[수학교육론] 4. 수학학습 심리학

[수학교육론] 4. 수학학습 심리학

수학학습 심리학의 발달 과정

행동주의는 관찰가능하고 측정 가능한 외현적 행동을 연구의 대상으로 하는 심리학이고, 이 분야의 심리학자로는 파블로프, 손다이크, 스키너, 가네 등이 있다.

행동주의는 겉으로 나타나는 반응을 기준으로 학습 여부를 판단하기 때문에 수학학습을 설명하기에 충분하지 않고, 자극(S)-반응(R)이라는 간단한 도식을 기본으로 하기 때문에 알고리즘이나 단순한 개념, 원리를 지도하는데 적용하는것은 적합하나 복잡한 문제해결 등의 고차적인 내용의 학습에는 부적합하다는 비판을 받는다.

형태주의(Gestalt)는 기존 행동주의에서 자극(S)-반응(R)연합의 집합으로 나누어 연구하려는 경향에 반대하면서 '전체는 부분의 합 이상'이라고 주장하는 심리학이다. 형태주의 심리학에서 가장 중요한 부분은 문제를 해결할 때 '통찰력(insight)'을 사용하는 것이다. 또한 행동주의 심리학으로 설명이 불가능한 문제해결 등의 고차적인 내용의 학습을 설명하는 것이 가능하다.

1957년 소련의 스푸트니크 인공위성의 발사 성공으로 인해 수학교육 현대화 운동이 일어났고, 이에 구조주의 심리학이 발생했다. 대표적인 학자로는 브루너와 딘즈가 있다.

브루너는 지식의 구조를 학습자의 수준에 맞게 EIS이론을 활용해 발견학습으로 가르칠 수 있다고 주장했고, 딘즈는 브루너와의 공동연구를 통해 8세 아동에게 대수 막대를 이용한 인수분해 방법을 발견하게 했고, 구조 교구를 활용해 수학적 개념의 조기 도입이 가능함을 보였다.

구성주의는 1960년대와 70년대를 거쳐 그 이론적 체계를 갖추었다. 구성주의는 "학생들이 스스로 수학적 개념을 구성하므로 교사는 학생이 지식을 스스로 구성하고 학습할 수 있도록 환경을 제공해야 한다"고 주장한다. 

구성주의는 조작적 구성주의, 급진적 구성주의, 사회적 구성주의로 구분된다.

조작적 구성주의: 피아제가 소개한 발생학적 인식론이다. 

급진적 구성주의: 지식은 개인이 구성한 개인의 것이고 객관적인 지식의 존재여부를 검증할 수단이 없기 때문에 객관적인 지식은 존재하지 않는다.

사회적 구성주의: 급진적 구성주의를 수정 보완한 것으로 관습주의와 준경험주의 입장에서의 수학에 대한 관념을 세련시키고 종합함으로써 발생한 것이다.

수학학습 심리학자

손다이크, 스키너, 가네, 베르트하이머, 피아제, 비고츠키, 브루너, 오수벨은 교육심리학적 측면에서 수학학습을 연구했고, 딘즈, 스켐프는 수학교육학적 측면에서 수학학습을 연구했다.

손다이크(Thorndike)

손다이크는 수학학습의 형식도야적 가치에 회의를 품고 동일요소설을 주장하면서 형식도야 이론의 일반적이고 자동적인 전이를 부정했다. 

손다이크는 연결주의 이론으로 학습의 원리를 설명했다. 연결주의 이론에서 사고를 포함한 모든 행동은 외부 사건인 자극(S)과 그것에 대한 반응(R)이라는 기본 단위로 분석되며, 학습은 주어진 상황에서의 자극과 반응을 연결하는 본드(bond)의 형성으로 해석된다. 과학적인 교수는 여러 가지 하위 본드를 종합하고 조작하여 전체 능력을 형성하도록 돕는 것이라고 지적했다. 이를 위해서는 다음의 과정을 거쳐야 한다.

1. 과제를 간단한 자극-반응 과제들로 분석하여 적절한 준비성의 위계로 정렬한다.

2. 보상을 통해 하부 본드를 형성한다.

3. 연습에 의해 과제를 구성하는 여러 가지 본드를 강하게 해야 한다. 그리고 교사의 교수, 학습을 위해 연습의 법칙, 효과의 법칙, 준비성의 법칙과 같은 세 가지 기본 법칙을 활용할 수 있다.

스키너(Skinner)

스키너는 전통적 수학 학습의 문제점을 지적하고 '어떤 행동이 형성되어야 하는가?', '최종 형태의 행동으로 이끌 점진적인 접근 프로그램에 이용할 수 있는 반응은 어떤 것인가?', '그 행동을 강하게 유지하기 위해 어떻게 강화를 가장 효과적으로 짤 수 있는가?' 등을 바탕으로 한 프로그램 학습을 소개했고, 이 프로그램 학습은 다음의 특징을 갖는다. 

1. 학습 목표가 명확하다.

2. 목표에 이르는 길을 많은 소규모 단계로 구성한다. 아주 간단한 내용부터 점진적으로 목표를 향해 나아가도록 한다.

3. 적극적 반응을 강조한다.

4. 즉각적 피드백을 해준다.

5. 긍정적 강화를 강조한다.

6. 개별교수가 가능하다.

가네(Gagne)

가네는 모든 학습이 간단한 과제에서 보다 복잡한 과제로 진행된다는 누적학습이론을 주장했다. 기대되는 최종 수행행동을 분석하여 그것을 하위 요소로 나눈 다음 그들의 전후, 상하의 연결 관계를 밝혀 학습 위계를 정해야 한다고 주장했다. 

문제해결을 하기 위해서는 원리학습이 선행되어야 하고, 이를 위해서는 개념학습이 선행되어야 하며, 모든 단계의 학습은 전 단계가 이루어진 기초 위에 다음 단계가 이루어진다. 

베르트하이머(Wertheimer)

베르트하이머는 사고를 문제해결의 과정이라고 보고 문제를 해결하는 '생산적 사고'(원리의 이해를 기초로 하는 사고)를 설명하고자 했다. 수학적 원리를 이해하면 문제를 단순화시키고 계산 시간과 계산 단계를 줄이며 계산상의 오류를 줄일 수 있다. 

피아제(Piaget)

피아제의 이론에 따르면 지식의 습득은 교사에 의해 전달되는 것이 아닌 학생 스스로가 동화와 조절의 인지활동을 통해 구성한다고 보는 조작적 구성주의가 가능해진다고 한다.

다음은 피아제가 제시한 인지발달의 네 단계와 각 단계의 중요한 특징이다.

(1) 감각-운동 단계(인지발달 1단계): 출생 후 부터 약 2세까지 지속된다. 신체중심에서 활동중심으로 행동이 변하지만 가역성을 이용한 조작 능력은 없다.

(2) 전조작 단계(인지발달 2단계): 2세부터 약 7세까지 지속된다. 점차 언어가 발달하게 되고, 기호를 사용하게 되며, 자기중심적이고 하나의 사물에 관심을 기울이는 경향이 있다. 하지만 여전히 조작능력은 없다.

-귀납적 추론(구체적인 대상으로부터 일반화하는 추론)과 연역적 추론(일반적인 특징을 구체적인 대상에 적용하는 추론)을 할 수 없으나 변환적 추론(구체적 사실로부터 구체적 사실을 추론)을 할 수 있다.

(3) 구체적 조작단계(인지발달 3단계): 7세부터 12, 13세에 걸쳐 지속되며 그 이후까지 지속되는 경우가 있다. 처음으로 논리적 사고를 하며, 분류조작, 순서조작과 같은 조작을 할 수 있으나 구체적인 예에 대해서만 가능하다.

-여러 가지 보존 개념을 형성한다.

i) 물질량의 보존: 물질의 양은 분할이나 변형에 관계없이 변하지 않는다.

ii) 수의 보존: 원소의 개수는 배열에 관계없이 변하지 않는다.

iii) 길이의 보존: 물체의 길이는 이동과 분할 또는 변형과 관계없이 변하지 않는다.

iv) 넓이의 보존: 면의 넓이는 분할 혹은 변형과 관계없이 변하지 않는다.

v) 무게의 보존: 물질의 무게는 분할이나 변형과 관계없이 변하지 않는다.

vi) 부피의 보존: 물질의 부피는 분할이나 변형과 관계없이 변하지 않는다.

-연산과 절차를 역순으로 할 수 있다(가역적 사고가 가능하다).

-다른 사람의 견해를 이해하기 시작하며 이 단계의 말기에 구체적인 예를 통해 귀납적, 연역적 추론을 하기 시작한다.

-역연산, 대입, 집합의 합집합과 교집합 구하기, 구체물을 크기 순서로 배열하기 등과 같은 계산을 수행할 수 있으나 언어로 표현하는데 어려움이 있다.

-판단과 논리적 추론 능력이 아직 부족하다.

-정의를 잘 이해하지 못하며, 몇 개의 구체적 사실로부터 일반화를 하는 것이 불가능하다. 그 예로 \(2+3=3+2\)는 이해하지만 일반화된 교환법칙 \(a+b=b+a\)를 이끌어내지 못한다.

-변수를 포함한 수학적 기호 조작을 이해하기 힘들어 하며, 대수를 의미의 이해보다 공식의 암기에 의해 학습한다. 그 예로 다음과 같이 생각하는 경향이 있다.$$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2},\,\frac{a+b}{a}=b,\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y$$(4) 형식적 조작단계(인지발달 마지막 단계): 12세 이후의 인지단계이다. 이 단계의 아동은 형식적인 수학적 추론을 할 수 있고, 추상적인 개념에 대해서도 조작을 수행할 수 있다. 또한 가정으로부터 추론을 할 수 있고, 실제와 대비해서 결론을 테스트할 수 있다(본질적으로 성인의 추론단계).

-자신의 활동을 객관적으로 볼 수 있으며, 자신의 사고 과정을 반성해 볼 수 있다. 

-정리를 만들고, 가설을 세우고, 여러 가지 가설을 실험할 수 있다.

-귀납적 사고, 연역적 사고, 함의적 사고(만일 ---이면 ---이다)등을 할 수 있다.

-순열과 조합, 명제, 상관관계, 확률 등의 복잡한 개념을 이해하고 응용할 수 있다. 

-무한대와 무한소의 개념을 인식할 수 있다.  

피아제에 의하면 모든 유기체는 환경에 적응하려는 성향을 갖고 태어나며 적응은 상호보완적인 동화와 조절에 의해 일어난다.

동화(assimilation): 개인이 현재 구조들을 사용하여 환경적 요인을 다루는 보완적인 과정

조절(accommodation): 개인이 환경의 요구에 대한 반응으로 변화하는 과정  

다음은 어떠한 개념을 알아가는 피아제의 추상과 과정이다.  

경험적 추상화: 개인의 주변 대상이 갖는 성질들을 일반화된 지식으로 이끌어내는 추상화이다.

반영적 추상화: 개인의 조작 활동에 대한 반성을 통해 일반화된 지식을 구성하는 추상화이다.

준-경험적 추상화: 개인의 조작 활동에 대한 반성을 통해 일반화된 지식이 구성되지만 그 구성 결과의 확인이 그 조작 활동에 사용된 외부 대상에 대해서 행해지는 추상화이다(반영적 추상화의 전 단계).

여러 수학교육학자들은 피아제의 이론을 바탕으로 다음과 같은 학습 및 지도이론을 개발했다.

1. 전교육과정 원리: 전조작 단계에 있는 초등학교 입학 전 아동에게는 수학적 개념의 지도가 아닌 논리적, 수학적 경험이 필요하다.

2. 활동적 학습의 원리: 수학적 개념을 추상적으로 지도하기 전에 구체적인 조작활동이 선행되어야 한다는 것이다. 아동의 조작활동을 촉진시키기 위해서는 도전감을 주는 문제와 활동자료를 제시해야 한다. 또한 교사는 탐구적인 질문을 제시하며 학생들은 소집단을 형성해 토론과 탐구활동을 해야 한다.

3. 통합의 원리: 아동이 가지고 있는 기존의 개념과 관련지어 학습하게 해야 한다.

4. 조작적 원리: 사고의 기본적인 요소는 조작이고, 조작은 '실제적인 행동이 내면화된 가역적인 활동'으로서, 조작적 원리는 이전의 행동이나 조작을 바탕으로 탐구활동을 통해 지식이 구성된다는 원리이다. 이 원리에 의하면 덧셈을 지도할 때 뺄셈의 개념을 탐구해 보게 하며, 어떤 명제의 참, 거짓을 생각할 때 그 역의 참, 거짓도 탐구해보게 하는 것이 바람직하다.

5. 발달단계에서의 순응: 아동의 인지발달은 누구나 피아제의 인지발달의 네 단계를 거치므로 아동의 학습은 인지 발달에 맞게 이루어져야 하며, 조기학습이나 지연학습은 할 필요가 없다.

그 외로 피아제는 다음과 같은 원리를 제시했다. 

1. 사고는 가역적인 조작에 바탕을 두고 있을 때 더 유연하다. 이러한 이유로 역조작을 함께 가르쳐야 한다. 

2. 전조작기의 아동은 한 집합의 부분집합들 사이의 관계를 불완전하게 알고 있다. 포함관계를 완전히 이해하기 위한 전제조건은 가역성이며, 이것은 구체적 조작기에 획득된다.

3. 실제적인 활동은 학습의 요건 중 하나이다. 효과적인 학습을 위해서 학생은 관객이 아닌 주인공으로서 활동을 해야 한다.

4. 정신적인 성장은 불변인 성질을 발견하는 것과 관련되어 있기 때문에, 특정한 변환 그룹 하에서 불변인 상황의 특징들을 체계적으로 탐구해야 한다.

5. 기하에서 위상적인 성질은 아동에 의해서 처음으로 관찰되지만 수학자들에 의해서는 외연적, 형식적으로 연구되는 마지막의 기하학적인 관계이다.

비고츠키(Vygotshy)

비고츠키는 더욱 효과적인 학습을 위해서는 근접발달영역(Zone of Proximal Development, ZPD)내에서의 사회적 상호작용이 중요하고 또한 모든 학생은 적절한 도움을 받으면 스스로 할 수 있는 것 이상을 할 수 있다고 주장했다. 

이때 ZPD는 실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준의 사이를 의미한다.

실제적 발달수준: 학생이 다른 사람의 도움 없이 독립적으로 문제를 해결할 수 있는 수준(ZPD의 하한).

잠재적 발달수준: 좀 더 지식이 풍부한 교사, 성인 또는 유능한 또래의 도움을 얻어 문제를 해결할 수 있는 수준이다(ZPD의 상한). 

갈리모어와 타프는 ZPD를 통한 인지발달 과정을 다음과 같이 4단계로 구분했다.

1단계: 더 유능한 타인의 도움을 받아 과제를 수행하는 단계

2단계: 학생 스스로 과제를 수행하는 단계

3단계: 과제수행이 완전히 발달되어 내면화, 자동화가 이루어지는 단계

4단계: 수행이 탈자동화됨으로 인해 다음 ZPD로 진입되는 단계(과제해결을 수행하다 어려움이 생기면 다시 1단계로 돌아간다)

다음은 ZPD를 통한 인지발달 과정이다.

ZPD에서 잠재적 발달 수준을 달성하는데 교사의 안내와 동료의 협력이 결정적인 역할을 하므로 수학교실 활동에서 교사는 교수, 학습의 직접적인 운영자가 되는 것과 학생들이 동료와 협동하여 활동할 수 있도록 기회를 만들고 이끌어가는 역할을 해야 한다. 

-ZPD를 확인하고 끊임없이 갱신해 가면서 학생으로 하여금 해당 개념을 이해하게 하고, 학생의 활동이 ZPD안에서 이루어지도록 학습 주제를 선택하고, 학생들이 시도할 때 적절한 도움을 제공한다. 

-수학 수업을 준비하는 과정에서 교사는 개념이나 기능에 대해 정확한 설명이 필요한지, 모델 형성을 위한 시범이 필요한지, 매개체나 교구를 쓸 것인지 하는 것들을 미리 구상하고 주닙해야 한다. 또한 다른 교과, 단원과 맺고 있는 관련성, 역사적 발달 과정을 정확히 알고 적절한 수준과 시점에서 구사할 수 있도록 한다. 

-자신과 학생의 활동을 정확하고 분명하게 말로 나타낸다. '이것', '저것'등의 모호한 용어를 피하고 명확한 용어를 사용한다.

-새로운 개념은 현실적인 상황 속에서 다루어야 한다.

-학생 각자가 자신의 문제풀이과정을 다른 사람의 풀이와 견주면서 그와 상호작용하게 한다(평가와 동시에 피드백 과정).

-학생들의 실수를 분석하고 그에 따른 도움을 주는 방안을 강구하되 시행착오의 방법이 적합하지 않음에 유의한다.

교수, 학습에서 비계(scaffolding)는 학생의 ZPD안에서의 효과적인 교수, 학습을 위해 교사가 학생과 상호작용 중 적절한 도움을 주기 위해 은유적으로 사용하는 용어로 도움을 받아 인지발달을 돕는 발판역할을 하는 체계이다.       

브루너(Bruner)

브루너의 학습지도 이론: 

(1) 교과목의 구조 지도: 교과목을 지도한다는 것은 바로 그 과목의 구조를 지도해야 한다는 것과 같다. 지식의 구조란 학문의 기저를 이루는 일반적 원리, 일반적 아이디어, 기본개념 및 원리 등을 의미한다. 이러한 교과 구조를 파악하는 것에는 다음의 네 가지 장점이 있다.

1. 가본적인 사항을 이해하면 내용을 훨씬 쉽게 파악할 수 있다.

2. 세세한 사항은 구조화된 패턴 안에 들어있지 않으면 쉽게 잊어버린다.

3. 기본적인 원리나 아이디어를 이해하는 것은 적절한 훈련의 전이를 가능하게 하는 주된 방법이다.

4. 초등/중등학교에서 가르치는 학습자료가 어떤 기본적인 성격을 나타내고 있는가를 끊임없이 재조사함으로써 고등 지식과 초보적 지식 사이의 간격을 좁힐 수 있다.

(2) 학습의 준비도: 피아제와 같은 입장에서 학습자는 학습을 위한 인지수준이 준비되어 있어야 한다고 주장했다. 학생의 준비도와 표현수단의 능력에 따라 개념을 활동적인 방법, 영상적인 방법, 상징적인 방법을 택하여 표현할 수 있다. 

(3) 직관적 사고와 분석적 사고: 이 방법은 발견학습 이론으로 연결되고, 발견학습은 다음의 두 가지 측면으로 볼 수 있다.

1. 고전적인 것으로 소크라테스식의 질문에 의해 학습자가 알고 있는 것을 재조직하고 회상할 수 있도록 하는 것이다.

2. 브루너의 발견학습으로 아동은 구체적인 자료를 다루는 가운데 그가 이해하고 있는 직관적인 규칙성과 대응하는 규칙성을 발견하는 것이다.

발견학습을 통해 모든 지식을 학생 스스로 발견하기 어려우며, 발견학습을 위해 교사가 준비해야 하는 자료가 많고 학생이 새로운 지식을 발견하는데 시간이 오래 걸림을 고려해야 한다. 

(4) 학습을 위한 동기유발: 어떤 개념을 지도하기 위해서는 일차적으로 학습자가 그 개념을 학습하고 싶어하는 충분한 동기를 갖게 해야 한다.

EIS 표현이론: 브루너는 지식의 구조와 관련해 다음의 가설을 주장했다.

어떤 교과든지 지적으로 올바른 형태로 표현하면 어떤 발달단계에 있는 어떤 아동들에게도 효과적으로 가르칠 수 있다. 새로운 지식을 만들어 내는 것은 학자들이 하는 것이나 초등학교 3학년 학생이 하는 것을 막론하고 모든 지적 활동은 근본적으로 동일하다. 

브루너는 이러한 가설과 관련해 발달단계에 관계없이 동일한 교육내용을 어떤 학습자에게도 가르칠 수 있다고 가정하면서 지식의 구조를 활동적(Enactive)표현, 영상적(Iconic)표현, 상징적(Symbolic)표현의 순서로 제시해 가르칠 수 있다는 EIS표현 이론을 소개했다. 

여기에서 활동적 표현은 개념을 구체물 또는 물리적 활동을 통해 표현하는 것이고, 영상적 표현은 개념을 완벽하게 언어로 정의하는 것이 아닌 대략적인 윤곽으로 전달하려는 영상이나 도해로 표현하는 것이며, 상징적 표현은 개념을 논리적 규칙에 맞는 기호 또는 상징체계로 표현하는 것이다. 이 세 단계의 표현 수단에 따라 지도한느 것을 브루너의 나선형 교육이라고 한다.

지적 성장의 특징: 다음은 브루너의 지적 성장에 관한 6가지 특징이다.

(1) 자극과 반응의 분리: 인간의 인지적 성장은 직접적, 구체적 자극으로부터 자기의 반응을 분리하는 능력의 증가이다. 브루너의 학습이론은 자극과 반응의 관계에 의해 학습을 연구하는 행동주의 심리학자들과 견해를 달리한다. 

(2) 외적 사실의 내면화: 학생이 외적인 사실을 자신의 정신적 구조 속에서 내면화함으로써 구체적 사실을 일반화하려는 능력이 향상된다.

(3) 표현능력(EIS 표현): 동일한 수학적 개념은 아동의 지적 수준에 따라 행동적(E), 영상적(I), 상징적(S) 수단으로 표현할 수 있다.

(4) 상호작용의 효과: 정신적 발달은 학생과 교사(학생을 지도하는 학생, 학부모, 학교 교사)의 체계적이고 구조화된 상호작용에 의존한다. 이 이론을 통해 교육의 사회성, 협동성을 요구한다.

(5) 적절한 언어사용: 지적 성장은 언어의 사용을 통해 향상된다. 

(6) 다양한 변인의 동시 취급: 다양한 개념을 비교, 대조하여 관계를 생각해 봄으로써 지적 성장을 꾀할 수 있다. 

수학과 학습 및 지도 이론:

(1) 구성이론: 수학적 개념, 원리 또는 법칙을 학습하기 시작하는 학생들에게 가장 좋은 방법은 학생 스스로가 그것의 표현을 구성하여야 한다는 것이다. 학생이 수학적 지식 및 아이디어를 스스로 구성하면 이를 더욱 잘 기억할 수 있으며 적절한 상황에 정확하게 사용할 수 있기 때문이다.

(2) 기호화 이론: 초기의 구성과 표현방식이 학생의 지적 발달수준에 알맞은 적합한 기호를 포함하고 있다면 그 지식이 학생에게 쉽게 이해된다는 것이다.

*함수를 \(y=f(x)\)로 나타내면 초등학생들은 이해하지 못한다. 초등학생들에게는 □=2×△+3과 같이 나타내는 것이 \(y=2x+3\)으로 나타낸 것보다 더 잘 이해된다.

(3) 대조와 다양성 이론: 수학적 개념을 다른 수학적 개념과 대조하면서 또는 다양하게 변화하면서 학습할 때 더욱 잘 이루어진다는 것이다.

(4) 연결이론: 개개의 수학적 기능, 개념, 원리는 다른 기능, 개념, 원리에 연결되어 가르쳐지고, 학생들은 여러가지 수학적 아이디어들 간의 연결성을 알아야 한다. 발전적이고 의미있는 학습이 이루어지기 위해서는 주제들 사이의 연결성을 이해해야 한다. 

(5) 나선형 교육과정: 학문의 기본적 개념은 지적 발달단계에 맞추어 처음에는 쉽게 제시하고 단계적으로 계속하여 보다 높은 수준의 나선형의 방식으로 전개한다면 나중에는 어려운 내용을 완전히 이해하게 된다.

오수벨(Ausubel)

유의미(의미가 충실한) 설명식 학습: 교사는 학생들이 이해할 수 있는 방법으로 설명해야 하며, 학생은 교사의 설명은 자기의 기존 개념에 관련지어 비판적으로 수용해야 한다. 유의미 학습은 학습의 과정과 학습의 결과가 모두 의미 있는 학습이다.

다음은 오수벨이 제시한 학습의 유형이다.

-수용학습: 교사가 학습자들이 학습할 모든 내용을 제시하는 학습형태

-발견학습: 학습자 스스로 학습할 내용을 발견하는 학습형태

수용학습과 발견학습은 각각 유의미 수용학습과 기계적 수용학습, 유의미 발견학습과 기계적 발견학습으로 연결될 수 있다.

-유의미 학습: 새로운 지식이 학습자의 기존 지식에 의미 있게 관련짓는 학습형태

-기계적 학습: 학습자가 단지 새로운 지식을 기계적으로 반복하여 암기하는 학습형태

다음은 수용학습과 발견학습, 유의미학습과 기계학습의 관계를 나타낸 것이다.

다음은 유의미 학습이 이루어지기 위한 조건이다.

1. 학습자가 스스로 의미 있는 학습을 할 수 있도록 지적 조건과 태도를 가지고 있어야 한다.

2. 학습과제가 학습자가 지니고 있는 인지구조에 의미있게 관련디ㅗ어야 한다.

다음은 유의미 학습을 저해하는 요인이다.

1. 학생의 지적 발달수준이 어떤 수학적 개념을 의미있게 학습하기에 충분하지 못한 경우

2. 학생의 학습 동기 유발이 의미있는 학습을 하기에 충분하지 못한 경우

3. 교사들이 자기가 사용하는 개념의 정의, 문제해결 규칙, 정리의 증명만이 학습자에게 의미가 있다고 오도하는 경우

유의미 설명식 학습의 원리:

(1) 점진적 분화의 원리: 학습할 새로운 개념을 포함하는 더욱 일반화된 구조를 먼저 제시한 다음 그것으로부터 점점 구체적이고 세부적인 내용으로 접근하는 것을 의미한다.

(2) 통합적 조정의 원리: 새로 학습한 개념은 이미 학습한 개념에 관련지음으로써 기존의 개념 구조를 조정하는 것을 의미한다. 이 원리에 의하면 새로 학습한 개념은 이미 학습한 개념들과 관련을 지어 그 구조를 조정할 때 비로소 의미 있는 학습이 가능하다.

(3) 선행조직자의 원리: 새로운 학습 내용을 지도하기 위해서 먼저 그 내용을 포함하는 학습자가 이해할 수 있는 일반화된 구조를 제시하는 것이다.  

딘즈(Dienes)

딘즈는 '개폐연속체'라는 용어를 도입해 아동들의 개념형성 과정을 설명한다. 개폐연속체의 기본적 생각은 개념 형성의 단계를 거쳐 일단 형성된 수학적 개념은 닫힌상태(폐)이나 분석과 적용 과정에서 열린상태(개)로 변하여 보다 객관적이고 보다 높은 수준의 재구성이 이루어진다. 

딘즈는 놀이를 통해 수학 개념을 제시하고, 이러한 수학 개념의 학습과정은 다음과 같다.

1. 자유놀이의 단계: 아동들은 구조화되지 않은 조작이나 실험활동 등 많은 구체적인 자료를 자유롭게 대하는 시기이다.

2. 게임 단계: 아동들은 자유롭게 놀이를 하는 가운데 점차 어떤 규칙성이 있다는 느낌을 갖게 되는 시기이다.

3. 공통성 탐구의 단계: 놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통적으로 들어있는 특정 개념의 수학적 구조를 파악하기 시작해, 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 명확해지는 단계이다.

4. 표현 단계: 아동이 추상화 과정을 통해 파악한 개념의 공통성을 적절한 방법으로 표현하는 시기이다. 이때 사용하는 표현방법은 간단한 그림의 형태나 언어적인 방법, 전형적이거나 포괄적인 예 등 다양한 방법이 가능하다.

5. 기호화의 단계: 아동들은 자신만의 적절한 수단으로 표현한 개념을 수학적인 기호를 이용하여 표현하게 된다. 이때 의사소통을 위해 공통적으로 이용하는 수학적 기호를 이용하도록 지도하고, 도형 개념에서 네모, 세모, 동그라미, 사각형, 삼각형, 원 등의 표현을 이용하도록 지도하는 단계이다.

6. 형식화의 단계: 아동이 추상한 개념의 수학적 구조를 파악하고, 이 개념이 갖고 있는 여러 성질을 체계화하게 된다. 삼각형과 사각형의 관계나 삼각형의 성질, 사각형의 성질 등을 파악하게 되는 단계이다.

다음은 딘즈의 수학 학습원리이다.

1. 역동적 원리: 수학적 개념을 형성하도록 돕기 위해 구조적이며 반영적 사고를 필요로 하는 역동적인 게임을 제공해야 한다.

2. 구성의 원리: 게임을 함에 있어서 구성이 분석에 선행해야 한다. 즉 먼저 게임을 구성하여 게임을 해 본 다음 그 게임의 특성을 분석하는 활동이 뒤따라야 한다. 

3. 수학적 다양성의 원리: 수학적 개념은 보통 몇 개의 변인을 포함하는데, 개념을 구성하는 변인들 중 항구적(변함없이 오래 지속)인 관계가 유지되는 것이 수학적 개념이다. 따라서 학습자에게 개념의 성장을 돕기 위해 구조화된 경험을 제공하려면 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜야 한다. 

예: 평행사변형의 개념을 지도하고자 할 때, 대변이 평행하도록 유지하면서 각의 크기나 변의 길이, 위치 등 변화 가능한 요소들을 가능한 다양하게 변화시켜 제시한다.

4. 지각적 다양성의 원리: 동일한 개념을 형성하는데 존재하는 개인차를 고려한 원리로써, 수학적 개념을 이해하기 쉽게 지도하기 위해 지각적으로 다르지만 구조적으로 같은 다양한 형태의 구체물을 활용해 지도하는 원리이다.

예: 평행사변형을 지도할 때, 종이 위에 그리거나 두 개의 합동이 나무로 된 삼각형으로 만들 수 있고, 점판 위에 표시할 수 있고, 벽지의 패턴에서 찾을 수 있다. 

 

스켐프(Skemp)

스켐프의 학습지도 이론의 핵심은 스키마 학습(schematic learning)과 반영적 지능(reflective intelligence)이다.

스키마 학습: 인간은 기존의 지식을 바탕으로 하여 새로운 지식을 습득한다. '서로 관련이 있는 개념들의 구조'를 스키마(schema)라고 정의한다. 스키마는 다음의 세 가지 기능을 가능하게 한다.

1. 기존 지식을 통합한다.

2. 발전학습을 위한 도구의 역할을 한다.

3. 이해를 가능하게 한다.

스켐프는 이렇게 스키마를 이용하는 학습을 스키마 학습이라고 정의했다. 

스켐프의 수학적 개념의 이해: 

(1) 도구적 이해와 관계적 이해: 새로운 개념을 지도하고자 할 때 동화나 조절이 잘 이루어지도록 기존의 스키마를 잘 활용해야 하며, 필요하면 이를 위한 선수적 스키마를 먼저 형성하도록 도와야 한다. 동화나 조절에 의해 새로운 개념을 이해하는 것을 관계적이해, 그렇지 못한 것을 도구적 이해라고 한다.

스켐프는 수학 학습, 지도에서 궁극적으로 수학적 개념에 대한 관계적 이해를 목표로 해야 한다고 주장했지만 많은 교사나 학생들은 도구적 이해를 바탕으로 수학을 가르치고 배운다. 그 이유는 다음과 같다.

1. 문맥 자체로 보면 도구적 수학이 사용하기 쉽기 때문.

2. 도구적 이해를 통해 수학 문제를 풀면 즉각적이며 명백한 성취감을 줄 수 있기 때문이다.

하지만 이러한 도구적 이해를 동반한 학습에는 다음과 같은 약점이 있다.

1. 학습할 공식의 양이 많아지면 이 모두를 암기하기가 힘들어진다. 결국 모든 내용을 정확히 암기하지 못해 잘못 적용할 수 있다.

2. 쉽게 잊을 수 있다. 즉 도구적으로 이해한 내용은 문제의 정확한 답을 구하는데 효과적이나 쉽게 잊어버리게 된다.

3. 수학적 개념 구조를 확장하기 어렵다(특정 공식의 유도 같은 질적, 유기적 성장하는 부분에 어려움을 갖게 된다).

4. 수학에 대해 내적 동기의 유발이 불가능하다(수학이 복잡해지고 어려워지면 문제를 해결할 수 없게 되어 흥미를 잃고 수학을 싫어하게 된다). 

관계적 이해는 다음과 같은 이유로 도구적 이해에 비해 장점을 갖는다.

1. 관계적으로 이해한 내용들은 새로운 과제에 적용하는데 도움이 된다. 

2. 기억하기가 더 쉽다. 각각의 공식을 관련된 전체의 부분으로서 기억하면 그들이 어떻게 관련되어 있는지를 알게 되고 학습한 내용이 오래 지속될 수 있다.

3. 관계적으로 이해하는 학습은 그 자체가 학습의 목적이 된다.

4. 관계적으로 이해한 개념구조는 질적으로 유기적이다. 학생이 관계적 이해를 통해 만족을 얻게 되면 능동적으로 새로운 자료를 찾고 새로운 분야를 탐구하게 된다. 

하지만 관계적 이해가 더 바람직함에도 다음과 같은 이유로 도구적 이해로 가르친다.

1. 관계적으로 이해하는데 많은 시간이 필요하다.

2. 학생들이 특정 주제를 배우기 위한 기초적 학습이 되어있지 않다.

3. 학생들이 관계적으로 이해했는지 평가하기가 쉽지 않다.

4. 관계적 이해로 지도하기 위해선 고도의 능력을 필요로 한다. 

(2) 기호적 이해와 논리적 이해

기호적 이해: 수학적 기호체계와 표기를 적절한 수학적 아이디어와 관련짓는 능력이다. 

예: 학생이 572를 세 개의 숫자가 나란히 쓰여진 것으로 이해하지 않고 \(5\times10^{2}+7\times10+2\)로 표시되는 하나의 수로 바르게 해석하면 이는 기호적으로 이해한 것이다.

논리적 이해: 주어진 가정과 공리나 정리와 같이 이미 참이라고 확인된 수학적 지식을 적절히 선택해 논리적 추론 고리에 따라 기술하는 것을 보여줄 수 있는 능력을 의미한다. 

예: 학생이 다음과 같이 방정식을 풀고$$\begin{align*}x+3&=7\\&=7-3\\&=4\end{align*}$$'제일 윗 줄에서 \(x\)에 3을 더하면 7이 되므로 우리는 7에서 3을 빼 \(x\)가 얼마인지 찾을 수 있다'라고 대답했다. 이 학생은 관계적 이해의 관점에서 틀리지 않았으나 연속되는 명제 사이에서 함의의 관계와 관련되는 논리적 이해가 부족한 것이다.

관계적 이해가 자신을 확신시키는 이해이면, 논리적 이해는 다른 사람을 확신시킬 수 있는 이해이다. 

(3) 반영적 지능과 지적학습

직관적이란 어떤 사물에 대해 즉시적으로 반응하는 것이고, 반영적이란 직관적 사고의 결과에 대한 반성을 통해 직관적 사고를 가능하게 한 개념 체계를 재조정하는 것이다. 다음의 그림은 반영적 지능 체계를 도식화한 것이다.

위의 왼쪽 직사각형은 반영적 지능, 오른쪽 직사각형은 직관적 지능체계를 나타낸다. 

직관적 지능체계는 환경으로부터 눈이나 귀와 같은 수용기를 통해 다양한 형태의 감각 자료를 받아들여 중재사고활동에서 직관적으로 사고 활동을 한 다음 그 환경에 대해 반응기(근육)를 사용하여 개인에 따라 다양한 행동을 하는 것이다.

반영적 지능에서 인식되고 활동되는 대상은 정신적 대상이며 이들은 사고활동으로 조작할 수 있다. 모든 수학적 활동은 정신적 활동이므로 수학을 할 수 있는 능력은 반영적 지능과 관계됨을 알 수 있다. 

예: \(16\times25=40\)임을 설명하라고 했을 때 학생이 \(4\times(4\times25)=4\times100=400\)이라고 설명했다면 이 설명은 곱셈의 결합법칙을 이용한 반영적 사고에 의해 이루어진 것이다.

학생이 자신의 스키마를 어떻게 사용하는지에 대해 어느 정도의 반영적 사고를 하게 되면, 더욱 중요한 단계로 도약할 수 있게 되며 스키마를 표현할 수 있고 새로운 스키마를 만들고 이것에 기초해 새로운 계획을 세울 수 있게 된다. 

스켐프는 학습 유형을 습관적 학습과 지적 학습으로 구분했다.

습관적 학습: 학생들의 바람직한 반응에 보상 효과를 줌으로써 그 반응을 습관화하는 것이다. 기능향상에 도움이 되나 새로운 상황에의 적용력이 떨어지며 방해가 될 수 있다.

지적 학습: 반영적 지능 체계를 활용해 학습목표로 접근하는 학습이다. 즉 학습자의 현재 상태를 학습자가 달성하고자 하는 목표 상태로 학습자의 상태를 바꾸는 것이다. 학습자의 상태를 바꾸기 위해서는 수용기관을 통해 정보를 입수하고 내적으로 표상하고 그것을 조정자라는 지시체계를 이용해 목표상태에 도달하게 된다. 다음의 그림은 지시체계이다.

지시체계는 외부 환경을 기준으로 현재상태와 목표상태를 비교하고, 현재상태와 목표상태가 일치할 때까지 그 차이를 줄이기 위해 상상 지시 행동계획을 직접 수립한다. 감지기는 현재 상태에 대한 정보를 얻고, 그것을 내적으로 표현한다. 또한 목표상태에 대한 내적 표현이 필요하며, 현재상태와 목표상태를 비교하는 비교자가 필요하다. 그리고 현재상태에서 목표상태로 상태변화를 하기 위해서 실제로 할 수 있는 행동계획이 필요하다.

프로이덴탈(Freudenthal)

프로이덴탈은 완성된 수학(ready-made mathematics)을 지도하는 것이 아닌 수학화(mathematising)를 지도해야 한다고 주장했다. 수학화는 현상이 수학을 포함한 다양한 것들의 영향을 받아서 변하고, 넓어지고, 깊어짐이 계속되는 과정이다. 즉 현상(실생활 소재 또는 이미 알고있는 수학)이 수학을 포함한 어떤 수단에 의해 조직되는 과정이라고 할 수 있다. 수학화에는 다음과 같이 수평적 수학화와 수직적 수학화가 있다.  

-수평적 수학화: 문제를 수학적으로 처리할 수 있게 하는 것이다. 즉 실생활의 세계에서 기호의 세계로 나아가는 것이다.

-수직적 수학화: 수학적 처리를 더욱 세련되게 하는 것이다. 즉 기호의 세계에서 기호들이 만들어지고 세련되며 조작되면서 다시 기호의 세계로 나아가는 것이다. 

다음은 프로이덴탈의 수학 학습지도 원리이다.

수학화를 경험시킨다는 것은 학습자로 하여금 주어진 상황으로부터 수학화의 활동을 통해 학습하고자 하는 수학을 구성하고 활용해 가게 하는 것을 뜻한다.

(1) 안내된 재발명과 사고실험: 

안내된 재발명: 학생들이 수학이 발명되는 과정과 유사한 과정을 경험할 수 있도록 교사가 안내해야 한다는 것으로 학생들에게 수학화의 과정을 경험시킬 수 있는 방법을 의미한다. 

사고실험: 교사가 실제로 지도하고자 하는 내용을 가상적인 학생들에게 지도하는 과정을 생각하면서 지도할 내용을 조정하고 계열화하는 과정이다. 이때 가상적인 학생들은 매우 활동적이며 적극적으로 학습에 참여함을 전제로 하여 학습과정에서 일어날 수 있는 모든 경우들을 생각해야 하며, 각 경우에 대해 어떻게 반응해야 할지를 결정해야 한다.

(2) 학습과정의 수준 상승: 어떤 단계에서 학습의 결과로 얻은 것은 다음 단계에서 다시 학습의 대상이 되며 이와 같은 반복작용에 의해 학습의 수준이 상승된다. 이는 현상과 본질의 교대작용에 의해 학습 수준이 상승된다는 것으로 여기서 현상은 연구의 대상, 본질은 연구의 결과 당연한 것으로 받아들여진 것을 뜻한다. 

예: 사잇값 정리(중간값 정리, 함수 \(f(x)\)가 닫힌(폐)구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(a)\neq f(b)\)일 때, \(f(a)\)와 \(f(b)\)사이의 임의의 값 \(k\)에 대해 \(f(c)=k\)인 \(c(a<c<b)\)가 적어도 하나 존재한다)라는 본질에 대해 다음의 상황은 현상이 될 수 있다.

-어떤 자동차가 고속도로에 진입하기 전 속력은 60km/h이고, 진입한 지 5분이 지났을 때의 속력은 110km/h였다. 이 자동차의 속력이 80km/h인 순간이 있었을까?

(3) 문맥수학: 학생들이 관심과 흥미를 갖고 상상력을 발휘할 수 있는 현실적인 풍부한 문맥에서 수학 학습을 하는 것이 바람직하다. 여기서 문맥(situation)은 어떤 구체적인 수업 과정에서 학생들에게 열려 있는 수학화되어야 할 현실의 영역이다. 교사는 학생들에게 흥미와 호기심 및 도전감을 촉진하는 적절하고 풍부한 문맥을 개발하고 학습지도에 활용해야 한다. 

참고자료:

수학교육학 정론, 강옥기 외 4인, 경문사

수학교육학 신론, 황혜정 외 5인, 문음사