컴팩트 공간

컴팩트 공간

덮개의 정의: 위상공간 \(X\)의 부분집합들을 모은 집합 \(\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)가 \(A\subset X\)에 대하여 \(\displaystyle A\subset\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\)이면 \(\mathcal{C}\)를 \(A\)의 덮개(cover)라고 한다.

\(\mathcal{C}_{0}\)이 \(\mathcal{C}\)의 부분집합이고 \(A\)의 덮개이면 \(\mathcal{C}_{0}\)을 \(\mathcal{C}\)의 부분덮개(subcover)이라 한다. \(A\)의 덮개 \(\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)의 모든 원소 \(G_{\gamma}\)가 모두 열린집합이면 \(\mathcal{C}\)를 \(A\)의 열린덮개(open cover)라고 한다.

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(A\subset X\)라 하자. \(A\)의 임의의 열린덮개 \(\mathcal{C}\)가 한 유한부분덮개 \(\mathcal{C}'=\{G_{1},\,\cdots,\,G_{n}\}\)를 포함할 때 \(A\)를 \(X\)의 컴팩트 부분집합(compact subset)이라 하고 \(X\)가 컴팩트이면 \(X\)를 컴팩트공간(compact space)이라 한다.

모든 위상공간 \(X\)의 유한부분집합과 공집합은 컴팩트이고 이산공간 \(X,\,\mathcal{D}\)가 컴팩트공간이 되려면 \(X\)가 유한집합이어야 한다.

보통위상공간 \(\mathbb{R},\,\mathcal{U}\)의 유계폐구간 \([a,\,b]\)는 컴팩트이다. \(\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 \([a,\,b]\)의 임의의 한 열린덮개라 하자. \([a,\,b]\)의 부분집합 \(A\)를$$A=\{x\in[a,\,b]\,|\,[a,\,x]는\,유한개의\,G_{\gamma}로\,덮힌다\}$$라 하면 \(A\subset[a,\,b]\)이고 \(a\in A\)이므로 \(A\neq\emptyset\)이다. 따라서 \(c\in[a,\,b]\)가 존재해서 \(c=\sup A\)이다. \(c<b\)이면 \(G_{\gamma}\in\mathcal{C}\)가 존재해서 \(c\in G_{\gamma}\)이고 \(G_{\gamma}\)는 \((\mathbb{R},\,\mathcal{U})\)에서 열린집합이므로 \(\epsilon>0\)이 존재해서 \((c-\epsilon,\,c+\epsilon)\subset G_{\gamma},\,c+\epsilon<b\)이다. 따라서 \(c\)의 정의에 의해 \(\left[a,\,c-\frac{\epsilon}{2}\right]\)은 \(G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\)으로 덮히고 \(G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}},\,G_{\gamma}\)는 \(\left[a,\,c+\frac{\epsilon}{2}\right]\)을 피복한다. 이렇게 되면 \(A\)의 정의에 의해 \(c+\frac{\epsilon}{2}\in A\)이고 이는 \(c=\sup A\)라는 사실에 모순이다. 따라서 \(c=b\)이어야 한다.$$[a,\,b]\subset\left(\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}\right)\cup G_{\gamma}$$이므로 \([a,\,b]\)의 임의의 열린덮개 \(\mathcal{C}\)는 유한부분덮개를 갖고 따라서 \([a,\,b]\)는 컴팩트집합이다.

보통위상공간 \(\mathbb{R},\,\mathcal{U}\)는 컴팩트공간이 아니다. 왜냐하면 \(\{(-n,\,n)\}_{n\in\mathbb{N}}\)은 보통위상공간의 열린덮개이나 유한개의 부분피복을 갖지 않기 때문이다. 또한 \((0,\,1)\)의 열린덮개 \(\{\left(\frac{1}{n+2},\,\frac{1}{n}\right)\}_{n\in\mathbb{N}}\)는 \((0,\,1)\)을 덮으나 유한개의 부분피복을 갖지 않는다.

8.1 \(X\)를 컴팩트공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 연속함수라 하자. 그러면 \(f[X]\)는 컴팩트이다. 증명: \(\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 \(f[X]\)의 열린덮개라 하자. 그러면 \(f\)가 연속함수이므로 \(\{f^{-1}[G_{\gamma}]\}_{\gamma\in\Gamma}\)는 \(X\)의 열린덮개이고 \(X\)가 컴팩트이므로 \(\{f^{-1}[G_{\gamma}]\}_{\gamma\in\Gamma}\)는 유한부분덮개 \(\{f^{-1}[G_{\gamma_{1}}],\,\cdots,\,f^{-1}[G_{\gamma_{n}}]\}\)을 갖고 \(\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}\)은 \(f[X]\)의 유한부분덮개가 되므로 따라서 \(f[X]\)는 컴팩트이다. (QED)

8.2 \(X\)를 \(T_{2}\)공간, \(F\)를 \(X\)의 컴팩트 부분집합, \(x\notin F\)라 하자. 그러면 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(x\in G,\,F\subset H\)이다. 증명: 모든 \(y\in F\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(G_{y},\,H_{y}\)를 선택하고 \(x\in G_{y},\,y\in H_{y}\)라 하자. 그러면 \(\{H_{y}\}_{y\in F}\)는 \(F\)의 한 열린덮개이고 \(F\)가 컴팩트 부분집합이므로 \(\{H_{y}\}_{y\in F}\)는 유한부분덮개 \(\{H_{y_{1}},\,\cdots,\,H_{y_{n}}\}\)을 갖는다. \(\displaystyle G=\bigcap_{i=1}^{n}{G_{y_{i}}},\,H=\bigcup_{i=1}^{n}{H_{y_{i}}}\)라 하면 \(G\)와 \(H\)는 서로소인 열린집합이고 \(x\in G,\,F\subset H\)이다. (QED)

8.3 (1) 컴팩트 공간에서 닫힌 부분집합은 컴팩트 집합이다. (2) \(T_{2}\)공간의 컴팩트 부분집합은 닫힌집합이다. 증명 (1): \(X\)를 컴팩트공간이라 하고 \(F\subset X\)를 닫힌집합, \(\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 \(X\)의 열린덮개라 하고 \(\displaystyle F\subset\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\)라 하자. \(X\)가 컴팩트공간, \(F\)는 닫힌집합 이므로 \(F^{c}\)는 열린집합이고 \(\displaystyle\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\cup F^{c}\)는 \(X\)의 한 열린덮개이고 \(X\)를 덮는 유한부분덮개 \(\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}\cup\{F^{c}\}\)가 존재하여 \(X=\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}\cap F^{c}\)이다. \(F\cap F^{c}=\emptyset\)이므로 \(\displaystyle F\subset\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}\)이고 \(\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}\)은 \(\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)의 유한부분덮개이므로 따라서 \(F\)는 컴팩트 집합이다. (2) 8.2에 의해 \(x\notin F\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(G\)와 \(H\)가 존재해서 \(x\in G,\,F\subset H\)이다. 이때 \(x\in G\subset H^{c}\subset F^{c}\)이고 따라서 \(F^{c}\)는 열린집합이므로 \(F\)는 닫힌집합이다. (QED)

8.4 컴팩트 \(T_{2}\)공간은 \(T_{4}\)공간이다. 즉 \(A,\,B\)를 \(T_{2}\)공간 \(X\)에서 서로소인 컴팩트 집합일 때, 서로소인 열린집합 \(G,\,H\)가 존재해서 \(A\subset G,\,B\subset H\)이다. 증명: \(A,\,B\)를 \(T_{2}\)공간 \(X\)에서 서로소인 컴팩트집합이라 하자. 8.2에 의해 모든 \(x\in X\)에 대하여 서로소인 열린집합 \(G_{x},\,H_{x}\)가 존재해서 \(x\in G_{x}\)이고 \(B\subset H_{x}\)이다. \(A\)는 컴팩트이므로 \(A\)의 열린덮개 \(\{G_{x}\}_{x\in X}\)는 유한부분덮개 \(\{G_{x_{1}},\,\cdots,\,G_{x_{n}}\}\)이다. \(\displaystyle G=\bigcup_{i=1}^{n}{G_{x_{i}}},\,H=\bigcap_{i=1}^{n}{H_{x_{i}}}\)라 하면 \(G,\,H\)는 열린집합이고 \(A\subset G,\,B\subset H\)이다. (QED)

8.5 \(X\)를 컴팩트공간, \(Y\)를 \(T_{2}\)공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 전단사 연속함수라 하자. 그러면 \(f\)는 위상동형사상이다. 증명: \(A\)를 \(X\)에서 닫힌집합이라 하자. 8.3의 (1)에 의해 \(A\)는 컴팩트집합이고 따라서 8.1에 의해 \(f[A]\)는 컴팩트이다. (QED)

집합 \(X(\neq\emptyset)\)의 한 부분집합족 \(\mathcal{A}=\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)가 \(\mathcal{A}\)의 임의의 유한부분집합족 \(\{A_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,A_{\gamma{n}}\}\)에 대하여 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_{\gamma_{i}}}\neq\emptyset\)이면, \(\mathcal{A}\)는 유한상교성(finite intersection property)을 만족한다고 한다.

8.6 \(X\)를 위상공간이라 하자. 다음의 명제는 동치이다. (1) \(X\)는 컴팩트공간이다. (2) 교집합이 공집합인 \(X\)의 닫힌 부분집합들을 모은 집합족 \(\mathcal{A}=\{F_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)에 대하여 \(\{F_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,F_{\gamma_{n}}\}\subset\mathcal{A}\)가 존재해서 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}}=\emptyset\)이다. (3) 유한상교성을 만족하는 \(X\)이 임의의 닫힌부분집합들을 모은 집합족 \(\mathcal{A}=\{F_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)가 존재해서 \(\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}\neq\emptyset\)이다. 증명 (1)\(\Rightarrow\)(2): \(X\)를 컴팩트공간, \(\mathcal{A}=\{F_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 교집합이 공집합인 \(X\)의 닫힌 부분집합들을 모은 집합족이라 하자. 가정에 의해 \(\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}=\emptyset\)이고 \(X=\emptyset^{c}=\left(\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}^{c}}\)이다. 따라서 \(\mathcal{C}=\{F_{\gamma}^{c}\}_{\gamma\in\Gamma}\)는 \(X\)의 열린덮개이고 \(X\)는 컴팩트이므로 \(\mathcal{C}\)는 유한부분덮개 \(\{F_{\gamma_{1}}^{c},\,\cdots,\,F_{\gamma_{n}}^{c}\}\)을 갖고 \(X=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}^{c}}=\left(\bigcap_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}}\right)^{c}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{F_{\gamma_{i}}}=\emptyset\)이다. (2)\(\Rightarrow\)(1): \(\mathcal{C}=\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 \(X\)의 임의의 열린덮개라 하자. \(X=\displaystyle\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\)이므로 \(\emptyset=X^{c}=\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{G_{\gamma}^{c}}\)이고 \(\mathcal{A}=\{G_{\gamma}^{c}\}_{\gamma\in\Gamma}\)의 원소들의 교집합은 공집합, \(G_{\gamma}^{c}\)는 닫힌집합이므로 가정에 의해 \(\{G_{\gamma_{1}},\,\cdots,\,G_{\gamma_{n}}\}\subset\mathcal{C}\)가 존재해서 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}^{c}}=\emptyset\)이다. 따라서 \(\displaystyle X=\emptyset^{c}=\left(\bigcap_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}^{c}}}\right)^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}{G_{\gamma_{i}}}\)이므로 \(X\)는 컴팩트공간이다. (2)와 (3)은 서로 대우명제이다. (QED)

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X\)상의 모든 수열들이 수렴하는 부분수열을 가지면 \(X\)를 수열컴팩트공간(sequential compact space)라 하고 \(X\)의 가산개의 열린덮개가 유한부분덮개를 가지면 \(X\)를 가산컴팩트공간(countably compact space)라고 한다.

8.7 컴팩트공간은 가산컴팩트공간이다. 증명: \(X\)를 컴팩트공간이라 하고 \(\mathcal{C}=\{G_{i}\}\)를 \(X\)의 열린덮개라 하자. \(X\)가 컴팩트공간이므로 \(\mathcal{C}\)는 유한부분덮개 \(\{G_{i_{1}},\,\cdots,\,G_{i_{n}}\}\subset\mathcal{C}\)를 갖고 따라서 가산컴팩트공간의 정의에 의해 \(X\)는 가산컴팩트공간이다. (QED)

8.8 수열컴팩트공간은 가산컴팩트공간이다. 증명: \(X\)를 위상공간이고 가산컴팩트공간이 아니라고 하자. 그러면 한 열린덮개 \(\mathcal{C}=\{G_{1},\,G_{2},\,\cdots\}\)가 존재해서 유한부분덮개를 갖지 않는다. 따라서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{G_{i}}\not\subset X\)이고 따라서 수열 \(a_{n}\)이 존재해서 \(a_{n}\in X-\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{G_{i}}\)이다. 이 경우 \(a_{n}\)은 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다. 왜냐하면 \(a\in\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{G_{i}}\)에 대하여 이므로 어떤 \(G_{n}\)에 대하여 \(a_{n}\in G_{n}\)이고 \(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n-1}\)이외의 수열의 원소는 \(G_{n}\)에 포함되지 않기 때문에 \(\{a_{n}\}\)의 어떠한 부분수열도 \(a\)에 수렴하지 않는다. 따라서 \(X\)는 수열컴팩트공간이 아니다. (QED)

8.8은 제 1가산공간일 때 역이 성립한다.

8.7과 8.8로부터 컴팩트공간이면 가산컴팩트공간이고 수열컴팩트공간이면 가산컴팩트공간이고 역은 성립하지 않는다. 그러나 거리공간에서는 서로 동치이다.

참고자료
Topology second edition, Munkres, Pearson
Real Analysis: Modern Techniques and Their Application, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사