[현대대수학] 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 1번, 2016학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 14번

[현대대수학] 2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 1번, 2016학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 14번

2015학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 논술형 1번

실수 \(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}\)을 근으로 가지는 다항식 \(f(x)=x^{9}+3x^{6}+165x^{3}+1\)은 \(13\)을 법으로 하여 \(f_{13}(x)=x^{9}+3x^{6}+9x^{3}+1\)과 합동이고, \(f_{13}(x)\)는 \(\mathbb{Z}_{13}[x]\)에서 기약다항식임이 알려져 있다.

이를 이용하여 \(f(x)\)가 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 기약임을 보이시오. 그리고 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3})\)라 할 때 차수(degree) \([K:\mathbb{Q}]\)의 값을 풀이 과정과 함께 쓰고, 다항식 \(g(x)=(x^{3}-2)(x^{3}-3)\in\mathbb{Q}[x]\)의 분해체(splitting field) \(E\)에 대하여 갈루아 군 \(G(E/\mathbb{Q})\)의 위수(order)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

풀이: 

\(f(x)\)를 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 기약다항식이 아니라고 하자. 그러면 \(f(x)\)보다 차수가 낮은 \(g(x),\,h(x)\in\mathbb{Q}[x]\)가 존재해서 \(f(x)=g(x)h(x)\)이다. 

\(g(x)\), \(h(x)\)에 대해 \(13\)을 법으로 하는 다항식을 \(g_{13}(x)\), \(h_{13}(x)\)라 하면 \(13\)은 \(f(x)\)의 최고차항의 약수가 아니므로 \(g(x)\)와 \(h(x)\)의 최고차항의 약수가 아니다. 

따라서$$\text{deg}g(x)=\text{deg}g_{13}(x),\,\text{deg}h(x)=\text{deg}h_{13}(x)$$이고 \(f_{13}(x)=g_{13}(x)h_{13}(x)\)가 되는데 이것은 \(f_{13}(x)\)가 \(\mathbb{Z}_{13}[x]\)에서 기약다항식이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(f(x)\)는 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 기약이다.

\(\text{irr}(\sqrt[3]{3},\,\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))\)는 \(x^{3}-3\)의 약수이므로 \([K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]=\text{deg}(\sqrt[3]{3}),\,\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\leq\text{deg}(x^{3}-3)=3\)이다. 그러면$$9=\text{deg}f(x)=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]\leq[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=[K:\mathbb{Q}]$$이고$$[K:\mathbb{Q}]\leq[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]\leq\text{deg}(x^{3}-3)\text{deg}(x^{3}-2)=3\cdot3=9$$이므로 \([K:\mathbb{Q}]=9\)이다. 

\(x^{2}+x+1\)의 한 근을 \(\omega\)라 하면 \(\omega^{3}-1=0\)이므로$$\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{2}\omega,\,\sqrt[3]{2}\omega^{2},\,\sqrt[3]{3},\,\sqrt[3]{3}\omega,\,\sqrt[3]{3}\omega^{2}$$은 \(g(x)\)의 근이므로 \(E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3},\,\omega)\)이다. 그러면 \([E:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3})]=\text{deg}(x^{2}+x+1)=2\)이므로$$[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\,\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=2\cdot9=18$$이다. 

\(E\)는 \(\mathbb{Q}\)의 분해확대체이고 분리확대체이다. 따라서 \(|G(E/\mathbb{Q})|=[E:\mathbb{Q}]=18\)이다. 

2016학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 14번

유리수 체 \(\mathbb{Q}\) 위에서 대수적인 원소 \(\alpha\)와 단순확대체(simple extension field) \(K=\mathbb{Q}(\alpha)\)가 있다. \(F\)가 \(K\)의 부분체이고$$\text{irr}(\alpha,\,F)=x^{r}+a_{1}x^{r-1}+a_{2}x^{r-2}+\cdots+a_{r}\,(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r}\in F)$$일 때 \(F=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})\)임을 보이시오.

또한 \(\alpha=\sqrt{2}+i\)이고 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)일 때, \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)를 구하시오.

(단, \(i=\sqrt{-1}\)이고, \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)는 \(F\)위에서 \(\alpha\)의 기약다항식(최소다항식, irreducible polynomial, minimal polynomial)이다.)

풀이: 

\(F\)의 표수가 \(0\,(\text{char}F=0)\)이므로 표수가 0인 체는 \(\mathbb{Q}\)를 소체(prime field)로 가지므로 \(\mathbb{Q}\subset F\)이고 \(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r}\in F\)이므로 \(\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})\subset F\)이다. 

\(F\)가 \(K\)의 부분체이므로 \(K=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n})(\alpha)=F(\alpha)\)이다.$$q(x)=\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})),\,p(x)=\text{irr}(\alpha,\,F)$$라 하면 \(p(x)\in\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})[x]\), \(p(\alpha)=0\)이므로 \(q(x)\)는 \(p(x)\)의 약수 즉, \(q(x)|p(x)\)이고 따라서 \(\text{deg}q(x)\leq\text{deg}p(x)=r\)이다.$$\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})\subset F\subset F(\alpha)\subset\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})(\alpha)$$이고 \([F(\alpha):F]=r\), \([\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})(\alpha):\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})]\leq r\)이므로 \([\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r}):F]=1\)이고 따라서 \(F=\mathbb{Q}(a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{r})\)이다. 

\(r(x)=\text{irr}(\alpha,\,F)\)라 하자. 그러면$$\text{deg}r(x)=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{2}+i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]$$이고 \(x=\sqrt{2}+i\)라 하면 \((x-\sqrt{2})^{2}=-1\)이므로 \(x^{2}-2\sqrt{2}x+3=0\)이고 \(r(x)\)는 \(x^{2}-2\sqrt{2}x+3\)의 약수, 즉 \(r(x)|x^{2}-2\sqrt{2}x+3\)이므로 따라서 \(\text{irr}(\alpha,\,F)=x^{2}-2\sqrt{2}x+3\)이다.