b_{1}}{e^{-a(R^{2}+2Rti-t^{2})}dt}=-ie^{-aR^{2}}\int_{0}^{-b_{1}}{e^{at^{2}}e^{-2aRti}dt}\\&=-ie^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}e^{2aRti}dt}\end{align*}$$ 이므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}0&=-\int_{-R}^{R}{e^{-at^{2}}dt}+\int_{-R}^{R}{e^{-a(t^{2}+2b_{1}ti-b_{1}^{2})}dt}+ie^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}{0}{e^{at^{2}}e^{-2aRti}dt}-ie^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}e^{2aRti}dt}\\&=-\int_{-R}^{R}{e^{-at^{2}}dt}+\int_{-R}^{R}{e^{-a(t^{2}+2b_{1}ti-b_{1}^{2})}dt}+2e^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}\sin2aRt dt}\end{align*}$$ 이때 $$\left|2e^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}\sin2aRtdt}\right|\leq2e^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}dt},\,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty}{2e^{-aR^{2}}\int_{b_{1}}^{0}{e^{at^{2}}dt}}=0$$ 이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-at^{2}-2ab_{1}ti+ab_{1}^{2}}dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-at^{2}}dt}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$ $\displaystyle b_{1}=\frac{b}{2a}$이므로 $\displaystyle b_{1}^{2}=\frac{b^{2}}{4a}$이고 따라서 $b<0$일 때 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^{2}-ibx}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{b^{2}}{4a}}$$ 그러므로 모든 $a>0,\,b\in\mathbb{R}$에 대해 다음의 공식이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^{2}-ibx}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{b^{2}}{4a}}$$ 이제 $z\in\mathbb{C}_{+},\,b\in\mathbb{R}$에 대하여 다음의 공식이 성립함을 보이자. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zx^{2}-ibx}dx}=\left(\frac{\pi}{z}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{b^{2}}{4z}}$$ $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대하여 1에 의해 $$\int_{-\infty}^{\infty}{|e^{-zx^{2}-ibx}|dx}\leq\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\text{Re}z)x^{2}}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{\text{Re}z}}<\infty$$ 이므로 적분 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zx^{2}-ibx}dx}$는 존재한다. $$f(z)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zx^{2}-ibx}dx},\,g(z)=\left(\frac{\pi}{z}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{b^{2}}{4z}}\,(z\in\mathbb{C}_{+})$$ 라 하자. 그러면 $g(z)$의 분지 절단을 음의 실수축이라고 하면 $g(z)$는 $\mathbb{C}_{+}$에서 해석적이다. $f(z)$를 $\mathbb{C}_{+}$에서 해석적이고 $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 $h(z)=f(z)-g(z)$라 하자. 그러면 실수 $z>0$에 대하여 $h(z)=0$이므로 6에 의해 $h(z)=0$이고 따라서 모든 $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대하여 $f(z)=g(z)$가 성립한다.

그러므로 $f(z)$가 $\mathbb{C}_{+}$위에서 해석적임을 보이면 된다. 

$C:z(t)=x_{1}(t)+iy(t)\,(a\leq t\leq b)$를 $\mathbb{C}_{+}$위의 닫힌곡선, $\displaystyle M=\inf_{a\leq t\leq b}{x_{1}(t)}$라 하자. 그러면 $C$는 $\mathbb{C}_{+}$위에서 닫힌 곡선이므로 $M>0$이다. $$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{\left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\{x_{1}(t)+iy(t)\}x^{2}-ibx}dx}\right)z'(t)dt}$$ 이고 $$\begin{align*}&\int_{a}^{b}{\int_{-\infty}^{\infty}{|e^{-\{x_{1}(t)+iy(t)\}x^{2}-ibx}|\left|z'(t)\right|dx}dt}\\&\leq\int_{a}^{b}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x_{1}(t)x^{2}}\left|z'(t)\right|dx}dt}\\&\leq\int_{a}^{b}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-Mx^{2}}}\left|z'(t)\right|dxdt}\\&=\sqrt{\frac{\pi}{M}}\int_{a}^{b}{\left|z'(t)\right|dt}\\&=L\sqrt{\frac{\pi}{M}}<\infty\,\left(L=\int_{a}^{b}{|z'(t)|dt}\right)\end{align*}$$ 이며, $e^{-zx^{2}}$는 정함수 이므로 푸비니 정리(3)와 코시-구르사 정리(8)에 의해 $$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\int_{a}^{b}{\left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\{x_{1}(t)+iy(t)\}x^{2}-ibx}dx}\right)z'(t)dt}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ibx}\left(\int_{C}{e^{-zx^{2}}dz}\right)dx}\\&=0\end{align*}$$ 이다. 

$f(z)$가 $\mathbb{C}_{+}$에서 연속임을 보이자.

$z_{0}\in\mathbb{C}_{+}$, $\{z_{n}\}$을 $z_{0}$로 수렴하는 임의의 $\mathbb{C}_{+}$위에서의 수열이라고 하자. 즉, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{z_{n}}=z_{0}$ 

$N\in\mathbb{N}$을 선택해서 모든 $n>N$에 대해 $\displaystyle|z_{n}-z_{0}|<\frac{\text{Re}z_{0}}{2}$이라 하자. 그러면 모든 $n>N$에 대해 다음이 성립한다. $$|\text{Re}z_{n}-\text{Re}z_{0}|\leq|z-z_{0}|<\frac{\text{Re}z_{0}}{2},\,\frac{\text{Re}z_{0}}{2}<\text{Re}z_{n}$$ $\displaystyle m=\min\left\{\text{Re}z_{1},\,...,\,\text{Re}z_{N},\,\frac{\text{Re}z_{0}}{2}\right\}$라 하자. 그러면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $0<m\leq\text{Re}z_{n}$이고 따라서 다음이 성립하고 $$|e^{-z_{n}x^{2}}|=e^{-(\text{Re}z_{n})x^{2}}\leq e^{-mx^{2}}$$ 지배수렴정리에 의해 $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(z_{n})}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-z_{n}x^{2}-ibx}dx}}=\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{e^{-z_{n}x^{2}-ibx}}\right)dx}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-z_{0}x^{2}-ibx}dx}=f(z_{0})\end{align*}$$ 이다. 따라서 4에 의해 $f(z)$는 $z_{0}$에서 연속이고 모레라 정리에 의해 $f(z)$는 $\mathbb{C}_{+}$에서 해석적이다.

그러므로 모든 $z\in\mathbb{C}_{+},\,b\in\mathbb{R}$에 대하여 다음의 공식이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zx^{2}-ibx}dx}=\left(\frac{\pi}{z}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{b^{2}}{4z}}$$ 참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill 

[논문] AN IMPROPER INTEGRAL OF EXPONENTIAL TYPE FUNCTION USING COMPLEX LINE INTEGRALS, 이은선, 경기대학교 교육대학원