[수학교육론] 5. 수학과 학습지도

[수학교육론] 5. 수학과 학습지도

수학과 학습지도

수학적 지식은 개념적 지식과 절차적 지식으로 구분된다.

개념적 지식은 개념 사이의 관계로 이루어진 지식이다. 어떤 개념을 다른 개념들과 관계를 형성하여 학습하는 것을 의미있는 학습이라고 한다. 즉, 의미는 개념 사이에 관계를 형성함으로써 생성되는 것이다. 개념적 지식은 의미있는 학습이고, 정보 사이의 관계형성으로 성취되므로 개념적 지식의 지도는 의미있는 학습이 되게 지도되어야 한다.  

개념적 지식을 형성하는 관계는 다음의 두 수준으로 구분된다.

-기본적 수준: 두 정보를 연결한 관계의 추상성이 그 정보들의 추상성과 같은 수준인 것을 뜻한다.   

-반영적 수준: 두 정보를 연결한 관계가 두 정보의 추상성보다 더 높게 추상된 것을 뜻한다. 여기서 추상성은 지식의 단위가 구체적인 상황에 연결되어 있는 정보를 뜻하고, 지식이 구체적인 상황으로부터 자유로워질수록 증가한다. 

절차적 지식은 구체적인 계열을 따라 절차를 실행하는 능력이다. 절차적 지식은 상이한 두 부분으로 형성되어 있고, 한 부분은 수학의 형식적 언어 또는 기호체계로, 다른 한 부분은 수학적 과제를 완성하기 위한 알고리즘이나 법칙 또는 수학적 과제를 해결하기 위한 절차들로 구성되어 있다. 

개념들 사이의 관계를 생각하지 않고 구체적인 상황에 국한하여 학습하는 것을 기계적 학습이라고 한다. 이때 

-각 순서 사이에 관계를 형성하면서(이해하면서) 절차를 수행하면 의미있는 학습이 된다.

-절차의 순서를 암기에 의해 수행하면 기계적 학습이 된다.

따라서 절차적 지식을 지도할 경우 의미있는 학습이 되도록 주의를 기울어야 한다. 

수학과 내용 교수 지식

내용 교수 지식(PCK, Pedagogical Content Knowledge)은 특정 내용을 특정 학생들의 이해를 촉진할 수 있도록 가르치는 방법에 대한 교사의 지식이다. PCK는 교과 내용, 일반 교수법 및 상황에 대한 지식과 신념 등 교사 지식을 구성하는 다른 영역들로부터 지식이 변형되었으며 상호 영향을 주고받는다. 즉, 교사 지식을 구성하는 다른 영역들의 영향을 받아 산출된 PCK는 역으로 이들 기초 지식 영역의 발달을 자극하게 된다. 

수학과 내용 교수 지식은 교사가 자신의 교과 지식과 교수 경험을 통해 발전시켜나가는 것으로 특정한 수학 내용을 학생들이 이해할 수 있는 방식으로 가르치는 방법에 대한 지식이다. 수학 PCK가 제대로 구현되고 발현되려면 무엇보다 가르치는 수학 내용에 대해 정확한 개념적 이해를 갖추고 있어야 한다. 

개념의 학습지도

개념의 본질

NCTM은 개념은 일반적이고 기본적인 아이디어(예: 추론하기, 문제형성, 비형식적 상황에서 문제해결에 필요한 아이디어)로 정의했다. 개념은 두 종류이고 하나는 정의를 필요로 하는 것(예: 마름모, 분수)이고, 다른 하나는 문장으로 표현된 관계(예: '실수 집합에서의 곱셈은 교환법칙이 성립한다')이다. 

개념의 형성되는 과정은 경험에 의해 형성되는 경우와 구체적 설명에 의해 형성되는 경우가 있다. 경험을 추상화하여 개념을 갖게 되는 것을 개념형성(비언어적 개념), 다른 개념을 사용한 설명에 의해 새로운 개념을 갖게 되는 것을 개념동화라고 한다(언어적 개념).

수학적 개념들은 대부분 언어적 개념이다(학교 교육은 언어적 개념의 지도에 중점을 두고 있다). 헌트는 개념을 어떤 대상을 서술하고자 할 때 어떤 이름이 적용될 수 있는지 없는지를 구체적으로 나타내주는 결정 규칙이다.    

개념의 지도방법

(1) 정의하기: 정의는 어떤 개념을 나타내는 용어를 최대한 명확하면서도 간결하게 진술한 문장이다. 어떤 개념에 대한 정의가 있으면, 그 정의의 다른 표현, 역, 이, 대우가 모두 성립하는 특성이 있다. 

(2) 예를들기: 개념을 정의한 후 또는 그 개념에 대한 충분조건을 제시하고 설명한 후, 그 개념을 더욱 분명하게 이해하도록 돕기 위해 교사는 몇 개의 예를 제시한다. 이때 예는 가능한 한 단순하고 간결하여 쉽게 이해할 수 있는 것이 좋다. 

(3) 비교, 대조하기: 어떤 개념의 이해를 돕기 위해 예를 제시했으면 그 예들의 공통점을 비교하고 차이점을 대조해 봄으로써 그 개념을 구성하는 조건과 논리를 더욱 분명하게 이해하는데 도움을 줄 수 있다.

(4) 반례 들기: 어떤 개념에 대한 학생의 진술 또는 대답에 모순이 있음을 발견하고 그것을 교정해 주려고 할 경우, 학생의 진술에 모순이 있음을 보여주는 예(반례)를 보여줌으로써 학생의 진술에서 잘못된 부분을 지적해 줄 수 있다.

(5) 필요조건 제시: 학생의 진술이 어떤 개념을 만족하지 못할 경우, 그 진술은 개념을 만족하기 위한 조건들의 일부만 만족한 것일 수 있다. 이때 교사는 학생에게 그 개념을 성립하게 하는 남은 조건(필요조건)을 찾아보게 함으로써 개념을 완전하게 이해하도록 도울 수 있다.

(6) 필요충분조건 제시: 어떤 개념을 지도한 뒤 그 개념을 나타내는 다른 필요충분조건들을 제시하게 하고 정의와의 관련을 생각해 보게 한다.

(7) 거짓예 들기: 개념을 지도하기 위해 정의를 하고 예를 제시할 때, 예가 될 수 없는 것, 즉 그 개념을 만족하지 못하는 거짓예(반례가 아님에 유의)를 함께 제시하는 것은 그 개념의 이해에 도움이 된다. 

지도상의 유의점

1. 학생들의 지적 능력과 개념적 배경은 무엇인가?

2. 이 개념을 교사 자신이 배울 때 또는 다른 반에서 지도할 때의 경험은 어떠했는가?

3. 이 개념은 얼마나 중요한가?

수학적 일반성의 학습지도

수학적 일반성

-수학적 원리: 수학적 개념 사이에 성립하는 특수한 관계가 일반화되고 증명된 것으로써 수학의 학습과 활용에중요한 역할을 하는 것

-수학적 법칙: 수학적 원리의 알고리즘적 성질을 강조한 것으로서 활용에 중점을 둔것

수학적 원리와 수학적 법칙을 통틀어 수학적 일반성이라고 한다. 수학적 일반성을 지도하는 방법은 다음과 같이 두 가지로 나누어 생각할 수 있다. 하나는 '(교사의) 설명에 의한 수학적 일반성의 지도'이고, 다른 하나는 '(발견술을 위주로 하는) 안내된 발견에 의한 수학적 일반성의 지도'이다.

설명에 의한 수학적 일반성의 지도 방법

(1) 원리, 법칙 제시

(2) 예 들기

(3) 적용하기

(4) 설명하기

(5) 거짓예 들기

(6) 정당화하기

안내된 발견에 의한 수학적 일반성의 지도 방법

소크라테스의 방법(산파법)과 같이 교사의 잘 계획된 일련의 질문에 따라 학생들이 학습활동을 진행함으로써 학생 스스로 수학적 원리나 법칙을 발견하는 학습방법을 안내된 발견학습이라고 한다. 

발견학습의 관점은 두 가지가 있다. 하나는 발견의 과정을 학습하게 하는 데 중점을 두는 것이고, 다른 하나는 발견의 결과를 학습하게 하는데 중점을 두는 것이다. 발견의 과정에 중점을 둔 학습은 발견을 위한 전략의 학습에 중점을 두고, 발견의 결과에 중점을 둔 학습은 지도하고자 하는 수학적 원리나 법칙을 학생이 어떻게 활동함으로서 발견할 수 있는가이다. 

교사의 의도된 질문에 따라 학생이 학습한 결과 최종적으로 수학적 개념이나 원리, 법칙을 발견하고 진술하게 하는 방법을 안내된 발견 전략이라고 한다.

수학자들은 새로운 수학적 원리나 법칙을 발견하는 과정을 분석하면 기본적으로 귀납적 발견전략과 연역적 발견전략을 사용한다.

(1) 귀납적 발견 전략

귀납적 주장은 1. 예측한 결론의 타당성을 지원하는 예시자료, 2. 귀납적 주장의 결론 이 두 부분으로 구성된다. 귀납에 의한 추론의 특성은 검색한 것으로부터 검색하지 않는 것으로의 추론이라고 할 수 있다. 

귀납적 발견 활동에는 1. 추상화, 2. 일반화의 두 과정이 있다. 귀납적 발견학습에서는 먼저 주어진 집합의 원소 사이에서 공통성을 찾아 이를 추상화하고, 다음에는 처음 탐색된 집합을 포함하는 더 넓은 집합에서도 학생이 발견한 추상화가 성립하도록 일반화한다. 

귀납에 의해 발견된 원리나 법칙이 성립하는가를 확신하기 위해 그것을 적용하는 예를 생각해 볼 수 있고, 그 예를 판정과제라고 한다. 

(2) 연역적 발견 전략

연역적 발견의 본질은 학생들에게 여러가지 수학적 개념과 원리를 제시하고 이미 알고있는 지식으로부터 논리적 연역을 하여 이전에 알려지지 않았던 새로운 수학적 지식을 유도하게 하는 것이다. 이를 위해서 귀납적 방법과 마찬가지로 교사의 적절한 질문과 권고에 의한 안내가 뒷받침되어야 한다.

연역적 발견전략으로 수학적 일반성을 발견하게 하려고 할 때 교사는 학생이 일반성으로 접근할 수 있도록 적절한 질문과 권고를 제시해야 하고, 잘못된 것을 유도하거나 진전이 없을 때는 적절한 질문, 권고, 힌트를 통해 바른 방향으로 나아가게 해야 한다. 

(3) 귀납적 발견 전략과 연역적 발견 전략의 혼용

발견의 형식은 귀납적, 연역적 발견으로 구분되고, 발견학습법으로 수학적 원리나 법칙을 지도할 때 다음의 두 요인을 고려해야 한다.

1. 학생의 인지능력 수준이 귀납적 발견(규칙성을 유도하고 일반화하는 능력)활동과 연역적 발견활동(논리적 추론능력)을 어느정도 수행할 수 있는지를 확인하고 그 수준에 맞는 방법을 택해야 한다. 

2. 지도하려는 과제는 귀납적 방법과 연역적 방법 중 어느 것이 적절한가를 판단해야 한다. 

지도상의 유의점

1. 학생들이 발견해야 할 일반성을 명확히 의식하고 있어야 한다.

2. 귀납적 전략이나 연역적 전략 또는 이들을 조합하여 사용할 것을 결정하기 전에 적절한 요소들을 충분히 고려해야 한다. 

3. 귀납적 발견전략을 사용할 경우, 일반성을 적용할 수 있는 대표적인 예들을 먼저 충분히 다루어야 한다.

4. 여러 가지 예들을 순서있게 배열하는 것이 효과적이라면, 그 배열순서를 계획해야 한다.

5. 학생들의 발견을 증명하게 하는데 이때 증명은 연역적이어야 한다.

6. 발견한 일반성을 응용하게 함으로써 발견을 강화한다. 발견술을 지도함으로써 다음의 이점을 얻을 수 있다.

-발견하는 능력의 전이

-발견한 지식의 보유

기능의 학습지도

수학적 기능

수학적 능력은 개념적 지식과 절차적 지식으로 나눌 수 있다. 개념적 지식의 중요한 내용은 수학적 개념과 수학적 일반성이고, 절차적 지식의 중요한 내용은 수학적 기능과 문제해결력이다. 수학적 과제를 정확하고 빠르게 처리하는 능력을 수학적 기능이라고 한다.  

수학적 기능의 지도는 교사가 적절한 시범을 보여 학생들이 모방할 수 있게 해야 하며, 그 기능에 관한 수학적 원리나 법칙에 대한 지식과 그것을 사용하는 적절한 연습을 제공해야 한다. 

수학적 기능의 지도방법

(1) 기능제시: 지도하고자 하는 수학적 기능의 실행 순서를 제시한다.

(2) 설명: 지도하고자 하는 기능의 알고리즘을 잘 이해할 수 있도록 설명한다. 설명을 할 경우 알고리즘에 사용되는 용어들에 대해 정확히 이해할 수 있도록 쉽게 적절한 방법으로 예를 들어 설명해야 한다.

(3) 타당성 확인: 지도하고자 하는 수학적 기능의 알고리즘이 타당함을 확인할 수 있게 한다. 다음은 타당성을 확인하게 하는 방법이다.

1. 교사가 제시한 기능의 순서를 따라한 결과가 타당함을 학생들이 다른 방법으로 확인하여 보는 것이다(실제적 타당성 확인). 

2. 교사가 제시한 기능의 방법이 논리적으로 정당함을 입증해 보이는 것이다(연역적 타당성 확인).

(4) 연습: 계산 방법이나 법칙 등을 적용해 보는 충분한 연습을 한다. 이 연습을 통해 수학적 처리 능력의 정확성과 신속성이 높아진다.

지도상의 유의점

수학적 기능 지도를 위한 계획수립은 상황에 따라 다양하게 계획될 수 있다. 기능을 지도하기 위한 계획을 수립할 때, 다음 상황을 충분히 고려하여 상황에 맞게 수립한다.

-가르치고자 하는 기능이 무엇인지 명확히 파악한다.

-지도하고자 하는 기능의 절차를 명확히 한다.

-학습목표와 동기유발을 제시하는 적절한 방법을 준비한다.

-기능의 절차를 설명하려고 할 때 어려워하거나 모르는 용어는 없는지, 적절한 예는 무엇인지 조사한다.

-학생들에게 기능의 절차를 잘 확신하게 할 수 있는 방법을 모색한다.

-연습과제를 제시하기 전에 학생들이 그 기능의 절차를 실행할 수 있음을 확신할 수 있어야 한다.

-적정량의 연습과제를 제시해야 한다. 필요 이상의 연습은 도움이 안될 뿐더러 학습에 대한 흥미를 상실하게 할 수 있다.

증명의 학습지도

증명

실생활에서 사용하는 증명은 자기의 주장을 남에게 확신시키는 것이고, 수학에서 사용하는 증명은 특수한 형식을 갖추어 어떤 주장이 타당함을 전개하는 것이다. 이와 같은 증명을 완전한 증명이라고 한다. 

*과학이나 사회과학의 연구에도 증명을 통해 새로운 사실이나 자기의 주장이 타당함을 보인다. 이 경우 실험, 통계 또는 귀납적 추론을 주로 사용하고 논리적으로 완전함이 보장되지 못한다. 이러한 논리적으로 불완전한 증명을 불완전한 증명이라고 한다. 

수학에서의 증명은 명제와 정의 및 공리 또는 명제와 명제 사이의 관계를 밝혀주고, 그 결과 수학을 구조화하는데 도움을 준다. 따라서 수학을 학습하는 학생들은 수학의 본질을 이해하기 위해서 증명을 이해할 수 있어야 한다. 

논리적 추론규칙

완전한 증명의 과정은 논리적 추론의 규칙을 지켜야 한다. 다음은 증명에 이용되는 논리적 추론의 규칙이다.

(1) 삼단긍정논법: 가정(p)과 결론(q)으로 이루어진 어떤 명제가 참임을 알고 있을 때, 그 명제의 가정이 참임을 알면 결론도 참이라고 규정하는 논증의 방법이다.(\((p\,\rightarrow\,q)\vee p\,\Rightarrow\,q\)) 

예: 피타고라스의 정리를 알고 있다면, 어떤 직각삼각형에서 세 변의 길이를 알고 있을 때 빗변의 제곱을 다른 두 변의 제곱의 합과 같다는 것을 참으로 받아들이는 것이다.

(2) 삼단부정논법: 가정(p)과 결론(q)으로 이루어진 어떤 명제가 참임을 알고 있을 때에 그 명제의 결론의 부정을 알고 있으면 가정은 참이 아니라고 규정하는 논증의 방법이다.(\((p\,\rightarrow\,q)\vee\sim q\,\Rightarrow\,\sim p\))

예: 피타고라스 정리를 알고 있다면, 빗변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합보다 클 때 그 삼각형은 직각삼각형일 수 없다는 것이다. 

(3) 조건삼단논법(추이법칙): 두 명제 'p이면 q이다'와 'q이면 r이다'가 참임을 알고 있을 때에 p가 참임을 알면 r이 참이라고 규정하는 논증의 방법이다.(\((p\,\rightarrow\,q)\vee(q\,\rightarrow\,r)\Rightarrow(p\,\rightarrow\,r)\)) 

예: 방정식 \(x^{2}-4=0\)이면 \((x+2)(x-2)=0\)이 성립하고, \((x+2)(x-2)=0\)이 성립하면 \(x=2\) 또는 \(x=-2\)가 성립한다. 따라서 \(x^{2}-4=0\)의 해는 \(x=2\) 또는 \(x=-2\)이다.  

(4) 선언삼단논법: 두 명제 p, q가 있고, p 또는 q가 참임을 알고 있을 때에 p가 참이 아니라면 q가 참이라고 규정하는 논법이다.(\((p\wedge q)\vee\sim p\,\Rightarrow\,q\)) 

예: 방정식을 푸는 과정에서 \(x=2\) 또는 \(x=-2\)를 알았지만 \(x\)는 음수가 될 수 없다는 조건이 있으면 \(x=2\)가 그 방정식의 해가 되는 것이다.

증명의 방법

추론의 규칙을 사용하여 어떤 명제가 참임을 증명하는 것을 완전한 증명, 간단히 증명이라고 한다. 증명의 방법으로 직접증명법, 간접증명법, 반례법, 수학적귀납법이 있다.

(1) 직접증명법: 어떤 명제가 참임을 증명하고자 할 때에 추론의 규칙을 이용해 그 명제의 가정으로부터 결론을 이끌어내는 방법이다. 

예: 피타고라스 정리를 증명할 경우, 직각삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 세 개의 정사각형을 만들고 가장 큰 정사각형의 넓이가 다른 두 정사각형의 넓이의 합과 같음을 증명하는 방법은 직접증명법이다(중학교 수학에서 많이 사용된다).

(2) 간접증명법: 직접증명법으로 증명을 하는것이 복잡하거나 어려운 경우, 증명하고자 하는 명제를 부정함으로써 모순을 도출해 그 명제를 부정할 수 없음을(명제가 참이라고 규정하는) 증명하는 증명법이다. 

어떤 명제의 가정이 거짓이면 그 명제의 결론의 참, 거짓에 관계없이 항상 참이 되기 때문에 가정이 거짓인 명제는 증명의 대상에서 제외하고 따라서 간접증명을 위해 명제를 부정할 때는 결론을 부정한다. 

-대우법: 명제의 결론을 부정한 결과 그 명제의 가정에 모순됨(가정의 부정을 도출)을 보임으로써 그 명제가 참임을 보이는 증명법이다.

-귀류법: 결론의 부정이 참이라고 밝혀진 다른 사실(공리, 정의, 정리 등)에 모순됨을 보임으로써 그 명제가 참임을 보이는 증명법이다.    

예: \(\sqrt{2}\)는 무리수임을 증명하기 위해 \(\displaystyle\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)(기약분수)로 놓고 모순을 찾는다.   

(3) 반례법: 어떤 주장이 거짓임을 보이려면 그 주장이 성립하지 않는 한 예를 제시할 수 있으면 충분하다.

예: "\(x\leq2\)이면, \(x^{2}<4\)"라는 명제가 거짓임을 보이기 위해 \(x=-3\)을 반례로 제시한다.  

(4) 수학적귀납법: 자연수 \(n\geq k\)에 대한 어떤 성질 \(p(n)\)이 타당함을 증명하는데 사용되는 한 증명방법으로 다음의 수학적 귀납법의 원리를 이용한다.

수학적 귀납법의 원리

1. \(p(k)\)는 참이다.

2. 임의의 자연수 \(n(\geq k)\)에 대하여 \(p(n)\)이 참이라고 가정하면, \(p(n+1)\) 

3. 그러면 모든 자연수 \(n(\geq k)\)에 대하여 \(p(n)\)은 참이다

수학적 귀납법은 귀납적 증명법 같아보이지만 실제로는 연역적 증명법이다. 

불완전한 증명과 사회적 추론

가정이 참임에도 불구하고 결론이 항상 참이라고 추구할 수 없는 추론이 있다. 이러한 추론들은 수학에서 증명을 위해 사용할 수는 없으나 어떤 사실이 성립할 것이라고 예측을 하는 데에 도움이 되는 경우가 많다. 실생활에서 사용되는 추론들은 불완전한 추론인 경우가 많고, 주로 역과 이를 사용한다.

*어떤 명제가 참이라고 해서 그 명제의 역, 이가 항상 참이되지는 않는다.

다음은 타당하지 않은 사회적 추론의 예다.

-두 사람의 후보가 출마해 선거유세를 하면서 상대의 약점이나 실책을 들추어내 공격하고 자기를 간접적으로 내세운다(\((p\wedge q)\vee\sim q\,\Rightarrow\,p\)). 

-"이 세상에서 가장 맛있는 갈비를 먹고 싶으면 ○○식당으로 오시오"(명령문은 명제가 아니다)

문제해결 학습지도

문제해결 학습지도는 학생 스스로가 생소한 문제를 적절한 방법을 사용하여 해결하는 능력을 갖도록 지도하는 것이다. 학생들에게 문제해결을 지도할 때 교사는 다음과 같은 지도 원리를 고려해야 한다.

1. 문제해결을 위한 사고방법과 기본적인 전략을 이해하고 사용할 수 있게 해야 한다.

2. 적절한 방법과 도구를 사용할 수 있게 한다.

3. 협동하여 문제를 해결하는 능력을 기르게 한다.

4. 실제적인 문제를 해결하는 능력을 기르게 한다. 

문제해결 지도와 방법

다음은 폴리아의 문제해결 학습지도의 절차와 방법이다.

1. 학습자가 문제를 해결하고자 하는 의욕이 생기도록 학습 분위기를 안정되게 한다. 

2. 일제학습을 하게 한다. 교사가 전체 학생들을 대상으로 하여 지도하고자 하는 특수한 전략이나 문제유형에 대하여 특성을 설명한다.

3. 소집단 활동을 하게 한다. 소집단을 형성하여 교사가 지시하는 순서에 따라 문제해결 활동을 한다. 

4. 각 소집단의 대표들은 얻은 결과를 전체 학급에 발표하고 그 방법이나 결과에 대해 토론하게 한다.

5. 개별학습 활동을 하게 한다. 

지도상의 유의점

(1) 학생들이 문제를 이해하고 있음을 확인한다: 학생들이 문제를 정확하게 이해하도록 돕기 위하여 다음 사항들을 확인해야 한다.

1. 학생들은 문제 안에 있는 용어와 기호의 의미를 바르게 이해하고 있는가?

2. 학생들은 문제에 주어진 자료, 조건, 찾고자 하는 것, 가정과 결론을 하나하나 확인하고 있는가?

3. 학생들은 문제가 요구하는 것을 지적할 수 있는가?

4. 학생들은 문제를 자신의 말로 진술할 수 있는가?

(2) 학생들이 문제해결을 위한 계획 수립에 도움이 되는 적절한 자료를 모으는 것을 돕는다: 문제해결을 위한 효과적인 계획을 수립할 수 있도록 돕기 위해 교사는 다음과 같은 사항들을 생각해 볼 수 있다.

1. 학생들이 주어진 조건을 분석함으로써 필요한 자료를 모으는 것을 돕는다.

2. 학생들이 유사한 문제를 분석함으로써 필요한 자료를 얻도록 돕는다.

3. 학생들이 비효과적 접근 때문에 지치기 시작하면, 다른 시각에서 문제를 볼 수 있도록 돕는다.

(3) 문제해결에 집중하는 분위기를 제공한다: 학생들이 문제해결에 집중하도록 하기 위해 다음과 같은 사항을 생각할 수 있다.

1. 어려움에 봉착해 실망할 가능성이 있는 학생에게 적절한 힌트를 주고 격려한다.

2. 학생들이 예측을 하고 검증하게 하며, 떠오르는 예상을 따르도록 격려한다. 그 결과 학생들에게 문제에 대한 다양한 해결방법을 찾을 수 있게 한다.

3. 학생들에게 문제를 이해하게 하고, 분위기를 제공하고, 힌트를 준 다음 학생들이 문제를 해결할 때까지 충분히 기다린다.

(4) 학생이 한 가지 해를 구했다면, 그 문제와 그 해의 의미를 반성하도록 격려한다.: 문제와 해결방법에 대한 반성을 돕기 위해 다음 사항들을 생각할 수 있다.

1. 해결한 문제의 구조와 해결 방법을 되돌아보게 한다.

2. 한 문제의 풀이에 대한 더 좋은 방법은 없는지 생각하게 한다.

3. 주어진 문제를 다양하게 변형하여 탐구하게 한다. 

문제해결 자료 개발

문제해결을 위한 자료개발 방법으로서 다음과 같은 방법들을 생각할 수 있다.

1. 수학의 기본적인 개념이나 성질을 학생들이 스스로 발견해 보도록 발문을 통해 유도한다.

2. 어떤 문제를 해결하게 한 뒤 문제를 변형하거나 관련된 문제를 생각해 보게 한다(문제의 구조에 따른 해결방법을 이해하게 하는 데 도움을 준다).

3. 실생활에 관련된 상황을 문제로 다룰 수 있다.

4. 수학적 호기심을 자극하는 퍼즐 문제를 활용할 수 있다. 

(예: 디오판토스 묘비문제, 문자의 값 구하기(TWO+TWO=FOUR))

5. 학생들의 답변을 활용할 수 있다. 

참고자료: 

수학교육학 정론, 강옥기 외 4인, 경문사