[현대대수학] 2008학년도 중등교사 임용시험 9번, 2020학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공A 10번
2008학년도 중등교사 임용시험 9번
유리수체 Q 위의 기약다항식(irreducible polynomial) f(x)=x3−2x+2에 대하여 f(x)의 한 근(root) θ를 포함하는 Q의 확대체(extension field)를 Q(θ)라 하자. 이때, Q(θ)에서 3+θ의 곱셈에 대한 역원을 구하시오.
풀이: θ는 f(x)의 근이므로 θ3−2θ+2=0이다.(θ−3)θ(θ+3)=θ3−9θ=−7θ−2(∵θ3=2θ−2)=−7(θ+3)+19이므로(θ2−3θ+7)(θ+3)=19이고 따라서 3+θ의 곱셈에 대한 역원은 119(θ2−3θ+7)이다.
2020학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공A 10번
실수체 R의 원소 α=√2−√2에 대하여 환준동형사상(homomorphism) φα:Q[x]→R를 φα(f(x))=f(α)로 정의하자.
사상 φα의 핵(kernel)을 K라 할 때, K=⟨p(x)⟩를 만족하는 최고차항의 계수가 1인 기약다항식(irreducible polynomial) p(x)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
또한 잉여환(상환, factor ring, quotient ring) Q[x]/K의 원소 (x−2)+K의 곱셈에 대한 역원을 g(x)+K라 할 때, degg(x)<degp(x)인 다항식 g(x)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
(단, Q[x]는 유리수체 Q 위의 다항식환이고, degh(x)는 다항식 h(x)의 차수이다.)
풀이: φα(f(x))=f(α)이므로 φα(f(x))=0이려면 f(α)=0이어야 하고 따라서 p(α)=0이어야 한다.
α=√2−√2에 대해 α2=2−√2이고 α2−2=−√2이므로 α4−4α2+4=2이고 α4−4α2+2=0이다.
아이젠슈타인 판정법(Eisenstein criterion)(p=2)에 의해 x4−4x2+2는 기약다항식이고 irr(α,Q)=x4−4x2+2이다.
φα는 대입 준동형사상이므로 p(x)는 irr(α,Q)의 상수배이고 p(x)의 최고차항의 계수가 1이므로 p(x)=x4−4x2+2이다.
Q[x]/K에서 (x−2)+K의 곱셈에 대한 역원을 g(x)+K라 하면{(x−2)+K}{g(x)+K}=K이어야 하고 따라서 다음과 같아야 한다.(x−2)g(x)=K=⟨x4−4x2+2⟩이때x4−4x2+2=(x−2)(x3+2x2)+2이므로 (x−2)(x3+2x2)=−2이고 degg(x)<degp(x)=4이어야 하므로 따라서 g(x)=−12(x3+2x2)이다.