거리공간 (1)

거리공간 (1)

다음의 네 가지 조건들을 만족시키는 함수 \(d:\,X\times X\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 거리함수(metric function)라 한다.

(1) 모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(d(x,,\,y)\geq0\)이고 \(x=y\)일 때, 등호가 성립한다.

(2) (대칭성, symmetry) 모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(d(x,\,y)=d(y,\,x)\)

(3) (삼각부등식, triangle inequality) 모든 \(x,\,y,\,z\in X\)에 대하여 \(d(x,\,z)\leq d(x,\,y)+d(y,\,z)\)

(4) \(x\neq y\)이면 \(d(x,\,y)>0\)

위의 함수가 성질 (1), (2), (3)만 만족하면 함수 \(d\)를 유사거리(psuedo metric)라고 한다.

다음은 거리함수를 나타낸 것이다.

(1) \(X\)를 공집합이 아닌 집합이라 하자. 모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여$$d(x,\,y)=\begin{cases}1\,&(x\neq y)\\0\,&(x=y)\end{cases}$$는 \(X\)상의 거리함수이다. 이 거리함수를 이산거리(discrete metric)라고 한다.

(2) 모든 \(\mathrm{x},\,\mathrm{y}\in\mathbb{R}^{n}\,(n\in\mathbb{N})\)에 대하여 \(d(\mathrm{x},\,\mathrm{y})=|\mathrm{x}-\mathrm{y}|\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 거리함수이다. 이 거리함수를 유클리드거리(Euclidean metric)라 하고 \(n=1\)일 때는 보통거리(usual metric)라고 한다.

(3) \(C([a,\,b])\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수들의 집합이라 하고 \(f,\,g\in C([a,\,b])\)에 대하여 함수 \(\rho_{1}\)과 \(\rho_{2}\)를$$\rho_{1}(f,\,g)=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx},\,\rho_{2}(f,\,g)=\sup_{x\in[a,\,b]}{|f(x)-g(x)|}$$로 정의하면 \(\rho_{1}\)과 \(\rho_{2}\)는 거리함수가 된다. 만약 \(\rho_{1}\)을 리만적분 가능한 함수들의 집합 \(\mathfrak{R}([a,\,b])\)에서 정의하면 유사거리가 된다.

거리함수 \(d\)를 갖는 집합 \(X\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여$$B_{d}(x)=\{y\,|\,d(x,\,y)<\epsilon\}$$을 중심이 \(x\)인 \(\epsilon-\)공(ball)이라 한다. 거리함수 \(d\)가 알려졌을 때 간편하게 \(B(x,\,\epsilon)\)으로 나타낸다.

\(x\in X\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 모든 \(\epsilon-\)공들을 모은 집합은 \(X\)의 기저가 된다. 이를 \(d\)에 의해 유도된 거리위상(metric topology)이라 하고 \(\mathcal{T}(d)\)로 나타낸다.

모든 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)에 대하여 \(\mathcal{E}\)가 \(X\)상의 위상의 기저가 될 필요충분조건은 모든 \(x\in X\)들은 어떤 \(V\in\mathcal{E}\)에 포함되고, \(U,\,V\in\mathcal{E},\,x\in U\cap V\)일 때, \(W\in\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in W\subset U\cap V\)인 것이다. 첫 번째 조건은 자명하다. 왜냐하면 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x\in B(x,\,\epsilon)\)이기 때문이다. \(B(a,\,\epsilon_{1}),\,B(b,\,\epsilon_{2})\)를 \(X\)의 기저라 하고 \(x\in B(a,\,\epsilon_{1})\cap B(b,\,\epsilon_{2})\)라 하자. \(\epsilon=\min\{\epsilon_{1}-d(a,\,x),\,\epsilon_{2}-d(b,\,x)\}\), \(p\in B(x,\,\epsilon)\)이라 하면$$d(a,\,p)\leq d(a,\,x)+d(x,\,p)\leq d(a,\,x)+\epsilon\leq\epsilon_{1}$$이므로 \(p\in B(x,\,\epsilon_{1})\)이다. 앞과 같은 방법으로 \(p\in B(x,\,\epsilon_{2})\)임을 보일 수 있다. 그러므로$$x\in B(x,\,\epsilon)\subset B(a,\,\epsilon_{1})\cap B(b,\,\epsilon_{2})$$이고 두 번째 조건을 만족함을 알 수 있다.

이산거리 \(d\)에 대하여 \(\mathcal{T}(d)=\mathcal{D}\)(\(\mathcal{D}\)는 이산위상)이다. 이유는 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(B_{d}\left(x,\,\frac{1}{2}\right)=\{x\}\in\mathcal{T}(d)\)이기 때문이다.

위상공간 \(X\)에서 \(X\)를 유도하는 거리함수 \(d\)가 존재하면 이 위상공간 \(X\)를 거리화가능(metrizable)이라고 한다. 거리공간은 위상공간 \(X\)를 유도하는 거리함수 \(d\)를 갖는 거리화가능한 위상공간이고 이를 \((X,\,d)\)로 나타낸다. 이산공간 \((X,\,d)\)(\(d\)는 이산거리)은 \(\mathcal{T}(d)=\mathcal{D}\)이므로 거리화가능하다.

\(X\)상의 두 거리함수 \(d_{1},\,d_{2}\)에 대하여 \(\mathcal{T}(d_{1})=\mathcal{T}(d_{2})\)이면, 두 거리함수 \(d_{1}\)과 \(d_{2}\)를 동치거리(equivalent metric)라고 한다.

모든 \(x,\,y\in X\)에 대하여$$d_{1}=\begin{cases}0\,&(x=y)\\1\,&(x\neq y)\end{cases},\,d_{2}=\begin{cases}0\,&(x=y)\\2\,&(x\neq y)\end{cases}$$라 하자. 그러면 \(d_{1}\)과 \(d_{2}\)는 서로 다른 거리이나 \(\mathcal{T}(d_{1})=\mathcal{T}(d_{2})=\mathcal{D}\)이므로 \(d_{1}\)과 \(d_{2}\)는 동치거리이다.

\((X,\,d)\)와 \((Y,\,\rho)\)를 거리공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 함수라 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재해서 \(d(x,\,y)<\delta\)일 때 \(\rho(f(x),\,f(y))<\epsilon\), 또는 \(B(\delta,\,x)\subset f^{-1}[B(x,\,\epsilon)]\)이면 함수 \(f\)는 \(x\in X\)에서 연속이라고 한다. 모든 \(x\in X\)에서 연속이면 함수 \(f\)는 연속이다. 함수 \(f\)의 연속조건에서 \(\delta\)가 \(x\)에 독립적이면 함수 \(f\)는 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다.

5.1 \(X,\,d\)와 \(Y,\,\rho\)를 거리공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 함수라 하자. \(f\)가 연속일 필요충분조건은 모든 열린집합 \(U\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}[U]\)가 \(X\)에서 열린집합이 되는 것이다. 증명 \((\Leftarrow)\): 모든 열린집합 \(U\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}[U]\)가 \(X\)에서 열린집합이라 하자. 그러면 모든 \(x\in X\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(f^{-1}[B(f(x),\,\epsilon)]\)은 \(X\)에서 열린집합이고 점 \(x\)를 포함한다. 그러면 \(f^{-1}[B(f(x),\,\epsilon)]\)은 점 \(x\)의 한 근방을 포함하고 따라서 \(f\)는 연속함수이다. \((\Rightarrow)\): \(f\)를 연속함수, \(U\subset Y\)를 열린집합이라 하자. 모든 \(y\in U\)에 대하여 \(\epsilon_{y}>0\)이 존재해서 \(B(y,\,\epsilon_{y})\subset U\)이고 모든 \(x\in f^{-1}[\{y\}]\)에 대하여 \(\delta_{x}>0\)가 존재해서 \(B(x,\,\delta_{x})\subset f^{-1}[B(y,\,\epsilon_{y})]\subset f^{-1}[U]\)이다. 따라서 \(\displaystyle f^{-1}[U]=\bigcup_{x\in f^{-1}[U]}{B(x,\,\delta_{x})}\)는 열린집합이다. (QED)

참고자료
Topology Second Edition, Munkres, Pearson
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학의 기초, 이승온,이석종, 교우사