[현대대수학] 2005학년도 중등교사 임용시험 19번, 2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번

[현대대수학] 2005학년도 중등교사 임용시험 19번, 2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번 

2005학년도 중등교사 임용시험 19번 

체 $K$는 체 $F$의 대수적 확대체(algebraic extension)로서 $[K:F]=10$ (즉, $[K:F]=\text{dim}_{F}K=10$)이다. $F$ 위의 기약다항식(irreducible) $f(x)$의 차수(degree)가 $3$일 때, $f(x)$의 어떤 근도 $K$에 포함되지 않음을 보이시오. [4점]

풀이: $f(x)$의 한 근 $\alpha$가 $K$에 포함된다고 하자. 즉 $\alpha\in K$. 그러면 $K$는 $F$와 $\alpha$를 포함하는 체이고 $F(\alpha)$는 $F$와 $\alpha$를 포함하는 가장 작은 체이므로 $F(\alpha)\subset K$ 이다. $$10=[K:F]=[K:F(\alpha)][F(\alpha):F]$$ 이고 $[F(\alpha):F],\,\text{deg}f(x)=3$이므로 $10=3[K:F(\alpha)]$이 되는데 $[K:F(\alpha)]$는 정수이고 $10$은 $3$으로 나누어 떨어지지 않으므로 이는 모순이다. 따라서 $f(x)$의 어떠한 근도 $K$에 포함되지 않는다. 

2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 28번

체 $\mathbb{Q}$는 유리수체이고 $\mathbb{Q}[x]$는 다항식환이다. 체 $E$를 다항식 $$f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}-3)\in\mathbb{Q}[x]$$ 의 분해체(splitting field)라 하자. 체 $E$의 부분체와 관련된 보기의 명제 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 원소 $\alpha\in E$를 첨가한 단순 확대체(simple extension field) $\mathbb{Q}(\alpha)$에 속하는 모든 원소는 $\mathbb{Q}$위에서 대수적(algebraic)이다.  ㄴ. 체 $\mathbb{Q}(\beta^{2})$위에서 체 $\mathbb{Q}(\beta)$의 차수(degree) $[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]$가 $1$보다 큰 홀수가 되는 원소 $\beta\in E$가 존재한다. ㄷ. 차수 $[E:\mathbb{Q}(\gamma)]$가 $1$인 원소 $\gamma\in E$가 존재한다.

  

풀이:  

ㄱ: $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{11})$이므로 $\mathbb{Q}(\alpha)$의 모든 원소들은 $\mathbb{Q}$위에서 대수적이다.

ㄴ: $[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]$가 $1$보다 큰 홀수가 되는 $\beta\in E$가 존재한다고 하자. 그러면 $$4=[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(\beta)]=[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]=[\mathbb{Q}(\beta^{2}):\mathbb{Q}]$$ 가 되는데 $4$는 짝수이므로 모순이다. 그러므로 $[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}(\beta^{2})]$가 $1$보다 큰 홀수가 되게 하는 $\beta\in E$는 존재하지 않는다. 

ㄷ: $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{11})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{11})$이므로 $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{11})$이고 $\gamma=\sqrt{2}+\sqrt{11}$이다.  

옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.