[현대대수학] 2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번, 2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번
2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번
유리수 체 \(\mathbb{Q}\) 위에서 대수적인 원소 \(\alpha\)에 대하여 단순 확대체(simple extension field) \(K=\mathbb{Q}(\alpha)\)위의 갈루아 확대체(정규 확대체, Galois extension field, normal extension field)이고 차수(degree)는 \([K:\mathbb{Q}]=100\)이다. 갈루아 군(Galois group) \(G(K/\mathbb{Q})\)가 \(\sigma(\alpha)=\alpha^{-1}\)을 만족시키는 자기동형사상(automorphism) \(\sigma\)를 가질 때, \(K\)의 부분체 \(F=\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})\)의 \(\mathbb{Q}\)위의 차수 \([F:\mathbb{Q}]\)를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
풀이: \(E\)를 \(\langle\sigma\rangle\)의 고정체라고 하면$$\sigma(\alpha+\alpha^{-1})=\sigma(\alpha)+\sigma(\alpha^{-1})=\alpha+\alpha^{-1}$$이므로 \(\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})\subset E\)이다. 그러면 \(\alpha=\alpha^{-1}\)이고 \(\alpha^{2}=1\)이므로 \(\alpha=\pm1\)이고 \(\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}\)가 되는데 이것은 \([K:\mathbb{Q}]=100\)에 모순이다.$$(\sigma\circ\sigma)(\alpha)=\sigma(\sigma(\alpha))=\sigma(\alpha^{-1})=(\alpha^{-1})^{-1}=\alpha$$이므로 \(\langle\sigma\rangle=\{Id,\,\sigma\}\)(\(Id\)는 항등사상)이다.
\(K\)는 \(\mathbb{Q}\)의 갈루아 확대체이므로$$[K:E]=|G(K/E)|=|\langle\sigma\rangle|=2$$이다.$$[K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=[K:E][E:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]$$이므로 \([K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]\geq2\)가 성립한다.
\(p(x)=\text{irr}(\alpha,\,\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1}))\)라 하자. \(x^{2}-(\alpha+\alpha^{-1})x+1\in\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})[x]\)는 \(\alpha\)를 근으로 갖는 다항식이므로 \(p(x)\)는 \(x^{2}-(\alpha+\alpha^{-1})x+1\)의 약수이다.$$[K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=[\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=\text{deg}p(x)\leq2$$이므로 \([K:\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1})]=2\)이고 따라서 \(\displaystyle[\mathbb{Q}(\alpha+\alpha^{-1}),\mathbb{Q}]=\frac{1}{2}[K:\mathbb{Q}]=50\)이다.
2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번
유리수체 \(\mathbb{Q}\) 위의 기약다항식(irreducible polynomial) \(f(x)\)의 \(\mathbb{Q}\) 위의 분해체(splitting field) \(K\)에 대하여 갈루아 군(Galois group) \(G(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군(abelian group)이다.
이때 \(G(K/\mathbb{Q})\)의 위수(order)가 \(f(x)\)의 차수 \(\text{deg}(f(x))\)와 같음을 보이시오. 또 \(\text{deg}(f(x))=2018\)일 때 \(K\)의 모든 부분체(subfield)의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고: \(2018=2\times1009\)이고 \(1009\)는 소수이다.)
풀이: \(\mathbb{Q}\) 위에서 기약인 다항식 \(f(x)\)의 한 근을 \(\alpha\)라 하자. \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=\text{deg}f(x)\)이므로 \(K=\mathbb{Q}(\alpha)\)가 성립함을 보이면 된다.
\(K\)는 갈루아 확대체이므로 \(\mathbb{Q}(\alpha)\)는 \(H=G(K/\mathbb{Q}(\alpha))\)의 고정체이다. 그러므로 \(H=\{Id_{K}\}\)(\(Id_{K}\)는 \(K\)위에서의 항등사상)가 성립함을 보이면 된다.
\(\sigma\in H\)라 하자. \(f(x)\)의 임의의 근을 \(\beta\)라 하면 \(\tau\in G(K/\mathbb{Q})\)가 존재해서 \(\tau(\alpha)=\beta\)이다. \(G(K/\mathbb{Q})\)는 아벨군이므로$$\sigma(\beta)=\sigma(\tau(\alpha))=\tau(\sigma(\alpha))=\tau(\alpha)=\beta$$이고 따라서 \(\sigma=Id_{K}\)이다.
갈루아 정리에 의해 \(K\)의 모든 부분체는 갈루아군 \(G(K/\mathbb{Q})\)에 대응된다. 갈루아군이 아벨군이고 그 위수가 \(2018\)이므로 갈루아 군은 \(\mathbb{Z}_{2018}\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{1009}\)이다. \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{1009}\)의 부분군은$$\{e\}\times\{e\},\,\mathbb{Z}_{2}\times\{e\},\,\{e\}\times\mathbb{Z}_{1009},\,\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{1009}$$의 \(4\)개이므로 따라서 \(K\)의 모든 부분체는 \(4\)개이다.
