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연속함수



(X,T),(Y,T)를 위상공간, f:XY를 함수라 하자. 모든 GT에 대하여 f1[G]T이면 함수 f를 연속함수(continuous function)라 한다. 특히 X상의 한 점 x에 대하여 함수 fx에서 연속이라는 것은 f(x)의 임의의 근방 V에 대하여 x의 근방 U가 존재해서 f[U]V이다.


위상수학을 배우기 이전에 "함수 f가 점 x0에서 연속이다"를 "임의의 ϵ>0에 대하여 δ>0가 존재해서 |xx0|<δ일 때 |f(x)f(x0)|<ϵ"로 나타내었다. |xx0|<δ(x0δ,x0+δ)로 나타낼 수 있고 |f(x)f(x0)|<ϵ(f(x0)ϵ,f(x0)+ϵ)으로 나타낼 수 있다. U=(x0δ,x0+δ), V=(f(x0)ϵ,f(x0)+ϵ)라 하자. 그러면 f[U]V이다.


3.1 X,Y,Z를 위상공간이라 하자. 함수 f:XY,g:YZ가 연속함수이면, 합성함수 gf:XZ도 연속함수이다.


증명: GZ상의 열린집합이라 하자. g는 연속함수이므로 g1[G]Y에서 열린집합이다. 또한 f도 연속함수이므로 f1[g1[G]]X에서 열린집합이다. 따라서 gf는 연속함수이다. (QED)


함수 f:X,YA,BX,C,DY에 대하여 다음이 성립한다.

f[AB]=f[A]f[B],f1[CD]=f1[C]f1[D]f[AB]f[A]f[B],f1[CD]=f1[C]f1[D]f[AB]f[A]f[B],f1[CD]=f1[C]f1[D]AB이고 CD이면f[A]f[B],f1[C]f1[D]{Aγ}γΓX,{Cγ}γΓ이면f[γΓAγ]=γΓf[Aγ],f1[γΓCγ]=γΓf1[Cγ]f[γΓAγ]γΓf1[Aγ],f1[γΓCγ]=γΓf1[Cγ]마지막으로 AX,CY이면Af1[f[A]],f[f1[C]]C

AY에 대하여 f1[Ac]=f1[YA]=f1[Y]f1[A]=Xf1[A]=(f1[A])c이므로 f1[Ac]=(f1[A])c가 성립한다.


X,Y를 위상공간, BY의 기저라 하자. Y상의 임의의 열린집합 G를 모든 BγB를 이용하여G=γΓBγ로 나타낼 수 있고 따라서f1[G]=γΓf1[Bγ]이다. 이 사실로부터 f1[G]가 열린집합일 필요충분조건이 f1[Bγ]가 열린집합임을 알 수 있고 따라서 X,Y가 위상공간이면 함수 f:XY가 연속함수일 필요충분조건은 모든 BγY에 대하여 f1[Bγ]X에서 열린집합인 것이다.

비슷하게 SY의 부분기저이면, BBSiS에 대하여B=ni=1Si이고 따라서f1[B]=ni=1f1[Si]이다. 이 사실로부터 X,Y가 위상공간일 때, f:XY가 연속함수일 필요충분조건은 Y의 부분기저 S에 대하여 모든 SiS에 대해 f1[Si]X에서 열린집합인 것이다.


3.2 X,Y를 위상공간, f:XY라 하자. 다음의 명제들은 서로 동치이다.


(1) f는 연속함수이다.

(2) 모든 닫힌집합 FY에 대하여 f1[F]X에서 닫힌집합이다.

(3) 모든 AX에 대하여 f[¯A]¯f[A]

(4) 모든 BY에 대하여 ¯f1[B]f1[¯B]

(5) 모든 xXf(x)의 근방 V에 대하여, x의 근방 U가 존재해서 f[U]V이다.


증명:

(1)(2): f를 연속함수, FY에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 FcY에서 열린집합이고 f1[Fc]=(f1[F])c이므로 (f1[F])cX에서 열린집합이고 따라서 f1[F]X에서 닫힌집합이다.

(2)(3): AX의 임의의 부분집합이라 하자. 그러면 Af1[f[A]]이고 폐포의 정의에 의해 f[A]¯f[A]이다. 따라서 Af1[f[A]]f1[¯f[A]]이고 ¯f[A]Y에서 닫힌집합이기 때문에 가정에 의해 f1[¯f1[A]]X에서 닫힌집합이다. 따라서 ¯Af1[f[A]]이고 따라서 ¯Af1[f[A]]이고 따라서 f[¯A]f[f1[¯f[A]]]¯f[A]이다.

(3)(4): BY라 하고 A=f1[B]라 하자. 그러면 ¯A¯f[A]=¯f[f1[B]]¯B이고 따라서 ¯A=¯f1[B]¯B이다.

(4)(1): GY에서 임의의 열린집합이라 하고 B=Gc라 하자. 그러면 BY에서 닫힌집합이고 가정에 의해 ¯f1[B]f1[¯B]=f1[B]이다. f1[B]¯f1[B]이므로 f1[B]=¯f1[B]이고 f1[B]=f1[Gc]=(f1[G])c는 닫힌집합이고 f1[G]는 열린집합이다. GY에서의 임의의 열린집합이므로 따라서 f는 연속함수이다.

(1)(5): xX라 하고 f(x)의 한 근방을 V라 하자. 그러면 U=f1[V]x의 근방이고 f[U]V이다.

(5)(1): VY에서 열린집합이라 하고 xf1[V]라 하자. 그러면 f(x)V이고 가정에 의해 x의 근방 Ux가 존재해서 f[Ux]V이다. 그러면 Uxf1[V]이고 f1[V]=xf1[V]Ux는 열린집합이므로 따라서 f는 연속함수이다. (QED)


3.3 XY를 위상공간이라 하자.


(1) f:XY를 연속함수, AX의 부분공간이라 하자. 그러면 함수 f|A:AY도 연속함수이다.

(2) f:XYxX에서 연속이고 X의 부분공간이 A일 때, 함수 f|A:AYx에서 연속이다.

(3) f:XY가 연속이면 f:Xf[X]도 연속함수이다.


증명

(1): GY에서 열린집합이라 하자. 그러면 (f|A)1[G]=Af1[G]A에서 열린집합이고 따라서 f|A는 열린집합이다.

(2): Uf(x)=f|A(x)의 한 근방이라 하자. f는 연속함수이기 때문에 f1[U]X상에서 x의 한 근방이다. 따라서 X상의 열린집합 G가 존재해서 xGU이다. xA이기 때문에xAGAf1[U]=(f|A)1[U]이고 따라서 (f|A)[U]x의 한 근방이다. 그러므로 f|Ax에서 연속이다.

(3): Gf[X]에서의 열린집합이라 하자. 그러면 Y상의 열린집합 H가 존재해서 G=f[X]H이다. f1[G]=f1[H]이고 f는 연속함수, HY에서 열린집합이므로 f1[H]X에서 열린집합이고 f1[G]X에서 열린집합이다. 그러므로 함수 f:Xf[X]는 연속함수이다. (QED)


3.4 X,Y를 위상공간, A,BX에서 닫힌집합이고 X=AB라 하자. 함수 f:XY, g:XY가 연속이고 xAB에 대하여 f(x)=g(x)이면 다음과 같이 정의된 함수 h(x)도 연속함수이다.h(x)={f(x),(xA)g(x),(xB)

증명: CY에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 f1[C]=f1[C]g1[C]이고 f,g는 연속함수이므로 f1[C]g1[C]X에서 닫힌집합이고 g1[C]X에서 닫힌집합이다. 따라서 3.2에 의해 h는 연속함수이다. (QED)


X,Y를 위상공간, 함수 f:XY를 전단사(일대일대응)라 하자. ff1가 연속이면, f를 위상동형사상(homeomorphism), XY를 위상동형(Homeomorphic)이라 한다.

함수 f:XY가 전사이나 단사가 아니고(f[X]Y) f:Xf[X]가 위상동형사상이면(f[X]는 상대위상) f를 매입(embedding)이라고 한다.

XY가 위상동형이고 성질 PX에 성립할 때, Y에도 성립하면 성질 P를 위상적 성질(topological property)이라고 한다.


참고자료
Topology second edition, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학 입문, 문명호, 박종일, 경문사
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley

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Posted by skywalker222