적공간

적공간

첨수집합 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 대하여 $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$라 하자. $X$에서 $X_{\alpha}$로의 사영(projection) $\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}$를 $x\in X,\,x_{\alpha}\in X_{\alpha}$에 대해 다음과 같이 정의한다. $$\pi(x)=x_{\alpha}\,(x=(x_{\alpha})_{\alpha\in A})$$

$X$가 임의의 집합이고 $\{Y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 위상공간들의 집합이면, 집합 $\{f_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,Y_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$는 $X$에서 특정한 위상공간 $Y_{\alpha}$로 대응되는 함수들의 집합이고 $X$상의 위상 $\mathcal{T}$가 존재해서 모든 $f_{\alpha}$들이 연속함수가 된다. 이러한 위상을 $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$에 의해 생성되는 약위상(weak topology)이라고 한다. 이 위상 $\mathcal{T}$는 $\{f_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]\}_{\alpha\in A}$($U_{\alpha}$는 $Y$상의 열린집합)에 의해 생성된 위상이라고 할 수 있다.

$\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$가 위상공간들을 모은 집합이면 이 위상공간들의 곱위상(product topology) $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 사영 $\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}$에 의해 생성된 위상이다. $X_{\alpha}$에서 열린집합 $U_{\alpha}$에 대하여 $\mathcal{S}_{\alpha}=\{\pi_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]\}_{\alpha\in A},\,\mathcal{S}=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{\mathcal{S}_{\alpha}}$라 하자. 그러면 부분기저 $\mathcal{S}$에 의해 생성된 위상은 곱위상이다.

4.1 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A},\,Y$를 위상공간, $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$라 하자. $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 연속일 필요충분조건은 모든 $\alpha\in A$에 대하여 $\pi_{\alpha}\circ f$가 연속함수인 것이다. 증명: $(\Leftarrow)$: 모든 $\alpha\in A$에 대하여 $\pi_{\alpha}\circ f$가 연속이면 $X_{\alpha}$상의 모든 열린집합 $U_{\alpha}$에 대하여 $f^{-1}[\pi_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]]$는 $Y$에서 열린집합이고 따라서 $f$는 연속함수이다.(참고: 사영은 연속함수이다.) $(\Rightarrow)$: 자명하다. (QED)

위상공간들을 모은 집합족 $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$의 원소들이 모든 $\alpha\in A$에 대하여 $X_{\alpha}=X$이면, $\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}$는 $A$에서 $X$로의 함수들의 집합이고 이를 $X^{A}$로 나타낸다. 즉 $X^{A}=\{f\,|\,f:\,A\,\rightarrow\,X\}$.

예를들어 $I=[0,\,1]$,\,모든 $t\in I$에 대하여 $\mathbb{R}_{t}=\mathbb{R}$이라 하자. 그러면 $$\prod_{t\in I}{\mathbb{R}_{t}}=\left\lbrace f\,|\,f:\,I\,\rightarrow\,\bigcup_{t\in I}{\mathbb{R}_{t}},\,f(t)\in\mathbb{R}_{t}=\mathbb{R}\right\rbrace=\{f\,|\,f:\,I\,\rightarrow\,\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{I}$$ 이다.

4.2 $\{X_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 위상공간들을 모은 집합이라 하고 $A_{\gamma}\subset X_{\gamma}$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\prod_{\gamma\in\Gamma}{\overline{A_{\gamma}}}=\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}}$$ 증명: $\displaystyle\mathrm{x}=(x_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}$이라 하고 $\displaystyle U=\prod_{\gamma\in\Gamma}{U_{\gamma}}$를 $\mathrm{x}$를 포함하는 곱위상 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}$의 기저의 한 원소라 하자. $x_{\gamma}\in\overline{A_{\gamma}}$이므로 모든 $\gamma\in\Gamma$에 대하여 $y_{\gamma}\in U_{\gamma}\cap A_{\gamma}$를 고를 수 있다. 그러면 $\mathrm{y}=(y_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in U_{\gamma}\cap\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}$이고 $U$는 임의의 기저이므로 $\mathrm{x}\in\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}}$이다. $\displaystyle\mathrm{x}=(x_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}}$라 하고 $V_{\gamma}$를 $x_{\gamma}$를 포함하는 $X_{\gamma}$ 상의 임의의 열린집합이라 하자. $\pi_{\gamma}^{-1}[V_{\gamma}]$는 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}$에서 열린집합이므로 $\displaystyle\mathrm{y}=(y_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}$를 포함한다. 그러면 $y_{\gamma}\in V_{\gamma}\cap A_{\gamma}$이고 따라서 $x_{\gamma}\in\overline{A_{\gamma}}$이다. (QED)

4.3 $\{X_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$를 위상공간들을 모은 집합이라 하고 $F_{\gamma}$를 $X_{\gamma}$에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}$는 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}$에서 닫힌집합이다. 증명: 4.2에 의해 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}=\prod_{\gamma\in\Gamma}{\overline{F_{\gamma}}}=\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}}$이므로 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}$는 $\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}$에서 닫힌집합이다. (QED)

참고자료
Topology second edition, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley