컴팩트 공간

컴팩트 공간

덮개의 정의: 위상공간 $X$의 부분집합들을 모은 집합 $\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$가 $A\subset X$에 대하여 $\displaystyle A\subset\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}$이면 $\mathcal{C}$를 $A$의 덮개(cover)라고 한다.

$\mathcal{C}_{0}$이 $\mathcal{C}$의 부분집합이고 $A$의 덮개이면 $\mathcal{C}_{0}$을 $\mathcal{C}$의 부분덮개(subcover)이라 한다. $A$의 덮개 $\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$의 모든 원소 $G_{\gamma}$가 모두 열린집합이면 $\mathcal{C}$를 $A$의 열린덮개(open cover)라고 한다.

$X$를 위상공간이라 하고 $A\subset X$라 하자. $A$의 임의의 열린덮개 $\mathcal{C}$가 한 유한부분덮개 $\mathcal{C}'=\{G_{1},\,\cdots,\,G_{n}\}$를 포함할 때 $A$를 $X$의 컴팩트 부분집합(compact subset)이라 하고 $X$가 컴팩트이면 $X$를 컴팩트공간(compact space)이라 한다.

모든 위상공간 $X$의 유한부분집합과 공집합은 컴팩트이고 이산공간 $X,\,\mathcal{D}$가 컴팩트공간이 되려면 $X$가 유한집합이어야 한다.

보통위상공간 $\mathbb{R},\,\mathcal{U}$의 유계폐구간 $[a,\,b]$는 컴팩트이다. $\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 $[a,\,b]$의 임의의 한 열린덮개라 하자. $[a,\,b]$의 부분집합 $A$를 $$A=\{x\in[a,\,b]\,|\,[a,\,x]는\,유한개의\,G_{\gamma}로\,덮힌다\}$$ 라 하면 $A\subset[a,\,b]$이고 $a\in A$이므로 $A\neq\emptyset$이다. 따라서 $c\in[a,\,b]$가 존재해서 $c=\sup A$이다. $c<b$이면 $G_{\gamma}\in\mathcal{C}$가 존재해서 $c\in G_{\gamma}$이고 $G_{\gamma}$는 $(\mathbb{R},\,\mathcal{U})$에서 열린집합이므로 $\epsilon>0$이 존재해서 $(c-\epsilon,\,c+\epsilon)\subset G_{\gamma},\,c+\epsilon<b$이다. 따라서 $c$의 정의에 의해 $\left[a,\,c-\frac{\epsilon}{2}\right]$은 $G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}$으로 덮히고 $G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}},\,G_{\gamma}$는 $\left[a,\,c+\frac{\epsilon}{2}\right]$을 피복한다. 이렇게 되면 $A$의 정의에 의해 $c+\frac{\epsilon}{2}\in A$이고 이는 $c=\sup A$라는 사실에 모순이다. 따라서 $c=b$이어야 한다. $$[a,\,b]\subset\left(\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}\right)\cup G_{\gamma}$$ 이므로 $[a,\,b]$의 임의의 열린덮개 $\mathcal{C}$는 유한부분덮개를 갖고 따라서 $[a,\,b]$는 컴팩트집합이다.

보통위상공간 $\mathbb{R},\,\mathcal{U}$는 컴팩트공간이 아니다. 왜냐하면 $\{(-n,\,n)\}_{n\in\mathbb{N}}$은 보통위상공간의 열린덮개이나 유한개의 부분피복을 갖지 않기 때문이다. 또한 $(0,\,1)$의 열린덮개 $\{\left(\frac{1}{n+2},\,\frac{1}{n}\right)\}_{n\in\mathbb{N}}$는 $(0,\,1)$을 덮으나 유한개의 부분피복을 갖지 않는다.

8.1 $X$를 컴팩트공간, $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 연속함수라 하자. 그러면 $f[X]$는 컴팩트이다. 증명: $\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 $f[X]$의 열린덮개라 하자. 그러면 $f$가 연속함수이므로 $\{f^{-1}[G_{\gamma}]\}_{\gamma\in\Gamma}$는 $X$의 열린덮개이고 $X$가 컴팩트이므로 $\{f^{-1}[G_{\gamma}]\}_{\gamma\in\Gamma}$는 유한부분덮개 $\{f^{-1}[G_{\gamma_{1}}],\,\cdots,\,f^{-1}[G_{\gamma_{n}}]\}$을 갖고 $\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}$은 $f[X]$의 유한부분덮개가 되므로 따라서 $f[X]$는 컴팩트이다. (QED)

8.2 $X$를 $T_{2}$공간, $F$를 $X$의 컴팩트 부분집합, $x\notin F$라 하자. 그러면 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $x\in G,\,F\subset H$이다. 증명: 모든 $y\in F$에 대하여 서로소인 열린집합 $G_{y},\,H_{y}$를 선택하고 $x\in G_{y},\,y\in H_{y}$라 하자. 그러면 $\{H_{y}\}_{y\in F}$는 $F$의 한 열린덮개이고 $F$가 컴팩트 부분집합이므로 $\{H_{y}\}_{y\in F}$는 유한부분덮개 $\{H_{y_{1}},\,\cdots,\,H_{y_{n}}\}$을 갖는다. $\displaystyle G=\bigcap_{i=1}^{n}{G_{y_{i}}},\,H=\bigcup_{i=1}^{n}{H_{y_{i}}}$라 하면 $G$와 $H$는 서로소인 열린집합이고 $x\in G,\,F\subset H$이다. (QED)

8.3 (1) 컴팩트 공간에서 닫힌 부분집합은 컴팩트 집합이다. (2) $T_{2}$공간의 컴팩트 부분집합은 닫힌집합이다. 증명 (1): $X$를 컴팩트공간이라 하고 $F\subset X$를 닫힌집합, $\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 $X$의 열린덮개라 하고 $\displaystyle F\subset\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}$라 하자. $X$가 컴팩트공간, $F$는 닫힌집합 이므로 $F^{c}$는 열린집합이고 $\displaystyle\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\cup F^{c}$는 $X$의 한 열린덮개이고 $X$를 덮는 유한부분덮개 $\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}\cup\{F^{c}\}$가 존재하여 $X=\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}\cap F^{c}$이다. $F\cap F^{c}=\emptyset$이므로 $\displaystyle F\subset\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}$이고 $\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}$은 $\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$의 유한부분덮개이므로 따라서 $F$는 컴팩트 집합이다. (2) 8.2에 의해 $x\notin F$에 대하여 서로소인 열린집합 $G$와 $H$가 존재해서 $x\in G,\,F\subset H$이다. 이때 $x\in G\subset H^{c}\subset F^{c}$이고 따라서 $F^{c}$는 열린집합이므로 $F$는 닫힌집합이다. (QED)

8.4 컴팩트 $T_{2}$공간은 $T_{4}$공간이다. 즉 $A,\,B$를 $T_{2}$공간 $X$에서 서로소인 컴팩트 집합일 때, 서로소인 열린집합 $G,\,H$가 존재해서 $A\subset G,\,B\subset H$이다. 증명: $A,\,B$를 $T_{2}$공간 $X$에서 서로소인 컴팩트집합이라 하자. 8.2에 의해 모든 $x\in X$에 대하여 서로소인 열린집합 $G_{x},\,H_{x}$가 존재해서 $x\in G_{x}$이고 $B\subset H_{x}$이다. $A$는 컴팩트이므로 $A$의 열린덮개 $\{G_{x}\}_{x\in X}$는 유한부분덮개 $\{G_{x_{1}},\,\cdots,\,G_{x_{n}}\}$이다. $\displaystyle G=\bigcup_{i=1}^{n}{G_{x_{i}}},\,H=\bigcap_{i=1}^{n}{H_{x_{i}}}$라 하면 $G,\,H$는 열린집합이고 $A\subset G,\,B\subset H$이다. (QED)

8.5 $X$를 컴팩트공간, $Y$를 $T_{2}$공간, $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 전단사 연속함수라 하자. 그러면 $f$는 위상동형사상이다. 증명: $A$를 $X$에서 닫힌집합이라 하자. 8.3의 (1)에 의해 $A$는 컴팩트집합이고 따라서 8.1에 의해 $f[A]$는 컴팩트이다. (QED)

집합 $X(\neq\emptyset)$의 한 부분집합족 $\mathcal{A}=\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$가 $\mathcal{A}$의 임의의 유한부분집합족 $\{A_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,A_{\gamma{n}}\}$에 대하여 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_{\gamma_{i}}}\neq\emptyset$이면, $\mathcal{A}$는 유한상교성(finite intersection property)을 만족한다고 한다.

8.6 $X$를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 동치이다. (1) $X$는 컴팩트공간이다. (2) 교집합이 공집합인 $X$의 닫힌 부분집합들을 모은 집합족 $\mathcal{A}=\{F_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$에 대하여 $\{F_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,F_{\gamma_{n}}\}\subset\mathcal{A}$가 존재해서 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}}=\emptyset$이다. (3) 유한상교성을 만족하는 $X$이 임의의 닫힌부분집합들을 모은 집합족 $\mathcal{A}=\{F_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$가 존재해서 $\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}\neq\emptyset$이다. 증명 (1)$\Rightarrow$(2): $X$를 컴팩트공간, $\mathcal{A}=\{F_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 교집합이 공집합인 $X$의 닫힌 부분집합들을 모은 집합족이라 하자. 가정에 의해 $\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}=\emptyset$이고 $X=\emptyset^{c}=\left(\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}^{c}}$이다. 따라서 $\mathcal{C}=\{F_{\gamma}^{c}\}_{\gamma\in\Gamma}$는 $X$의 열린덮개이고 $X$는 컴팩트이므로 $\mathcal{C}$는 유한부분덮개 $\{F_{\gamma_{1}}^{c},\,\cdots,\,F_{\gamma_{n}}^{c}\}$을 갖고 $X=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}^{c}}=\left(\bigcap_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}}\right)^{c}$이므로 따라서 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}}=\emptyset$이다. (2)$\Rightarrow$(1): $\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 $X$의 임의의 열린덮개라 하자. $X=\displaystyle\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}$이므로 $\emptyset=X^{c}=\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}^{c}}$이고 $\mathcal{A}=\{G_{\gamma}^{c}\}_{\gamma\in\Gamma}$의 원소들의 교집합은 공집합, $G_{\gamma}^{c}$는 닫힌집합이므로 가정에 의해 $\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}\subset\mathcal{C}$가 존재해서 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}^{c}}=\emptyset$이다. 따라서 $\displaystyle X=\emptyset^{c}=\left(\bigcap_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}^{c}}}\right)^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}$이므로 $X$는 컴팩트공간이다. (2)와 (3)은 서로 대우명제이다. (QED)

$X$를 위상공간이라 하자. $X$상의 모든 수열들이 수렴하는 부분수열을 가지면 $X$를 수열컴팩트공간(sequential compact space)라 하고 $X$의 가산개의 열린덮개가 유한부분덮개를 가지면 $X$를 가산컴팩트공간(countably compact space)라고 한다.

8.7 컴팩트공간은 가산컴팩트공간이다. 증명: $X$를 컴팩트공간이라 하고 $\mathcal{C}=\{G_{i}\}$를 $X$의 열린덮개라 하자. $X$가 컴팩트공간이므로 $\mathcal{C}$는 유한부분덮개 $\{G_{i_{1}},\,\cdots,\,G_{i_{n}}\}\subset\mathcal{C}$를 갖고 따라서 가산컴팩트공간의 정의에 의해 $X$는 가산컴팩트공간이다. (QED)

8.8 수열컴팩트공간은 가산컴팩트공간이다. 증명: $X$를 위상공간이고 가산컴팩트공간이 아니라고 하자. 그러면 한 열린덮개 $\mathcal{C}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}$가 존재해서 유한부분덮개를 갖지 않는다. 따라서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{G_{i}}\not\subset X$이고 따라서 수열 $a_{n}$이 존재해서 $a_{n}\in X-\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{G_{i}}$이다. 이 경우 $a_{n}$은 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다. 왜냐하면 $a\in\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{G_{i}}$에 대하여 이므로 어떤 $G_{n}$에 대하여 $a_{n}\in G_{n}$이고 $a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n-1}$이외의 수열의 원소는 $G_{n}$에 포함되지 않기 때문에 $\{a_{n}\}$의 어떠한 부분수열도 $a$에 수렴하지 않는다. 따라서 $X$는 수열컴팩트공간이 아니다. (QED)

8.8은 제 1가산공간일 때 역이 성립한다.

8.7과 8.8로부터 컴팩트공간이면 가산컴팩트공간이고 수열컴팩트공간이면 가산컴팩트공간이고 역은 성립하지 않는다. 그러나 거리공간에서는 서로 동치이다.

참고자료
Topology second edition, Munkres, Pearson
Real Analysis: Modern Techniques and Their Application, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사