위상공간의 기저와 부분기저
벡터공간에 기저와 부분기저가 있듯이 위상공간에도 기저와 부분기저가 있다.
위상 \(\mathcal{T}_{1}\)과 \(\mathcal{T}_{2}\)에 대하여 \(\mathcal{T}_{1}\)은 \(\mathcal{T}_{2}\)보다 작다(smaller) 또는 약하다(smaller) 또는 거칠다(coarser)라고 하고 \(\mathcal{T}_{2}\)는 \(\mathcal{T}_{1}\)보다 크다(larger) 또는 강하다(stronger) 또는 섬세하다(finer)라고 한다.
이산위상 \(\mathcal{D}\)는 임의의 위상에 대해 큰 위상이고 밀착위상 \(\mathcal{I}\)는 임의의 위상에 대해 작은 위상이다. 즉 임의의 위상 \(\mathcal{T}\)에 대하여 \(\mathcal{I}\subset\mathcal{T}\subset\mathcal{D}\)이다.
위상공간 \((X,\,\mathcal{T})\)에서 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)이면, \(\mathcal{E}\)를 포함하는 \(X\)상의 위상 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)가 존재하고$$\mathcal{T}(\mathcal{E})=\left\lbrace\bigcap_{\alpha\in A}{\mathcal{T}_{\alpha}}\,|\,\mathcal{E}\subset\mathcal{T}_{\alpha}\,는\,X\,상의\,위상\right\rbrace$$이다. 이 위상 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)를 \(\mathcal{E}\)에 의해 생성된 위상이라고 한다.
\((X,\,\mathcal{T})\)를 위상공간, \(\mathbb{B}\subset\mathcal{T}\)라 하자. 임의의 \(G\in\mathcal{T}\)에 대하여 \(B_{\alpha}\in\mathbb{B}\,(\alpha\in A)\)가 존재해서 \(\displaystyle G=\bigcup_{\alpha\in A}{B_{\alpha}}\)이면 \(\mathbb{B}\)를 위상 \(\mathcal{T}\)에 대한 기저(base)라 하고 \(\mathcal{T}=\mathcal{T}(\mathbb{B})\)로 나타낸다.
\(\mathcal{S}\subset\mathcal{T}\)라 하자. 유한집합 \(A\)와 \(S_{\alpha}\subset\mathcal{S}\)에 대하여$$\mathbb{B}=\bigcap_{\alpha\in A}{S_{\alpha}}$$가 \(\mathcal{T}\)의 기저이면, \(\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{T}\)에 대한 부분기저(subbase)라 하고 \(\mathcal{T}(\mathcal{S})\)로 나타낸다. 위상공간의 한 기저는 부분기저의 원소들의 유한교집합으로 나타낼 수 있다.
참고: 집합족 \(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\subset X\)에 대하여$$\bigcup_{\alpha\in\emptyset}{A_{\alpha}}=\emptyset,\,\bigcap_{\alpha\in\emptyset}{A_{\alpha}}=X$$이다.
\(X=\{a,\,b,\,c,\,d\},\,\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X,\,\{a,\,b\},\,\{b,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\},\,\{b\}\}\)라 하고 \(\mathcal{S}=\{\{a,\,b\},\,\{b,\,c\}\}\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{S}\subset\mathcal{T}\)이고$$\mathbb{B}=\bigcap_{\alpha\in A}{S_{\alpha}}=\{X,\,\{a,\,b\},\,\{b,\,c\},\,\{b\}\}\,\left(X=\bigcap_{\alpha\in\emptyset}{S_{\alpha}}\right)$$이다. \(\mathbb{B}\)는 위상 \(\mathcal{T}\)의 기저이므로 \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{T}\)의 부분기저이고 \(\mathcal{T}=\mathcal{T}(\mathbb{B})=\mathcal{T}(\mathcal{S})\)이다.
\(x\in X\)에 대하여 \(\mathcal{N}_{x}\subset\mathcal{T}\)라 하자. 임의의 \(U\in\mathcal{T}\)에 대하여 \(V_{x}\in\mathcal{N}_{x}\)가 존재해서 \(x\in V_{x}\subset U\) 이면 \(\mathcal{N}_{x}\)를 점 \(x\in X\)에서 위상 \(\mathcal{T}\)의 근방기저(neighborhood base)(또는 국소기저(local base))라 한다.
2.1 \(\mathcal{E}\subset\mathcal{T}\)라 하자. \(\mathcal{E}\)가 \(\mathcal{T}\)의 기저가 될 필요충분조건은 공집합이 아닌 임의의 열린집합이 \(\mathcal{E}\)의 원소들의 합집합인 것이다. 즉, 임의의 \(G\in\mathcal{T}\)에 대하여$$G=\bigcup_{\alpha\in A}{B_{\alpha}}\,(B_{\alpha}\in\mathcal{E})$$ 증명: (\(\Rightarrow\)): \(\mathcal{E}\)를 \(\mathcal{T}\)의 기저라 하면 \(x\in U\in\mathcal{T}\)인 \(U\)에 대하여 \(V_{x}\in\mathcal{B}\)가 존재해서 \(x\in V_{x}\subset U\)이고 따라서 \(\displaystyle U=\bigcup_{x\in U}{V_{x}}\)이다. (\(\Leftarrow\)): \(U\in\mathcal{T}\)가 \(\mathcal{E}\)의 원소들의 합집합이면, \(\{V\in\mathcal{E}\,|\,x\in V\}\)는 \(x\)에서의 근방기저이고 따라서 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{T}\)의 기저이다. (QED) |
2.2 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)일 때, \(\mathcal{E}\)가 위상공간 \((X,\,\mathcal{T})\)의 기저가 될 필요충분조건은 다음의 두 조건을 만족하는 것이다: (1) 각각의 \(x\in X\)는 적당한 \(V\in\mathcal{E}\)에 포함된다. (2) \(U,\,V\in\mathcal{E}\)이고 \(x\in U\cap V\)일 때, \(W\in\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in W\subset U\cap V\)이다. 증명 (\(\Rightarrow\)): 자명하다. (\(\Leftarrow\)): \(U,\,V\)가 열린집합이면 \(U\cap V\)도 열린집합이다.$$\mathcal{T}=\left\lbrace U\subset X\,|\,모든\,x\in U\,에\,대하여\,V\in\mathcal{E}가\,존재하여\,x\in V\subset U\right\rbrace$$라 하자. 그러면 조건 (1)에 의해 \(X\in\mathcal{T}\)이고 분명히 \(\emptyset\in\mathcal{T}\)이고 \(\mathcal{T}\)의 원소들의 임의의 합집합은 \(\mathcal{T}\)의 원소이다. \(U_{1},\,U_{2}\in\mathcal{T}\)이고 \(x\in U_{1}\cap U_{2}\)이면, \(V_{1},\,V_{2}\in\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in V_{1}\subset U_{1}\)이고 \(x\in V_{2}\subset U_{2}\)이다. 조건 (2)에 의해 \(W\in\mathcal{E}\)가 존재해서 \(x\in W\subset V_{1}\cap V_{2}\)이고 따라서 \(U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{T}\)이다. 그러므로 \(\mathcal{T}\)는 위상이고 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{T}\)의 기저이다. (QED) |
2.3 \(\mathcal{E}\subset2^{X}\)이면 \(\mathcal{E}\)에 의해 생성된 위상 $$\mathcal{T}(\mathcal{E})=\left\lbrace\bigcap_{\alpha\in A}{\mathcal{T}_{\alpha}}\,|\,\mathcal{E}\subset\mathcal{T}_{\alpha}\,는\,X\,상의\,위상\right\rbrace$$는 \(\emptyset\)과 \(X\)를 원소로 가지고 원소들의 임의의 합집합과 유한교집합도 \(\mathcal{T}(\mathcal{E})\)의 원소이다. 증명: 1.3과 1.4에 의해 분명하다. (QED) |
\(X=\{a,\,b,\,c,\,d\},\,\mathcal{S}=\{\{a\},\,\{b,\,c\},\,\{c,\,d\}\}\)라 하자. 그러면$$\mathbb{B}=\bigcap_{\alpha\in A}{S_{\alpha}}=\{X,\,\{a\},\,\{b,\,c\},\,\{c,\,d\},\,\{c\},\,\emptyset\}\,\left(X=\bigcap_{\alpha\in\emptyset}{S_{\alpha}}\right),\,\emptyset=\{a\}\cap\{b,\,c\}$$이고 따라서$$\mathcal{T}=\{\emptyset,\,X,\,\{a\},\,\{c\},\,\{a,\,c\},\,\{b,\,c\},\,\{c,\,d\},\,\{a,\,b,\,c\},\,\{b,\,c,\,d\},\,\{a,\,c,\,d\}\}$$이다. \(\mathcal{T}\)는 \(X\)상의 위상이고 \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{T}\)의 부분기저, \(\mathbb{B}\)는 \(\mathcal{T}\)의 기저이므로 \(\mathcal{T}=\mathcal{T}(\mathcal{S})=\mathcal{T}(\mathbb{B})\)이다. 이때 \(\mathcal{T}\)는 \(\mathcal{S}\)에 의해 생성된 \(X\)상의 위상이고 \(\mathcal{T}\)는 \(\mathcal{S}\)를 포함하는 \(X\)상의 가장 작은 위상이다.
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications 2nd edition, Folland, Wiley
Topology, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
Schaum's outlines General Topology, Seymour Lipschitz, 이장우 옮김, 경문사
