[현대대수학] 2005학년도 중등교사 임용시험 19번, 2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번

[현대대수학] 2005학년도 중등교사 임용시험 19번, 2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번 

2005학년도 중등교사 임용시험 19번 

체 \(K\)는 체 \(F\)의 대수적 확대체(algebraic extension)로서 \([K:F]=10\) (즉, \([K:F]=\text{dim}_{F}K=10\))이다. \(F\) 위의 기약다항식(irreducible) \(f(x)\)의 차수(degree)가 \(3\)일 때, \(f(x)\)의 어떤 근도 \(K\)에 포함되지 않음을 보이시오. [4점]

풀이: \(f(x)\)의 한 근 \(\alpha\)가 \(K\)에 포함된다고 하자. 즉 \(\alpha\in K\). 그러면 \(K\)는 \(F\)와 \(\alpha\)를 포함하는 체이고 \(F(\alpha)\)는 \(F\)와 \(\alpha\)를 포함하는 가장 작은 체이므로 \(F(\alpha)\subset K\) 이다.$$10=[K:F]=[K:F(\alpha)][F(\alpha):F]$$이고 \([F(\alpha):F],\,\text{deg}f(x)=3\)이므로 \(10=3[K:F(\alpha)]\)이 되는데 \([K:F(\alpha)]\)는 정수이고 \(10\)은 \(3\)으로 나누어 떨어지지 않으므로 이는 모순이다. 따라서 \(f(x)\)의 어떠한 근도 \(K\)에 포함되지 않는다. 

2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번

체 \(\mathbb{Q}\)는 유리수체이고 \(\mathbb{Q}[x]\)는 다항식환이다. 체 \(E\)를 다항식$$f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}-3)\in\mathbb{Q}[x]$$의 분해체(splitting field)라 하자. 체 \(E\)의 부분체와 관련된 보기의 명제 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 원소 \(\alpha\in E\)를 첨가한 단순 확대체(simple extension field) \(\mathbb{Q}(\alpha)\)에 속하는 모든 원소는 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적(algebraic)이다.  ㄴ. 체 \(\mathbb{Q}(\beta^{2})\)위에서 체 \(\mathbb{Q}(\beta)\)의 차수(degree) \([\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]\)가 \(1\)보다 큰 홀수가 되는 원소 \(\beta\in E\)가 존재한다. ㄷ. 차수 \([E:\mathbb{Q}(\gamma)]\)가 \(1\)인 원소 \(\gamma\in E\)가 존재한다.

  

풀이:  

ㄱ: \(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{11})\)이므로 \(\mathbb{Q}(\alpha)\)의 모든 원소들은 \(\mathbb{Q}\)위에서 대수적이다.

ㄴ: \([\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]\)가 \(1\)보다 큰 홀수가 되는 \(\beta\in E\)가 존재한다고 하자. 그러면$$4=[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(\beta)]=[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]=[\mathbb{Q}(\beta^{2}):\mathbb{Q}]$$가 되는데 \(4\)는 짝수이므로 모순이다. 그러므로 \([\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]\)가 \(1\)보다 큰 홀수가 되게 하는 \(\beta\in E\)는 존재하지 않는다. 

ㄷ: \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{11})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{11})\)이므로 \(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{11})\)이고 \(\gamma=\sqrt{2}+\sqrt{11}\)이다.  

옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.