[현대대수학] 2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 서술형 2번, 2020학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 11번
2014학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 서술형 2번
다항식 \(x^{6}+3\)의 유리수체 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 분해체(splitting field)를 \(K\)라 하면 갈루아군 \(G(K/\mathbb{Q})\)의 위수(order)는 \(6\)임을 증명하시오.
풀이: 아이젠슈타인 판정법(Eisenstein criterion)(\(p=3\))에 의해 \(x^{6}+3\)은 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 기약다항식이다.$$\alpha=\sqrt[6]{3}i,\,\zeta=e^{\frac{\pi}{3}i}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$에 대해$$\alpha,\,\alpha\zeta,\,\alpha\zeta^{2},\,\alpha\zeta^{3},\,\alpha\zeta^{4},\,\alpha\zeta^{5}$$는 \(x^{6}+3\)의 서로 다른 근이고 \(\displaystyle\zeta=\frac{1-\alpha^{3}}{2}\)이므로$$K=\mathbb{Q}(\alpha,\,\alpha\zeta,\,\alpha\zeta^{2},\,\alpha\zeta^{3},\,\alpha\zeta^{4},\,\alpha\zeta^{5})$$이다. \(x^{6}+3\)은 \(\mathbb{Q}\) 위에서 분리다항식이므로 따라서$$|G(K/\mathbb{Q})|=[K:\mathbb{Q}]=\text{deg}(x^{6}+3)=6$$이다.
2020학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 11번
유리수체 \(\mathbb{Q}\) 위에서 다항식 \(x^{24}-1\)의 분해체(splitting field)를 \(K\)라 하자. 갈루아군(Galois group) \(G(K/\mathbb{Q})\)의 위수(order)와 복소수 \(\zeta=e^{\frac{\pi}{12}i}\)의 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 기약다항식(irreducible polynomial) \(\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q})\)을 각각 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, \(i=\sqrt{-1}\))
풀이: \(\zeta=e^{\frac{\pi}{12}i}\)는 \(x^{24}-1\)의 근이므로 \(K=\mathbb{Q}(\zeta)\)이고$$|G(K/\mathbb{Q})|=[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=\phi(24)$$이므로$$|G(K/\mathbb{Q})|=\phi(24)=\phi(3)\phi(8)=4\cdot2=8$$이다.$$\begin{align*}x^{24}-1&=(x^{12}+1)(x^{12}-1)\\&=(x^{12}+1)(x^{4}+1)(x^{8}-x^{4}+1)\end{align*}$$이고$$\zeta^{12}-1\neq0,\,\zeta^{4}-1\neq0$$이므로 \(\zeta\)는 \(x^{8}-x^{4}+1\)의 한 근이다. 따라서 \(\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q})\)는 \(x^{8}-x^{4}+1\)의 약수이고, \([\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=8\)이므로 \(\text{deg}(\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q}))=8\)이고 따라서 \(\text{irr}(\zeta,\,\mathbb{Q})=x^{8}-x^{4}+1\)이다.
