[현대대수학] 2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번, 2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번
2017학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번
유리수 체 Q 위에서 대수적인 원소 α에 대하여 단순 확대체(simple extension field) K=Q(α)위의 갈루아 확대체(정규 확대체, Galois extension field, normal extension field)이고 차수(degree)는 [K:Q]=100이다. 갈루아 군(Galois group) G(K/Q)가 σ(α)=α−1을 만족시키는 자기동형사상(automorphism) σ를 가질 때, K의 부분체 F=Q(α+α−1)의 Q위의 차수 [F:Q]를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
풀이: E를 ⟨σ⟩의 고정체라고 하면σ(α+α−1)=σ(α)+σ(α−1)=α+α−1이므로 Q(α+α−1)⊂E이다. 그러면 α=α−1이고 α2=1이므로 α=±1이고 Q(α)=Q가 되는데 이것은 [K:Q]=100에 모순이다.(σ∘σ)(α)=σ(σ(α))=σ(α−1)=(α−1)−1=α이므로 ⟨σ⟩={Id,σ}(Id는 항등사상)이다.
K는 Q의 갈루아 확대체이므로[K:E]=|G(K/E)|=|⟨σ⟩|=2이다.[K:Q(α+α−1)]=[K:E][E:Q(α+α−1)]이므로 [K:Q(α+α−1)]≥2가 성립한다.
p(x)=irr(α,Q(α+α−1))라 하자. x2−(α+α−1)x+1∈Q(α+α−1)[x]는 α를 근으로 갖는 다항식이므로 p(x)는 x2−(α+α−1)x+1의 약수이다.[K:Q(α+α−1)]=[Q(α+α−1)(α):Q(α+α−1)]=degp(x)≤2이므로 [K:Q(α+α−1)]=2이고 따라서 [Q(α+α−1),Q]=12[K:Q]=50이다.
2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공B 6번
유리수체 Q 위의 기약다항식(irreducible polynomial) f(x)의 Q 위의 분해체(splitting field) K에 대하여 갈루아 군(Galois group) G(K/Q)가 아벨군(abelian group)이다.
이때 G(K/Q)의 위수(order)가 f(x)의 차수 deg(f(x))와 같음을 보이시오. 또 deg(f(x))=2018일 때 K의 모든 부분체(subfield)의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고: 2018=2×1009이고 1009는 소수이다.)
풀이: Q 위에서 기약인 다항식 f(x)의 한 근을 α라 하자. [Q(α):Q]=degf(x)이므로 K=Q(α)가 성립함을 보이면 된다.
K는 갈루아 확대체이므로 Q(α)는 H=G(K/Q(α))의 고정체이다. 그러므로 H={IdK}(IdK는 K위에서의 항등사상)가 성립함을 보이면 된다.
σ∈H라 하자. f(x)의 임의의 근을 β라 하면 τ∈G(K/Q)가 존재해서 τ(α)=β이다. G(K/Q)는 아벨군이므로σ(β)=σ(τ(α))=τ(σ(α))=τ(α)=β이고 따라서 σ=IdK이다.
갈루아 정리에 의해 K의 모든 부분체는 갈루아군 G(K/Q)에 대응된다. 갈루아군이 아벨군이고 그 위수가 2018이므로 갈루아 군은 Z2018≃Z2×Z1009이다. Z2×Z1009의 부분군은{e}×{e},Z2×{e},{e}×Z1009,Z2×Z1009의 4개이므로 따라서 K의 모든 부분체는 4개이다.