적공간
첨수집합 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 대하여 \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)라 하자. \(X\)에서 \(X_{\alpha}\)로의 사영(projection) \(\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}\)를 \(x\in X,\,x_{\alpha}\in X_{\alpha}\)에 대해 다음과 같이 정의한다.$$\pi(x)=x_{\alpha}\,(x=(x_{\alpha})_{\alpha\in A})$$
\(X\)가 임의의 집합이고 \(\{Y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 위상공간들의 집합이면, 집합 \(\{f_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,Y_{\alpha}\}_{\alpha \in A}\)는 \(X\)에서 특정한 위상공간 \(Y_{\alpha}\)로 대응되는 함수들의 집합이고 \(X\)상의 위상 \(\mathcal{T}\)가 존재해서 모든 \(f_{\alpha}\)들이 연속함수가 된다. 이러한 위상을 \(\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)에 의해 생성되는 약위상(weak topology)이라고 한다. 이 위상 \(\mathcal{T}\)는 \(\{f_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]\}_{\alpha\in A}\)(\(U_{\alpha}\)는 \(Y\)상의 열린집합)에 의해 생성된 위상이라고 할 수 있다.
\(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 위상공간들을 모은 집합이면 이 위상공간들의 곱위상(product topology) \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 사영 \(\pi_{\alpha}:\,X\,\rightarrow\,X_{\alpha}\)에 의해 생성된 위상이다. \(X_{\alpha}\)에서 열린집합 \(U_{\alpha}\)에 대하여 \(\mathcal{S}_{\alpha}=\{\pi_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]\}_{\alpha\in A},\,\mathcal{S}=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in A}{\mathcal{S}_{\alpha}}\)라 하자. 그러면 부분기저 \(\mathcal{S}\)에 의해 생성된 위상은 곱위상이다.
4.1 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A},\,Y\)를 위상공간, \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)라 하자. \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)가 연속일 필요충분조건은 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\pi_{\alpha}\circ f\)가 연속함수인 것이다. 증명: \((\Leftarrow)\): 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\pi_{\alpha}\circ f\)가 연속이면 \(X_{\alpha}\)상의 모든 열린집합 \(U_{\alpha}\)에 대하여 \(f^{-1}[\pi_{\alpha}^{-1}[U_{\alpha}]]\)는 \(Y\)에서 열린집합이고 따라서 \(f\)는 연속함수이다.(참고: 사영은 연속함수이다.) \((\Rightarrow)\): 자명하다. (QED) |
위상공간들을 모은 집합족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)의 원소들이 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(X_{\alpha}=X\)이면, \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)는 \(A\)에서 \(X\)로의 함수들의 집합이고 이를 \(X^{A}\)로 나타낸다. 즉 \(X^{A}=\{f\,|\,f:\,A\,\rightarrow\,X\}\).
예를들어 \(I=[0,\,1]\),\,모든 \(t\in I\)에 대하여 \(\mathbb{R}_{t}=\mathbb{R}\)이라 하자. 그러면$$\prod_{t\in I}{\mathbb{R}_{t}}=\left\lbrace f\,|\,f:\,I\,\rightarrow\,\bigcup_{t\in I}{\mathbb{R}_{t}},\,f(t)\in\mathbb{R}_{t}=\mathbb{R}\right\rbrace=\{f\,|\,f:\,I\,\rightarrow\,\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{I}$$이다.
4.2 \(\{X_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 위상공간들을 모은 집합이라 하고 \(A_{\gamma}\subset X_{\gamma}\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\prod_{\gamma\in\Gamma}{\overline{A_{\gamma}}}=\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}}$$ 증명: \(\displaystyle\mathrm{x}=(x_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\)이라 하고 \(\displaystyle U=\prod_{\gamma\in\Gamma}{U_{\gamma}}\)를 \(\mathrm{x}\)를 포함하는 곱위상 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}\)의 기저의 한 원소라 하자. \(x_{\gamma}\in\overline{A_{\gamma}}\)이므로 모든 \(\gamma\in\Gamma\)에 대하여 \(y_{\gamma}\in U_{\gamma}\cap A_{\gamma}\)를 고를 수 있다. 그러면 \(\mathrm{y}=(y_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in U_{\gamma}\cap\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\)이고 \(U\)는 임의의 기저이므로 \(\mathrm{x}\in\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}}\)이다. \(\displaystyle\mathrm{x}=(x_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}}\)라 하고 \(V_{\gamma}\)를 \(x_{\gamma}\)를 포함하는 \(X_{\gamma}\) 상의 임의의 열린집합이라 하자. \(\pi_{\gamma}^{-1}[V_{\gamma}]\)는 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}\)에서 열린집합이므로 \(\displaystyle\mathrm{y}=(y_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}\in\prod_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\)를 포함한다. 그러면 \(y_{\gamma}\in V_{\gamma}\cap A_{\gamma}\)이고 따라서 \(x_{\gamma}\in\overline{A_{\gamma}}\)이다. (QED) |
4.3 \(\{X_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)를 위상공간들을 모은 집합이라 하고 \(F_{\gamma}\)를 \(X_{\gamma}\)에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}\)는 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}\)에서 닫힌집합이다. 증명: 4.2에 의해 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}=\prod_{\gamma\in\Gamma}{\overline{F_{\gamma}}}=\overline{\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}}\)이므로 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{F_{\gamma}}\)는 \(\displaystyle\prod_{\gamma\in\Gamma}{X_{\gamma}}\)에서 닫힌집합이다. (QED) |
참고자료
Topology second edition, Munkres, Pearson
위상수학 기초론, 장영식, 경문사
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Folland, Wiley
