[현대대수학] 2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 서술형 6번, 2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번

[현대대수학] 2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번, 2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번

2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번

유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위에서 대수적인 원소 $\alpha$에 대하여 단순 확대체(simple extension field) $K=\mathbb{Q}(\alpha)$위의 갈루아 확대체(정규 확대체, Galois extension field, normal extension field)이고 차수(degree)는 $[K:\mathbb{Q}]=100$이다. 갈루아 군(Galois group) $G(K/\mathbb{Q})$가 $\sigma(\alpha)=\alpha^{-1}$을 만족시키는 자기동형사상(automorphism) $\sigma$를 가질 때, $K$의 부분체 $F=\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})$의 $\mathbb{Q}$위의 차수 $[F:\mathbb{Q}]$를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

풀이:  $E$를 $\langle\sigma\rangle$의 고정체라고 하면 $$\sigma(\alpha+\alpha^{-1})=\sigma(\alpha)+\sigma(\alpha^{-1})=\alpha+\alpha^{-1}$$ 이므로 $\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})\subset E$이다. 그러면 $\alpha=\alpha^{-1}$이고 $\alpha^{2}=1$이므로 $\alpha=\pm1$이고 $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}$가 되는데 이것은 $[K:\mathbb{Q}]=100$에 모순이다. $$(\sigma\circ\sigma)(\alpha)=\sigma(\sigma(\alpha))=\sigma(\alpha^{-1})=(\alpha^{-1})^{-1}=\alpha$$ 이므로 $\langle\sigma\rangle=\{Id,\,\sigma\}$($Id$는 항등사상)이다.

$K$는 $\mathbb{Q}$의 갈루아 확대체이므로 $$[K:E]=|G(K/E)|=|\langle\sigma\rangle|=2$$ 이다. $$[K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=[K:E][E:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]$$ 이므로 $[K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]\geq2$가 성립한다. 

$p(x)=\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1}))$라 하자. $x^{2}-(\alpha+\alpha^{-1})x+1\in\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})[x]$는 $\alpha$를 근으로 갖는 다항식이므로 $p(x)$는 $x^{2}-(\alpha+\alpha^{-1})x+1$의 약수이다. $$[K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=[\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=\text{deg}p(x)\leq2$$ 이므로 $[K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=2$이고 따라서 $\displaystyle[\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1}),\mathbb{Q}]=\frac{1}{2}[K:\mathbb{Q}]=50$이다. 

2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번 

    

유리수체 $\mathbb{Q}$ 위의 기약다항식(irreducible polynomial) $f(x)$의 $\mathbb{Q}$ 위의 분해체(splitting field) $K$에 대하여 갈루아 군(Galois group) $G(K/\mathbb{Q})$가 아벨군(abelian group)이다. 

이때 $G(K/\mathbb{Q})$의 위수(order)가 $f(x)$의 차수 $\text{deg}(f(x))$와 같음을 보이시오. 또 $\text{deg}(f(x))=2018$일 때 $K$의 모든 부분체(subfield)의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고: $2018=2\times1009$이고 $1009$는 소수이다.)

풀이: $\mathbb{Q}$ 위에서 기약인 다항식 $f(x)$의 한 근을 $\alpha$라 하자. $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=\text{deg}f(x)$이므로 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$가 성립함을 보이면 된다.

$K$는 갈루아 확대체이므로 $\mathbb{Q}(\alpha)$는 $H=G(K/\mathbb{Q}(\alpha))$의 고정체이다. 그러므로 $H=\{Id_{K}\}$($Id_{K}$는 $K$위에서의 항등사상)가 성립함을 보이면 된다.

$\sigma\in H$라 하자. $f(x)$의 임의의 근을 $\beta$라 하면 $\tau\in G(K/\mathbb{Q})$가 존재해서 $\tau(\alpha)=\beta$이다. $G(K/\mathbb{Q})$는 아벨군이므로 $$\sigma(\beta)=\sigma(\tau(\alpha))=\tau(\sigma(\alpha))=\tau(\alpha)=\beta$$ 이고 따라서 $\sigma=Id_{K}$이다.

갈루아 정리에 의해 $K$의 모든 부분체는 갈루아군 $G(K/\mathbb{Q})$에 대응된다. 갈루아군이 아벨군이고 그 위수가 $2018$이므로 갈루아 군은 $\mathbb{Z}_{2018}\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{1009}$이다. $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{1009}$의 부분군은 $$\{e\}\times\{e\},\,\mathbb{Z}_{2}\times\{e\},\,\{e\}\times\mathbb{Z}_{1009},\,\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{1009}$$ 의 $4$개이므로 따라서 $K$의 모든 부분체는 $4$개이다.