연속함수
\((X,\,\mathcal{T}),\,(Y,\,\mathcal{T}^{*})\)를 위상공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 함수라 하자. 모든 \(G\in\mathcal{T}^{*}\)에 대하여 \(f^{-1}[G]\in\mathcal{T}\)이면 함수 \(f\)를 연속함수(continuous function)라 한다. 특히 \(X\)상의 한 점 \(x\)에 대하여 함수 \(f\)가 \(x\)에서 연속이라는 것은 \(f(x)\)의 임의의 근방 \(V\)에 대하여 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재해서 \(f[U]\subset V\)이다.
위상수학을 배우기 이전에 "함수 \(f\)가 점 \(x_{0}\)에서 연속이다"를 "임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|x-x_{0}|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)"로 나타내었다. \(|x-x_{0}|<\delta\)는 \((x_{0}-\delta,\,x_{0}+\delta)\)로 나타낼 수 있고 \(|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)은 \((f(x_{0})-\epsilon,\,f(x_{0})+\epsilon)\)으로 나타낼 수 있다. \(U=(x_{0}-\delta,\,x_{0}+\delta)\), \(V=(f(x_{0})-\epsilon,\,f(x_{0})+\epsilon)\)라 하자. 그러면 \(f[U]\subset V\)이다.
3.1 \(X,\,Y,\,Z\)를 위상공간이라 하자. 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y,\,g:\,Y\,\rightarrow\,Z\)가 연속함수이면, 합성함수 \(g\circ f:\,X\,\rightarrow\,Z\)도 연속함수이다. 증명: \(G\)를 \(Z\)상의 열린집합이라 하자. \(g\)는 연속함수이므로 \(g^{-1}[G]\)는 \(Y\)에서 열린집합이다. 또한 \(f\)도 연속함수이므로 \(f^{-1}[g^{-1}[G]]\)는 \(X\)에서 열린집합이다. 따라서 \(g\circ f\)는 연속함수이다. (QED) |
함수 \(f:\,X,\,\rightarrow\,Y\)와 \(A,\,B\subset X,\,C,\,D\subset Y\)에 대하여 다음이 성립한다.
$$f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],\,f^{-1}[C\cup D]=f^{-1}[C]\cup f^{-1}[D]\\f[A\cap B]\subset f[A]\cap f[B],\,f^{-1}[C\cap D]=f^{-1}[C]\cap f^{-1}[D]\\f[A-B]\supset f[A]-f[B],\,f^{-1}[C-D]=f^{-1}[C]-f^{-1}[D]$$\(A\subset B\)이고 \(C\subset D\)이면$$f[A]\subset f[B],\,f^{-1}[C]\subset f^{-1}[D]$$\(\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\subset X,\,\{C_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)이면$$f\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]},\,f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{C_{\gamma}}\right]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[C_{\gamma}]}\\f\left[\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right]\subset\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[A_{\gamma}]},\,f^{-1}\left[\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{C_{\gamma}}\right]=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[C_{\gamma}]}$$마지막으로 \(A\subset X,\,C\subset Y\)이면$$A\subset f^{-1}[f[A]],\,f[f^{-1}[C]]\subset C$$
\(A\subset Y\)에 대하여 $$f^{-1}[A^{c}]=f^{-1}[Y-A]=f^{-1}[Y]-f^{-1}[A]=X-f^{-1}[A]=(f^{-1}[A])^{c}$$이므로 \(f^{-1}[A^{c}]=(f^{-1}[A])^{c}\)가 성립한다.
\(X,\,Y\)를 위상공간, \(\mathbb{B}\)를 \(Y\)의 기저라 하자. \(Y\)상의 임의의 열린집합 \(G\)를 모든 \(B_{\gamma}\in\mathbb{B}\)를 이용하여$$G=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}$$로 나타낼 수 있고 따라서$$f^{-1}[G]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[B_{\gamma}]}$$이다. 이 사실로부터 \(f^{-1}[G]\)가 열린집합일 필요충분조건이 \(f^{-1}[B_{\gamma}]\)가 열린집합임을 알 수 있고 따라서 \(X,\,Y\)가 위상공간이면 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 연속함수일 필요충분조건은 모든 \(B_{\gamma}\in Y\)에 대하여 \(f^{-1}[B_{\gamma}]\)가 \(X\)에서 열린집합인 것이다.
비슷하게 \(\mathcal{S}\)가 \(Y\)의 부분기저이면, \(B\in\mathbb{B}\)와 \(S_{i}\in\mathcal{S}\)에 대하여$$B=\bigcap_{i=1}^{n}{S_{i}}$$이고 따라서$$f^{-1}[B]=\bigcap_{i=1}^{n}{f^{-1}[S_{i}]}$$이다. 이 사실로부터 \(X,\,Y\)가 위상공간일 때, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 연속함수일 필요충분조건은 \(Y\)의 부분기저 \(\mathcal{S}\)에 대하여 모든 \(S_{i}\in\mathcal{S}\)에 대해 \(f^{-1}[S_{i}]\)가 \(X\)에서 열린집합인 것이다.
3.2 \(X,\,Y\)를 위상공간, \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)라 하자. 다음의 명제들은 서로 동치이다. (1) \(f\)는 연속함수이다. (2) 모든 닫힌집합 \(F\subset Y\)에 대하여 \(f^{-1}[F]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. (3) 모든 \(A\subset X\)에 대하여 \(f[\overline{A}]\subset\overline{f[A]}\) (4) 모든 \(B\subset Y\)에 대하여 \(\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]\) (5) 모든 \(x\in X\)와 \(f(x)\)의 근방 \(V\)에 대하여, \(x\)의 근방 \(U\)가 존재해서 \(f[U]\subset V\)이다. 증명: \((1)\Rightarrow(2)\): \(f\)를 연속함수, \(F\)를 \(Y\)에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 \(F^{c}\)는 \(Y\)에서 열린집합이고 \(f^{-1}[F^{c}]=(f^{-1}[F])^{c}\)이므로 \((f^{-1}[F])^{c}\)는 \(X\)에서 열린집합이고 따라서 \(f^{-1}[F]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. \((2)\Rightarrow(3)\): \(A\)를 \(X\)의 임의의 부분집합이라 하자. 그러면 \(A\subset f^{-1}[f[A]]\)이고 폐포의 정의에 의해 \(f[A]\subset\overline{f[A]}\)이다. 따라서 \(A\subset f^{-1}[f[A]]\subset f^{-1}[\overline{f[A]}]\)이고 \(\overline{f[A]}\)는 \(Y\)에서 닫힌집합이기 때문에 가정에 의해 \(f^{-1}[\overline{f^{-1}[A]}]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. 따라서 \(\overline{A}\subset f^{-1}[f[A]]\)이고 따라서 \(\overline{A}\subset f^{-1}[f[A]]\)이고 따라서 \(f[\overline{A}]\subset f[f^{-1}[\overline{f[A]}]]\subset\overline{f[A]}\)이다. \((3)\Rightarrow(4)\): \(B\subset Y\)라 하고 \(A=f^{-1}[B]\)라 하자. 그러면 \(\overline{A}\subset\overline{f[A]}=\overline{f[f^{-1}[B]]}\subset\overline{B}\)이고 따라서 \(\overline{A}=\overline{f^{-1}[B]}\subset\overline{B}\)이다. \((4)\Rightarrow(1)\): \(G\)를 \(Y\)에서 임의의 열린집합이라 하고 \(B=G^{c}\)라 하자. 그러면 \(B\)는 \(Y\)에서 닫힌집합이고 가정에 의해 \(\overline{f^{-1}[B]}\subset f^{-1}[\overline{B}]=f^{-1}[B]\)이다. \(f^{-1}[B]\subset\overline{f^{-1}[B]}\)이므로 \(f^{-1}[B]=\overline{f^{-1}[B]}\)이고 \(f^{-1}[B]=f^{-1}[G^{c}]=(f^{-1}[G])^{c}\)는 닫힌집합이고 \(f^{-1}[G]\)는 열린집합이다. \(G\)는 \(Y\)에서의 임의의 열린집합이므로 따라서 \(f\)는 연속함수이다. \((1)\Rightarrow(5)\): \(x\in X\)라 하고 \(f(x)\)의 한 근방을 \(V\)라 하자. 그러면 \(U=f^{-1}[V]\)는 \(x\)의 근방이고 \(f[U]\subset V\)이다. \((5)\Rightarrow(1)\): \(V\)를 \(Y\)에서 열린집합이라 하고 \(x\in f^{-1}[V]\)라 하자. 그러면 \(f(x)\in V\)이고 가정에 의해 \(x\)의 근방 \(U_{x}\)가 존재해서 \(f[U_{x}]\subset V\)이다. 그러면 \(U_{x}\subset f^{-1}[V]\)이고 \(\displaystyle f^{-1}[V]=\bigcup_{x\in f^{-1}[V]}{U_{x}}\)는 열린집합이므로 따라서 \(f\)는 연속함수이다. (QED) |
3.3 \(X\)와 \(Y\)를 위상공간이라 하자. (1) \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 연속함수, \(A\)를 \(X\)의 부분공간이라 하자. 그러면 함수 \(f|_{A}\,:\,A\,\rightarrow\,Y\)도 연속함수이다. (2) \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 \(x\in X\)에서 연속이고 \(X\)의 부분공간이 \(A\)일 때, 함수 \(f|_{A}:\,A\,\rightarrow\,Y\)도 \(x\)에서 연속이다. (3) \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 연속이면 \(f:\,X\,\rightarrow\,f[X]\)도 연속함수이다. 증명 (1): \(G\)를 \(Y\)에서 열린집합이라 하자. 그러면 \((f|_{A})^{-1}[G]=A\cap f^{-1}[G]\)는 \(A\)에서 열린집합이고 따라서 \(f|_{A}\)는 열린집합이다. (2): \(U\)를 \(f(x)=f|_{A}(x)\)의 한 근방이라 하자. \(f\)는 연속함수이기 때문에 \(f^{-1}[U]\)는 \(X\)상에서 \(x\)의 한 근방이다. 따라서 \(X\)상의 열린집합 \(G\)가 존재해서 \(x\in G\subset U\)이다. \(x\in A\)이기 때문에$$x\in A\cap G\subset A\cap f^{-1}[U]=(f|_{A})^{-1}[U]$$이고 따라서 \((f|_{A})[U]\)는 \(x\)의 한 근방이다. 그러므로 \(f|_{A}\)는 \(x\)에서 연속이다. (3): \(G\)를 \(f[X]\)에서의 열린집합이라 하자. 그러면 \(Y\)상의 열린집합 \(H\)가 존재해서 \(G=f[X]\cap H\)이다. \(f^{-1}[G]=f^{-1}[H]\)이고 \(f\)는 연속함수, \(H\)는 \(Y\)에서 열린집합이므로 \(f^{-1}[H]\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(f^{-1}[G]\)도 \(X\)에서 열린집합이다. 그러므로 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,f[X]\)는 연속함수이다. (QED) |
3.4 \(X,\,Y\)를 위상공간, \(A,\,B\)를 \(X\)에서 닫힌집합이고 \(X=A\cup B\)라 하자. 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\), \(g:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 연속이고 \(x\in A\cap B\)에 대하여 \(f(x)=g(x)\)이면 다음과 같이 정의된 함수 \(h(x)\)도 연속함수이다.$$h(x)=\begin{cases}f(x),\,&(x\in A)\\g(x),\,&(x\in B)\end{cases}$$ 증명: \(C\)를 \(Y\)에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 \(f^{-1}[C]=f^{-1}[C]\cup g^{-1}[C]\)이고 \(f,\,g\)는 연속함수이므로 \(f^{-1}[C]\)와 \(g^{-1}[C]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이고 \(g^{-1}[C]\)는 \(X\)에서 닫힌집합이다. 따라서 3.2에 의해 \(h\)는 연속함수이다. (QED) |
\(X,\,Y\)를 위상공간, 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 전단사(일대일대응)라 하자. \(f\)와 \(f^{-1}\)가 연속이면, \(f\)를 위상동형사상(homeomorphism), \(X\)와 \(Y\)를 위상동형(Homeomorphic)이라 한다.
함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 전사이나 단사가 아니고\((f[X]\subset Y)\) \(f:\,X\,\rightarrow\,f[X]\)가 위상동형사상이면(\(f[X]\)는 상대위상) \(f\)를 매입(embedding)이라고 한다.
\(X\)와 \(Y\)가 위상동형이고 성질 \(P\)가 \(X\)에 성립할 때, \(Y\)에도 성립하면 성질 \(P\)를 위상적 성질(topological property)이라고 한다.
참고자료
Topology second edition, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
위상수학 입문, 문명호, 박종일, 경문사
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
