[현대대수학] 2012학년도 중등교사 임용시험 2차 2교시 3번

[현대대수학] 2012학년도 중등교사 임용시험 2차 2교시 3번

3. 다음은 대수학 강의 시간에 박 교수와 학생이 나눈 대화의 일부분이다. 다음을 읽고 물음에 답하시오.

박 교수: 지금까지 다항식 환에 대한 다음 정리를 증명하였습니다.  <정 리> \(F\)가 체이면 다항식 환 \(F[x]\)가 주 아이디얼 정역(principal ideal domain)이다.   학생 A: 네. 체 위에서의 다항식 환이 주 아이디얼 정역임을 이해하였습니다. 박 교수: 이 정리를 출발점으로 하여, ㉠브라운(S. Brown)과 월터(M. Walter)가 제시한 '만약 그렇지 않다면 어떻게 될까(What if not)' 전략에 따라 수업을 진행하고자 합니다.  그럼, 이 전략에 따라 새로운 문제를 만드는 단계까지 진행하고 그 결과를 발표해 봅시다. 학생 B: 앞의 정리를 바탕으로 다음과 같은 새로운 명제를 만들었습니다.   <명 제> 다항식 환 \(R[x]\)가 주 아이디얼 정역이면 \(R\)는 체이다. 박 교수: 참 잘 만든 명제입니다. 사실 이 명제는 참입니다. 이제 이 명제를 증명해 봅시다.

   

3-1. 문제해결 과정에서 문제제기(문제설정, problem posing)활동의 중요성 3가지만 제시하시오, 그리고 아래의 정리를 출발점으로 하여, ㉠의 단계에 따라 이 정리가 \(n\)차방정식인 경우로 일반화될 수 있음을 구체적으로 설명하시오(단, 모든 근의 합과 모든 근의 곱에 대한 성질만 유도하시오.). 

<정 리> 이차방정식 \(ax^{2}+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha_{1}\)과 \(\alpha_{2}\)라 하면 \(\displaystyle\alpha_{1}+\alpha_{2}=-\frac{b}{a}\)이고 \(\displaystyle\alpha_{1}\alpha_{2}=\frac{c}{a}\)이다.

3-2. 학생 B가 만든 <명제>가 참임을 증명하시오.

풀이:

3-1. 문제제기 활동의 중요성

1. 창의적 문제해결 능력과 수학적 사고능력을 길러준다.

2. 학생들에게 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다.

3. 문제의 구조를 파악하고 문제해결에 필요한 전략을 찾을 수 있는 능력을 길러준다. 

What if not전략을 이용한 근과 계수의 관계 유도

1. 2차방정식 \(ax^{2}+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2}\)라 하면$$\begin{align*}ax^{2}+bx+c&=a(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\\&=a\{x^{2}-(\alpha_{1}+\alpha_{2})x+\alpha_{1}\alpha_{2}\}\end{align*}$$이므로 두 근의 합은 \(\displaystyle\alpha_{1}+\alpha_{2}=-\frac{b}{a}\), 두 근의 곱은 \(\displaystyle\alpha_{1}\alpha_{2}=\frac{c}{a}\)이다. 

2. 

(i) \(n\)차방정식에서 시작한다. 

(ii) \(n\)차방정식의 근이 \(n\)개이다. 

(iii) \(n\)차다항식 \(f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{n}\neq0)\)가 \(n\)개의 근 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{n}\)을 가지면 \(f(\alpha_{1})=f(\alpha_{2})=\cdots=f(\alpha_{2})=f(\alpha_{1})\)이다.

(iv) \(n\)차다항식 \(f(x)\)에 대해 \(f(\alpha_{1})=f(\alpha_{2})=\cdots=f(\alpha_{n-1})=f(\alpha_{n})=0\)이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n-1})(x-\alpha_{n})$$(v) 다항식 \(a_{n}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n-1})(x-\alpha_{n})\)을 전개하면 다음과 같다.$$a_{n}\{x^{n}-(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n-1}+\alpha_{n})x+\cdots+(-1)^{n}\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n-1}\alpha_{n}\}$$3. 2에서 (i)을 부정해 \(n\)차방정식이 아닌 \(r(n>r)\)차방정식에서 시작한다고 하자. 그러면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}&a_{r}x^{r}+a_{r-1}x^{r-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{r}\neq0)\\&=a_{r}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{r-1})(x-\alpha_{r})\end{align*}$$4. "\(r\)차 방정식의 계수와 근들의 합과 곱의 관계는 어떠한가?"라는 질문으로 문제를 설정한다. 

5. 다음의 \(r\)차 방정식을 분석하면$$\begin{align*}&a_{r}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{r-1})(x-\alpha_{r})\\&=a_{r}\{x^{r}-(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{r-1}+\alpha_{r})x^{r-1}+\cdots+(-1)^{r}\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{r-1}\alpha_{r}\}\\&=a_{r}x^{r}+a_{r-1}x^{r-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\end{align*}$$이고 상수항과 \(x^{r-1}\)항을 비교하면 다음의 결과를 얻는다.$$\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{r-1}+\alpha_{r}=-\frac{a_{r-1}}{a_{r}},\,\alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{r-1}\alpha_{r}=(-1)^{r}\frac{a_{0}}{a_{r}}$$\(r\)차방정식의 \(r\)개의 근의 합은 \(r-1\)차항의 계수를 최고차항(\(r\)차항)의 계수로 나눈 다음 \(-1\)을 곱한 것과 같고, \(r\)개의 근의 곱은 상수항을 최고차항의 계수로 나눈 다음 \((-1)^{r}\)을 곱한 것과 같다. 

3-2. \(I=\langle x\rangle\)는 \(R[x]\)의 소 아이디얼(prime ideal)이고, \(R[x]/I\simeq R\)이다. 주 아이디얼 정역(PID)에서 모든 소 아이디얼은 극대임을 보이자. 

\(R\)을 주 아이디얼 정역, \(P\)를 소 아이디얼이라 하자. \(R\)은 주 아이디얼 정역이므로 적당한 \(a\in R\)에 대해 \(P=\langle a\rangle\)로 나타낼 수 있다.

\(P\)는 0이 아닌 아이디얼이므로 \(a\neq0\)이다. 

적당한 아이디얼 \(I\)에 대해 \(P\subset I\subset R\)이라 하자. \(R\)은 주 아이디얼 정역이므로 적당한 \(b\in R\)에 대해 \(I=\langle b\rangle\)로 나타낼 수 있고, \(a\in\langle a\rangle\subset\langle b\rangle\)이므로 \(c\in R\)가 존재해서 \(a=bc\)이다. 

\(P\)에서 \(a=bc\)이므로 \(b\in P\) 또는 \(c\in P\)이어야 한다. 

\(b\in P\)이면 \(I=\langle b\rangle\subset P\)이므로 \(P=I\)이고, \(c\in P\)이면, \(d\in R\)가 존재해서 \(c=ad\)이다. 그러므로 \(a=bc=bad\)이고 \(R\)은 정역, \(a\neq0\)이므로 \(1=bd\)이다. 

\(b\)는 단원(unit)이고 \(I=R\)이다.

따라서 \(P\subset I\subset R\)일 때 \(I=P\)이거나 \(I=R\)이므로 \(P\)는 극대이다.

\(I\)가 극대이므로 \(R[x]/I\)는 체이고, \(R[x]/I\simeq R\)이므로 따라서 \(R\)은 체이다.