[펌글] 수학을 왜 배우는가(경상대학교 조열제 교수님 글)

[펌글] 수학을 왜 배우는가(경상대학교 조열제 교수님 글)

출처: http://cafe.daum.net/2005georgia/EE2Q/100

수학을 왜 배워야 하는가?

먼저, 수학의 어원(語源)부터 알아봅시다.

영어로 “mathematics(수학)”라는 단어는 그리스어 “mathesis”로부터 생겨났다고 전해집니다. 이 뜻은 “배움”이나 “정신 수양”을 뜻합니다.
한문에서 수학(數學)의 수(數)라는 단어는 “셀 수”라는 뜻도 있지만, 학문을 말할 때는 “사물의 이치나 도리”를 뜻합니다.

그래서 상대성이론을 발견한 프랑스의 유명한 수학자 포앙까레는 이렇게 말했습니다.
“수학은 마음을 경영하는 학문이다.”
정말 의미 있는 말이라 생각됩니다.

수업 중에 한 제자가 “선생님, 왜 수학을 배웁니까?” 질문을 했습니다.
유클레이데스 선생은 대답 대신에
“너는 실용성이나 바라는 더러운 심성을 가진 놈”이라 내뱉으면서,
동전 몇 푼 던져주며 그 제자를 내쫒아 버렸다는 유명한 일화가 있습니다.

생각건대, 수학공부가 그만큼 어렵기 때문에 많은 사람들이
“우리는 왜 수학을 공부해야 합니까?”
“수학을 왜 가르칩니까?”
“수학을 공부하면 우리는 어떤 것을 얻습니까?”라는
질문을 하는 것 같습니다.

실제로, 학생들과 많은 사람들이 수학을 가르치고 연구하는 수학자에게 이런 질문을 합니다. 그러나 수학을 공부하고 가르치는 우리는 이런 사람들에게 명확한 답을 주지 못해서 망설이기도 하고, 여러 가지 오해를 받기도 합니다.

물론, 수학을 연구하고 가르치는 수학자에게도 수학은 어려운 학문입니다. 그렇지만 수학자는 포기하지 않고 수학을 계속 연구하고 가르칩니다.
문제는 학교에서 수학을 배우는 학생들은 그렇지 않다는 점입니다.
사실은, 교실 현장에서 많은 학생들이 어려운 수학문제를 만나면, 답을 얻을 때까지 계속해서 풀려고 노력하지 않고, 도중에 그냥 포기해 버립니다.
이것이 학생과 수학자의 차이점이라 생각합니다.

수학선생님들은 학생들이 수학을 포기하지 않도록
“왜 수학을 공부해야 하는가?”
“수학을 왜 가르치는가?”
“수학은 실생활과 어떤 연관성이 있는가?”
등의 질문에 대해서 상세한 설명을 해 주어야 합니다.
그리고, 수학의 중요성을 잘 알도록 설명하여 학생들이 수학에 흥미를 갖도록 유도하여, 어려운 수학문제라도 잘 풀 수 있는 힘을 길러 주어야 합니다. 이것은 수학을 연구하고 가르치는 수학선생님들의 책임이자 의무라고 생각합니다.

어떤 의미로는 “수학을 왜 배웁니까?”라는 질문은 다음과 같은 질문과 다름없다고 생각합니다. 즉,
“인생이란 무엇입니까?”
“삶이란 무엇입니까?”
“행복이란 무엇입니까?”
이러한 질문에 우리는 원론적인 답은 줄 수 있겠지만, 본질적인 답을 줄 수 없습니다. 그래서 많은 학자들이 이 물음에 답을 구하기 위해 오늘도 끊임없이 노력하고 있습니다.

물론, 수학도 그렇습니다. “수학을 왜 공부합니까?” 등의 물음에 본질적인 답을 주기 위해서, 지금도 많은 수학자들이 노력하고 있습니다.

그럼, “수학을 왜 배우는지, 그리고 수학을 공부함으로써 우리의 마음과 생각은 과연 어떻게 변할까요?” 수학을 가르치고 연구하는 수학선생님들은 나름 대로 원론적이지만, 이 물음에 답을 구해서 수학을 공부하는 학생들과 수학에 관심을 갖고 있는 사람들에게 수학을 배우는 이유를 이해시켜 주어야 합니다.
학생들이 수학의 중요성을 모르고 수학을 단지 좋은 학교에 입학하기 위한 중요 도구과목으로만 여긴다면, 앞으로 수학의 발전과 이 사회 모든 분야, 즉, 이공계, 자연과학, 의학 및 약학, 공학, 생명공학, 인문 사회 및 경제학 분야, 예체능 분야 등에 미치는 영향을 생각할 때 큰 일이 아닐 수 없습니다.

필자는 이를 크게 우려하면서, 시골에서 농사짓는 일자무식한 친구도 알아들을 수 있도록 아주 쉬운 말로 “왜, 수학을 배우는가?”에 대해서 나름대로 몇 가지 답을 다음과 같이 정리하여 보았습니다.

1. 수학은 참과 거짓을 구별하는 힘을 길러 줍니다.
수학에서 다루는 문제는 참 아니면 거짓인 명제만 취급하기 때문입니다. “저 여자는 아름답다”라는 명제는 보는 사람에 따라서 예쁘게 보일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이런 명제는 수학에서 다루지 않습니다. 예를 들면, 시나 수필 등은 읽는 독자에 따라서 느낌이 다릅니다. 시인이 나 수필가의 주관에 따라 글을 쓰기 때문입니다. 그러니 정확한 답이 없습 니다. 그러나 수학문제는 어느 누가 풀어도 정확한 답은 한 가지입니다. 그러므로, 수학의 눈으로 엄밀하게 분석하면서 사물을 관찰하고 말과 글 을 읽으면, 그들의 참과 거짓을 정확하게 판별할 수 있는 힘이 생깁니다.

2. 수학은 말과 글의 논리성을 길러 줍니다.
유클리드의 기하와 같이 수학은 엄밀한 논리적 구조로 이루어져 있습니 다. 즉, 분석적이고 단계적으로 전제나 선행 명제로부터 후속 명제가 정당 하게 이끌어내어지고 있는 것입니다.
예를 들면, “A이면 B이고 B이면 C이다. 그러므로 A이면 C이다.” 증명과 정이 얼마나 깨끗합니까. 문제풀이 과정이 뒤죽박죽이 되면 정확한 답을 이끌어 낼 수 없습니다. 따라서 수학문제를 생각하며 풀다보면, 우리도 모 르는 사이에 사고의 논리성과 엄밀성이 생깁니다. 말을 할 때도 상대방에 게 자기의 뜻을 정확하게 전달하려면 간단명료하면서 논리 정연하게 말을 해야만 상대방이 나의 말을 잘 이해할 수 있습니다. 그러므로, 수학 없는 논술공부는 큰 효과가 없다고 생각합니다.

예를 들면, 쾨니히스베르크의 일곱 개의 다리 위를 거닐던 것을 생각해봅 시다. 보통 사람들은 기분 좋은 산책 정도로 기억할 것입니다. 그러나 수 학자 오일러는 거기서 논리를 찾아내어 새로운 수학의 한 분야를 개척할 수 있었습니다.

물론, 논리적으로 문제를 해결하는 과정에서 어떤 명제의 참과 거짓을 정 확하게 판단할 수 있는 힘도 자연적으로 길러진다고 생각합니다.

3. 수학은 사고의 집중력을 길러 줍니다.
어떤 일이나 공부의 성과는 집중력에 달려있다고 강조합니다. 집중력이란 하나로 모아진 사고의 힘일 뿐만 아니라, 자신의 의지에 따라 정신을 하나 로 모을 수 있는 힘을 말합니다.
수학문제를 풀 때 잡다한 생각을 하게 되면 정확한 답을 이끌어 낼 수 없습니다. 복잡한 수식 등을 계산할 때 약간이라도 정신집중을 하지 않으 면 정확한 답을 얻을 수 없습니다. 한 치의 오차라도 생기면 답은 엉터리 가 됩니다. 이렇게 복잡한 정리의 증명과정이나 많은 수학공식 등을 유도 하다 보면, 우리도 모르는 사이에 사고의 집중력이 저절로 생깁니다. 사고 의 집중력이 떨어지면 모든 과목의 학습효과가 반감됩니다. 요즘 초중등 학생들이 정신병원을 많이 찾는 이유가 정신집중력의 결핍 때문이라는 이 야기를 많이 들었습니다. 그들에게 수학을 체계적으로 가르치면, 집중력 향상에 아주 큰 효과가 있으리라 생각합니다.

4. 수학은 문제 해결력을 길러 줍니다.
이 세상을 살다 보면 여러 가지 어려운 문제에 부딪히게 됩니다. 어떤 사 건이 발생하면 우리는 어떻게 대처하여야 합니까? 먼저, 다음의 세 가지를 생각하여야 합니다. 첫째, “사건의 해결책이 있는가?” 존재성에 관한 것입 니다. 다음은 “어떻게 해결할 것인가?” 해결 방법에 관한 것입니다. 마지 막으로 “제시한 해결책이 바른가?” 해결한 것을 최종 검증하는 과정입니 다. 수학에서 어떤 문제를 해결하기 위해서는 이 세 가지 과정의 훈련을 해야 합니다. 이러한 과정을 사회의 여러 곳에서도 적용할 수 있습니다. 예를 들면, 회사를 운영하다 사업에 실패했을 때 이 세 가지 과정을 적용 해 보십시오. 그러면 무너진 회사를 다시 일으킬 수 있을지도 모릅니다.

물론, 사고의 집중력과 문제 해결력은 수학의 전유물이 아니라, 모든 학문 의 일반적인 특성이라고 생각합니다.

5. 수학은 창의력을 높여 줍니다.
창의력이란 “새로운 의견을 생각해 내는 힘”을 의미한다. 즉, 이미 알려져 있지 않은 참신한 아이디어나 또는 그러한 아이디어의 복합체를 생산해 내는 능력으로 정의합니다.
새로운 수학문제를 풀기 위해서 그 문제를 어떻게 풀어야 할 지 우리는 많은 생각을 하게 됩니다. 이런 저런 수학의 이론들을 총 동원해서 그 문 제를 풀려고 하지요. 이렇게 하다 보면, 자기도 모르는 사이에 그 문제를 해결하는 새로운 방법을 찾아내게 됩니다. 이런 새로운 아이디어나 방법들 을 찾아내는 반복 작업을 통해서 새로운 창의력이 자연스럽게 길러집니다. 이러한 창의력은 실생활에도 많이 응용됩니다. 어떤 어려움이 닥치면 그 문제를 해결할 수 있는 새로운 방법을 스스로 찾아냅니다.

제안한다면, 틈이 날 때는 어떤 주제를 정하여 논리적으로 생각하는 습관 을 가지는 것이 창의력을 높여 주는데 많은 도움이 됩니다.
예를 들면 운동선수들은 자신이 경기를 좀 더 잘하는 모습을 머릿속에 그 려보면, 기대감이 강화되고 실제 경기에서 더 잘하게 됩니다. 창의적인 노 력도 마찬가지입니다. 자신이 하는 일에서 창의적인 결과를 그려보고 기대 하는 사람들은 그렇지 않은 사람들보다 창의적인 결과를 얻어낼 가능성이 높다고 합니다.

6. 수학은 응용력을 길러 줍니다.
초등학교 학생이 구구단을 배울 때는 일단 외우고 봅니다. 과학 공부도 일 단 기본적인 사실과 원리를 배우고 주어진 문제를 푸는 것으로 출발하지 만, 사고의 폭이 좀 더 넓어지면 전에 배웠던 내용에 대한 이해가 깊어지 고 더불어 응용력도 생겨납니다.
수학의 응용은 아주 중요합니다. 수학의 많은 이론들을 사용해서 아주 어 려운 수학문제를 해결합니다. 적재적소에 수학이 어떻게 응용되는가는 문제를 해결하려는 노력 가운데 생겨나지요. 이런 작업을 우리는 응용력이 라 합니다. 또 수학은 물리, 화학, 생물, 지구과학, 공학, 생명공학, 인문사 회, 음악, 미술, 체육, 경제학, 경영학, 심리학 등 우리 사회의 많은 분야에 서 응용 됩니다. 특히, 자연현상을 설명하는 데 쓰이는 수학, 이것을 우리 는 응용 수학이라 합니다.

7. 수학은 일관성을 길러 줍니다.
모든 수학책을 보면 공리, 정의, 예제, 보조정리, 정리, 정리의 증명, 따름 정리 등으로 한 주제에 대한 이론들이 거의 일관성 있게 이루어져 있습니 다. 처음부터 정의, 즉 일종의 약속을 지키면서 체계적으로 일관성 있게 전개되어야 합니다. 이렇게 수학공부를 함으로써 어떤 일을 시작하면 도중 에 포기하지 않고 끝까지 밀고 나가는 일관성이 몸에 배이게 됩니다. 초지 일관이란 말, 즉 처음에 세운 뜻을 이루려고 흔들림 없이 끝까지 밀고 나 가야 된다는 뜻입니다. 이것이 어쩌면 수학의 힘일지도 모릅니다.

물론, 논리성과 일관성은 약간의 차이점이 있습니다.

8. 수학은 계통성을 길러 줍니다.
수학적 개념의 성장은 어떤 기초적인 내용을 기반으로 하여 그 기반위에 다른 내용을 더 첨가함으로써, 기초적인 내용과 새로운 내용을 일관성 있 게 이어나가면서 이루어집니다. 이러한 성장 과정을 거친다는 의미에서 수 학은 계통적이라 할 수 있습니다. 계통성은 수학 교육 과정의 구성에 핵심 적인 역할을 합니다. 즉, 계통성은 학습 내용의 순서를 정할 때 논리적 연 결성을 가지고, 학습이 단계적으로 이루어지도록 해 주는 것입니다.
잘 알려진 대로, 자연수, 정수, 유리수, 실수로의 확장은 바로 이러한 계통 성의 전형적인 예라고 할 수 있습니다.

수학은 여러 가지 관계나 문제를 해결하기 위해서 통일된 정의와 정리 등 을 이용하여 체계적으로 일관성 있게 전개하는 학문입니다. 따라서 우리가 일상생활을 할 때 부딪치는 많은 문제들을 통일된 원칙 밑에서 순서에 따 라서 해결할 수 있는 힘을 길러 줍니다.

9. 수학은 직관적인 통찰력을 길러 줍니다.
중등학교 수학책에 보면 기하학을 많이 다루고 있습니다. 자나 콤파스 등 을 이용하여 점, 직선, 원, 타원, 쌍곡선, 직사각형 등의 여러 가지 도형과 입체도형 등을 그려보며, 변의 비례, 여러 가지 도형의 넓이, 체적, 변의 길이 등을 측정할 수 있습니다. 이런 학습활동을 함으로써, 실제 일상생활 에서 접하는 여러 가지 물건의 크기, 부피, 길이 등을 추리해 낼 수 있습 니다. 수학의 증명 과정도 일종의 추리입니다.

경마의 예를 들며, 경마는 생리상 완전한 정보에 접할 수가 없다는 점을 감안하면, 결국은 추리를 해야 하는데, 추리에서 가장 중요한 것은 통찰력 입니다. 이것을 잘 활용하지 않고는 결코 경마에서 이기기가 쉽지 않습니 다. 경마는 단순한 계산만으로는 이기기가 힘듭니다. 경마에 이기기 위해 서는 정확한 계산과 함께 섬세한 추리력, 미묘한 통찰력과 영감, 경험 등 에서 오는 분별력이 잘 조화롭게 이루어지는 것이 중요합니다.

10. 수학은 결과를 예측 가능하게 합니다.
수학을 공부하는 과정을 보면 기초부터 한 단계씩 배워 나가며, 아무리 기 초적인 것이라도 고등수학을 공부하는 데 도움이 됩니다. 어느 정도의 수 준에 도달했을 때는 예측 가능한 수학의 여러 가지 문제들을 제시할 수 있습니다. 어떤 사업을 시작할 때도 수학적인 사고를 적용한다면 예측이 가능하여 성공 여부를 판단할 수 있는 힘이 생깁니다.
특히, 확률 및 통계학 등이 결과 예측에 많은 도움을 줍니다.

물론, 직관적인 통찰력과 예측 가능성은 같은 개념으로 쓰이지만, 이들의 중요성을 보다 더 강조하기 위해서 각각 나누어 생각해 보았으며, 이것도 수학만의 전유물은 아닙니다.

11. 수학은 우리의 마음과 생각을 바르게 합니다.
수학에서 다루는 모든 문제는 참이 아니면 거짓인 문제만을 다룹니다. 참 이면 왜 참인지를 증명해야하고 거짓이면 왜 거짓인지, 예를 들어서 설명 해야 합니다. 이런 학습활동을 계속하다 보면 사람의 마음은 저절로 정직 한 성품으로 바꾸어지지 않을 수 없습니다. 참인 것만 다루니 거짓말을 할 수가 없으며, 우유부단한 행동을 할 수가 없어집니다.

특히, 저에게는 이런 습관이 생겼습니다. 차를 주차할 때도 주차선과 평행 하게 주차해야 하고, 젓가락을 놓을 때도 평행하게 놓아야 합니다. 그 외 에도, 제가 하는 행동의 대부분은 다분히 수학적으로 생각하는 요소들이 많은 것 같습니다. 대부분 수학을 공부하면서 생긴 습관이라 생각합니다.

12. 수학은 세상의 아름다움을 설명하는 데 꼭 필요합니다.
수학을 공부하는 데는 일정한 규칙성, 조화성, 대칭성 및 비대칭성, 상대 성, 비례성, 위상적인 성질 등이 아주 중요한 요소들입니다. 자연 속에 살 고 있는 동물이나 식물 등은 모두 이런 성질이나 구조를 갖고 있습니다. 사람의 DNA 구조도 자세히 보면 위상구조로 되어 있으며, 고동, 해바라기 씨, 유명한 고대 궁궐, 비너스 상, 텔레비전 화면, 명암 등은 대부분 황 금비 또는 피보나치 수열로 이루어져 있다는 것을 알 수 있습니다. 미술의 원근법, 음악의 화성법 등도 수학으로 설명이 되며, 수학의 사용 없이는 아름다움을 창조해 낼 수가 없습니다. 이것은 아주 작은 예에 불과합니다.

러셀은 “수학은 최상의 아름다움을 지니고 있다. 가장 위대한 예술만이 보 여줄 수 있는 그런 아름다움을”이라 말했으며, 미타그-레플러는 “천재 수 학자와 천재 화가는 서로에게 영향을 미친다”고 말했습니다.

13. 수학은 우리가 살아가는데 꼭 필요한 언어입니다.
평행, 수직, 삼각형, 사각형, 육면체, 팔면체, 원, 타원 등의 개념은 우리의 일상생활에서 꼭 필요한 단어입니다. 우리는 수학을 몰라도 살아갈 수 있 다고 주장하지만, 실제로 이런 단어들을 모르면 우리는 사회에서 정상적인 사회 일원의 역할을 수행하기가 어려우며, 다른 사람들과의 의사소통도 원 활할 수 없습니다. 더구나, 수학의 언어는 국제통일어이기 때문에 어느 나라에서도 수학에 관한한 의사소통이 용이하기 때문에, 다른 학문 분야보 다 더 여러 가지 즐거움을 가질 수 있습니다.

14. 수학은 고정관념을 깨뜨리고 새로운 접근방법을 찾는 데 도움을 줍니다.
수학자들은 한 가지 문제에 대해 한 가지 풀이방법으로 만족하지 않습니 다. 학생들도 한 가지 문제에 대해 틀에 박힌 한 가지 문제풀이에 만족하 지 않고 고정관념을 깨뜨려 새로운 풀이방법을 찾으려고 노력합니다. 현대는 고정관념에서 벗어난 새로운 아이디어가 높은 가치를 창출하는 사 회입니다. 수학은 그러한 사회에 적합한 인재를 양성하는 데 아주 중요한 역할을 합니다.

“다리 구석구석 아무 문제가 없는지 잘 살펴보고 난 다음에야 다리를 건 너는 사람은 멀리 가지 못한다. 가끔은 위험을 무릅쓸 줄도 알아야 한다. 수학도 마찬가지다.” 호레이스 램이란 수학자가 말했습니다.

15. 수학은 마음을 경영하는 학문입니다.
서두에 언급했듯이, 영어로 mathematics(수학)이라는 단어는 그리스어의 mathesis에서 유래하였는데, 이는 “배움”이나 “정신수양”이라 했으며, 한 문에서 수(數)라는 단어는 "셀 수"라는 뜻도 있지만, 학문을 말할 때에는 “사물의 이치나 도리”라 했습니다. 요즈음 한국인들은 참을성이나 인내심 이 매우 부족합니다. 조금만 생각하면 해결할 수 있는 일들을 쉽게 포기 합니다. 생각하는 것을 귀찮다고 여깁니다. 깊이 생각하지 않고 즉흥적으 로 일을 처리합니다. 이것은 모두 수학적 훈련을 제대로 받지 않았기 때문 입니다. 비정상적인 사회에 살다보면 어렵고 힘든 일이 한없이 생기는데, 이러한 시련을 극복하는 극기 훈련이 바로 수학입니다.

16. 수학은 문화적인 안목을 길러줍니다.
이 말은 어떤 의미로는 수학의 응용력이라 해도 되겠습니다. 예를 들면, 요즘은 많은 사람들이 미술관이나 음악회 등에 갑니다. 왜 비싼 돈을 주면서 좋은 자리에서 그림과 음악 등을 감상하려 할까요? 가령 그림을 아주 가까운 곳에서 보면 종이 위에 그림물감을 아무렇게 뿌려놓은 것 같 이 보입니다. 아름다운 그림같이 보이지 않지요. 적당한 거리에서 보아야 그 그림의 진가를 알 수 있습니다. 이것은 우리가 선분의 비례관계, 원근 법이나 기하학 등을 배웠기 때문입니다. 음악도 마찬가지입니다.

특히, 르네상스 시대 화가들의 교과서인 ‘회화론’을 보면 “화가는 기하학을 모르면 그림을 제대로 그릴 수 없다”고 못을 박고 있지요. 또, 그리스 시 대의 미술을 보아도 “미술은 곧 수학이다”는 것을 확인할 수 있습니다.
이것은 미술의 주요 형식인, 조화, 균형, 통일성, 대칭성 등은 한결같이 수 학적 요소를 담고 있기 때문이지요. 극히 일부 예이지만, 눈으로 보고 귀 로 듣는 것, 모두를 수학적인 안목으로 감상하면 한층 더 즐겁습니다.

17. 수학은 모든 학문의 기초가 됩니다.
이 말은 위의 16항목 모두를 종합하여 요약한 말입니다. 수학은 오늘날 사회의 모든 분야에서 중요한 역할을 담당하고 있는 대표적인 학문 분야 중에 하나입니다. 자연과학, 공학, 산업, 기술 분야에서의 수학의 중요성은 말할 것도 없거니와 경제, 사회, 예술 등에서도 중요한 도구로 사용되고 있습니다. 최근에 심지어 심리학에서도 수학이 응용되고 있습니다. 즉, 수 학은 모든 학문의 기초가 된다는 말입니다.

오늘날 사회는 다양하게 급변하고 있으며 사회의 모든 분야가 눈부시게 발달하고 있습니다. 인간이 해야 할 일들이 줄어들고 있는 반면에 컴퓨터, 인공지능 로봇 등이 등장하여 인간이 할 일들을 대신하고 있습니다. 이러 한 획기적인 발전 이면에는 수학이란 학문이 자리 잡고 있습니다.

미국의 대통령도 연두 기자회견에서 수학의 중요성을 밝힌 바 있으며, 마 이크로 소프트 회사의 대표인 빌 게이츠도 미국이 세계를 지배하고 있는 것을 유지하려면 수학교육이 필수라고 말한 바 있습니다. 미국의 유명한 증권 시장인 월가를 70%이상 수학을 전공한 사람들이 장악하고 있다는 사실에 우리는 주목해야 합니다. 그 외에 많은 학자들이 수학의 중요성에 관한 글들을 최근에 언론매체를 통해서 밝힌 바 있습니다.

수학교육과 이공계 기피현상은 아주 밀접한 관계가 있다고 생각합니다. 수 학을 연구하고 가르치는 우리는 무거운 책임감을 갖고, 학생들이 수학의 중요성을 인식하고 수학에 많은 흥미를 갖도록 혼신의 노력을 다해야 합 니다. 이것은 수학의 발전 없이는 국가의 발전의 미래를 기대할 수 없기 때문입니다. 수학이 바로 국가 경쟁력입니다.

끝으로, 어느 수학자의 말을 하나 소개하고 이 글을 끝맺을까 합니다.

“내가 괴로울 때는 이 괴로움을 없애기 위해 수학을 공부했고, 내가 행복 해졌을 때는 이 행복을 유지하기 위해서 수학을 공부하였다.”