[선형대수학] 2008학년도 중등교사 임용시험 10번, 2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 논술형 2번

[선형대수학] 2008학년도 중등교사 임용시험 10번, 2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 논술형 2번

2008학년도 중등교사 임용시험 10번

실수체 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간 $$P_{2}=\{a+bx+cx^{2}\,|\,a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\}$$ 에 대하여 선형변환(linear transformation) $T:\,P_{2}\,\rightarrow\,P_{2}$가 다음을 만족한다고 하자. $$\begin{align*}T(1+x)&=1+x^{2}\\T(x+x^{2})&=x-x^{2}\\T(1+x^{2})&=1+x+x^{2}\end{align*}$$ 이때, $T(4+2x+3x^{2})$을 구하시오. 

풀이: 먼저 $1+x$, $x+x^{2}$, $x+x^{2}$가 일차독립임을 보이자. $$\begin{align*}&a(1+x)+b(x+x^{2})+c(1+x^{2})\\&=(a+c)+(a+b)x+(b+c)x^{2}\\&=0\end{align*}$$ 이므로 $$a+c=0,\,a+b=0,\,b+c=0$$ 이고 $a=b=c=0$이므로 따라서 $1+x$, $x+x^{2}$, $1+x^{2}$는 일차독립이다.

$4+2x+3x^{2}$를 다음과 같이 $1+x$, $x+x^{2}$, $1+x^{2}$의 선형결합(linear combination)으로 나타내자. $$\begin{align*}4+2x+3x^{2}&=p(1+x)+q(x+x^{2})+r(1+x^{2})\\&=(p+r)+(p+q)x+(q+r)x^{2}\end{align*}$$ 그러면 $$p+r=4,\,p+q=2,\,q+r=3$$ 이고 $\displaystyle p=\frac{3}{2},\,q=\frac{1}{2},\,r=\frac{5}{2}$이다. 따라서 $$\begin{align*}T(4+2x+3x^{2})&=T\left(\frac{3}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(x+x^{2})+\frac{5}{2}(1+x^{2})\right)\\&=\frac{3}{2}T(1+x)+\frac{1}{2}T(x+x^{2})+\frac{5}{2}T(1+x^{2})\\&=\frac{3}{2}(1+x^{2})+\frac{1}{2}(x-x^{2})+\frac{5}{2}(1+x+x^{2})\\&=4+3x+\frac{7}{2}x^{2}\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle T(4+2x+3x^{2})=4+3x+\frac{7}{2}x^{2}$이다. 

2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 논술형 2번

다음 $4$개의 복소함수 $$f_{1}(z)=z,\,f_{2}(z)=\overline{z},\,f_{3}(z)=e^{z},\,f_{4}(z)=e^{\overline{z}}$$ 로 생성되는 복소 벡터공간 $$\{a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+a_{4}f_{4}\,|\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}\in\mathbb{C}\}$$ 를 $V$라 하자. 여기서 $\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수이다. 

복소평면 $\mathbb{C}$ 상의 시계반대방향의 단위원 $C:|z|=1$에 대하여 사상(map) $T:V\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 다음과 같이 정의하자. $$T(f)=\int_{C}{f(z)dz}$$ $T$가 선형사상임을 증명하시오. 선형사상 $T$의 핵(kernel) $\text{Ker}(T)$의 기저를 구하고, $\text{Ker}(T)$를 이용하여 $T^{-1}(2)=\{f\in V\,|\,T(f)=2\}$를 나타내시오.

풀이: 임의의 $f(z),\,g(z)\in V$와 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{C}$에 대하여 $$\begin{align*}T(\alpha f+\beta g)&=\int_{C}{\{\alpha f(z)+\beta g(z)\}dz}\\&=\alpha\int_{C}{f(z)dz}+\beta\int_{C}{g(z)dz}\\&=\alpha T(f)+\beta T(g)\end{align*}$$ 이므로 $T$는 선형사상이다. 

$f_{1}(z)=z,\,f_{3}(z)=e^{z}$는 정함수(entire)이므로 코시-구르사 정리(Cauchy-Goursat theorem)에 의해 $\displaystyle\int_{C}{f_{1}(z)dz}=\int_{C}{f_{3}(z)dz}=0$이다. 

$C$를 $C:\,z=e^{it}\,(0\leq t\leq2\pi)$로 나타낼 수 있고, $z\in C$에 대하여 $1=|z|^{2}=z\overline{z}$이므로 $\displaystyle\overline{z}=\frac{1}{z}$이고 $$\begin{align*}\int_{C}{f_{2}(z)dz}&=\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{e^{it}}ie^{it}dt}=2\pi i\\ \int_{C}{f_{4}(z)dz}&=\int_{C}{e^{\frac{1}{z}}dz}=2\pi i\text{Res}_{z=0}e^{\frac{1}{z}}=2\pi i\end{align*}$$ 이다. 그러면 $$\int_{C}{f_{1}(z)dz}=\int_{C}{f_{3}(z)dz}=0,\,\int_{C}{f_{2}(z)dz}=\int_{C}{f_{4}(z)dz}=2\pi i$$ 이므로 $$\text{Ker}(T)=\{a_{1}f_{1}+a_{2}(f_{2}-f_{4})+a_{3}f_{3}\,|\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3}\in\mathbb{C}\}$$ 이고 $\{f_{1},\,f_{2}-f_{4},\,f_{3}\}$이 일차독립임을 보이자. 

$b_{1},\,b_{2},\,b_{3}\in\mathbb{C}$에 대하여 $$b_{1}f_{1}+b_{2}(f_{2}-f_{4})+b_{3}f_{3}=b_{1}z+b_{2}(\overline{z}-e^{\overline{z}})+b_{3}e^{z}=0$$ 이라 하자. 위 식에 $z=0$, $z=1$, $z=i$를 대입하면 $$-b_{2}+b_{3}=0,\,b_{1}+b_{2}+(b_{3}-b_{2})e=0,\,(b_{1}-b_{2})i-b_{2}e^{-i}+b_{3}e^{i}=0$$ 이고 $b_{1}=b_{2}=b_{3}=0$이므로 $\{f_{1},\,f_{2}-f_{4},\,f_{3}\}$은 일차독립이고 따라서 $\text{Ker}(T)$의 기저이다. $$\begin{align*}T^{-1}(2)&=\left\{ a_{1}f_{1}+a_{2}(f_{2}-f_{4})+a_{3}f_{3}+\frac{1}{\pi i}f_{4}\,|\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3}\in\mathbb{C} \right\}\\&=\frac{1}{\pi i}f_{4}+\text{Ker}(T)\end{align*}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle T^{-1}(2)=\frac{1}{\pi i}f_{4}+\text{Ker}(T)$이다. 

*$T^{-1}(2)$를 $f_{4}$ 대신 $f_{2}$를 이용해 나타내도 된다.