[수학교육론] 1. 수학교육의 기초(수학의 특성, 수학교육의 목적, 수리철학, 수학교육 근현대화 운동)

[수학교육론] 1. 수학교육의 기초(수학의 특성, 수학교육의 목적, 수리철학, 수학교육 근현대화 운동)

수학이라는 학문을 한 마디로 설명하는 것은 어렵다

수학은 인간 정신의 한 표현으로서 활동적인 의지, 세련된 추론, 심미적인 완벽을 추구하는 욕구를 반영한 것이다.(하략)

-리처드 쿠랑(Richard Courant)과 허버트 로빈스(Herbert Robbins)의 공저서 "What is mathematics?" 중에서

수학은 모든 유형의 형식적이고 필연적인 연역적 추론이다.-화이트헤드(Whitehead)

수학은 그 형식이 기호로 표현될 수 있는 모든 구조에 대한 연구이다.-블랙(Black)

수학은 어떤 특별한 종류의 사실의 총체라기보다는 사고활동이다.-니본(Kneebone)

수학은 과학처럼 준-경험적 이론이다.-라카토스(Lakatos)

위의 주장들을 종합하면 수학은 공간 또는 수가 함유하는 기본적인 개념들 속에 다양한 형태로 잠재되어 있는 명제적 결론들을 연역적으로 탐색해서 체계화해 내는 추상적인 학문이라고 할 수 있다. 

오늘날 학교교육에서 다루고 있는 수학의 기본적인 특성으로 실용성, 추상성, 형식성, 계통성, 직관성과 논리성, 일반성, 특수성 등이 있다.

실용성: 수학은 실생활의 문제를 해결하기 위해 발생하고 발달한 학문이고, 실생활이나 다른 학문 분야의 발전을 위해서만 수학이 존재하는 것은 아니다.

추상성: 수학에서 다루는 개념들은 추상화된 개념들임을 뜻한다. 어떤 구체적 집단에서 공통된 속성을 추출해 어떤 개념을 형성하는 것을 추사오하한다고 한다. 대표적인 예로 2차원, 3차원 벡터의 속성을 추상화해서 얻은 것이 벡터공간(선형공간)이다. 길이(추상화 해서 거리공간을 얻음), 넓이, 부피, 각, 속도, 시간 등도 그 실체가 없는 추상적인 개념이다.

형식성: 어떤 수학적 원리, 법칙의 성립은 공리, 정의, 증명, 정리의 형식을 거쳐 완성된다. 고대 수학은 기호나 문자를 이용하지 않아 수학을 기술하거나 읽기가 어려워 발전이 지연되었으나 17세기에 데카르트가 수학에 문자를 사용하면서부터 급격히 발전하기 시작했고, 현대수학은 세계 공통의 수학적 기호와 문자를 사용하고 있기 때문에 수학적 의사소통이 원활하다(수학의 형식성의 한 예).

계통성: 어떤 기초적인 내용을 기반으로 하여 그 기반 위에 다른 내용을 더 첨가함으로써 새로운 내용을 일관성 있게 이어나가는 것으로 수학적 개념의 확장과 관련된다. 수학은 계통성이 강하고, 계통성은 학습 내용의 순서를 정할 때 논리적 연결성을 가지고 학습이 단계적으로 이루어지게 한다.

직관성과 논리성: 어떤 성질이 성립할 것이라고 예측하는 것을 수학의 직관성이라고 하며, 그 예측이 수학적으로 참인지를 논리적인 규칙에 의해 입증하는 것을 수학적 논리성이라고 한다. 

*과학에서는 경험이나 관찰을 건거로 추정한 어떤 이론이 몇 번의 실험 또는 경험에 의해 참인 것으로 확인되면 그 이론을 성립하는 것으로 받아들이며 다음에 그 이론을 반박할 어떤 사례가 등장하면 그 사례를 반영해 수정한 이론을 받아들이게 된다. 반면에 수학에서 다루는 명제는 반드시 참 또는 거짓이어야 한다. 또한 경험이나 직관에 의해 어떤 명제가 참이라고 주장할 수 없다. 

수학은 논리성을 갖는 학문이여서 정당하고 합리적인 사고력을 함양하기 위한 수단이다.

일반성과 특수성: 일반성은 특정한 조건을 만족하는 범위에서 모든 경우에 대해 성립하는 특성이고, 특수성은 문제를 해결할 때 수학 공식에 구체적인 수치나 도형을 적용해 해결하는 특성이다.

다음은 수학교육의 목적이다. 

1. 정신도야성: 수학을 배우면 정신능력을 향상시킬 수 있다는 것이다. 

2. 실용성: 수학은 사회생활을 할 때, 과학, 공학, 의학, 경제학, 사회학 등 거의 모든 종류의 학문을 공부하는 데 도구의 역할을 한다.

3. 심미성: 기하학적 도형의 조화로운 구성과 증명의 간결, 명료함은 수학을 공부하지 않고 느껴볼 수 없는 절묘한 아름다움이다. 

4. 문화가치성: 수학은 인류가 오랜 세월을 거쳐 구축하고 사용하여 오늘의 문화가 있게 했기 때문에 그것을 계승하고 후손에게 전수할 가치가 있다. 

5. COMAP(실용수학을 위한 비영리단체)은 수학을 학습하는 목적을 실생활에서 주변의 상황을 이해하기 위해서, 미래의 상황을 예측하기 위해서, 예측된 미래를 통제하기 위해서라고 정의한다. 

수학적 지식을 발전시켜야 하는 다른 이유로는 수학이 시민정신을 계몽한다는 점이다. 

수리철학(mathematical philosophy)은 수학의 본질에 대해 생각하고 설명하는 철학의 한 분야로, 다음과 같은 과제들을 다룬다.

-수학적 지식의 기초는 무엇인가?

-수학적 진리의 본질은 무엇인가?

-무엇이 수학적 진리를 특정짓는가?

-무엇이 수학적 진리의 주장을 정당화하는가?

-수학적 진리는 왜 필연적인 진리인가?

수리철학은 대표적으로 절대주의(플라톤주의, 논리주의, 직관주의, 형식주의)와 상대주의(준-경험주의, 사회적 구성주의)로 구분한다.  

절대주의

절대주의 수리철학은 참이라고 인정한 공리, 정의, 연역적 증명에 의해 구성된 수학적 지식을 참이라고 한다. 이때 정의는 반드시 참인 것으로 전제되어있다.

플라톤주의: 수학의 대상과 구조는 인간과는 독립적으로 실존하는 것이며, 수학을 한다는 것은 이전부터 존재하는 수학적 대상들 사이의 관계를 발견하는 과정이다. 

이러한 플라톤주의는 수학적 객관성에 관한 문제에 대한 해답을 분명히 제시하나 다음의 약점이 있다.

1. 수학자들이 어떻게 플라톤적인 세계의 지식에 접할 수 있는지에 대한 적절한 설명을 할 수 없다.

2. 수학에 대해 내적(수학의 구조적, 계산적 측면)으로도 외적(형이상학적 실재로서 실생활에의 융요성, 과학, 인간활동, 문화와의 관계, 기원 등)으로도 적절한 설명을 할 수 없다.

고대 그리스로부터 현대에 이르기까지 수학사를 통해 세 번의 커다란 위기가 있었다.

1. 기원전 6세기 경에 같은 종류의 기하적 양들이 서로 비례하지 않는다는 위기가 있었고, 이는 에우독소스가 비례론을 정의함으로써 해결됬고, 이 때부터 공리와 공준을 생각하기 시작했다.

2. 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 발견한 후 나타난 모호한 무한소법으로 미적분을 활용했고, 이는 코시가 정확한 극한법으로 바꿈으로서 해결됬다.

3. 칸토어는 집합론을 발표한 후 "임의의 초한수(무한집합의 크기를 나타내는 수)에 대해 항상 더 큰 초한수가 존재함으로서 최대초한수가 존재하지 않는다"는 사실을 증명했다. 그런데 모든 집합을 원소로 갖는 집합을 생각한다면 이 집합보다 더 많은 원소를 갖는 집합을 생각할 수 없고, 이 역설이 나타난 후 집합에 관한 많은 역설들이 등장해서 이를 해결하려는 시도의 결과로 수리철학에 대한 관심을 갖게 되어 20세기 초에 논리주의, 직관주의, 형식주의가 나타났다. 

논리주의: 수학의 무모순성을 확립하기 위해 수학을 논리학의 한 분야로 보는 것이다.

직관주의: 한 객체를 이해하고 나서 하나 더, 그러고 나서 하나 더 하는 식으로 끝없이 이해하게 하는 원시적인 직관이 수학의 기초에 존재한다. 직관주의자는 보편적으로 받아들이는 배중률(어떤 명제와 그 명제의 부정 가운데 하나는 반드시 참이라는 법칙)을 부정한다. 

형식주의: 수학은 구체적인 내용이 전혀 없고 단지 이상적인 기호로 된 원소만을 포함하고 있으며 수학의 무모순성을 입증하는 것이 형식주의자의 궁극적인 목적으로 힐베르트에 의해 창시되었다.

상대주의

경험주의는 수학의 진리가 경험적 일반화라고 소개하면서 다음의 두 가지 논제를 주장한다.

(i) 수학의 여러 개념은 경험적인 기원을 갖고 있다.

(ii) 수학의 진리들은 물리적 세계의 관찰로부터 파생된 경험적인 타당성을 갖는다. 

(i)은 반대할 수 없으나 (ii)는 다음의 이유에서 부정된다.

1. 대부분의 수학적 지식은 경험적 근거와는 반대로 이론적 근거에 의해 인정된다.

2. 수학은 매우 추상적이여서 수학의 많은 개념들의 기원은 물리적 세계의 관찰에 있는 것이 아닌 이전에 형성된 개념들에 의존하고 따라서 대부분 수학적 개념들이 진실은 외부세계의 관찰로부터 유도된다고 말할 수 없다.

하지만 라카토스는 이러한 경험주의를 수학 형성에 접목시켜 준0경험주의를 수리철학으로 개발했다.

준-경험주의: 수학의 실제성을 강조하는 수리철학의 새로운 한 분야로 다음의 특징들을 갖는다.

1. 준-경험주의에서 수학에서의 절대적 확실성을 위한 기반을 찾는 것은 거부되고, 수학적 지식은 오류가능하며, 교정할 수 있는 것이고, 확고한 기반이 없는 것으로 인식된다.(예: 집합론의 발생으로 인한 역설) 

2. 수학은 가설적 연역이다. 우리가 알고 있는 수학적 정리는 언제나 오류가능한 것이고, 그것이 성립하려면 그 앞단계가 성립해야 하며, 이렇게 연역적으로 거슬러 올라가면 참이라고 인정해야 하는 전제에 도달한다. 그러나 이 전제 또한 수학적 성질로서는 참이나 절대적인 참일 수는 없다. 

3. 역사가 중심이다. 수학의 역사는 수학적 지식의 진화의 역사이기 때문에 수리철학은 수학의 역사와 떨어질 수 없는 것이다. 

4. 비형식적 수학의 중요성이 강조된다.  비형식적 수학은 실행과 산물의 양 측면 모두에서 가장 중요하다.

5. 지식 창조의 이론이 포함되어 있다. 수리철학의 주요 관심은 수학적 발견의 논리 또는 발견술이고, 이것은 수학의 자율적인 변증법과 수학적 지식의 발생 장치(mechanism)의 기초를 이룬다.

준-경험주의에 따르면 수학적 발견 또는 비형식적 수학적 이론의 성장 패턴은 다음의 단계를 따른다.

(1) 원시적 추측

(2) 증명: 개략적인 사고실험 또는 추론, 원래의 추측을 부분추측이나 보조정리로 분해하기

(3) 전면적 반례 제기

(4) 증명 재점검: 포괄적 반례가 국소적 반례가 된다. 원래의 추측이 개선되어 새로운 추측이 된다. 다음은 반례를 반영해서 원래의 명제를 수정하는 방법이다.   

-원래의 명제가 틀린 것이므로 명제를 기각한다.

-예외배제법: 반례로 등장한 것을 문제의 조건에서 배제한 명제를 만든다.

-괴물배제법: 반례에 해당하는 것을 괴물로 보고 이를 제거하는 방법이다.

-보조정리합체법: 반례의 원인이 되는 부분추측을 찾아 그것을 원래의 추측에 합체시켜 명제를 수정한다. 

준-경험주의는 수학적 지식의 본질과 그 발생 및 정당화에 대한 부분적 설명을 제시한다. 그러나 다음의 관점에서 비판받는다.

1. 수학의 확실성에 대한 설명이 없고, 연역적 논리의 확실성에 대한 설명이 없다.

2. 라카토스는 수학 대상의 본질 또는 그들의 기원에 대해서 설명을 하지 않았고, 또한 플라토니즘의 취약성에 대해서 지적한 바가 없었다.

3. 다른 영역의 응용성에 대한 설명이 없다.

4. 라카토스는 수학의 역사를 자기철학의 중심으로 끌어들인 정당성에 대한 충분한 설명을 하지 못했다.

사회적 구성주의

최근의 수학교육은 철학적 근거를 구성주의(constructivism)에서 찾고있다. 구성주의에 의한 지식의 성장은 학습자가 지식을 외부로부터 수용하여 습득하는 것이 아닌 활발한 내적 인지적 활동을 통해 스스로 구성하는 것이다. 

사회적 구성주의(social constructivism)는 수학을 사회적 구성체로 보고, 인습주의에 의지해 인간의 언어, 규칙, 합의가 수학의 참을 확립하고 정당화하는 핵심적인 역할을 한다는 견해를 받아들인다. 또한 준-경험주의가 취하고 있는 오류가능성의 인식론을 받아들이며 수학적 지식과 개념은 발달하고 변화한다는 견해를 받아들인다. 

다음은 수학적 지식을 사회적 구성체로 기술하고 이 이름을 붙이는 배경이다.    

1. 수학적 지식의 기초는 언어적 지식과 인습의 규칙이며, 언어는 사회적 구성물이다.

2. 개인의 주관적인 수학적 지식을 발표한 후에, 객관적인 수학적 지식으로 받아들이게 하기 위해서는 개인 사이의 사회적 교류가 필요하다.

3. 객관성은 사회적인 것이다. 

사회적 구성주의는 수학적 지식의 정당화보다 발생에 초점을 두고 있고, 지식의 창조에 대해 다음을 가정한다.

1. 개인은 주관적인 수학적 지식을 가지고 있다.

2. 발표는 주관적 지식을 객관적 지식이 되게 하는데 필요하다(충분하지는 않다).

3. 라카토스의 발견술을 거쳐 발표된 지식은 객관적인 지식이 된다.

4. 이 발견술은 객관적인 규범에 의존한다.

5. 공표된 수학지식을 비판하기 위한 객관적 준거는 수학뿐만 아니라 언어의 객관적 지식에 근거한다.

6. 주관적인 수학 지식은 주로 내면화되고 재구성된 객관적 지식이다. 

7. 개인의 기여는 사회적 지식을 증가시키거나, 재구성되거나 재생산할 수 있다. 

다음은 사회적 구성주의의 문제점이다.

1. 객관성을 사회적 또는 사회적으로 받아들여진 것과 동일시하는 것이다.

2. 사회적 구성주의를 수학의 사회학적 또는 다른 경험적 설명과 거의 동일시하는 문제가 있다. 

수학교육 근대화 운동

페리(Perry)는 유클리드 기하를 학교교육에서 배척해야 한다고 주장하고, 다음의 내용으로 강연을 했다.

-실험과 실측을 중시한다.

-계산에 로그를 사용한다.

-모눈종이를 사용한다.

-대수공식을 이용하는 지식과 능력을 기른다.

-미적분을 조기에 도입한다.

-수학의 실용성을 중시한다.

이 강연은 보수적 수학자들의 비판을 받았으나 초등 기하학 교과서에 유클리드 기하학이 제거되었고, 세계적 수학교육 근대화 운동의 원동력이 되었다.

무어(Moore)는 '수학의 기초'라는 강연을 통해 페리의 주장을 지지하면서 다음을 주장했다.

-수학의 각 영역을 통합적으로 지도한다.

-대수, 기하, 물리, 실생활을 통합하여 다룬다.

-실험실법 교수방법을 중시한다.

-이론과 실천을 융합한다.

-교재를 개선한다.

-교사 교육을 강화한다.

이 무렵 듀이의 실용주의와 경험주의 교육이론 및 아동의 활동을 중시하는 진보주의 교육이론이 성행했다.

클라인(Klein)은 메란에서 개최된 회의에서 메란 교수요목을 발표하고, 이 과정에서 강조된 사항은 다음과 같다.

-학생의 사고가 자연적 발달에 적응하도록 교재를 선택하고 배열한다.

-형식도야성과 더불어 실용성을 중시한다.

-수학의 각 분과를 융합하고 타 학과와의 관계를 밀접하게 한다.

-함수적 사고를 함양한다.

-공간 관찰력을 함양한다.

근대화 운동은 실존의 양 또는 공간에 눈을 돌려 학습의욕과 흥미를 높이고 실용적, 심리적 원칙을 우위에 두었으나 논리적 원칙을 깊이 고려하지 않고 오히려 논리를 불신하는 경향을 초래했으며, 1차 세계대전으로 인해 퇴색되었다.

수학교육 현대화 운동

1975년 소련에서 스푸트니크 1호를 성공적으로 쏘아올리자 미국을 포함한 자유진영 국가들이 우주 정복에 앞장서려고 했고, 이에 수학교육 현대화 운동이 세계적으로 확산되었다. 다음은 현대화 운동의 공통적인 특징이다.

1. 현대수학의 내용과 방법을 조기에 과감히 도입한다. 집합, 함수, 확률, 대수적 개념 등과 이와 관련된 용어, 기호 등을 과거에 비해 일찍 도입한다. 특히 집합 개념을 초, 중등학교 수학에서 강조해 다룬다.

2. 대수적 구조를 강조한다. 다양한 수학적 개념을 개별적으로 다루던 과거 방식을 지양하고 군, 환, 체 등의 현대수학의 개념을 활용해 수학적 개념을 추상적이고 통합적으로 다룬다.

3. 논리적 엄밀성을 강조한다. 학생들의 발달 단계에 적절한 수준에서 가능한 논리적 엄밀성을 확보하고 개념을 엄밀하게 규정한다.

4. 현대수학으로의 접근을 위해 전통적인 교재를 정비한다. 그 결과 유클리드 기하가 삭제되었다.

5. 수학교육, 교육학, 심리학 연구 성과를 토대로 새로운 지도법을 도입한다.

브루너의 가설인 '어떤 교과든지 지적으로 올바른 형식으로 표현하면 어떤 발달 단계에 있는 어떤 아동에게도 효과적으로 가르칠 수 있다'는 수학교육 현대화를 추진하는 자들의 큰 지지를 받았고, 현대화 운동이 세계적으로 파급되는데 결정적인 역할을 했다.

하지만 클라인(Kline)과 폴리아(Polya)는 수학교육 현대화 운동을 다음에 근거해서 비판했다.

1. 학교 수학은 모든 학생을 위한 것인데 장래 수학자가 될 사람만을 대상으로 하고 있다.

2. 추상적인 개념에 미숙한 자에게 성급히 도입해서는 안된다.

3. 연역적 추론만이 수학적 사고는 아니다. 귀납적 추론도 중시해야 한다.

4. 수학과 다른 과학과의 관련도 중시해야 한다. 

수학교육 현대화 운동은 현대수학을 조기에 지도하려는 의도가 있었으나 간단한 생활문제 해결을 위한 계산능력이 운동이 일어나기 이전에 비해 떨어지자 1970년대에 '기본으로 돌아가기 운동(Back to basics)'을 맞이하게 되었다. 

기본으로 돌아가기 운동은 현대화 운동을 비판을 수용하고, 학생의 인지능력을 고려해 계산 기능과 문제해결을 중시하는 방향으로 가자는 것이었다. 그러나 우수한 학생들의 학력이 저하되고 응용문제 해결력이 저하되는 결과를 초래했다. 

1980년대 미국의 수학교사 모임인 NCTM은 다음과 같이 학교수학을 위한 8개의 의제를 발표했다.

(1) 문제해결의 강조

(2) 계산 기능보다 폭넓은 기본 기능의 강조

(3) 컴퓨터와 계산기를 이용한 수학교육

(4) 효과와 효율을 동시에 고려하는 엄격한 기준 설정

(5) 다양하고 폭넓은 평가 방법의 적용

(6) 학생의 선택권이 다양한 유연한 교육과정의 구성

(7) 수학교사의 전문성 제고

(8) 수학교육을 위한 공공지원의 확대

이 제안의 핵심은 1980년대의 학교수학은 문제해결을 중심으로 이루어져야 한다는 것인데, 이때 제안된 수학교육에서의 문제해결의 강조는 오늘날까지도 광범위한 지지를 받고 있다. 

참고자료: 

수학교육학 정론, 강옥기 외 4인, 경문사

수학교육학 신론, 황혜정 외 5인, 문음사