[현대대수학] 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 1번, 2016학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 14번

[현대대수학] 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 1번, 2016학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 14번

2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 1번

실수 $\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}$을 근으로 가지는 다항식 $f(x)=x^{9}+3x^{6}+165x^{3}+1$은 $13$을 법으로 하여 $f_{13}(x)=x^{9}+3x^{6}+9x^{3}+1$과 합동이고, $f_{13}(x)$는 $\mathbb{Z}_{13}[x]$에서 기약다항식임이 알려져 있다.

이를 이용하여 $f(x)$가 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약임을 보이시오. 그리고 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3})$라 할 때 차수(degree) $[K:\mathbb{Q}]$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰고, 다항식 $g(x)=(x^{3}-2)(x^{3}-3)\in\mathbb{Q}[x]$의 분해체(splitting field) $E$에 대하여 갈루아 군 $G(E/\mathbb{Q})$의 위수(order)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

풀이: 

$f(x)$를 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약다항식이 아니라고 하자. 그러면 $f(x)$보다 차수가 낮은 $g(x),\,h(x)\in\mathbb{Q}[x]$가 존재해서 $f(x)=g(x)h(x)$이다. 

$g(x)$, $h(x)$에 대해 $13$을 법으로 하는 다항식을 $g_{13}(x)$, $h_{13}(x)$라 하면 $13$은 $f(x)$의 최고차항의 약수가 아니므로 $g(x)$와 $h(x)$의 최고차항의 약수가 아니다. 

따라서 $$\text{deg}g(x)=\text{deg}g_{13}(x),\,\text{deg}h(x)=\text{deg}h_{13}(x)$$ 이고 $f_{13}(x)=g_{13}(x)h_{13}(x)$가 되는데 이것은 $f_{13}(x)$가 $\mathbb{Z}_{13}[x]$에서 기약다항식이라는 사실에 모순이다. 따라서 $f(x)$는 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약이다.

$\text{irr}(\sqrt[3]{3},\,\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))$는 $x^{3}-3$의 약수이므로 $[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]=\text{deg}(\sqrt[3]{3}),\,\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\leq\text{deg}(x^{3}-3)=3$이다. 그러면 $$9=\text{deg}f(x)=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]\leq[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=[K:\mathbb{Q}]$$ 이고 $$[K:\mathbb{Q}]\leq[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]\leq\text{deg}(x^{3}-3)\text{deg}(x^{3}-2)=3\cdot3=9$$ 이므로 $[K:\mathbb{Q}]=9$이다. 

$x^{2}+x+1$의 한 근을 $\omega$라 하면 $\omega^{3}-1=0$이므로 $$\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{2}\omega,\,\sqrt[3]{2}\omega^{2},\,\sqrt[3]{3},\,\sqrt[3]{3}\omega,\,\sqrt[3]{3}\omega^{2}$$ 은 $g(x)$의 근이므로 $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3},\,\omega)$이다. 그러면 $[E:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3})]=\text{deg}(x^{2}+x+1)=2$이므로 $$[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=2\cdot9=18$$ 이다. 

$E$는 $\mathbb{Q}$의 분해확대체이고 분리확대체이다. 따라서 $|G(E/\mathbb{Q})|=[E:\mathbb{Q}]=18$이다. 

2016학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 14번

유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위에서 대수적인 원소 $\alpha$와 단순확대체(simple extension field) $K=\mathbb{Q}(\alpha)$가 있다. $F$가 $K$의 부분체이고 $$\text{irr}(\alpha,\,F)=x^{r}+a_{1}x^{r-1}+a_{2}x^{r-2}+\cdots+a_{r}\,(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r}\in F)$$ 일 때 $F=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})$임을 보이시오.

또한 $\alpha=\sqrt{2}+i$이고 $F=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$일 때, $\text{irr}(\alpha,\,F)$를 구하시오.

(단, $i=\sqrt{-1}$이고, $\text{irr}(\alpha,\,F)$는 $F$위에서 $\alpha$의 기약다항식(최소다항식, irreducible polynomial, minimal polynomial)이다.)

풀이: 

$F$의 표수가 $0\,(\text{char}F=0)$이므로 표수가 0인 체는 $\mathbb{Q}$를 소체(prime field)로 가지므로 $\mathbb{Q}\subset F$이고 $a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r}\in F$이므로 $\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})\subset F$이다. 

$F$가 $K$의 부분체이므로 $K=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n})(\alpha)=F(\alpha)$이다. $$q(x)=\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})),\,p(x)=\text{irr}(\alpha,\,F)$$ 라 하면 $p(x)\in\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})[x]$, $p(\alpha)=0$이므로 $q(x)$는 $p(x)$의 약수 즉, $q(x)|p(x)$이고 따라서 $\text{deg}q(x)\leq\text{deg}p(x)=r$이다. $$\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})\subset F\subset F(\alpha)\subset\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})(\alpha)$$ 이고 $[F(\alpha):F]=r$, $[\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})(\alpha):\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})]\leq r$이므로 $[\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r}):F]=1$이고 따라서 $F=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})$이다. 

$r(x)=\text{irr}(\alpha,\,F)$라 하자. 그러면 $$\text{deg}r(x)=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{2}+i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]$$ 이고 $x=\sqrt{2}+i$라 하면 $(x-\sqrt{2})^{2}=-1$이므로 $x^{2}-2\sqrt{2}x+3=0$이고 $r(x)$는 $x^{2}-2\sqrt{2}x+3$의 약수, 즉 $r(x)|x^{2}-2\sqrt{2}x+3$이므로 따라서 $\text{irr}(\alpha,\,F)=x^{2}-2\sqrt{2}x+3$이다.