거리공간 (1)

거리공간 (1)

다음의 네 가지 조건들을 만족시키는 함수 $d:\,X\times X\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 거리함수(metric function)라 한다.

(1) 모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $d(x,,\,y)\geq0$이고 $x=y$일 때, 등호가 성립한다.

(2) (대칭성, symmetry) 모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $d(x,\,y)=d(y,\,x)$

(3) (삼각부등식, triangle inequality) 모든 $x,\,y,\,z\in X$에 대하여 $d(x,\,z)\leq d(x,\,y)+d(y,\,z)$

(4) $x\neq y$이면 $d(x,\,y)>0$

위의 함수가 성질 (1), (2), (3)만 만족하면 함수 $d$를 유사거리(psuedo metric)라고 한다.

다음은 거리함수를 나타낸 것이다.

(1) $X$를 공집합이 아닌 집합이라 하자. 모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $$d(x,\,y)=\begin{cases}1\,&(x\neq y)\\0\,&(x=y)\end{cases}$$ 는 $X$상의 거리함수이다. 이 거리함수를 이산거리(discrete metric)라고 한다.

(2) 모든 $\mathrm{x},\,\mathrm{y}\in\mathbb{R}^{n}\,(n\in\mathbb{N})$에 대하여 $d(\mathrm{x},\,\mathrm{y})=|\mathrm{x}-\mathrm{y}|$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 거리함수이다. 이 거리함수를 유클리드거리(Euclidean metric)라 하고 $n=1$일 때는 보통거리(usual metric)라고 한다.

(3) $C([a,\,b])$를 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수들의 집합이라 하고 $f,\,g\in C([a,\,b])$에 대하여 함수 $\rho_{1}$과 $\rho_{2}$를 $$\rho_{1}(f,\,g)=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx},\,\rho_{2}(f,\,g)=\sup_{x\in[a,\,b]}{|f(x)-g(x)|}$$ 로 정의하면 $\rho_{1}$과 $\rho_{2}$는 거리함수가 된다. 만약 $\rho_{1}$을 리만적분 가능한 함수들의 집합 $\mathfrak{R}([a,\,b])$에서 정의하면 유사거리가 된다.

거리함수 $d$를 갖는 집합 $X$와 $\epsilon>0$에 대하여 $$B_{d}(x)=\{y\,|\,d(x,\,y)<\epsilon\}$$ 을 중심이 $x$인 $\epsilon-$공(ball)이라 한다. 거리함수 $d$가 알려졌을 때 간편하게 $B(x,\,\epsilon)$으로 나타낸다.

$x\in X$와 $\epsilon>0$에 대하여 모든 $\epsilon-$공들을 모은 집합은 $X$의 기저가 된다. 이를 $d$에 의해 유도된 거리위상(metric topology)이라 하고 $\mathcal{T}(d)$로 나타낸다.

모든 $\mathcal{E}\subset2^{X}$에 대하여 $\mathcal{E}$가 $X$상의 위상의 기저가 될 필요충분조건은 모든 $x\in X$들은 어떤 $V\in\mathcal{E}$에 포함되고, $U,\,V\in\mathcal{E},\,x\in U\cap V$일 때, $W\in\mathcal{E}$가 존재해서 $x\in W\subset U\cap V$인 것이다. 첫 번째 조건은 자명하다. 왜냐하면 모든 $\epsilon>0$에 대하여 $x\in B(x,\,\epsilon)$이기 때문이다. $B(a,\,\epsilon_{1}),\,B(b,\,\epsilon_{2})$를 $X$의 기저라 하고 $x\in B(a,\,\epsilon_{1})\cap B(b,\,\epsilon_{2})$라 하자. $\epsilon=\min\{\epsilon_{1}-d(a,\,x),\,\epsilon_{2}-d(b,\,x)\}$, $p\in B(x,\,\epsilon)$이라 하면 $$d(a,\,p)\leq d(a,\,x)+d(x,\,p)\leq d(a,\,x)+\epsilon\leq\epsilon_{1}$$ 이므로 $p\in B(x,\,\epsilon_{1})$이다. 앞과 같은 방법으로 $p\in B(x,\,\epsilon_{2})$임을 보일 수 있다. 그러므로 $$x\in B(x,\,\epsilon)\subset B(a,\,\epsilon_{1})\cap B(b,\,\epsilon_{2})$$ 이고 두 번째 조건을 만족함을 알 수 있다.

이산거리 $d$에 대하여 $\mathcal{T}(d)=\mathcal{D}$($\mathcal{D}$는 이산위상)이다. 이유는 모든 $x\in X$에 대하여 $B_{d}\left(x,\,\frac{1}{2}\right)=\{x\}\in\mathcal{T}(d)$이기 때문이다.

위상공간 $X$에서 $X$를 유도하는 거리함수 $d$가 존재하면 이 위상공간 $X$를 거리화가능(metrizable)이라고 한다. 거리공간은 위상공간 $X$를 유도하는 거리함수 $d$를 갖는 거리화가능한 위상공간이고 이를 $(X,\,d)$로 나타낸다. 이산공간 $(X,\,d)$($d$는 이산거리)은 $\mathcal{T}(d)=\mathcal{D}$이므로 거리화가능하다.

$X$상의 두 거리함수 $d_{1},\,d_{2}$에 대하여 $\mathcal{T}(d_{1})=\mathcal{T}(d_{2})$이면, 두 거리함수 $d_{1}$과 $d_{2}$를 동치거리(equivalent metric)라고 한다.

모든 $x,\,y\in X$에 대하여 $$d_{1}=\begin{cases}0\,&(x=y)\\1\,&(x\neq y)\end{cases},\,d_{2}=\begin{cases}0\,&(x=y)\\2\,&(x\neq y)\end{cases}$$ 라 하자. 그러면 $d_{1}$과 $d_{2}$는 서로 다른 거리이나 $\mathcal{T}(d_{1})=\mathcal{T}(d_{2})=\mathcal{D}$이므로 $d_{1}$과 $d_{2}$는 동치거리이다.

$(X,\,d)$와 $(Y,\,\rho)$를 거리공간, $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 함수라 하자. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\delta>0$이 존재해서 $d(x,\,y)<\delta$일 때 $\rho(f(x),\,f(y))<\epsilon$, 또는 $B(\delta,\,x)\subset f^{-1}[B(x,\,\epsilon)]$이면 함수 $f$는 $x\in X$에서 연속이라고 한다. 모든 $x\in X$에서 연속이면 함수 $f$는 연속이다. 함수 $f$의 연속조건에서 $\delta$가 $x$에 독립적이면 함수 $f$는 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다.

5.1 $X,\,d$와 $Y,\,\rho$를 거리공간, $f:\,X\,\rightarrow\,Y$를 함수라 하자. $f$가 연속일 필요충분조건은 모든 열린집합 $U\subset Y$에 대하여 $f^{-1}[U]$가 $X$에서 열린집합이 되는 것이다. 증명 $(\Leftarrow)$: 모든 열린집합 $U\subset Y$에 대하여 $f^{-1}[U]$가 $X$에서 열린집합이라 하자. 그러면 모든 $x\in X$와 $\epsilon>0$에 대하여 $f^{-1}[B(f(x),\,\epsilon)]$은 $X$에서 열린집합이고 점 $x$를 포함한다. 그러면 $f^{-1}[B(f(x),\,\epsilon)]$은 점 $x$의 한 근방을 포함하고 따라서 $f$는 연속함수이다. $(\Rightarrow)$: $f$를 연속함수, $U\subset Y$를 열린집합이라 하자. 모든 $y\in U$에 대하여 $\epsilon_{y}>0$이 존재해서 $B(y,\,\epsilon_{y})\subset U$이고 모든 $x\in f^{-1}[\{y\}]$에 대하여 $\delta_{x}>0$가 존재해서 $B(x,\,\delta_{x})\subset f^{-1}[B(y,\,\epsilon_{y})]\subset f^{-1}[U]$이다. 따라서 $\displaystyle f^{-1}[U]=\bigcup_{x\in f^{-1}[U]}{B(x,\,\delta_{x})}$는 열린집합이다. (QED)

참고자료
Topology Second Edition, Munkres, Pearson
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온,이석종, 교우사