[현대대수학] 2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 서술형 2번, 2020학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 11번

[현대대수학] 2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 서술형 2번, 2020학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 11번

2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 서술형 2번

다항식 $x^{6}+3$의 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서의 분해체(splitting field)를 $K$라 하면 갈루아군 $G(K/\mathbb{Q})$의 위수(order)는 $6$임을 증명하시오.

풀이: 아이젠슈타인 판정법(Eisenstein criterion)($p=3$)에 의해 $x^{6}+3$은 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약다항식이다. $$\alpha=\sqrt[6]{3}i,\,\zeta=e^{\frac{\pi}{3}i}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ 에 대해 $$\alpha,\,\alpha\zeta,\,\alpha\zeta^{2},\,\alpha\zeta^{3},\,\alpha\zeta^{4},\,\alpha\zeta^{5}$$ 는 $x^{6}+3$의 서로 다른 근이고 $\displaystyle\zeta=\frac{1-\alpha^{3}}{2}$이므로 $$K=\mathbb{Q}(\alpha,\,\alpha\zeta,\,\alpha\zeta^{2},\,\alpha\zeta^{3},\,\alpha\zeta^{4},\,\alpha\zeta^{5})$$ 이다. $x^{6}+3$은 $\mathbb{Q}$ 위에서 분리다항식이므로 따라서 $$|G(K/\mathbb{Q})|=[K:\mathbb{Q}]=\text{deg}(x^{6}+3)=6$$ 이다.    

2020학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 11번

유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서 다항식 $x^{24}-1$의 분해체(splitting field)를 $K$라 하자. 갈루아군(Galois group) $G(K/\mathbb{Q})$의 위수(order)와 복소수 $\zeta=e^{\frac{\pi}{12}i}$의 $\mathbb{Q}$ 위에서의 기약다항식(irreducible polynomial) $\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q})$을 각각 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, $i=\sqrt{-1}$)

풀이: $\zeta=e^{\frac{\pi}{12}i}$는 $x^{24}-1$의 근이므로 $K=\mathbb{Q}(\zeta)$이고 $$|G(K/\mathbb{Q})|=[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=\phi(24)$$ 이므로 $$|G(K/\mathbb{Q})|=\phi(24)=\phi(3)\phi(8)=4\cdot2=8$$ 이다. $$\begin{align*}x^{24}-1&=(x^{12}+1)(x^{12}-1)\\&=(x^{12}+1)(x^{4}+1)(x^{8}-x^{4}+1)\end{align*}$$ 이고 $$\zeta^{12}-1\neq0,\,\zeta^{4}-1\neq0$$ 이므로 $\zeta$는 $x^{8}-x^{4}+1$의 한 근이다. 따라서 $\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q})$는 $x^{8}-x^{4}+1$의 약수이고, $[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=8$이므로 $\text{deg}(\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q}))=8$이고 따라서 $\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q})=x^{8}-x^{4}+1$이다.