[수학교육론] 3. 수학 문제해결

[수학교육론] 3. 수학 문제해결

문제해결에 대해 살펴보기 위해서는 문제(problem)의 의미가 무엇인지 알 필요가 있다. 수학 교과서에는 문제(exercise)라는 용어가 많이 사용되고, 보기(example)나 예제(example)에 이어 등장한다. 

수학 교과서에서의 문제(exercise)는 문제해결에서의 문제(problem)의 개념과는 다르다. 

예제는 앞에서 설명한 수학적 개념을 적용하는 방법을 교사가 설명하기 위한 대표적인 과제이고, 예제 다음으로 나오는 문제(exercise)는 본문의 설명이나 예제에서 교사가 보여준 방법을 학생들이 스스로 적용해 해결하는 과제이다. 반면 문제해결에서 의미하는 문제(problem)는 학습자가 해결해야 할 과제로서 처음에는 답이나 풀이방법을 알 수 없으나 학습자에게 도전감을 불러일으켜서 궁극적으로 스스로 해결할 수 있는 과제이다. 

찰스(Charles)와 레스터(Lester)는 문제해결 단계와 활용정도에 따라 문제의 유형을 다음과 같이 6가지로 분류했다.

1. 반복 연습문제: 알고리즘을 사용한 반복 연습의 기회를 주는 문제, 계산력 신장에 도움이 된다.

2. 간단한 적용문제: 문장제를 수식으로 번안하는 것이 필요하나 하나의 연산을 포함하는 일단계 문제이다.

3. 복잡한 적용문제: 문제 장면을 수식으로 번안하여 해를 구할 때 2개 이상의 연산이 요구되는 문장제(다단계) 문제이다.

4. 과정문제: 단계적으로 사고하는 과정이 중시된 문제로 몇 개의 연산을 이용하는게 아닌 구체적 해결 전략을 이용해야 한다.

5. 응용문제: 수학적 지식과 사고력을 활용할 기회를 주는 문제로서 일상생활 문제 장면 해결에서 수학의 가치와 유용성을 느끼게 한다.

6. 퍼즐문제: 오락적인 문제이나 사고의 유연성이 중시되며 교육적 게임도 이 문제의 유형에 포함된다.

보편적으로 문제는 정형문제(routine problem), 비정형문제(non-routine problem), 실생활문제(real-life problem)로 분류한다.  

-정형문제: 해결 방법이 정해져 있는 문제로서 교과서에서 주로 다루기 때문에 교과서형 문제라고도 한다.

-비정형문제: 문제의 해결방법이 정해져 있지 않거나 문제의 답을 구하는 방법이 다양한 열린문제이다.

-실생활문제: 실생활에서 만들어진 문제로 다루는 주요 소재가 학생의 실생활에서 얻어지는 것으로 그 해결방안은 정형, 비정형이나 대부분이 비정형이다.

1930년대 전통적 지식 교육에 대한 비판이 제기되면서 듀이는 실제적인 문제해결 교육을 강조하며 반성적 사고를 통한 합리적인 탐구 과정과 문제해결과정을 중시했다. 1960년대 수학교육 현대화 운동과 1970년대의 기본으로 돌아가기 운동 이후 문제해결에 대한 구체적인 방법이 고려되기 시작하며 폴리아의 문제해결에 대한 논의가 부각되었다.  

1980년대 NCTM(미국 수학교사 모임)은 "문제해결은 모든 수준의 수학적인 교수, 학습 확동의 중심이 되어야 한다"고 권고한 이후 현대적 의미의 문제해결 학습지도가 세계적인 주목을 받고 연구되기 시작했다. 

우리나라의 경우 1950년대 수학교육은 실생활 중심의 문제해결이 강조되었으나 수학의 계통성이 경시되었고, 1960년대와 1970년대의 문제해결은 문장제와 같은 의미로, 1980년대 이후의 수학교육은 현대적 의미의 문제해결을 강조하고 있다. 

다음은 2007년 개정 수학과 교육과정의 교수, 학습방법에서 문제해결력을 신장시키기 위해 유의할 사항 5가지이다.

(1) 문제해결은 전 영역에서 지속적으로 지도한다.

(2) 학생 스스로 문제 상황을 탐색하고 수학적 지식과 사고 방법을 토대로 문제해결 방법을 적절히 활용하여 문제를 해결하게 한다.

(3) 학생의 경험과 욕구를 바탕으로 문제를 창의적으로 해결할 수 있게 한다.

(4) 문제해결의 결과 뿐만 아니라 문제해결 방법과 과정, 문제를 만들어보는 활동도 중시한다.

(5) 여러 가지 현상에서 파악된 문제를 해결하면서 수학적 개념, 원리, 법칙을 탐구하고 이를 일반화하게 한다.

현대적 의미의 문제해결은 이전보다 넓은 의미를 가진다. 전통적으로 사용한 문제해결의 의미 뿐만 아니라 계산기나 컴퓨터 등 다양한 자료나 방법을 사용해 수학적 지식이나 사고를 요하는 문제를 해결하는 것을 모두 포함하는 것으로서 이미 학습한 지식을 익히고 응용하는 연습문제를 푸는 것과는 의미가 다르다. 

문제해결 학습지도의 목적은 학습자로 하여금 주어진 문제를 해결하는 능력을 기르게 할 뿐만 아니라 주어진 상황에서 스스로 문제를 만들고 해결하는 능력을 키우게 하며, 문제해결을 통해 수학적 사고력, 창의적 사고력을 개발하고 협동해 문제해결능력을 육성하는 것이다.

다음은 수학교육에서 문제해결의 중요성을 강조하는 근거이다.

1. 학생들에게 문제해결을 지도하는 것은 학생들을 더욱 분석적으로 판단할 수 있게 해 주기 때문이다.

2. 수학 학습의 본질은 주어진 상황에서 수학적인 문제를 구성하고 이를 해결함으로써 실세계에 관련된 문제를 해결하는 능력을 신장하고, 새로운 수학을 창조하는 능력을 기르는 데 있기 때문이다. 

숀펠드(Schoenfeld)는 수학교육의 근본적인 목표가 수학적 사고를 훈련시키는 것이고, 이를 위한 수학적 문제해결을 강조했다. 수학적 문제해결 활동을 설명하기 위해서는 문제해결 행동과 관련된 서로 상호 작용하는 네 가지 요소인 자원(resource), 발견술(heuristics), 통제(control), 신념체계(belief system)를 모두 고려해야 한다고 주장했다.

자원: 특정한 수학적 상황에서 개인이 발휘할 수 있는 지식의 본체로, 개인이 가지고 있는 사실적, 절차적, 명제적 지식이다.

발견술: 비정형적이거나 익숙하지 않은 문제를 효과적으로 해결하기 위한 전략과 기술이다. 

통제: 문제해결을 시도하는 동안 자원과 발견수르이 선택과 실행에 관한 전반적인 결정 능력이다. 자원이나 발견술을 언제, 어떻게, 적절하게 사용하는지를 선택하고 이용하는지에 대한 결정 능력인 통제는 문제해결에서 중요한 역할을 한다.

신념체계: 개인의 '수학관'으로, 수학과 수학적 과제에 접근하는 가치관 또는 선입관이다.    

폴리아는 수학교육은 수학적 사고(수학을 하는 정신적 활동의 교육)라 보고, 수학적 사고의 교육에 유용한 연구 결과를 많이 발표했다. 

폴리아의 문제해결 교육론의 핵심은 수학적 발견술에 있다. 발견술은 앞에서 언급했지만 비정형적이거나 익숙하지 않은 문제를 효과적으로 해결하기 위한 전략과 기술이다. 

발견술에는 분석법과 종합법이 있다.

분석법: 구하거나 증명하고자 하는 것을 이미 구하거나 증명한 것처럼 가정하고 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하고, 다시 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하기를 계속해, 이미 알고 있는 명제에 도달하는 과정(풀이 계획을 발견하는 과정).

종합법: 분석의 과정을 거꾸로 하여 분석에서 마지막에 도달한 지점, 곧 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 명제로부터 출발해 분석 과정을 거꾸로 되밟아 감으로써, 마지막에 요구에 명제에 도달하는 과정(그 계획을 실행하는 과정).

예: 마름모 ABCD의 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분 함을 증명하시오

분석법: 사각형 ABCD의 두 대각선 \(\overline{\text{AC}},\,\overline{\text{BD}}\)가 서로 수직이등분한다고 가정하자. 즉 \(\overline{\text{AC}}\perp\overline{\text{BD}}\)이고 \(\overline{\text{AC}}\), \(\overline{\text{BD}}\)가 서로 이등분한다고 가정하자. 

사각형 ABCD가 \(\overline{\text{AC}}\perp\overline{\text{BD}}\)이고 \(\overline{\text{AC}},\,\overline{\text{BC}}\)가 서로를 이등분하기 위해서는 \(\overline{\text{AC}}\)가 \(\angle\text{A}\)의 이등분선, \(\overline{\text{BC}}\)가 \(\angle\text{B}\)의 이등분선이 되어야 한다. 

그런데 \(\overline{\text{AC}}\)가 \(\angle\text{A}\)의 이등분선, 즉 \(\angle\text{BAC}=\angle\text{DAC}\)가 되기 위해서는 두 삼각형 ABC와 ADC가 합동이어야 한다.

\(\triangle\text{ABC}\equiv\triangle\text{ADC}\)가 되기 위해서는 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AD}}\), \(\overline{\text{BC}}=\overline{\text{DC}}\)이고 \(\overline{\text{AC}}\)가 공통변이어야 한다.

같은 방법으로 \(\overline{\text{BD}}\)가 \(\angle\text{B}\)의 이등분선이 되기 위해서는 \(\overline{\text{BA}}=\overline{\text{BC}}\), \(\overline{\text{AD}}=\overline{\text{CD}}\)이고 \(\overline{\text{BD}}\)가 공통변이어야 한다. 

이렇게 되기 위해서는 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AD}}=\overline{\text{BC}}=\overline{\text{CD}}\)(즉, 사각형 ABCD가 마름모)이어야 한다. 

종합법: \(\triangle\text{ABC}\)와 \(\triangle\text{ADC}\)에서 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AD}}\)(가정), \(\overline{\text{BC}}=\overline{\text{DC}}\)(가정), \(\overline{\text{AC}}\)는 공통이므로 \(\triangle\text{ABC}\equiv\triangle\text{ADC}\)(SSS합동)이고 \(\angle\text{BAC}=\angle\text{DAC}\)

따라서 \(\overline{\text{AC}}\)는 이등변삼각형 ABD의 꼭지각 \(\angle\text{A}\) 의 이등분선이 되어 밑변 \(\overline{\text{BD}}\)를 수직이등분한다. 즉 \(\overline{\text{AC}}\perp\overline{\text{BD}}\)이다. 

같은 방법으로 \(\overline{\text{BD}}\)는 이등변삼각형 ABC의 밑변 \(\overline{\text{AC}}\)를 수직이등분한다. 그러므로 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분한다.

데카르트는 모든 문제를 해결할 수 있는 보편적 방법을 찾는 시도를 했고, 사고의 패턴을 다음의 세 단계로 나누어 모든 문제해결에 이를 이용하려고 했다.

1. 모든 문제는 수학문제로 환원한다(바꾼다).

2. 모든 수학문제는 대수문제로 환원한다.

3. 모든 대수문제는 한 방정식의 풀이로 환원한다.    

폴리아는 자신의 저서 '어떻게 문제를 풀 것인가(How to solve it)'에서 수학 지도는 알려진 수학을 가르치기 보다 학생 스스로가 수학을 발견하고 창조하는 방법(발견술)을 가르쳐야 한다고 주장했다. 

폴리아는 "학습의 최선의 길은 스스로 발견해 내는 것"이라고 주장했다. 그러므로 교사의 역할은 학생 스스로 수학적 활동을 하도록 돕는 것이다. 또한 수학교육의 주요 목적이 문제해결능력의 개발에 있다고 보고, 이를 위해서 사고활동을 다음의 네 단계로 구분했다. 

1. 문제를 이해한다. 

2. 문제해결을 위한 계획을 수립한다.

3. 계획을 실행한다.

4. 반성을 한다.      

문제해결 전략

다음은 전형적으로 사용되는 문제해결 전략이다. 

1. 그림 그리기

일차방정식 \(3x+12=5x+6\)을 다음과 같이 그림을 그려 해결할 수 있다.

\(2x=6\)이므로 \(x=3\)이다.

2. 표 만들기

철수가 받은 전자우편의 10%는 '여행'이라는 단어를 포함한다. '여행'을 포함한 전자우편의 50%가 광고이고, '여행'을 포함하지 않은 전자우편의 20%가 광고이다. 철수가 받은 한 전자우편이 광고일 대, 이 전자우편이 '여행'을 포함할 확률은(2010학년도 수능 수리 가형 7번)

이 문제에서 전체 전자우편의 수를 \(\alpha\)라고 하면, 다음과 같이 표를 작성할 수 있다.

	광고 전자우편	광고가 아닌 전자우편	계
'여행'이 포함됨	\(0.1\alpha\times0.5(=0.05\alpha)\)	\(0.1\alpha-0.1\alpha\times0.5(=0.05\alpha)\)	\(0.1\alpha\)
'여행'이 포함되지 않음	\((\alpha-0.1\alpha)\times0.2(=0.18\alpha)\)	\((\alpha-0.1\alpha)-(\alpha-0.1\alpha)\times0.2(=0.72\alpha)\)	\(\alpha-0.1\alpha(=0.9\alpha)\)
계	\(0.23\alpha\)	\(0.77\alpha\)	\(\alpha\)

문제에서 "철수가 받은 한 전자우편이 광고일 때, 이 전자우편이 '여행'을 포함할 확률"을 묻고 있다. 광고 전자우편의 개수는 \(0.23\alpha\)이고, '여행'을 포함하는 광고 전자우편의 개수는 \(0.05\alpha\)이므로 따라서 문제의 답은 다음과 같다.$$\frac{0.05\alpha}{0.23\alpha}=\frac{5}{23}$$3. 식 세우기

식을 세운다는 것은 문장으로 된 조건을 수학적 기호를 사용하여 표현하는 것이다. 관습적으로 미지수는 \(x,\,y,\,z,\,...\)로, 상수는 \(a,\,b,\,c,\,...\)로 나타낸다. 또한 원주율은 \(\pi\)로, 미분이나 적분을 다룰 때는 모든 사람이 공통으로 사용하는 기호를 사용한다. 

어느 제과점에서는 다음과 같은 방법으로 빵의 가격을 실질적으로 인상한다.

빵의 개당 가격은 그대로 유지하고, 무게를 그 당시 무게에서 10% 줄인다.

이 방법을 \(n\)번 시행하면 빵의 단위 무게당 가격이 처음의 1.5배 이상이 된다. \(n\)의 최솟값은?(단, \(\log2=0.3010,\,\log3=0.4771\)로 계산한다.)

빵의 단위 무게당 가격을 \(w\)라고 하자. (\(w\)의 단위는 \(\displaystyle\frac{\text{가격}}{\text{무게}}\)이고,) 문제의 방법을

1번 시행하면 처음 무게의 90%이므로 \(\displaystyle\frac{w}{0.9}=w(0.9)^{-1}\)이다.

2번 시행하면 1번 시행한 결과의 90%이므로 \(\displaystyle\frac{w(0.9)^{-1}}{0.9}=w(0.9)^{-2}\)이다. 

...

\(n\)번 시행하면 \(w(0.9)^{-n}\)이므로 \(w(0.9)^{-n}\geq1.5w\)인 \(n\)을 구하면 된다.

위 부등식의 양변을 \(w\)로 나눈 후 로그를 취하면$$\begin{align*}&(-n)\log0.9\geq\log1.5\\&-n(2\log3-1)\geq(\log3-\log2)\\&0.0458n\geq0.1761\end{align*}$$이고 \(\displaystyle n\geq\frac{0.1761}{0.0458}=3.08....\)이므로 따라서 \(n\)의 최솟값은 4이다.

4. 예상과 확인     

예상한 결과는 참일 수도 거짓일 수도 있다. 어떤 종류의 예상은 진지하게 검토할 필요가 있다. 많은 예상들은 거짓으로 판명나나 더욱 좋은 예상을 하는 데에 유용할 수 있다.

둘레의 길이가 주어진 모든 사각형 중 그 넓이가 최대인 사각형은?

미지의 것은 사각형, 주어진 자료는 둘레의 길이가 주어진 사각형, 조건은 둘레의 길이가 같은데 넓이가 최대이어야 한다. 

가장 단순한 예상을 하자면 "둘레가 일정한 모든 도형 중 원의 넓이가 최대"라는 사실로부터 원에 가장 가까운 정사각형이 최대라고 생각할 수 있다.

이 예상을 증명하거나 반례를 들어야 한다. 

이 문제는 쉬운 문제가 아니다. 원래의 문제를 해결하기 어려우면 관련된 문제를 생각한다. 사각형 중 넓이가 최대인 것이 정사각형이면, 직사각형 중에서 넓이가 최대인 것도 정사각형일 것이다.

이제 다음의 문제를 생각할 수 있다.

'직사각형들 중 넓이가 최대인 것은 정사각형임을 증명하라'

이 문제는 직사각형의 두 변의 길이를 각각 \(a,\,b\)라고 하면 

(i) \(a>0,\,b>0\)이므로 산술평균과 기하평균의 관계로부터 부등식 \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)가 성립하고, 부등식의 양변을 제곱하면 다음과 같다.$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}\geq ab$$위의 부등식의 좌변은 한 변의 길이가 \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\)인 정사각형의 넓이이고 따라서 직사각형들 중 넓이가 최대인 것은 정사각형이다.

(ii) 직사각형의 둘레의 길이를 \(2l\)이라고 하면 \(2a+2b=2l\)이고 \(a+b=l\)이다. 그러면 직사각형의 넓이는$$ab=a(l-a)=la-a^{2}$$이고 \(\displaystyle a=\frac{l}{2}\)일 때 최대이다(미분 또는 이차함수의 성질에 의해). 그러면 \(\displaystyle b=\frac{l}{2}\)이고 \(\displaystyle a=b=\frac{l}{2}\)이므로 직사각형일 때 넓이가 최대이다.  

5. 거꾸로 풀기

거꾸로 풀기 전략은 문제에서 찾고자 하는 것을 알고 있다고 가정하고 그것이 성립하기 위한 전 단계를 찾는 방법을 계속하여 문제의 조건이나 가정에 도달함으로써 문제를 해결하는 방법이다.

4ℓ들이 양동이와 9ℓ들이 양동이를 이용하여 강에 있는 물을 길어 6ℓ들이 물을 남게 하라.

거꾸로 풀기: 6ℓ가 되려면 9ℓ에서 3ℓ를 버리면 된다. 9ℓ 양동이에서 4ℓ 양동이에 정확히 3ℓ를 따르려면 4ℓ 양동이에 1ℓ 물이 있어야 한다.

4ℓ 양동이에 1ℓ 물이 있으려면 9ℓ 양동이에 물을 가득 부은 후 4ℓ 양동이에 물을 두 번 가득 따르고 남은 1ℓ 물을 4ℓ 양동이로 옮기면 된다.

문제해결: \(<a,\,b>\)를 각각 9ℓ, 4ℓ 양동이에 담긴 물의 양이라고 하자. 9ℓ 양동이에 물을 가득 채운 후 4ℓ 양동이에 가득 따르고 4ℓ 양동이를 비우는 것을 두 번 하면 9ℓ 양동이에 1ℓ만 남는다.$$<9,\,0>\rightarrow<5,\,4>\rightarrow<5,\,0>\rightarrow<1,\,4>$$이 물을 4ℓ 양동이로 옮긴 다음, 9ℓ 양동이에 가득 채운 물을 4ℓ 양동이에 가득 차게 부으면 9ℓ 양동이에 6ℓ 물이 남는다.$$<1,\,0>\rightarrow<0,\,1>\rightarrow<9,\,1>\rightarrow<6,\,3>$$6. 유추

유추는 두 개의 대상이 있어서 이 대상을 이루고 있는 각 부분의 관계가 대응되는 것을 말한다.  

피타고라스 정리는 평면도형인 직각삼각형에서 빗변에 관한 공식이다. 이로부터 유추에 의한 공간에서 직각사면체에서 직각을 낀 세 면의 넓이가 \(A,\,B,\,C\)일 때 다른 한 면 \(D\)에 대해 \(D^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}\)일 것이라고 추측할 수 있다.

피타고라스 정리와 삼수선의 정리로부터 다음과 같이 이 식이 참임을 보일 수 있다.$$\begin{align*}D^{2}&=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}\\&=\frac{1}{4}a^{2}(k^{2}+p^{2})\\&=A^{2}+\frac{1}{4}a^{2}p^{2}=A^{2}+\frac{1}{4}(r^{2}+q^{2})p^{2}\\&=A^{2}+\left(\frac{1}{2}rp\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}pq\right)^{2}\\&=A^{2}+B^{2}+C^{2}\end{align*}$$7. 귀납법

귀납법은 특별한 예들을 관찰하고 조합함으로써 일반적인 법칙을 발견하는 과정이다. 그러나 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립하는 명제가 참임을 증명하는데 이용된다. 다음의 식을 관찰하자.$$\begin{align*}&1^{3}=1^{2}\\&1^{3}+2^{3}=3^{2}\\&1^{3}+2^{3}+3^{3}=6^{2}\\&1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=10^{2}\end{align*}$$그러면 (수학적) 귀납법으로부터 '처음부터 \(n\)개의 세제곱 수의 합은 제곱수이다'라는 명제를 제안할 수 있고, 다음의 등식이 성립함도 귀납법으로 보일 수 있다.$$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}$$8. 규칙성 찾기  

규칙성 찾기는 문제에 주어진 조건이나 관계를 이용해 관련된 성질 및 규칙을 찾아내 그 규칙성을 적용해 감으로써 문제를 해결하는 전략이다.

2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 집합$$\{3^{2k-1}\,|\,k\,\text{는 자연수},\,1\leq k\leq n\}$$의 서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 \(S\)라 하고, \(S\)의 원소의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. 예를 들어 \(f(4)=5\)이다. 이때 \(\displaystyle\sum_{n=2}^{11}{f(n)}\)의 값을 구하시오. (2011학년도 수능 수리 가/나형(공통) 23번)

\(n=2\)일 때 \(k=1,\,2\)이므로 집합의 원소는 \(3^{1},\,3^{3}\)이고 \(S=\{3^{4}\}\)이므로 \(f(2)=1\)이다.

\(n=3\)일 때 \(k=1,\,2,\,3\)이므로 집합의 원소는 \(3^{1},\,3^{3},\,3^{5}\)이고 \(S=\{3^{4},\,3^{6},\,3^{8}\}\)이므로 \(f(3)=3\)이다.

\(n=4\)일 때 \(k=1,\,2\,3,\,4\)이므로 집합의 원소는 \(3^{1},\,3^{3},\,3^{5},\,3^{7}\)이고 \(S=\{3^{4},\,3^{6},\,3^{8},\,3^{10},\,3^{12}\}\)이므로 \(f(4)=5\)이다.

\(n\)이 증가함에 따라 집합 \(S\)의 원소의 개수 \(f(n)\)의 규칙을 찾으면 \(f(n)=2n-3\,(n\geq2)\)임을 알 수 있고 따라서 답은 다음과 같다.$$\sum_{n=2}^{11}{f(n)}=\sum_{n=1}^{10}{(2n-1)}=2\times\frac{10\times11}{2}-10=110-10=100$$9. 단순화하기

문제에서 주어진 상황이 복잡하거나 변수가 많을 경우, 간단한 상황으로 바꾸거나 변수를 줄인 문제를 풀어 원래의 문제를 해결하는 전략을 단순화하기라고 한다. 

다음 그림은 반지름이 10인 원을 8등분하고 8개의 반지름 위에 각각 반원을 그린 것이다. 색칠한 부분과 빗금 친 부분의 넓이의 차를 구하여라.

위 그림은 대칭이므로 하나의 부채꼴을 생각하는 것이 편리하다. 다음의 그림은 위 그림의 일부인 하나의 부채꼴이다.

\(A,\,B,\,C\)의 합은 부채꼴이므로 \(\displaystyle A+B+C=\frac{1}{8}\times(10^{2}\pi)=\frac{25}{2}\pi\)이고 \(\displaystyle2A+C=\frac{1}{2}\times(5^{2}\pi)=\frac{25}{2}\pi\)이다. 이 두 식들을 빼면$$\begin{align*}(A+B+C)-(2A+C)&=B-A\\&=\frac{25}{2}\pi-\frac{25}{2}\pi\\&=0\end{align*}$$이고 이것은 \(A\)와 \(B\)의 넓이가 같음을 뜻한다. 

원래의 문제에는 \(A\)와 \(B\)가 각각 8개 있으므로 구하고자 하는 넓이의 차는 0이다.

10. 특수화하기

문제의 조건에 해당되는 특수한 경우를 고찰하여 원래 문제를 해결하는 전략을 특수화하기라고 한다. 

한 변의 길이가 10으로 합동인 두 정사각형이 있다. 한 정사각형의 한 꼭짓점이 다른 정사각형의 중심에 있을 때 겹쳐진 부분의 넓이를 구하여라.

다음의 그림을 보자.

(1)은 특수한 경우이고, (2)는 일반적인 경우이다. (2)에서 (ㄱ)삼각형과 (ㄴ)삼각형은 서로 합동이므로 구하려는 부분의 넓이는 특수한 경우와 같게 된다. 겹쳐진 부분의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{4}\times10\times10\times=25\)이고 따라서 겹치는 부분의 넓이는 25이다. 

다음은 문제해결의 여러 가지 동향이다(문제제기, 수학적모델링).

문제제기(problem posing)는 새로운 문제를 만들어 내거나 주어진 문제를 재명료화하는 것을 의미한다.

폴리아가 제시한 문제해결 사고 단계와 관련이 있는 문제제기는 주어진 문제가 어디에서 비롯된 것인지, 본래의 문제를 변형하여 새롭게 문제를 제기할 수 있는지, 해결된 문제를 이용하여 새로운 문제를 해결할 수 있는지를 생각할 수 있게 해준다. 학생들이 자신의 생각을 통해 문제해결 활동에 능동적이고 적극적으로 참여하면 효과적인 문제제기 활동이 가능하다. 

브라운(Brown)과 월터(Walter)는 문제제기를 '수용단계'와 '도전단계'의 두 단계로 나누고 각 단계별 문제제기의 전략을 제시했다.

수용(accepting)단계는 탐구 과정에서 주어진 것을 있는 그대로 받아들이는 단계이고, 도전 단계는 체계적으로 문제를 만드는 단계이다. 또한 다음과 같이 What-If-Not 전략을 소개했다.

1. 출발점 선택하기

2. 속성 열거하기: 문제를 구성하고 있는 요소나 속성을 모두 열거해 본다

3. 속성 부정하기(What-If-Not): 전 단계에서 열거한 속성이 '만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가?'라는 의문을 갖는다

4. 질문과 문제제기 하기: 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 새로운 문제를 만든다.

5. 설정된 문제 분석하기: 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 찾는다.

What-If-Not 전략은 다음의 장점을 갖는다.

-문제에 대한 의미와 중요성을 검토할 수 있게 된다.

-문제에 대한 통찰력과 그 문제에 내포되어 있는 수학적 내용에 대한 이해가 깊어질 수 있다.

-문제제기는 문제를 새로운 관점에서 보게 할 뿐만 아니라 문제와 관련한 새로운 개념을 생각할 수 있도록 해준다. 

다음은 문제제기의 역할과 중요성을 정리한 것이다.

1. 창의적 문제해결 능력과 수학적 사고 능력을 길러준다.

2. 학생들에게 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다.

3. 문제의 구조를 파악하고 문제해결에 필요한 전략을 찾을 수 있는 능력을 길러준다.

4. 수학에 대한 긍정적인 성향을 함양시키는 수단이 된다.

5. 학생들의 이해정도를 파악하는 수단이 된다.

6. 학생들에게 이미 배운 지식을 종합적으로 이용할 수 있는 기회를 제공한다. 

수학적 모델링은 문제해결의 특징을 지니지만 비수학적 문제 상황에서 출발하는 것을 기본으로 한다는 점에서 문제해결과 다르다. 

수학적으로 의미 있는 모델을 구성하는 모델링은 다음과 같이 4단계의 순환 과정으로 구성된다(NCTM).

NCTM은 수학적 모델링 과정을 다음과 같이 설명한다.

1. 현상을 관측하여 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾는다.

2. 요인들의 관계를 추측하고 그 요인들을 수학적으로 해석하여 현상에 적합한 모델을 구축한다.

3. 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용한다.

4. 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 재해석하여 결론을 도출한다.

결론적으로 수학적 모델링은 실세계의 여러 현상을 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동으로, 문제를 해결하기 위해 여러 가지 수학적 표현으로 변환하면서 현상에 내재된 수학적 개념을 파악하고 문제를 해결하여 실세계의 문제 상황에 적용할 수 있도록 조장하는 활동 과정이다.  

참고자료:

수학교육학 정론, 강옥기 외 4인, 경문사

수학교육학 신론, 황혜정 외 5인, 문음사