[현대대수학] 2002학년도 중등교사 임용시험 8번, 2003학년도 중등교사 임용시험 10번

[현대대수학] 2002학년도 중등교사 임용시험 8번, 2003학년도 중등교사 임용시험 10번

2002학년도 중등교사 임용시험 10번 

체(field) \(F\)위의 기약 다항식(irreducible polynomial)$$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\in F[x]$$(단, \(a_{n}\neq0\))에 대하여 \(f(x)\)의 한 개의 근(root)을 포함하는 \(F\)의 확대체(extension field)가 존재함을 보이시오.

풀이: \(F\)는 체이고 \(f(x)\)가 기약다항식이므로 \(\langle f(x)\rangle\)는 \(F[x]\)에서 극대 아이디얼이고 따라서 \(F[x]/\langle f(x)\rangle\)는 체이다. 

사상 \(\psi:F\,\rightarrow\,F[x]/\langle f(x)\rangle\)를 \(a\in F\)에 대하여 \(\psi(a)=a+\langle f(x)\rangle\)라 하면 사상 \(\psi\)를 이용해 \(F\)를 \(F[x]/\langle f(x)\rangle\)의 부분체와 일치시킬 수 있다. 그 이유는

(i) \(a,\,b\in F\)에 대하여 \(\psi(a)=\psi(b)\)이면 \(a+\langle f(x)\rangle=b+\langle f(x)\rangle\)이므로 \(a-b\in\langle f(x)\rangle\)이고 \(a-b\in F\)이어야 하므로 \(a-b=0\)이어야 한다. 그러면 \(a=b\)이므로 \(\psi\)는 일대일이다. 

(ii) \(a,\,b\in F\)에 대하여$$\begin{align*}\psi(a+b)&=(a+b)+\langle f(x)\rangle=(a+\langle f(x)\rangle)+(b+\langle f(x)\rangle)=\psi(a)+\psi(b)\\ \psi(ab)&=ab+\langle f(x)\rangle=(a+\langle f(x)\rangle)(b+\langle f(x)\rangle)=\psi(a)\psi(b)\end{align*}$$이므로 \(\psi\)는 준동형사상이다. 

(i), (ii)에 의해 \(\psi\)는 동형사상이고 따라서 이 \(\psi\)를 이용해 \(a\)를 \(a+\langle f(x)\rangle\)로, \(F\)를 \(\{a+\langle f(x)\rangle\,|\,a\in F\}=F/\langle f(x)\rangle\)로 일치시킬 수 있고, \(F/\langle f(x)\rangle\)는 \(F[x]/\langle f(x)\rangle\)의 부분체이므로 따라서 \(E=F[x]/\langle f(x)\rangle\)는 \(F\)의 확대체이다. 

\(\alpha=x+\langle f(x)\rangle\)라 하면 \(\alpha\in E\)이고$$\begin{align*}f(\alpha)&=a_{n}\alpha^{n}+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+a_{0}\\&=a_{n}(x+\langle f(x)\rangle)^{n}+a_{n-1}(x+\langle f(x)\rangle)^{n-1}+\cdots+a_{1}(x+\langle f(x)\rangle)+a_{0}\\&=(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0})+\langle f(x)\rangle\\&=f(x)+\langle f(x)\rangle=\langle f(x)\rangle\\&=0\end{align*}$$이므로 \(\alpha\)는 \(f(x)\)의 근이다. 

따라서 \(F\)의 확대체 \(E\)와 \(f(x)\)의 근 \(\alpha\in E\)가 존재한다.        

2003학년도 중등교사 임용시험 8번 

체(field) \(F\)위의 다항식환 \(F[x]\)에서 \(p(x)\in F[x]\)가 기약다항식(irreducible polynomial)이면 \(p(x)\)로 생성된 아이디얼 \(\langle p(x)\rangle\)는 극대 아이디얼(maximum ideal)임을 증명하시오. 

풀이: \(F[x]\)의 아이디얼 \(N\)이 \(\langle p(x)\rangle\subset N\subset F[x]\)를 만족한다고 하자. 

\(N\)은 주 아이디얼(principle ideal)이므로 적당한 \(f(x)\in F[x]\)에 대하여 \(N=\langle f(x)\rangle\)이고 \(p(x)\in N\)이므로 적당한 \(g(x)\in F[x]\)에 대하여 \(p(x)=f(x)g(x)\)가 되는데 \(p(x)\)는 기약다항식이므로 \(f(x)\)와 \(g(x)\)중 하나는 0이 아닌 상수여야 한다. 

\(f(x)\)가 상수이면 \(f(x)\in F\)이므로 \(\langle f(x)\rangle=N=F[x]\)이고 \(g(x)\)가 상수이면 \(g(x)=c\in F[x]\)이고 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{c}p(x)\in\langle p(x)\rangle\)이므로 \(N=\langle p(x)\rangle\)이다.  

그러면 \(\langle p(x)\rangle\subset N\subset F[x]\)를 만족하는 아이디얼 \(N\)은 존재하지 않고 따라서 \(\langle p(x)\rangle\)는 극대 아이디얼이다.