[현대대수학] 2008학년도 중등교사 임용시험 9번, 2020학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공A 10번
2008학년도 중등교사 임용시험 9번
유리수체 \(\mathbb{Q}\) 위의 기약다항식(irreducible polynomial) \(f(x)=x^{3}-2x+2\)에 대하여 \(f(x)\)의 한 근(root) \(\theta\)를 포함하는 \(\mathbb{Q}\)의 확대체(extension field)를 \(\mathbb{Q}(\theta)\)라 하자. 이때, \(\mathbb{Q}(\theta)\)에서 \(3+\theta\)의 곱셈에 대한 역원을 구하시오.
풀이: \(\theta\)는 \(f(x)\)의 근이므로 \(\theta^{3}-2\theta+2=0\)이다.$$\begin{align*}(\theta-3)\theta(\theta+3)&=\theta^{3}-9\theta\\&=-7\theta-2\,(\because\,\theta^{3}=2\theta-2)\\&=-7(\theta+3)+19\end{align*}$$이므로$$(\theta^{2}-3\theta+7)(\theta+3)=19$$이고 따라서 \(3+\theta\)의 곱셈에 대한 역원은 \(\displaystyle\frac{1}{19}(\theta^{2}-3\theta+7)\)이다.
2020학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공A 10번
실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소 \(\alpha=\sqrt{2-\sqrt{2}}\)에 대하여 환준동형사상(homomorphism) \(\varphi_{\alpha}:\mathbb{Q}[x]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\varphi_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)로 정의하자.
사상 \(\varphi_{\alpha}\)의 핵(kernel)을 \(K\)라 할 때, \(K=\langle p(x)\rangle\)를 만족하는 최고차항의 계수가 \(1\)인 기약다항식(irreducible polynomial) \(p(x)\)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
또한 잉여환(상환, factor ring, quotient ring) \(\mathbb{Q}[x]/K\)의 원소 \((x-2)+K\)의 곱셈에 대한 역원을 \(g(x)+K\)라 할 때, \(\text{deg}g(x)<\text{deg}p(x)\)인 다항식 \(g(x)\)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
(단, \(\mathbb{Q}[x]\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\) 위의 다항식환이고, \(\text{deg}h(x)\)는 다항식 \(h(x)\)의 차수이다.)
풀이: \(\varphi_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)이므로 \(\varphi_{\alpha}(f(x))=0\)이려면 \(f(\alpha)=0\)이어야 하고 따라서 \(p(\alpha)=0\)이어야 한다.
\(\alpha=\sqrt{2-\sqrt{2}}\)에 대해 \(\alpha^{2}=2-\sqrt{2}\)이고 \(\alpha^{2}-2=-\sqrt{2}\)이므로 \(\alpha^{4}-4\alpha^{2}+4=2\)이고 \(\alpha^{4}-4\alpha^{2}+2=0\)이다.
아이젠슈타인 판정법(Eisenstein criterion)(\(p=2\))에 의해 \(x^{4}-4x^{2}+2\)는 기약다항식이고 \(\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})=x^{4}-4x^{2}+2\)이다.
\(\varphi_{\alpha}\)는 대입 준동형사상이므로 \(p(x)\)는 \(\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q})\)의 상수배이고 \(p(x)\)의 최고차항의 계수가 \(1\)이므로 \(p(x)=x^{4}-4x^{2}+2\)이다.
\(\mathbb{Q}[x]/K\)에서 \((x-2)+K\)의 곱셈에 대한 역원을 \(g(x)+K\)라 하면$$\{(x-2)+K\}\{g(x)+K\}=K$$이어야 하고 따라서 다음과 같아야 한다.$$(x-2)g(x)=K=\langle x^{4}-4x^{2}+2\rangle$$이때$$x^{4}-4x^{2}+2=(x-2)(x^{3}+2x^{2})+2$$이므로 \((x-2)(x^{3}+2x^{2})=-2\)이고 \(\text{deg}g(x)<\text{deg}p(x)=4\)이어야 하므로 따라서 \(\displaystyle g(x)=-\frac{1}{2}(x^{3}+2x^{2})\)이다.
